高三数学-抛物线专题复习

抛物线

平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y 2＝2px (p>0)

y 2＝－2px(p>0)

x 2＝2py(p>0)

x 2＝－2py(p>0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 &

图形

顶点 O(0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

$

焦点

F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭

⎫－p 2，0

F ⎝

⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭

⎫0，－p 2

离心率 e ＝1

准线方程 x ＝－p

2 x ＝p 2 。

y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向

向右

向左

-

向上

向下

第二部分 考点解析

题型一 抛物线的定义及应用

例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标.

》

变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()

题型二抛物线的标准方程和几何性质

例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.

*

变式练习 2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()

＝±4x ＝±8x

＝4x ＝8x

变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于()

∶ 5 ∶2 ∶ 5 ∶3

题型三抛物线焦点弦的性质

…

例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O.

：

变式练习 4.已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：

(1)y 1y 2＝－p 2

，x 1x 2＝p 2

4；

(2)1|AF|＋1

|BF|为定值；

(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

-

题型四 直线与抛物线的位置关系

例4 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m>0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q.

;

(1)求抛物线C 的焦点坐标.

(2)若抛物线C 上有一点R(x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值.

(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.

【

变式练习 5.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；

(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →

＜0若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.

￥

例5 设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两 点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的面积为2(O 为坐标原点). ~

(1)求抛物线C 的方程；

(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

~

方法与技巧小结

1.认真区分四种形式的标准方程

(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p>0)，前者不是抛物线的标准方程.

(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my(m ≠0). 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝

p 2

4；

(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB|＝2p

sin 2θ；

(3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF|＋1|BF|＝2

p . 第三部分 巩固练习

）

A 组 专项基础训练

一、选择题

1.抛物线y ＝－1

2x 2的焦点坐标是

( )

A.(0，18)

B.(－18，0)

C.(0，－12)

D.(－1

2，0) 2.抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－

y 2

3＝1的渐近线的距离是

( )

3.已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为

( )

＝1

＝－1 ＝2

＝－2

4.已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2

x 1x 2

的值一定等于( ) A.－4

D.－p 2

—

5.如图，抛物线

C 1：y 2＝2px

和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 2

4，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于

A ，

B ，

C ，

D 四点，则AB →·CD →

的值为( )

二、填空题

6.若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是__________.

7.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.