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中考数学圆与相似综合练习题含详细答案

一、相似

1．已知如图 1，抛物线 y=﹣ x2﹣ x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相

交于点 C，点 D 的坐标是（ 0，﹣ 1），连接 BC、 AC

（1）求出直线AD 的解析式；

（2）如图2，若在直线AC 上方的抛物线上有一点F，当△ ADF 的面积最大时，有一线段

MN=（点 M 在点 N 的左侧）在直线BD 上移动，首尾顺次连接点A、 M、 N、 F 构成四边形 AMNF，请求出四边形AMNF 的周长最小时点N 的横坐标；

（ 3 ）如图3，将△ DBC 绕点 D 逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△ DBC为

△DB′，C′若直线 B′与C′直线 AC 交于点 P，直线 B′与C′直线 DC 交于点 Q，当△

CPQ是等腰三角形时，求 CP 的值．

【答案】（1）解：∵抛物线 y=﹣x2﹣x+3 与 x 轴交于 A 和 B 两点，

∴0=﹣ x2﹣ x+3，

∴x=2 或 x=﹣4，

∴A（﹣ 4， 0）， B（ 2， 0），

∵D（ 0，﹣ 1），

∴直线 AD 解析式为y=﹣x﹣ 1

（2）解：如图1，

过点 F 作 FH⊥ x 轴，交 AD 于 H，

设 F（m，﹣m2﹣m+3）， H（ m，﹣m﹣ 1），

∴FH=﹣m2﹣m+3﹣（﹣m﹣ 1） =﹣m2﹣m+4，

△ADF △AFH △DFH DA

（﹣m 2﹣ m+4） =﹣m2﹣ m+8=﹣（ m+

∴S=S+S=FH × |x﹣ x |=2FH=2

）2+ ，

当 m=﹣时， S△ADF最大，

∴F（﹣，）

如图 2，作点 A 关于直线 BD 的对称点 A1，把 A1沿平行直线 BD 方向平移到 A2，且A A =，

12

连接 A2F，交直线 BD 于点 N，把点 N 沿直线 BD 向左平移得点 M，此时四边形AMNF 的周长最小．．

∵O B=2， OD=1，

∴t an ∠ OBD= ，

∵AB=6，

∴AK=，

∴AA1=2AK=，

在 Rt△ ABK 中， AH=，A1H=，

∴OH=OA﹣ AH=，

∴A1（﹣，﹣），

过A2作A2P⊥A2H，

∴∠ A1 A2P=∠ ABK，

∵A1A2=，

∴A2P=2， A1P=1，

∴A2（﹣，﹣）

∵F（﹣，）

∴A2F 的解析式为y=﹣x﹣① ，

∵B（ 2，0）， D（0，﹣ 1），

∴直线 BD 解析式为y=﹣x﹣ 1 ②，

联立①②得，x=﹣，

∴N 点的横坐标为：﹣

（3）解：∵ C（0，3）， B（ 2， 0）， D（ 0，﹣ 1）∴CD=4， BC=，OB=2，

BC 边上的高为DH，

根据等面积法得，BC×DH= CD×OB，

∴DH==，

∵A（﹣ 4， 0）， C（0， 3），

∴O A=4，OC=3，

∴tan ∠ ACD=，

①当 PC=PQ时，简图如图1，

过点 P 作 PG⊥ CD，过点 D 作 DH⊥ PQ，

∵t an ∠ ACD=

∴设 CG=3a，则 QG=3a， PG=4a， PQ=PC=5a，∴DQ=CD﹣CQ=4﹣ 6a

∵△ PGQ∽△ DHQ，

∴，

∴，

∴a=，

∴PC=5a=；

②当 PC=CQ时，简图如图2，

过点 P 作 PG⊥ CD，

∵t an ∠ ACD=

∴设 CG=3a，则 PG=4a，

∴C Q=PC=5a，

∴QG=CQ﹣CG=2a，

∴PQ=2a，

∴DQ=CD﹣CQ=4﹣ 5a

∵△ PGQ∽△ DHQ，

同① 的方法得出， PC=4﹣，设 CG=3a，则 PG=4a，从而得出 CQ,QG,PQ,DQ 的长，由△PGQ∽ △ DHQ，同①的方法得出， PC的长；

