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《经济学基础应用》第十二章课后答案[3页]

第十二章课后答案：一、概念题1．名义汇率答：名义汇率指在社会经济生活中被直接公布和使用的表示两国货币之间比价关系的汇率，是一种货币相对另一种货币的价格。

影响名义汇率变动的因素很多，其中主要包括两国的相对物价水平、相对利率水平和贸易平衡情况。

在一定的假设条件下，这些因素均可以单独决定两国之间的名义汇率，并由此产生了购买力平价说、利率平价说和国际收支说等汇率决定理论。

公众预期对汇率水平能产生影响。

名义汇率是两种货币之间的相对价格，反映的是两种货币之间供给和需求的状况。

公众预期是公众对这两种货币之间相对价值的判断，反映出公众对某种货币需求与供给的变化，因此可以影响名义汇率的变动。

例如公众认为甲货币对乙货币应该升值，就会有更多的人卖出乙货币、买进甲货币，乙货币的需求小于供给、甲货币的需求大于供给，这反映在自由浮动外汇市场上就是甲货币对乙货币的名义汇率的上升。

2．开放经济答：开放经济是与“封闭经济”相对而言的，指自由地与世界其他经济进行交易的经济。

“开放经济”包括个人、厂商、政府和国外经济部门等四个部分，所以又称之为“四部门经济”。

开放经济既考虑了消费、投资和政府预算对一个经济体产生的影响，也考虑到了国际贸易、国际投资等对一个经济体的影响。

特别应该注意的是，开放经济并非是人们想象中的那种只要具有对外经济联系就算得上开放的经济。

严格来说，在开放经济中，任何个人可以和本地区之外的任何一个人发生自由的业务关系，也就是说，在这种经济中，货物进出口和生产要素跨国流动不存在限制。

一个经济体的开放程度可以用进口与国民生产总值（GNP ）或国内生产总值（GDP ）的比率来表示。

3．出口答：出口是进口的对称，指本国生产的商品不在国内消费而是输出国外的活动，或者是劳务输出国外的交易活动。

将一定时期内所有出口商品的贸易额相加就得到出口总额，它反映一个国家的出口贸易的水平。

4．进口答：进口是出口的对称，指一国本身不生产某种商品或劳务而从国外购买以满足国内消费者需求的交易活动。

七年级下册数学书第十二章习题答案

七年级下册数学书第十二章习题答案七年级下册数学书第十二章习题答案：习题12.1第1题答案(2)(3)(4)是命题(1)(5)(6)不是命题习题12.1第2题答案(1)条件：a=c，b=c，结论：a=b(2)条件：a<-1，结论：ab<-b(3)条件：两直线平行，结论：内错角相等(4)条件：一个数平方后等于4，结论：这个数是2(5)条件：两条直线垂直于同一条直线，结论：这两条直线平行习题12.1第3题答案(1)(3)(5)是真命题(2)(4)是假命题习题12.2第1题答案(1)2,3,4,32-2×4 =9 -8 =1(2)3,4,5,42-3×5=16 -15 =1，发现这个差为1(3)结果为1.可设中间一个数为n，则两边的数为n-1，n+1，则n2-(n-1)，(n+1)=n2-(n2-1)=1习题12.2第2题答案不是解：设甲地到乙地全程是s km，骑自行车的速度是15 km/h，往返全程用的时间是(s/5+s/15)h，则往返全程的平均速度是：不是步行速度的2倍习题12.2第3题答案(1)2;e(2)1;b(3)ac;ed(4)ce;ab(5)2;a;内错角相等,两直线平行(6)d;acd习题12.2第4题答案已知;2;ecd;角平分线的定义;ecd;等量代换;内错角相等，两直线平行习题12.2第5题答案证明：∵ab∥cd(已知)∴∠b=∠c(两直线平行，内错角相等)∵bc∥de(已知)∴∠c+∠cde=180°(两直线平行，同旁内角互补)∴∠b+∠cde=180°(等量代换)习题12.2第6题答案证明：∵ad平分∠bac(已知)∴∠bad=∠cad(角平分线的定义)∵ad∥ef(已知)，∠bad=∠agf(两直线平行，内错角相等)，∠caf=∠f(两直线平行，同位角相等)∴∠agf=∠f(等量代换)习题12.2第7题答案已知：如下图所示，直线ab、cd被直线ef所截，ab∥cd，mg平分∠bmn，ng平分/mnd求证：mg⊥ng证明：∵ab∥cd(已知)∴∠