基于MATLAB的ADSP AR(2)模型的LMS 与 RLS 算法分析

MATLAB 仿真实现LMS 和RLS 算法题目：序列x(n)有AR （2）模型产生：)()2()1()(21n w n x a n x a n x +-+-=，w(n)是均值为0、方差为1的高斯白噪声序列。

.7.0,4.121-==a a 用LMS 算法和RLS 算法来估计模型参数21,a a 。

按照课本第三章63页的要求，仿真实现LMS 算法和RLS 算法，比较两种算法的权值收敛速度，并对比不同u 值对LMS 算法以及λ值对RLS 算法的影响。

解答：1 数据模型（1）高斯白噪声用用randn 函数产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机矩阵来实现。

随后的产生的信号用题目中的AR （2)模型产生，激励源是之前产生的高斯白噪声。

（2）信号点数这里取为2000，用2000个信号来估计滤波器系数。

（3）分别取3个不同的u 、λ值来分析对不同算法对收敛效果的影响。

其中u=[0.001,0.003,0.006]，lam=[1,0.98,0.94]。

2 算法模型2.1自适应算法的基本原理自适应算法的基本信号关系如下图所示：图 1 自适应滤波器框图输入信号x(n)通过参数可调的数字滤波器后产生输出信号y(n)，将其与参考信号d(n)进行比较，形成误差信号e(n)。

e(n)通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终是e(n)的均方值最小。

当误差信号e(n)的均方误差达到最小的时候，可以证明信号y(n)是信号d(n)的最佳估计。

2.2 LMS 算法简介LMS 算法采用平方误差最小的原则代替最小均方误差最小的原则，信号基本关系如下：1()()()()()()(1)()2()()(0,1,2,....1)N i i i y n w n x n i e n d n y n w n w n e n x n i i N μ-=-=-+=+-=-∑ 写成矩阵型式为：()()()()()()(1)()2()()T y n W n X n e n d n y n W n W n e n X n μ==-+=+式中，W(n) 为n 时刻自适应滤波器的权矢量，011()[(),(),....()]TN W n w n w n w n -=，N 为自适应滤波器的阶数；X( n) 为n 时刻自适应滤波器的参考输入矢量，由最近N 个信号采样值构成，()[(),(1),....(1)]TX n x n x n x n N =--+；d ( n) 是期望的输出值；e ( n) 为自适应滤波器的输出误差调节信号(简称失调信号) ；μ是控制自适应速度与稳定性的增益常数，又叫收敛因子或步长因子。

2.3 RLS 算法简介RLS 算法是用二乘方的时间平均的最小化准则取代最小均方准则，并按时间进行迭代计算。

其基本原理如下所示：λ称为遗忘因子，它是小于等于1的正数。

():d n 参考信号或期望信号。

():n w 第n 次迭代的权值。

():n ε均方误差。

按照如下准则：()()20min nn k k n e k ελ-==→∑即越旧的数据对()n ε的影响越小。

对滤波器系数w 求偏导数，并令结果等于零知()()02()0nn k k n e k k ελ-=∂=-=∂∑x w整理得到标准方程 ()()00()()n nn k T n kk k k k d k k λλ--==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∑x x w x定义()0()()nn k T k n k k λ-==∑R x x()0()()nn k k n d k k λ-==∑P x标准方程可以化简成形式：()()n n =R w P经求解可以得到迭代形式 (1)()(1)(1)T n n n n λ+=+++R R x x(1)()(1)(1)n n d n n λ+=+++P P x定义：1()()n n -=T R ，则可知T 的迭代方程为11()[(1)()()]T n n n n λ--=-+T T x x系数的迭代方程为()(1)()(|1)n n n e n n =-+-w w k其中增益()n k 和误差(|1)e n n -的定义分别为 (|1)()(1)()T e n n d n n n -=--w x(1)()()()(1)()Tn n n n n n λ-=+-T x k x T x由上边分析可知，RLS 算法递推的步骤如下：1. 在时刻n ，已经知道(1),(1)n n --w T 和(),()d n n x 也已经存储在滤波器的实验部件中2. 利用公式（1.9）、（1.10）、（1.11）和（1.12）计算(),(),(),(|1)n n n e n n -T w k ，并得到滤波器的输出相应()y n 和误差()e n 即：()()()T y n n n =w x()()()e n d n y n =-3. 进入第1n +次迭代优点--其优点是收敛速度快，而且适用于非平稳信号的自适应处理 条件--:是每次迭代时都知道输入信号和参考信号，计算量比较大3 仿真过程简介仿真过程按照如下过程进行（1）信号产生：首先产生高斯白噪声序列w(n)，然后将此通过一个简单的二阶自回归 滤波器生成信号()x n ，该滤波器的参数为.7.0,4.121-==a a（2）将步骤一生成的信号通过LMS 和RLS 自适应滤波器进行处理（3）通过改变u 值对1a 收敛速度的影响来分析LMS 算法的性能以及通过改变λ值对1a 收敛速度的影响来分析RLS 算法的性能。