③当 QC=PQ时，简图如图1

过点 Q 作 QG⊥ PC，过点 C 作 CN⊥ PQ，

设 CG=3a，则 QG=4a， PQ=CQ=5a，

∴P G=3a，

∴P C=6a

∴DQ=CD﹣CQ=4﹣ 5a，

利用等面积法得，CN×PQ=PC×QG，

∴CN=a，

∵△ CQN∽ △ DQH

同① 的方法得出PC=

④当 PC=CQ时，简图如图4，

过点 P 作 PG⊥ CD，过 H 作 HD⊥ PQ，

设 CG=3a，则 PG=4a， CQ=PC=5a，

∴Q D=4+5a， PQ=4 ，

∵△ QPG∽△ QDH，

同① 方法得出． CP=

综上所述， PC的值为：；4﹣，，=

【解析】【分析】（ 1）根据抛物线与x 轴交点的坐标特点，把y=0 代入抛物线的解析式，

得出一个关于x 的一元二次方程，求解得出x 的值，进而得出A,B 两点的坐标；然后由A,D 两点的坐标利用待定系数法求出直线AD 的解析式；

（2）过点 F 作 FH⊥ x 轴，交 AD 于 H，根据函数图像上点的坐标特点，及平行于y 轴的直线上的点的坐标特点，设出F,H 的坐标，从而得出FH 的长度，S△ADF=S△AFH+S△DFH=FH ×D|x ﹣ x A|=2FH, 列出关于m 的函数解析式，再根据二次函数的性质，由顶点式得出当m= ﹣

时， S△ADF

最大，从而得出 F 点的坐标；如图2，作点 A 关于直线BD 的对称点 A 11

，把 A

沿平行直线 BD 方向平移到 A2 1 22

，且AA=，连接 A F，交直线 BD 于点 N，把点 N 沿直线 BD 向左平移得点 M，此时四边形AMNF 的周长最小，进而求出点A1， A2 坐标，

即可确定出 A2F 的解析式和直线BD 解析式联立方程组即可确定出N 点的横坐标；

（3）根据 C,B,D 三点的坐标，得出 CD,BC,OB的长， BC 边上的高为 DH，根据等面积法得

BC× DH= CD× OB，从而得出 DH 的长，根据A,C 两点的坐标，得出OA,OC 的长，根据正切函数的定义得出 tan∠ ACD= 4∶ 3 ；然后分四种情况讨论：①当 PC=PQ 时，过点 P 作 PG⊥ CD，过点 D 作 DH⊥ PQ，由 tan ∠ ACD= 4∶ 3 ，设 CG=3a，则 QG=3a， PG=4a，

PQ=PC=5a，从而由 DQ=CD ﹣ CQ 得出 DQ 的长，根据△ PGQ∽△ DHQ ，得出 PG∶DH=PQ∶ DQ,从而求出 a 的值，进而求出 PC 的值；②当 PC=CQ时，简图如图 2，过

点 P 作 PG⊥ CD， tan ∠ ACD= 4∶ 3，设 CG=3a，则 PG=4a，从而得出 CQ,QG,PQ,DQ的长，

由△ PGQ∽△ DHQ，同①的方法得出， PC 的长；③当 QC=PQ 时，过点 Q 作 QG⊥ PC，过点

C 作 CN⊥ PQ，设 CG=3a，则 QG=4a， PQ=CQ=5a，从而得出 PG,PC,DQ的长，利用等面积法得，

CN×PQ=PC×QG，从而得出 CN，由△ CQN∽ △DQH 同①的方法得出 PC 的长；④当

PC=CQ时，

过点 P 作 PG⊥CD，过 H 作 HD⊥ PQ，设 CG=3a，则 PG=4a， CQ=PC=5a，从而得出 QD,PQ 的

长，由△QPG∽ △ QDH，同①方法得出． CP 的长。

2．如图，已知抛物线 y＝﹣ x2＋ bx＋c 交 y 轴于点 A（ 0,4），交 x 轴于点 B（ 4,0），点 P 是抛物

线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线 PQ，过点 A 作 AQ⊥ PQ 于点 Q，连接 AP．

（1）填空：抛物线的解析式为 ________，点 C 的坐标 ________；

（2）点 P 在抛物线上运动，若△ AQP∽ △ AOC，求点 P 的坐标 .