bmn+∠mnd=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵mg平分∠bmn，ng平分∠mnd(已知)∴2∠nmg=∠bmn，2∠mng=∠mnd(角平分线的定义)∴2∠nmg+2∠mng=180°(等量代换)，∠nmg+∠mng=90°又∵∠nmg+∠g+∠mng=180°(三角形内角和定理)∴∠g=90°∴mg⊥ng(垂直定义)习题12.2第8题答案证明：∵∠fec=∠a+∠ade，∠abc=∠f+∠fdb(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠a=∠abc (已知)∴a=∠f十∠fdb(等量代换)∵∠fdb=∠ade(对顶角相等)∴∠a=∠f+∠ade(等量代换)∴∠ade=∠a-∠f(等式性质)∴∠fec=∠a+∠a-∠f(等量代换)∴∠f+∠fec=2∠a(等式性质)习题12.3第1题答案(1)如果a=0，那么ab=0(原命题为假命题，逆命题为真命题)(2)整数是自然数(原命题为真命题，逆命题为假命题)(3)如果两个角不相等，那么这两个角就不是对顶角(原命题为假命题，逆命题为真命题)(4)如果两个角相等，那么这两个角是内错角(原命题为假命题，逆命题为假命题)(5)如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数(原命题为真命题，逆命题为真命题)习题12.3第2题答案(1)反例：a=1，b=2，12十22≠(1+2)2(2)反例：2是质数，但2不是奇数(3)反例：四边形的外角和为360°，等于四边形的内角和360°(4)反例：a=-1，b=-2，(-1-2)×[-1-(-2)]=- 3<0习题12.3第3题答案(1)2;两直线平行，同位角相等;2;等量代换;ae;bf;同位角相等，两直线平行(2)在(1)的推理中应用了“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”过两个互逆的真命题习题12.3第4题答案(1)证明：∵∠b+∠1=180°(已知)∴ab∥cd(同旁内角互补，两直线平行)∵∠2=∠3(已知)∴cd∥ef(内错角相等，两直线平行)∴ab∥ef(平行于同一条直线的两条直线平行)∴∠b+∠f=180°(两直线平行，同旁内角互补)(2)解在(1)的证明过程中应用了“同旁内角互补，两直线平行”和“两直线平行，同旁内角互补”这两个互逆的真命题。

第12章课后习题答案

第12章课后习题答案12-1解：从例12-1已知的数据有：，，，，，，中心距，因此可以求得有关的几何尺寸如下：蜗轮的分度圆直径：蜗轮和蜗杆的齿顶高：蜗轮和蜗杆的齿根高：蜗杆齿顶圆直径：蜗轮喉圆直径：蜗杆齿根圆直径：蜗轮齿根圆直径：蜗杆轴向齿距和蜗轮端面齿距：径向间隙：12-2图12.3解：（1）从图示看，这是一个左旋蜗杆，因此用右手握杆，四指，大拇指，可以得到从主视图上看，蜗轮顺时针旋转。

（见图12.3）（2）由题意，根据已知条件，可以得到蜗轮上的转矩为蜗杆的圆周力与蜗轮的轴向力大小相等，方向相反，即：蜗杆的轴向力与蜗轮的圆周力大小相等，方向相反，即：蜗杆的径向力与蜗轮的径向力大小相等，方向相反，即：各力的方向如图12-3所示。

12-3图12.4解：（1）先用箭头法标志出各轮的转向，如图12.5所示。

由于锥齿轮轴向力指向大端，因此可以判断出蜗轮轴向力水平向右，从而判断出蜗杆的转向为顺时针，如图12.5所示。

因此根据蜗轮和蜗杆的转向，用手握法可以判定蜗杆螺旋线为右旋。

（2）各轮轴轴向力方向如图12.5所示。

12-4解：（1）根据材料确定许用应力。

由于蜗杆选用，表面淬火，可估计蜗杆表面硬度。

根据表12-4，（2）选择蜗杆头数。

传动比，查表12-2，选取，则（ 3 ）确定蜗轮轴的转矩取，传动效率（4）确定模数和蜗杆分度圆直径按齿面接触强度计算由表12-1 查得，，，，。

（5）确定中心距（6）确定几何尺寸蜗轮的分度圆直径：蜗轮和蜗杆的齿顶高：蜗轮和蜗杆的齿根高：蜗杆齿顶圆直径：蜗轮喉圆直径：蜗杆齿根圆直径：蜗轮齿根圆直径：蜗杆轴向齿距和蜗轮端面齿距：径向间隙：（7 ）计算滑动速度。

