高考高中数学条件概率
高中试卷-专题7.1 条件概率与全概率公式(含答案)
专题7.1 条件概率与全概率公式姓名：班级：重点条件概率的公式及其应用。
难点全概率公式的应用。
例1-1．同时抛掷一个红骰子和一个蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A ，“两个骰子的点数之积为奇数”为事件B ，则=)|(A B P （ ）。
A 、61B 、41C 、31D 、21【答案】D 【解析】21)(=A P ，若A 、B 同时发生，则蓝色骰子向上点数为偶数，则412121)(=⨯=AB P ，∴21)()()|(==A P AB P A B P ，故选D 。
例1-2．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则=)|(A B P （ ）。
A 、31B 、74C 、32D 、43【答案】A【解析】由已知得73)(272324=+=C C C A P 、71)(2723==C C AB P ，则31)()()|(==A P AB P A B P ，故选A 。
例1-3．某市气象台统计，2022年3月1日该市市区下雨的概率为154，刮风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，则=)|(B A P （ ）。
5B 、83C 、21D 、43【答案】D【解析】由题意可知154)(=A P 、152)(=B P 、101)(=AB P ，利用条件概率的计算公式可得：43)()()|(==B P AB P B A P ，故选D 。
例1-4．甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则=)|(B A P （ ）。
A 、92B 、83C 、43D 、98【答案】A【解析】事件AB ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，∴其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为33A ，事件B ：甲选羽毛球，∴其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为33，∴92434)()()|(43433===A B P AB P B A P ，故选A 。
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-高考数学复习
）
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
目录
解析：
1
事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
6
1
5
5
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝
＝ ，事件丁发生的概
6
6×6
36
6
1
率 P （丁）＝
＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
）＝（1－0.6）×0.5×0.5×0.4＋0.6×（1－0.5）×0.5×0.4＋
0.6×0.5×（1－0.5）×0.4＋0.6×0.5×0.5×（1－0.4）＝0.25，4人需
使用设备的概率 P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求的概率 P ＝
3
2
3
5
（ ）·P （ ）·P （ ）＝（1－ ）（1－ ）（1－ ）＝ .
4
3
8
96
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙
三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，
5
91
所以所求事件的概率为 P （ M ）＝1－ ＝ .
96
96
目录
解题技法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
2∪…∪ An ＝Ω，且 P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n ，则对任意的事
件 B ⊆Ω，有 P （ B ）＝
∑ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）
i=1
，我们称上面
的公式为全概率公式.
目录
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
高中数学选择性必修三 7 1 条件概率及全概率(精讲)(含答案)
7.1 条件概率及全概率（精讲）考法一条件概率【例1】（1）（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期末）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N 为“至少有一次点数是5”，则()P N M 等于（ ） A ．23B ．59C ．12D ．13（2）（2020·全国高三专题练习）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ） A ．3/5B ．3/4C ．1/2D ．3/10【答案】（1）B （2）C【解析】（1）事件M 为“两次所得点数均为奇数”，则事件为()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，故()9n M =；N 为“至少有一次点数是5”，则事件MN 为()1,5，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，()5n MN =，所以()59P N M =.