【答案】（1） y＝﹣ x2＋ 3x＋ 4；（－ 1,0）

（2）解：∵点 A的坐标为（ 0， 4），点 C 的坐标为（－ 1， 0），∴．

∵点 P 的横坐标为m，∴ P（ m，﹣ m2＋ 3m＋4 ）．

①当点 P在直线AQ 下方时， QP＝ 4－（﹣ m2＋ 3m＋ 4）＝ m2－ 3m，

由△ AQP∽ △AOC得：，即：，

∴（舍去）或．

当时，﹣ m2＋ 3m＋ 4＝，此时点P 的坐标为（）；

②当点 P 在直线 AQ 上方时， PQ＝﹣ m2＋ 3m ＋4－ 4＝﹣ m2＋ 3m ，

由△ AQP∽ △AOC得：，即：，

∴＝ 0（舍去）或＝，此时P点坐标为（）．

综上所述：点P 的坐标为（）或（）．

【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣ x2＋ bx＋ c 交y 轴于点A（ 0， 4），交x 轴于点B（ 4， 0），

∴，解得：，∴ 抛物线的解析式为：y＝﹣ x2＋ 3x＋ 4．

令 y=0，得：﹣ x2＋ 3x＋ 4=0，解得： x=4 或 x=－ 1，∴点 C的坐标为（－1，0）．

【分析】（ 1）根据题意，将A,B 两点的坐标代入到解析式中，分别求出b， c，可以求出抛物线的解析式；

（2） C 为 x 轴上的交点，令y=0，通过解一元二次方程，解得 C 点坐标。

3．如图，抛物线经过A（－ 3,0）， C(5,0)两点，点 B 为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点 P 从点 B 出发，沿线段BD 向终点 D 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度，运动时间为t ，过点P 作 PM⊥ BD，交 BC 于点 M，以PM 为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边 QN 交 BC 于点 R，延长 NM 交 AC 于点 E．

①当 t 为何值时，点N 落在抛物线上；

②在点 P 运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t 值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵y=ax2 +bx+经过A（﹣3，0），C（5，0）两点，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为

（2）解：∵=﹣（x2﹣2x+1） +=﹣（ x﹣ 1）2+8，

∴点 B 的坐标为（ 1，8）．

设直线 BC 的解析式为 y=kx+m，

则，

解得：，

所以直线BC 的解析式为y=﹣ 2x+10．

∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D，

∴B D=8， CD=5﹣

1=4．∵PM⊥ BD，

∴P M∥ CD，

∴△ BPM∽ △ BDC，

∴，

即，

解得： PM= t，

∴O E=1+ t ．

∴ME=-2(1+t)+10=8-t ．．

∵四边形 PMNQ 为正方形，

∴NE=NM+ME=8﹣t+ t=8 ﹣t ．

①点 N 的坐标为（ 1+ t ， 8﹣t ），若点 N 在抛物线上，

则﹣（ 1+ t﹣ 1）2+8=8﹣t ，

整理得， t（ t ﹣ 4）=0，

解得 t1 =0（舍去）， t 2=4，

所以，当t=4 秒时，点N 落在抛物线上；

② 存在．理由如下：

∵PM= t ，四边形PMNQ 为正方形，

∴Q D=NE=8﹣ t ．

∵直线 BC 的解析式为y=﹣ 2x+10，

∴﹣ 2x+10=8﹣t，

解得： x= t+1，

∴QR= t+1 ﹣1= t．

又∵ EC=CD﹣ DE=4﹣t ，

根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，

即 t=4 ﹣ t ，

解得： t=，

此时点 P在 BD上

所以，当t=时，四边形ECRQ为平行四边形

【解析】【分析】（ 1）用待定系数法，将A,C 两点的坐标分别代入y=ax2+bx+ ，得出一个关于 a,b 的二元一次方程组，求解得出a,b 的值，从而得出抛物线的解析式；