符合表12-4给出的使用滑动速度（说明：此题答案不唯一，只要是按基本设计步骤，满足设计条件的答案，均算正确。

）12-5解：一年按照300天计算，设每千瓦小时电价为元。

依题意损耗效率为，因此用于损耗的费用为：12-6解（1）重物上升，卷筒转的圈数为：转；由于卷筒和蜗轮相联，也即蜗轮转的圈数为圈；因此蜗杆转的转数为：转。

人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》课后练习及答案解析

人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》课后练习及答案解析一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是（）A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示，a,b,c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（）3.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ，下列不正确的等式是（） B.∠BAE=∠CADA.AB=AC C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是( )A ．BC=B /C / B ．∠A=∠A / C ．AC=A /C /D ．∠C=∠C / 5.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A.△ACE ≌△BCDB.△BGC ≌△AFCC.△DCG ≌△ECFD.△ADB ≌△CEA6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A,C,E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（）第3题图第5题图第2题图第6题图AB C DA.边角边B.角边角C.边边边D.边边角7.已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不正确的结论是（）A ．∠A 与∠D 互为余角B ．∠A=∠2C ．△ABC ≌△CED D ．∠1=∠28. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D ，∠B=∠E ，要判定这两个三角形全等，还需要条件（） A.AB=ED B.AB=FD C.AC=FD D.∠A=∠F 9.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD ≌△CBE ； ②△BAD ≌△BCD ；③△BDA ≌△CEA ；④△BOE ≌△COD ；⑤△ACE ≌△BCE ，上述结论一定正确的是（） A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④10、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( ) A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个二、填空题（每题3分，共21分）11．如图６，ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，则△ＡＢＣ≌ ；应用的判定方法是．12．如图７，△ＡＢＤ≌△ＢＡＣ，若ＡＤ＝ＢＣ，则∠ＢＡＤ的对应角为．13．已知ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且ＤＥ＝３cm ，则点Ｄ到ＡＣ的距离为．ＢＣＤＡ图6 D O CBA 图8 A D CB图7 第9题图第7题图14．如图８，ＡＢ与ＣＤ交于点Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＤ＝ＯＢ，∠ＡＯＤ＝，根据可得△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，从而可以得到ＡＤ＝．15．如图９，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ＤＢ，欲使ＯＢ＝ＯＣ，可以先利用“ＨＬ”说明 ≌ 得到ＡＢ＝ＤＣ，再利用“ ”证明△ＡＯＢ≌ 得到ＯＢ＝ＯＣ． 16．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．17．如图10，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是．三、解答题（共29分）18. （6分）如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由．解： ∵AD 平分∠BAC∴∠________＝∠_________（角平分线的定义）在△ABD 和△ACD 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴△ABD ≌△ACD （） 19．（8分）如图，已知△≌△是对应角．（1）写出相等的线段与相等的角；（2）若EF=2.1 cm ，FH=1.1 cm ，HM=3.3 cm ，求MN和HG 的长度.第19题图图10 DCBA20．（7分）如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．21．（8分）已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．四、解答题（共20分）22．（10分）已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DAE；②DF⊥BC．B C EF A23．（10分）如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．12章·全等三角形（详细答案）一、选择题 CBDCD BDCDC二、填空题 11、△ABD SSS 12、∠ABC 13、3cm 14、∠COB SAS CB 15、△ABC △DCB AAS △DOC 16、相等 17、○3 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等三、解答题18、AD CAD AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD SAS19、B 解：(1)EF=MN EG=HN FG=MH ∠F=∠M ∠E=∠N ∠EGF=∠MHN (2)∵△EFG ≌△NMH ∴MN=EF=2.1cm∴GF=HM=3.3cm ∵FH=1.1cm ∴HG=GF －FH=3.3－1.1=2.2cm 20、解：∵DE ∥AB ∴∠A=∠E在△ABC 与△CDE 中∠A=∠E BC=CD∠ACB=∠ECD∴△ABC ≌△CDE(ASA)∴AB=DE21、证明：∵AB ∥DE∴∠A=∠EDF∵BC ∥EFCA∴∠ACB=∠F∵AD=CF∴AC=DF在△ABC与△DEF中∠A=∠EDFAC=DF∠ACB=∠F△ABC≌△DEF(ASA)四、解答题22、证明：①∵ＢＥ⊥ＣＤ∴∠ＢＥＣ＝∠ＤＥＡ＝９０°在Ｒｔ△ＢＥＣ与Ｒｔ△ＤＥＡ中ＢＣ＝ＤＡＢＥ＝ＤＥ∴Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＤＥＡ（ＨＬ）②∵Ｒｔ△ＢＥＣ≌Ｒｔ△ＤＥＡ∴∠Ｃ＝∠ＤＡＥ∵∠ＤＥＡ＝９０°∴∠Ｄ＋∠ＤＡＥ＝９０°∴∠Ｄ＋∠Ｃ＝９０°∴∠ＤＦＣ＝９０°∴ＤＦ⊥ＢC23、证明：在△ABC与△ADC中1=∠2AC=AC3=∠4∴△ABC≌△ADC(ASA)∴CB=CD在△ECD与△ECB中CB=CD∠3=∠4CE=CE∴△ECD≌△ECB(SAS)∴∠5=∠6第十二章全等三角形一、填空题（每小题4分,共32分）.1．