故选：B . （2）记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”， 则事件AB 为“两次都取到白球”，依题意知3()5P A =，3263()542010P AB =⨯==， 所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是3110()325P B A ==．故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S .在已知S 为偶数的情况下，S 能被3整除的概率为（ ） A ．14B ．13C ．512D ．23【答案】B【解析】记“S 能被3整除”为事件A ，“S 为偶数”为事件B ，事件B 包括的基本事件有{1}3，，{1}5，，{3}5，，{24}，，{26}，，{46}，共6个. 事件AB 包括的基本事件有{1}5，、{24}，共2个. 则()21(|)()63n AB P A B n B ===，故选:B .2．（2020·河北沧州市·高二期中）盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1个．已知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是（ ） A ．15B ．29C ．79D ．710【答案】C【解析】设第一次抽到的是合格品，设为事件A ，第二次抽到的是合格品，设为事件B ，则()()()()()877899P AB n AB P B A P A n A ⨯====⨯.故选：C3．（2020·全国高三专题练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“恰有2名同学所报项目相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()|P B A =（ ）A ．16B ．13C ．23D ．56【答案】A【解析】事件AB 为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”.()2143421439C C P A ⨯⨯== , ()21324112327C C P AB ⨯⨯== 所以()()()2127|469P AB P B A P A === 故选：A4．（2020·北海市教育教学研究室高二期末（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ） A ．25B ．89C ．811D ．911【答案】C【解析】在下雨条件下吹东风的概率为8830=111130，选C考法二 全概率公式【例2】．（2020·全国高二课时练习）设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率. 【答案】4751474【解析】设A 表示“被诊断为肺结核”，C 表示“患有肺结核”. 由题意得，()0.001,()0.999P C P C ==，()0.95,()0.002P A C P A C ==∣∣. 由贝叶斯公式知，()()475()()()()()1474P C P A C P CA P C P A C P C P A C ==+∣∣∣∣.【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A . 【答案】19218【解析】因为()|0.95P A C =，所以()|1P A C =-()|0.05P A C =， 因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，所以由全概率公式可得()()()()()||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅， 因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()0.950.005190.950.0050.050.995218|()|()P A C P C P A C P C P A C P C ⨯===⨯+⨯+.。
专题17 概率-2023年高考数学真题题源解密(新高考)(解析版)
专题17 概率目录一览2023真题展现考向一概率考向二离散型随机变量及其分布列真题考查解读近年真题对比考向一概率考向二离散型随机变量及其分布列考向三正太分布命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一概率1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（ ）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正确；采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，故B正确；采用三次传输方案，若发送1，则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，故所求概率为：C23β(2−β)2+(1−β)3，故C错误；三次传输方案发送0，译码为0的概率P1=C23α(1−α)2+(1−α)3，单次传输发送0译码为0的概率P2＝1﹣α，P2−P1=(1−α)−C23α(1−α)2−（1﹣α）3=(1−α)[1−C23α(1−α)−(1−α)2]＝（1﹣α）（2α2﹣α）＝（1﹣α）α（2α﹣1），当0＜α＜0.5时，P2﹣P1＜0，故P2＜P1，故D正确．考向二离散型随机变量及其分布列2．（2023•新高考Ⅰ•第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i＝1）＝1﹣P（X i＝0）＝q i，i＝1，2，⋯，n，则E（ni=1X i）=ni=1q i．