（2）首先求出抛物线的顶点 B 的坐标，然后用待定系数法求出直线BC 的解析式为 y=﹣

2x+10．根据点到坐标轴的距离得出 BD,CD 的长度，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行

得出 PM∥ CD，根据平行于三角形一边的直线，截，其它两边，所截的三角形与原三角

形相似得出△ BPM∽ △ BDC，根据相似三角形对应边成比例得出 B P ∶ B D = P M ∶ C D ，进而得出关于t 的方程，求解得出PM,进而得出OE,ME,根据正方形的性质由NE=NM+ME 得出NE 的长，进而表示出N 点的坐标，若点N 在抛物线上，根据抛物线上的点的特点，得出

关于 t 的方程，求解得出t 的值，所以，当t=4 秒时，点N 落在抛物线上；② 存在．理由

如下：根据PM 的长及正方形的性质从而表示出QD=NE 的长度，进而得出方程，求出x 的值，进而表示出QR 根据线段的和差及平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，从而得出关于 t 的方程，求解得出答案。

4．如图 1，一副直角三角板满足AB＝ BC， AC＝ DE，∠ ABC＝∠ DEF＝90°，∠EDF＝ 30°【操作】将三角板DEF的直角顶点 E 放置于三角板ABC 的斜边 AC 上，再将三角板DEF 绕点 E 旋转，并使边DE与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q

（1）【探究一】在旋转过程中，

①如图 2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.________

②如图 3，当时 E P与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.________

③根据你对（ 1）、（ 2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式

为________,其中的取值范围是 ________(直接写出结论，不必证明 )

（2）【探究二】若且 AC＝ 30cm，连续 PQ，设△ EPQ 的面积为 S(cm2)，在旋转过程中：

①S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.

②随着 S 取不同的值，对应△ EPQ的个数有哪些变化？不出相应S 值的取值范围 .

【答案】（1）解：当时，PE=QE即. E为AC中点，理由如下：

连接 BE，

∵△ ABC是等腰直角三角形，

∴B E=CE，

∠P BE=∠C=45 ，°

又∵∠ PEB+∠ BEQ=90°，∠ CEQ+∠ BEQ=90°，

∴∠ PEB=∠ CEQ，

在△ PEB和△ QEC中，

∵,

∴△ PEB≌△ QEC（ ASA），

∴P E=QE.

；EP： EQ=EA:EC=1:2；理由如下：

作 EM⊥ AB， EN⊥BC，

∴∠ EMP=∠ ENQ=90 ，°

又∵∠ PEN+∠ MEP=∠PEN+∠ NEQ=90°，

∴∠ MEP=∠ NEQ,

∴△ MEP∽ △ NEQ，

∴EP： EQ=ME:NE,

又∵∠ EMA=∠ ENC=90°，∠ A=∠C，

∴△ MEA∽ △ NEC，

∴M E:NE=EA:EC，

∵,

∴EP： EQ=EA:EC=1:2.

；EP： EQ=1:m； 0

（2）解：①存在 .