已知：///ABC A B C ∆∆≌，/A A ∠=∠，/B B ∠=∠，70C ∠=︒，15AB cm =，则/C ∠=_________，//A B =__________．2．如图1，在ABC ∆中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三角形_______对．图1 图2 图33．已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，若△ABC 的面积为10 cm 2，则△A ′B ′C ′的面积为______ cm 2，若△A ′B ′C ′的周长为16 cm ，则△ABC 的周长为________c m ． 4．如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)．5．如图3所示，点F 、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC =EF ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还需补充一个条件________，依据是________________．6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部． 7．如图4，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO 平行于β，入射到α上，经两次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于________．8．如图5，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △ 的面积为______．二、选择题（每小题4分,共24分） 9．如图6，AE ＝AF ，AB ＝AC ，E C 与B F 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠E OB 的度数为（）A 、600B 、700C 、750D 、85010．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100 cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35 cm ，DF =30 cm ，则EF 的长为( ) A ．35 cm B ．30 cm C ．45 cm D ．55 cm11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( )A ．A 、FB ．C 、E C ．C 、AD ．E 、F12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD= BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC ≌△ABC ，得到ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（）NAMC B图7 图8 图9 图10A．边角边公理 B．角边角公理； C．边边边公理 D．斜边直角边公理13．如图9，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1:2 B．1:3C．2:3 D．1:414．如图10，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD_____P点到∠AOB两边距离之和．( )A．小于B．大于C．等于D．不能确定三、解答题（共46分）中，∠ACB=90°，延长BC至B'，使15．已知如图11，ABCC B'=BC，连结A B'．求证：△AB B'是等腰三角形．图11第十二章全等三角形。

第十二章习题答案new

1、分析电子衍射与X 衍射有何异同？答：相同点：① 都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。

② 两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。

不同点：① 电子波的波长比x 射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad 。

而X 射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2。

② 在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件变宽。

③ 因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。

④ 原子对电子的散射能力远高于它对x 射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。

2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。

关系：① 倒易矢量g hkl 垂直于正点阵中对应的（hkl ）晶面，或平行于它的法向N hkl② 倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面③ 倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即g hkl =1/d hkl④ 对正交点阵有a *//a ，b *//b ，c *//c ，a *=1/a ，b *=1/b ，c *=1/c 。

⑤ 只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量g hkl 是与相应指数的晶向[hkl]平行⑥ 某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。

3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。

证：如图，以入射X 射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心O 处，入射线经试样与球相交于O*；以O*为倒易原点，若任一倒易点G 落在厄瓦尔德球面上，则G 对应的晶面满足衍射条件产生衍射。