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，由题意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；（2）由题意设P n为第n次投篮的是甲，则P n+1＝0.6P n+0.2（1﹣P n）＝0.4P n+0.2，∴P n+1−13=0.4（P n−13），又P1−13=12−13=16≠0，则{P n−13}是首项为16，公比为0.4的等比数列，∴P n−13=16×（25）n﹣1，即P n=13+16×（25）n﹣1，∴第i次投篮的人是甲的概率为P i=13+16×（25）i﹣1；（3）由（2）得P i=13+16×（25）i﹣1，由题意得甲第i次投篮次数Y i服从两点分布，且P（Y i＝1）＝1﹣P（Y i＝0）＝P i，∴E（ni=1Y i）＝E（Y）=ni=1P i，∴当n≥1时，E（Y）=ni=1P i=1(25)i−1+n3=16[1−(25)n]1−25+n3=518[1﹣（25）n]+n3；当n ＝0时，E （Y ）＝0=518[1﹣（25）0]+03，综上所述，E （Y ）=518[1﹣（25）n ]+n3，n ∈N ．【命题意图】概率、随机变量的分布列与数学期望．【考查要点】概率多为小题。
高中数学概率公式大全
高中数学概率公式大全一、常用概率公式及应用1、概率定义：概率是指某件事情发生的可能性，以及该事件发生后，另一个事件发生的可能性，都是以概率来衡量的。
2、贝叶斯公式：P（A|B）=P（A）* P（B|A）/P（B），p（A|B）表示的是在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P（A）表示事件A发生的概率，P（B|A）表示在A发生时事件B也发生的概率，而P（B）表示事件B发生的概率。
3、全概率公式：P（A）= ∑P（A|B）*P（B），全概率公式是通过对一个事件进行分类求其总概率，表示事件A发生的概率，P（A|B）表示事件在A发生时事件B也发生的概率，而P（B）表示事件B发生的概率。
4、乘法公式：P（A∩B）=P（A）*P（B|A），乘法定理是用来描述概率的一种方式，也叫做“独立性原理”，通常使用来计算两个不相关事件A和B发生的概率，P（A∩B）表示A和B同时发生的概率，而P （B|A）表示在A发生的情况下B发生的概率，P（A）表示事件A发生的概率。
5、条件概率公式：P（A|B）=P（A∩B）/P（B），P（A|B）表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率，也可以理解为在B中发生A的条件概率。
P（A∩B）指的是两个事件A和B同时发生的概率，而P （B）表示的是事件B发生的概率。
二、重要定理1、条件概率定理：P（A）= ∑P（A|B）*P（B）。
概率世界中，条件概率定理是一个不可或缺的定理，它捕捉了一个核心思想，就是通过对某个条件下求出另一个条件的概率，从而可以计算事件A发生的概率。
2、独立性定理：P（A∩B）=P（A）*P（B），当两个事件没有任何关系时，也就是说，事件A和事件B相互独立，那么他们同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积。
3、期望定理：期望就是某种随机变量X的取值的数学期望，通常以＜X＞表示，它是服从该随机变量X分布的概率密度函数或概率分布函数的函数，也可以是某个给定概率发生的概率分布期望。
高考概率教学大纲
高考概率教学大纲高考概率教学大纲概率是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的一门重要课程。
在高考中，概率题目常常出现，考查学生对概率的理解和应用能力。
为了更好地教授概率知识，培养学生的数学思维和解决问题的能力，需要制定一份科学合理的高考概率教学大纲。
一、概率的基本概念和性质在教学大纲中，首先应该明确概率的基本概念和性质。
学生需要了解概率的定义、概率的性质以及概率的计算方法。
通过具体的例子和实际问题，引导学生理解概率的含义和应用。
二、事件与样本空间在概率教学中，事件与样本空间是非常重要的概念。
学生需要学会描述事件和样本空间，并能够根据给定的问题确定事件和样本空间。
通过实际问题的讨论和解答，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
三、概率的计算方法概率的计算方法是概率教学的重点内容。
学生需要学会使用频率法、古典概型、几何概型等方法计算概率。
通过大量的练习题，让学生熟练掌握各种计算方法，并能够在实际问题中灵活应用。
四、条件概率与独立性条件概率与独立性是概率教学中的难点内容。
学生需要理解条件概率的定义和计算方法，并能够判断事件的独立性。
通过实例的分析和讨论，引导学生深入理解条件概率和独立性的概念，并能够应用到实际问题中。
五、排列与组合排列与组合是概率教学中的一项重要内容。
学生需要学会计算排列和组合的个数，并能够应用到概率计算中。
通过具体的例子和实际问题，引导学生理解排列和组合的概念，并能够熟练运用。
六、概率分布与期望概率分布与期望是概率教学中的扩展内容。
学生需要学会计算离散型和连续型随机变量的概率分布和期望，并能够应用到实际问题中。
通过实例的分析和讨论，引导学生深入理解概率分布和期望的概念，并能够灵活运用。
七、概率的应用概率的应用是概率教学的重要目标。
学生需要学会将概率知识应用到实际问题中，如生活中的抽样调查、赌博游戏、风险评估等。
通过实际问题的解答和讨论，培养学生的应用能力和创新思维。
总之，高考概率教学大纲应该包括概率的基本概念和性质、事件与样本空间、概率的计算方法、条件概率与独立性、排列与组合、概率分布与期望以及概率的应用等内容。
高中数学概率与统计中的随机事件与条件概率解析