由【探究一】中（2）知当时，EP：EQ=EA：EC=1：2；设 EQ=x，则 EP= x，

∴S= EP··EQ= x·· x= x2，

当 EQ⊥ BC 时， EQ 与 EN 重合时，面积取最小，

∵AC=30，△ ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC=15 ，

∵， AC=30，

∴A E=10， CE=20，

在等腰 Rt△CNE中，

∴N E=10，

∴当 x=10

时， S min=50（ cm2）；

当 EQ=EF时， S 取得最大，

∵A C=DE=30，∠ DEF=90 ，°∠

EDF=30 ，°在 Rt△ DEF中，

∴t an30 =° ,

∴E F=30 × =10，此时△ EPQ面积最大，

∴S max=75（ cm2）；

②由（ 1）知 CN=NE=5,BC=15,

∴BN=10，

在 Rt△ BNE中，

∴BE=5，

∴当 x=BE=5时，S=62.5cm2，

∴当 50

当 S=50 或 62.5

【解析】【解答】（ 1）③作 EM⊥ AB， EN⊥ BC，

∵∠ B=∠PEQ=90 ，°

∴∠ EPB+∠ EQB=180 ，°

又∵∠ EPB+∠ EPM=180°，

∴∠ EQB=∠EPM,

∴△ MEP∽ △ NEQ，

∴EP： EQ=ME:NE,

又∵∠ EMA=∠ ENC=90°，∠ A=∠C，

∴△ MEA∽ △ NEC，

∴M E:NE=EA:EC，

∵,

∴E P:EQ=EA:EC=1:m，

∴EP 与 EQ 满足的数量关系式为 EP：EQ=1:m，

∴02+时， EF与 BC 不会相交） .

【分析】【探究一】①根据已知条件得 E 为 AC 中点，连接 BE，根据等腰直角三角形的性

质可 BE=CE，∠ PBE=∠ C=45°，由同角的余角相等得∠PEB=∠CEQ，由全等三角形的判定ASA可得△ PEB≌△ QEC，再由全等三角形的性质得PE=QE.

②作 EM⊥AB， EN⊥ BC，由相似三角形的判定分别证△ MEP∽ △ NEQ，△ MEA∽ △NEC，再由相似三角形的性质得EP： EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案 .

③作 EM⊥AB， EN⊥ BC，由相似三角形的判定分别证△ MEP∽ △ NEQ，△ MEA∽ △NEC，再由相似三角形的性质得EP： EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案 .

【探究二】①设 EQ=x，根据【探究一】（2）中的结论可知则EP=x，根据三角形面积公

式得出S 的函数关系式，再根据当EQ⊥ BC 时， EQ 与 EN 重合时，面积取最小；当EQ=EF 时， S 取得最大；代入数值计算即可得出答案.

②根据（ 1）中数据求得当EQ 与 BE 重合时，△ EPQ的面积，再来分情况讨论即可.

5．如图，AB 为的直径，C为上一点，D为BA 延长线上一点，．

（1）求证： DC 为的切线；

（ 2）线段DF 分别交AC， BC 于点E， F 且，的半径为 5 ，

，求 CF的长．

【答案】（1）解：如图，连接OC，

为的直径，

，

，

，

，

，

，即，

为的切线

（2）解：中，，，，，

，，

∽，

，

设，，

中，，

，

舍或，

，，

，

设，

，

，

，

，

∽，

，

，，

【解析】【分析】（ 1）要证 DC 为⊙ O 的切线，需添加辅助线：连半径OC，证垂直，根

据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ BCO + ∠ OCA = 90 °，再利用等腰三角形的性质，可

得出∠ B = ∠ BCO ，结合已知，可推出∠OCD=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结

论。

（2）根据已知圆的半径和sinB 的值，可求出AB、 BC 的值，再证明△ CAD ∽ △ BCD，得出对应边成比例，得出AD 与 CD 的比值，利用勾股定理求出AD、 CD 的长，再利用∠CEF=45°去证明 CE = CF，然后证明△ CED ∽ △ BFD ，得出对应边成比例，求出CF的长。

6．

（ 1）【发现】如图① ，已知等边，将直角三角形的上（点不与点、重合），使两边分别交线段角顶点、任意放在

于点

边

、

.

①若，，，则________；

②求证：.________

（2 ）【思考】若将图① 中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与个交点、都存在，连接，如图② 所示.问点是否存在某一位置，使

、

平分

的两

且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

（ 3）【探索】如图③ ，在等腰中，，点为边的中点，将三角形透明

纸板的一个顶点放在点处（其中），使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接.设，则与的周长

之比为 ________（用含的表达式表示）.

