中考数学圆与相似综合练习题含详细答案.docx

中考数学圆与相似综合练习题含详细答案一、相似1．已知如图 1，抛物线 y=﹣ x2﹣ x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C，点 D 的坐标是（ 0，﹣ 1），连接 BC、 AC（1）求出直线AD 的解析式；（2）如图2，若在直线AC 上方的抛物线上有一点F，当△ ADF 的面积最大时，有一线段MN=（点 M 在点 N 的左侧）在直线BD 上移动，首尾顺次连接点A、 M、 N、 F 构成四边形 AMNF，请求出四边形AMNF 的周长最小时点N 的横坐标；（ 3 ）如图3，将△ DBC 绕点 D 逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△ DBC为△DB′，C′若直线 B′与C′直线 AC 交于点 P，直线 B′与C′直线 DC 交于点 Q，当△CPQ是等腰三角形时，求 CP 的值．【答案】（1）解：∵抛物线 y=﹣x2﹣x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点，∴0=﹣ x2﹣ x+3，∴x=2 或 x=﹣4，∴A（﹣ 4， 0）， B（ 2， 0），∵D（ 0，﹣ 1），∴直线 AD 解析式为y=﹣x﹣ 1（2）解：如图1，过点 F 作 FH⊥ x 轴，交 AD 于 H，设 F（m，﹣m2﹣m+3）， H（ m，﹣m﹣ 1），∴FH=﹣m2﹣m+3﹣（﹣m﹣ 1） =﹣m2﹣m+4，△ADF △AFH △DFH DA（﹣m 2﹣ m+4） =﹣m2﹣ m+8=﹣（ m+∴S=S+S=FH × |x﹣ x |=2FH=2）2+ ，当 m=﹣时， S△ADF最大，∴F（﹣，）如图 2，作点 A 关于直线 BD 的对称点 A1，把 A1沿平行直线 BD 方向平移到 A2，且A A =，12连接 A2F，交直线 BD 于点 N，把点 N 沿直线 BD 向左平移得点 M，此时四边形AMNF 的周长最小．．∵O B=2， OD=1，∴t an ∠ OBD= ，∵AB=6，∴AK=，∴AA1=2AK=，在 Rt△ ABK 中， AH=，A1H=，∴OH=OA﹣ AH=，∴A1（﹣，﹣），过A2作A2P⊥A2H，∴∠ A1 A2P=∠ ABK，∵A1A2=，∴A2P=2， A1P=1，∴A2（﹣，﹣）∵F（﹣，）∴A2F 的解析式为y=﹣x﹣① ，∵B（ 2，0）， D（0，﹣ 1），∴直线 BD 解析式为y=﹣x﹣ 1 ②，联立①②得，x=﹣，∴N 点的横坐标为：﹣（3）解：∵ C（0，3）， B（ 2， 0）， D（ 0，﹣ 1）∴CD=4， BC=，OB=2，BC 边上的高为DH，根据等面积法得，BC×DH= CD×OB，∴DH==，∵A（﹣ 4， 0）， C（0， 3），∴O A=4，OC=3，∴tan ∠ ACD=，①当 PC=PQ时，简图如图1，过点 P 作 PG⊥ CD，过点 D 作 DH⊥ PQ，∵t an ∠ ACD=∴设 CG=3a，则 QG=3a， PG=4a， PQ=PC=5a，∴DQ=CD﹣CQ=4﹣ 6a∵△ PGQ∽△ DHQ，∴，∴，∴a=，∴PC=5a=；②当 PC=CQ时，简图如图2，过点 P 作 PG⊥ CD，∵t an ∠ ACD=∴设 CG=3a，则 PG=4a，∴C Q=PC=5a，∴QG=CQ﹣CG=2a，∴PQ=2a，∴DQ=CD﹣CQ=4﹣ 5a∵△ PGQ∽△ DHQ，同① 的方法得出， PC=4﹣，设 CG=3a，则 PG=4a，从而得出 CQ,QG,PQ,DQ 的长，由△PGQ∽ △ DHQ，同①的方法得出， PC的长；③当 QC=PQ时，简图如图1过点 Q 作 QG⊥ PC，过点 C 作 CN⊥ PQ，设 CG=3a，则 QG=4a， PQ=CQ=5a，∴P G=3a，∴P C=6a∴DQ=CD﹣CQ=4﹣ 5a，利用等面积法得，CN×PQ=PC×QG，∴CN=a，∵△ CQN∽ △ DQH同① 的方法得出PC=④当 PC=CQ时，简图如图4，过点 P 作 PG⊥ CD，过 H 作 HD⊥ PQ，设 CG=3a，则 PG=4a， CQ=PC=5a，∴Q D=4+5a， PQ=4 ，∵△ QPG∽△ QDH，同① 方法得出． CP=综上所述， PC的值为：；4﹣，，=【解析】【分析】（ 1）根据抛物线与x 轴交点的坐标特点，把y=0 代入抛物线的解析式，得出一个关于x 的一元二次方程，求解得出x 的值，进而得出A,B 两点的坐标；然后由A,D 两点的坐标利用待定系数法求出直线AD 的解析式；（2）过点 F 作 FH⊥ x 轴，交 AD 于 H，根据函数图像上点的坐标特点，及平行于y 轴的直线上的点的坐标特点，设出F,H 的坐标，从而得出FH 的长度，S△ADF=S△AFH+S△DFH=FH ×D|x ﹣ x A|=2FH, 列出关于m 的函数解析式，再根据二次函数的性质，由顶点式得出当m= ﹣时， S△ADF最大，从而得出 F 点的坐标；如图2，作点 A 关于直线BD 的对称点 A 11，把 A沿平行直线 BD 方向平移到 A2 1 22，且AA=，连接 A F，交直线 BD 于点 N，把点 N 沿直线 BD 向左平移得点 M，此时四边形AMNF 的周长最小，进而求出点A1， A2 坐标，即可确定出 A2F 的解析式和直线BD 解析式联立方程组即可确定出N 点的横坐标；（3）根据 C,B,D 三点的坐标，得出 CD,BC,OB的长， BC 边上的高为 DH，根据等面积法得BC× DH= CD× OB，从而得出 DH 的长，根据A,C 两点的坐标，得出OA,OC 的长，根据正切函数的定义得出 tan∠ ACD= 4∶ 3 ；然后分四种情况讨论：①当 PC=PQ 时，过点 P 作 PG⊥ CD，过点 D 作 DH⊥ PQ，由 tan ∠ ACD= 4∶ 3 ，设 CG=3a，则 QG=3a， PG=4a，PQ=PC=5a，从而由 DQ=CD ﹣ CQ 得出 DQ 的长，根据△ PGQ∽△ DHQ ，得出 PG∶DH=PQ∶ DQ,从而求出 a 的值，进而求出 PC 的值；②当 PC=CQ时，简图如图 2，过点 P 作 PG⊥ CD， tan ∠ ACD= 4∶ 3，设 CG=3a，则 PG=4a，从而得出 CQ,QG,PQ,DQ的长，由△ PGQ∽△ DHQ，同①的方法得出， PC 的长；③当 QC=PQ 时，过点 Q 作 QG⊥ PC，过点C 作 CN⊥ PQ，设 CG=3a，则 QG=4a， PQ=CQ=5a，从而得出 PG,PC,DQ的长，利用等面积法得，CN×PQ=PC×QG，从而得出 CN，由△ CQN∽ △DQH 同①的方法得出 PC 的长；④当PC=CQ时，过点 P 作 PG⊥CD，过 H 作 HD⊥ PQ，设 CG=3a，则 PG=4a， CQ=PC=5a，从而得出 QD,PQ 的长，由△QPG∽ △ QDH，同①方法得出． CP 的长。

2．如图，已知抛物线 y＝﹣ x2＋ bx＋c 交 y 轴于点 A（ 0,4），交 x 轴于点 B（ 4,0），点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线 PQ，过点 A 作 AQ⊥ PQ 于点 Q，连接 AP．（1）填空：抛物线的解析式为 ________，点 C 的坐标 ________；（2）点 P 在抛物线上运动，若△ AQP∽ △ AOC，求点 P 的坐标 .【答案】（1） y＝﹣ x2＋ 3x＋ 4；（－ 1,0）（2）解：∵点 A的坐标为（ 0， 4），点 C 的坐标为（－ 1， 0），∴．∵点 P 的横坐标为m，∴ P（ m，﹣ m2＋ 3m＋4 ）．①当点 P在直线AQ 下方时， QP＝ 4－（﹣ m2＋ 3m＋ 4）＝ m2－ 3m，由△ AQP∽ △AOC得：，即：，∴（舍去）或．当时，﹣ m2＋ 3m＋ 4＝，此时点P 的坐标为（）；②当点 P 在直线 AQ 上方时， PQ＝﹣ m2＋ 3m ＋4－ 4＝﹣ m2＋ 3m ，由△ AQP∽ △AOC得：，即：，∴＝ 0（舍去）或＝，此时P点坐标为（）．综上所述：点P 的坐标为（）或（）．【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣ x2＋ bx＋ c 交y 轴于点A（ 0， 4），交x 轴于点B（ 4， 0），∴，解得：，∴ 抛物线的解析式为：y＝﹣ x2＋ 3x＋ 4．令 y=0，得：﹣ x2＋ 3x＋ 4=0，解得： x=4 或 x=－ 1，∴点 C的坐标为（－1，0）．【分析】（ 1）根据题意，将A,B 两点的坐标代入到解析式中，分别求出b， c，可以求出抛物线的解析式；（2） C 为 x 轴上的交点，令y=0，通过解一元二次方程，解得 C 点坐标。