高中数学概率与统计中的随机事件与条件概率解析概率与统计是高中数学中的重要内容，其中随机事件与条件概率是基础且常见的考点。
在本文中，我将通过具体题目的举例，对随机事件与条件概率进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、随机事件的概念与性质随机事件是指在一次试验中可能发生也可能不发生的事件。
我们以一个例子来说明。
例题1：一颗骰子投掷一次，事件A为“出现奇数点数”，事件B为“出现偶数点数”。
求事件A和事件B的关系。
解析：骰子有6个面，每个面上的点数是1、2、3、4、5、6。
事件A中包含的样本点有1、3、5，事件B中包含的样本点有2、4、6。
从样本点的角度看，事件A和事件B没有共同的样本点，即事件A和事件B互不相容。
因此，事件A和事件B是互斥事件。
通过这个例子，我们可以了解到随机事件的概念以及互斥事件的性质。
在解题过程中，需要注意对事件的定义和样本空间的确定，以便准确地判断事件之间的关系。
二、条件概率的计算与应用条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
我们通过一个实际问题来说明。
例题2：某班级有60名学生，其中30名男生和30名女生。
从中随机抽取一名学生，已知这名学生是男生，求他的身高大于170cm的概率。
解析：设事件A为“抽取的学生是男生”，事件B为“抽取的学生身高大于170cm”。
根据题意可知，事件A的概率为P(A) = 30/60 = 1/2。
事件B的概率为P(B) = （男生中身高大于170cm的人数）/60。
由于题目没有给出具体的数据，我们暂时无法计算P(B)。
但是，已知学生是男生，即事件A发生，我们可以在男生中进行考察。
假设在男生中，身高大于170cm的有20人，那么事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B) = 20/60。
根据条件概率的定义，我们有P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = (20/60)/(1/2) = 2/3。
通过这个例题，我们可以看到条件概率的计算过程。
高中数学概率知识点总结
高中数学概率知识点总结在高中数学中，概率是一个重要的知识点，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，也与我们的日常生活息息相关。
下面就让我们一起来详细梳理一下高中数学概率的相关知识。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷骰子出现的点数、明天是否下雨等。
2、概率的定义概率是用来描述随机事件发生可能性大小的数值。
对于一个随机事件 A，其概率 P(A)的值介于 0 到 1 之间。
如果 P(A) ＝ 0，则事件 A 几乎不可能发生；如果 P(A) ＝ 1，则事件 A 一定会发生；如果 0 ＜ P(A) ＜ 1，则事件 A 有可能发生。
3、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。
具有以下两个特点：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
在古典概型中，事件 A 的概率 P(A) ＝事件 A 包含的基本事件个数÷总的基本事件个数。
4、几何概型几何概型是另一种常见的概率模型。
特点是试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个，每个基本事件发生的可能性相等。
其概率的计算通常与长度、面积、体积等几何度量有关。
二、事件的关系与运算1、事件的包含关系如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，那么称事件 B 包含事件 A，记作 A⊆B。
2、事件的相等关系如果 A⊆B 且 B⊆A，那么称事件 A 与事件 B 相等，记作 A ＝ B。
3、并事件（和事件）事件 A 或事件 B 至少有一个发生的事件称为事件 A 与事件 B 的并事件，记作 A∪B。
4、交事件（积事件）事件 A 和事件 B 同时发生的事件称为事件 A 与事件 B 的交事件，记作A∩B。
5、互斥事件如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，那么称事件 A 与事件 B 互斥，其含义是A∩B ＝∅。
6、对立事件若两个互斥事件A、B 必有一个发生，则称事件A、B 为对立事件，记作 A ＝。
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5
不放回的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
4
例2、 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从
0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记 了密码的最后一位数字，求： （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
2.条件概率计算公式: P(A| B) P(AB)
P( A) 如果 B和C 互斥，
那么 P(B C) | A P(B | A) P(C | A)
3
例1、在6道题中有4道理科题和2道文科题，如果
条件概率
1
探究：
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学 无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小?
思考？
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券