【答案】（ 1 ）解： 4 ；证明：∵ ∠ EDF=60°，∠B=160°∴ ∠ CDF+∠BDE=120°，

∠B ED+∠ BDE=120 ，°

∴∠ BED=∠ CDF，

又∵∠ B=∠ C，

∴

（ 2 ）解：解：存在。如图，作DM ⊥ BE， DG⊥ EF， DN⊥CF，垂足分别为M ， G， N，

∵平分且平分，

∴DM=DG=DN，

又∵∠ B=∠ C=60°，∠ BMD=∠CND=90°，

∴△ BDM?△ CDN，

∴BD=CD，

即点 D 是 BC 的中点，

∴。

（3） 1-cosα

【解析】【解答】（1）① ∵ △ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，∵AE=4，∴BE=2，则 BE=BD，∴ △BDE 是等边三角形，∴ ∠BDE=60 ，°又∵ ∠ EDF=60 ，°∴∠ CDF=180 -∠°EDF-∠B=60 ，°则∠CDF =∠ C=60 ，°

∴△ CDF是等边三角形，∴ CF=CD=BC-BD=6-2=4。

（ 3 ）连结 AO，作 OG⊥BE，OD⊥EF， OH⊥ CF，垂足分别为G， D， H，

则∠ BGO=∠ CHO=90°，

∵A B=AC， O 是 BC 的中点

∴∠ B=∠C， OB=OC，

∴△ OBG?△ OCH，

∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠ COH=90 °，-α

则∠ GOH=180° -（∠ BOG+∠ COH）=2α，

∵∠ EOF=∠ B= α，

则∠ GOH=2∠ EOF=2α，

由（ 2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH（可通过半角旋转证明），

则 =AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，设

AB=m，则 OB=mcosα， GB=mcos2α,

【分析】（ 1）①先求出 BE 的长度后发现 BE=BD 的，又∠ B=60°，可知△ BDE 是等边三角形，可得∠BDE=60°，另外∠EDF=60°，可证得△ CDF是等边三角形，从而 CF=CD=BC-BD；

②证明，这个模型可称为“一线三等角·相似模型”，根据“ AA判”定相似；（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过 D 作 DM⊥BE， DG⊥ EF， DN⊥ CF，则 DM=DG=DN，从而通过证明△ BDM?△ CDN 可得

BD=CD；（3）【探索】由已知不难求得

=2(m+mcos)，则需要用m 和α的三角函数表示出，=AE+EF+AF；题中直接已

知 O 是 BC 的中点，应用（2）题的方法和结论，作OG⊥ BE， OD⊥EF， OH⊥ CF，可得EG=ED， FH=DF，则=AE+EF+AF= AG+AH=2AG，而 AG=AB-OB，从而可求得。

7．问题提出；

（1）如图 1，矩形 ABCD， AB＝4， BC＝ 8，点 E 为 CD 的中点，点P 为 BC 上的动点， CP＝________时，△ APE的周长最小 .

（2）如图 2，矩形 ABCD， AB＝ 4，BC＝ 8，点 E 为 CD 的中点，点 P、点 Q 为 BC 上的动点，且 PQ＝ 2，当四边形 APQE的周长最小时，请确定点 P 的位置（即 BP 的长）问题解决；

（3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点P 处修一个凉亭，设计要求PA 长为 100 米，同时点M ，N 分别是水域AB， AC 边上的动点，连接P、 M 、N 的水上浮桥周长最小时，四边形AMPN 的面积最大，请你帮忙算算此时四边形AMPN 面积的最大值是多少？

【答案】（ 1）

（2）解：点 A 向右平移 2 个单位到 M，点 E 关于 BC的对称点 F，连接 MF，交 BC 于 Q，此时MQ+EQ 最小，

∵PQ＝ 3， DE＝ CE＝2，AE＝ 2，

∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，

即 AP+EQ＝MQ+EQ，过 M 作 MN ⊥BC于 N，

∴MN ∥ CD

∴△ MNQ∽ △ FCQ，

∴

∴

∴NQ＝ 4

∴BP＝ BQ﹣ PQ＝ 4+2﹣ 2＝4

（3）解 :如图，作点 P 关于 AB 的对称点 G，作点 P 关于 AC 的对称点 H，连接 GH，交AB， AC 于点 M， N，此时△PMN 的周长最小 .