第十二章课后习题及答案

第十二章常用的几种质量管理简易工具复习思考题1\什么是排列图和因果图？它们有何用途？排列图：是通过找出影响产品质量的主要问题，以便改进关键项目。

由两个纵坐标、一个横坐标、几个直方块和一条折线所构成。

横坐标表示影响产品质量的因素或项目，按其影响程度大小，从左到右依次排列；左纵坐标表示频数（如件数、金额、工时、吨位等），右纵坐标表示频率（以百分比表示），直方块的高度表示某个因素影响大小，从高到底，从左到右，顺序排列；折线表示个影响因素大小的累积百分数，是由左到右逐渐上升的，这条折线就称为帕累托曲线；累计百分比将影响因素分成A、B、C三类。

用途：1、找出主要因素排列图把影响产品质量的“关键的少数与次要的多数”直观地表现出来，使我们明确应该从哪里着手来提高产品质量。

实践证明，集中精力将主要因素的影响减半比消灭次要因素收效显著，而且容易得多。

所以应当选取排列图前1～2项主要因素作为质量改进的目标。

如果前1～2项难度较大，而第3项简易可行，马上可见效果，也可先对第3项进行改进。

2、解决工作质量问题也可用排列图不仅产品质量，其它工作如节约能源、减少消耗、安全生产等都可用排列图改进工作，提高工作质量。

检查质量改进措施的效果。

采取质量改进措施后，为了检验其效果，可用排列图来核查。

如果确有效果，则改进后的排列图中，横坐标上因素排列顺序或频数矩形高度应有变化。

因果图：也叫特性因素图/鱼刺图/石川图，是整理和分析影响质量（结果）的各因素之间的一种工具。

由特性，原因，枝干三部分构成。

首先找出影响质量问题的大原因，然后寻找到大原因背后的中原因，再从中原因找到小原因和更小的原因，最终查明主要的直接原因。

用途：收集各种信息，比较原因大小和主次，找出产生问题的主要原因；也就是根据反映出来的主要问题（最终结果），找出影响它的大原因、中原因、小原因、更小原因等等；形象地表示了探讨问题的思维过程，通过有条理地逐层分析，可以清楚地看出“原因-结果”“手段-目标”的关系，使问题的脉络完全显示出来。

高等数学课后习题及参考答案(第十二章)