3．如图，抛物线经过A（－ 3,0）， C(5,0)两点，点 B 为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）动点 P 从点 B 出发，沿线段BD 向终点 D 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度，运动时间为t ，过点P 作 PM⊥ BD，交 BC 于点 M，以PM 为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边 QN 交 BC 于点 R，延长 NM 交 AC 于点 E．①当 t 为何值时，点N 落在抛物线上；②在点 P 运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵y=ax2 +bx+经过A（﹣3，0），C（5，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为（2）解：∵=﹣（x2﹣2x+1） +=﹣（ x﹣ 1）2+8，∴点 B 的坐标为（ 1，8）．设直线 BC 的解析式为 y=kx+m，则，解得：，所以直线BC 的解析式为y=﹣ 2x+10．∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D，∴B D=8， CD=5﹣1=4．∵PM⊥ BD，∴P M∥ CD，∴△ BPM∽ △ BDC，∴，即，解得： PM= t，∴O E=1+ t ．∴ME=-2(1+t)+10=8-t ．．∵四边形 PMNQ 为正方形，∴NE=NM+ME=8﹣t+ t=8 ﹣t ．①点 N 的坐标为（ 1+ t ， 8﹣t ），若点 N 在抛物线上，则﹣（ 1+ t﹣ 1）2+8=8﹣t ，整理得， t（ t ﹣ 4）=0，解得 t1 =0（舍去）， t 2=4，所以，当t=4 秒时，点N 落在抛物线上；② 存在．理由如下：∵PM= t ，四边形PMNQ 为正方形，∴Q D=NE=8﹣ t ．∵直线 BC 的解析式为y=﹣ 2x+10，∴﹣ 2x+10=8﹣t，解得： x= t+1，∴QR= t+1 ﹣1= t．又∵ EC=CD﹣ DE=4﹣t ，根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，即 t=4 ﹣ t ，解得： t=，此时点 P在 BD上所以，当t=时，四边形ECRQ为平行四边形【解析】【分析】（ 1）用待定系数法，将A,C 两点的坐标分别代入y=ax2+bx+ ，得出一个关于 a,b 的二元一次方程组，求解得出a,b 的值，从而得出抛物线的解析式；（2）首先求出抛物线的顶点 B 的坐标，然后用待定系数法求出直线BC 的解析式为 y=﹣2x+10．根据点到坐标轴的距离得出 BD,CD 的长度，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 PM∥ CD，根据平行于三角形一边的直线，截，其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ BPM∽ △ BDC，根据相似三角形对应边成比例得出 B P ∶ B D = P M ∶ C D ，进而得出关于t 的方程，求解得出PM,进而得出OE,ME,根据正方形的性质由NE=NM+ME 得出NE 的长，进而表示出N 点的坐标，若点N 在抛物线上，根据抛物线上的点的特点，得出关于 t 的方程，求解得出t 的值，所以，当t=4 秒时，点N 落在抛物线上；② 存在．理由如下：根据PM 的长及正方形的性质从而表示出QD=NE 的长度，进而得出方程，求出x 的值，进而表示出QR 根据线段的和差及平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，从而得出关于 t 的方程，求解得出答案。