∴AP＝AG＝ AH＝ 100 米，∠ GAM＝∠ PAM，∠ HAN＝∠ PAN，

∵∠ PAM+∠ PAN＝ 60 °，

∴∠ GAH＝ 120 ，°且 AG＝ AH，

∴∠ AGH＝∠AHG＝ 30 °，

过点 A 作 AO⊥ GH，

∴AO＝50 米， HO＝ GO＝50米，

∴GH＝ 100米，

∴S△AGH＝GH× AO＝ 2500平方米，

∵S 四边形AMPN＝ S△AGM+S△ANH＝ S△AGH﹣S△AMN，∴S△AMN的值最小时，S 四边形AMPN的值最大，

∴MN ＝ GM＝ NH＝时

∴S 四边形

AMPN△AGH﹣S△AMN ＝2500﹣＝平方米 .

＝ S

【解析】【解答】（ 1）∵四边形 ABCD是矩形，

∴∠ D＝ 90 °＝∠ABC ， AB＝ CD＝ 4， BC＝ AD＝ 8，

∵E 为 CD中点，

∴DE＝CE＝2，

在 Rt△ ADE中，由勾股定理得： AE＝＝＝ 2，即△ APE的边 AE 的长一定，

要△ APE的周长最小，只要 AP+PE最小即可，

延长 AB 到 M ，使 BM＝AB＝4，则 A 和 M 关于 BC对称，

连接 EM 交 BC 于 P ，此时 AP+EP 的值最小，

∵四边形 ABCD是矩形，

∴AB∥ CD ，

∴△ ECP∽ △ MBP ，

∴

∴

∴CP＝

故答案为：

【分析】（ 1）延长 AB 到 M ，使 BM=AB，则 A 和 M 关于 BC 对称，连接EM 交 BC 于 P，此时AP+EP 的值最小，根据勾股定理求出AE 长，根据矩形性质得出AB∥ CD，推出△ECP∽ △ MBP，得出比例式，代入即可求出CP 长；（ 2）点 A 向右平移 2 个单位到M，点 E 关于BC 的对称点F，连接MF，交BC 于 Q，要使四边形APQE 的周长最小，只要

AP+EQ 最小就行，证△ MNQ∽ △ FCQ即可求 BP 的长；（ 3）作点 P 关于 AB 的对称点 G，作点 P 关于 AC 的对称点 H，连接 GH，交 AB，AC 于点 M ，N，此时△ PMN 的周长最小 .S 四

+S=S-S，即 S的值最小时， S

四边形

AMPN 的值最大 .

边形

AMPN=S△AGM △ANH △AGH △ AMN△ AMN

8．如图①所示，在△ ABC中，点 O 是 AC 上一点，过点 O 的直线与 AB， BC 的延长线分别相

交于点 M， N.

（1）【问题引入】

若点 O 是 AC 的中点，，求的值；

温馨提示：过点 A 作 MN 的平行线交BN 的延长线于点G.

（2）【探索研究】

若点 O 是 AC 上任意一点 (不与 A， C 重合 )，求证：；

（3）【拓展应用】

如图②所示，点P 是△ABC 内任意一点，射线AP， BP，CP 分别交BC，AC， AB 于点 D，E， F.若，，求的值．

【答案】（ 1 ）解：过点A 作 MN的平行线交BN 的延长线于点G.∵ON∥ AG，∴

.∵ O 是 AC 的中点，∴ AO＝ CO，∴ NG＝ CN.∵MN ∥ AG，∴，∴.