（4）绘制各种图形曲线 （5）源代码如下：%(1)信号序列与高斯白噪声的产生 %参数初始化a1=1.4; %生成信号所用AR （2）滤波器的参数 a2=-0.7;n=2000; %信号点数%信号及白噪声信号序列的初始化 x=zeros(1,n)'; %信号的初始化w=randn(1,n)'; %高斯白噪声的初始化，均值为0，方差为1 x(1)=w(1); %信号前两点的初始赋值 x(2)=a1*x(1)+w(2);%信号序列的产生 for i=3:nx(i)=a1*x(i-1)+a2*x(i-2)+w(i);%信号由AR （2）产生 end%绘制信号和高斯白噪声波形 figure(1)plot(1:n,x,'b:',1:n,w,'r-');legend('信号序列','高斯白噪声') % 图例title('基于AR （2）模型产生的信号x 和高斯白噪声w'); xlabel('信号点数n'); ylabel('x(n)/w(n)');%(2)LMS 和RLS 算法下的参数a1、a2的收敛曲线 %LMS 滤波L=2; %滤波器长度u=0.001; %LMS 算法下自适应增益常数初始化 wL=zeros(L,n);%LMS 滤波器的权值初始化 for i=(L+1):nX=x(i-1:-1:(i-L));y(i)=X'*wL(:,i); %i时刻输出信号e(i)=x(i)-y(i); %i时刻误差信号wL(:,(i+1))=wL(:,i)+2*u*e(i)*X; %i时刻滤波器的权值end;a1L=wL(1,1:n); % a1在LMS算法下值的变化a2L=wL(2,1:n); % a2在LMS算法下值的变化%RLS滤波L=2; %滤波器长度lam=0.98; %RLS算法下lambda取值wR=zeros(L,n);%权系数，初值为0T=eye(L,L)*10;% %RLS算法下T参数的初始化,T初始值为10for i=(L+1):nX=x(i-1:-1:(i-L));K=(T*X)/(lam+X'*T*X);%i时刻增益值e1=x(i)-wR(:,i-1)'*X;wR(:,i)=wR(:,i-1)+K*e1; %i时刻权值y(i)=wR(:,i)'*X;%输出信号e(i)=x(i)-y(i);%预测误差T=(T-K*X'*T)/lam; %i时刻的维纳解end;a1R=wR(1,1:n); % a1在RLS算法下值的变化a2R=wR(2,1:n); % a2在RLS算法下值的变化%绘制LMS与RLS算法下a1、a2收敛曲线figure(2)plot(1:n,a1L,'r-',1:n,a1R,'b:',1:n,a2L,'g--',1:n,a2R,'m-.',1:n,a2 ,'k-',1:n,a1,'k-');legend('LMS-a1变化','RLS-a1变化','LMS-a2变化','RLS-a2变化','a1收敛值','a2收敛值',0); % 图例title('LMS与RLS算法对比');xlabel('信号点数n');ylabel('对应a1、a2的值');%(3)LMS算法下不同u值的参数收敛曲线wL=zeros(L,n,3);eL=zeros(n,3); % LMS算法下误差初始化yL=zeros(n,3); % LMS算法下滤波器输出初始化u=[0.001,0.003,0.006]; %不同的u值for j=1:3for i=(L+1):nyL(i,j)=x(i-1:-1:i-2)'*wL(1:L,i-1,j);eL(i,j)=x(i)-yL(i,j);wL(1:L,i,j)=wL(1:L,i-1,j)+2*u(j)*eL(i,j)*x(i-1:-1:i-L);endenda1L1=wL(1,1:n,1);a1L2=wL(1,1:n,2);a1L3=wL(1,1:n,3);figure(3)plot(1:n,a1L1,'b-',1:n,a1L2,'r:',1:n,a1L3,'c-.',,1:n,a1,'k') % 画图显示不同u值下LMS算法性能差别legend('u=0.001','u=0.003','u=0.006','a1收敛值',0) % 图例title('LMS算法下不同的u值对a1收敛速度影响')xlabel('信号点数 n')ylabel('对应a1的值')%(4)RLS算法下不同lambda值的参数收敛曲线wR=zeros(2,n,3); % RLS算法下自适应滤波器参数初始化eR=zeros(n,3); % RLS算法下误差项初始化yR=zeros(n,3); % RLS算法下滤波器输出初始化lam=[1,0.98,0.94];for j=1:3for i=(L+1):nxR=x(i-1:-1:i-2);k=(T*xR)/(lam(j)+xR'*T*xR);T=(T-k*xR'*T)/lam(j);eR=x(i)-xR'*wR(1:2,i-1,j);yR(i,j)=xR'*wR(1:2,i-1,j);wR(1:2,i,j)=wR(1:2,i-1,j)+k*eR;endenda1R1=wR(1,1:n,1);a1R2=wR(1,1:n,2);a1R3=wR(1,1:n,3);figure(4)plot(1:n,a1R1,'b-',1:n,a1R2,'r:',1:n,a1R3,'c-.',1:n,1:n,a1,'k') % 画图显示不同lamda值下RLS算法性能差别legend('lam=1','lam=0.98','lam=0.94','a1收敛值',0) % 图例title('RLS算法下不同的lam值对a1收敛速度影响')xlabel('信号点数 n')ylabel('对应a1的值')4 仿真结果信号和高斯白噪声波形如图（1）所示：图1 信号和高斯白噪声波形图2 LMS算法和RLS算法收敛曲线对比图3 u对LMS收敛速度的影响图4 λ对RLS收敛速度的影响4 结果分析（1）由（图2）可以看到在u和λ值相当的情况下，RLS比LMS具有更快的收敛速度，但是RLS权系数收敛后出现了较大的噪声，是因为RLS中有效记忆长度只有49.（2）由（图3）可知u越小，LMS算法的收敛速度越慢，但权系数收敛后噪声越小。