高等数学课后习题及参考答案（第十二章）习题12-1 1试说出下列各微分方程的阶数(1)x (y ')2-2yy '+x =0 解一阶 (2)x 2y '-xy '+y =0 解一阶 (3)xy '''+2y '+x 2y =0解三阶(4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0解一阶(5)022=++C Qdt dQ RdtQ d L解二阶(6)θρθρ2sin =+d d解一阶 2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解(1)xy '=2y y =5x 2解 y '=10x因为xy '=10x 2=2(5x 2)=2y 所以y =5x 2是所给微分方程的解(2)y '+y =0y =3sin x -4cos x解 y '=3cos x +4sin x因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解(3)y ''-2y '+y =0 y =x 2e x解 y '=2xe x +x 2e xy ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解(4)y ''-(1+2)y '+12y =0xx e C e C y 2121λλ+= 解 x x e C e C y 212211λλλλ+=' xx e C e C y 21222211λλλλ+=''因为y y y 2121)(λλλλ+'+-'')())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+= =0所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解3 在下列各题中验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解(1)(x -2y )y '=2x -yx 2-xy +y 2=C解将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得 2x -y -xy '+2y y '=0即 (x -2y )y '=2x -y所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解(2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0 y =ln(xy )解将y =ln(xy )的两边对x 求导得y y x y '+='11 即x xy yy -='再次求导得)(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-⋅-=-+-'-=--'+--'=''注意到由y y x y '+='11可得1-'='y x y yx 所以)2(1])1([12y y y y x x xy y y y y y x x xy y '+'-'-⋅-='+'-'-'-⋅-=''从而 (xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解4 在下列各题中确定函数关系式中所含的参数使函数满足所给的初始条件 (1)x 2-y 2=Cy |x =0=5解由y |x =0=0得02-52=C C =-25 故x 2-y 2=-25(2)y =(C 1+C 2x )e 2x y |x =0=0y '|x =0=1解 y '=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x由y |x =0=0y '|x =0=1得⎩⎨⎧=+=1121C C C解之得C 1=0 C 2=1故y =xe 2x(3)y =C 1sin(x -C 2) y |x ==1 y '|x ==0解 y '=C 1cos(x -C 2) 由y |x ==1y '|x ==0得⎩⎨⎧=-=-0)cos(1)sin(2121C C C C ππ 即⎩⎨⎧=-=0cos 1sin 2121C C C C解之得C 1=1 22π=C 故)2sin(π-=x y 即y =-cos x5写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程(1)曲线在点(x y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方解设曲线为y =y (x ) 则曲线上点(xy )处的切线斜率为y '由条件y '=x 2 这便是所求微分方程(2)曲线上点P (xy )处的法线与x 轴的交点为Q 且线段PQ 被y 轴平分解设曲线为y =y (x ) 则曲线上点P (xy )处的法线斜率为y '-1 由条件第PQ 中点的横坐标为0 所以Q 点的坐标为(-x0) 从而有y x x y '-=+-10即yy '+2x =0 6用微分方程表示一物理命题某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比所温度的平方成反比解 2T P k dT dP = 其中k 为比例系数习题12-21 求下列微分方程的通解 (1)xy '-y ln y =0 解分离变量得dx xdy y y 1ln 1=两边积分得⎰⎰=dx xdy y y 1ln 1即 ln(ln y )=ln x +ln C , 故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x -5y '=0 解分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx 两边积分得⎰⎰+=dxx x dy )53(52即 123255C x x y ++=故通解为C x x y ++=232151 其中151C C =为任意常数(3)2211y y x -='-解分离变量得2211x dx y dy-=-两边积分得⎰⎰-=-2211x dx y dy即 arcsin y =arcsin x +C故通解为y =sin(arcsin x +C ) (4)y '-xy '=a (y 2+y ')解方程变形为(1-x -a )y '=ay 2分离变量得dx x a a dy y--=112两边积分得⎰⎰--=dx x a a dy y112即 1)1ln(1C x a a y----=-故通解为)1ln(1x a a C y --+= 其中C =aC 1为任意常数(5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0 解分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22-=两边积分得⎰⎰-=dx xx y y y tan sec tan sec 22 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C故通解为tan x tan y =C(6)y x dxdy+=10解分离变量得10-y dy =10x dx 两边积分得⎰⎰=-dxdy x y 1010即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=-- 或 10-y =10x +C 故通解为y =-lg(C -10x )(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0解方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx分离变量得dxe e dy e e xx y y +=-11两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy e e xx y y 11 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C 故通解为(e x +1)(e y -1)=C(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0 解分离变量得dx xx dy y ysin cos sin cos -= 两边积分得⎰⎰-=dx xx dy y ysin cos sin cos 即 ln(sin y )=-ln(sin x )+ln C 故通解为sin x sin y =C(9)0)1(32=++x dxdyy解分离变量得(y +1)2dy =-x 3dx 两边积分得⎰⎰-=+dxx dy y 32)1(即 14341)1(31C x y +-=+故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1) (10)ydx +(x 2-4x )dy =0 解分离变量得dx xx dy y )411(4-+=两边积分得⎰⎰-+=dx xx dy y )411(4即 ln y 4=ln x -ln(4-x )+ln C 故通解为y 4(4-x )=Cx2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)y '=e 2x -y y |x =0=0 解分离变量得 e y dy =e 2x dx 两边积分得⎰⎰=dxe dy e x y 2即 C e e x y +=221或 )21ln(2C e y x +=由y |x =0=0得0)21ln(=+C 21=C所以特解)2121ln(2+=x e y(2)cos x sin ydy =cos y sin xdx 4|0π==x y解分离变量得 tan y dy =tan x dx 两边积分得⎰⎰=xdxydy tan tan即 -ln(cos y )=-ln(cos x )-ln C 或 cos y =C cos x 由4|0π==x y 得CC ==0cos 4cos π 21=C所以特解为x y cos cos 2=(3)y 'sin x =y ln yey x ==2π解分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=两边积分得⎰⎰=dx x dy y y sin 1ln 1即 Cx y ln )2ln(tan )ln(ln +=或2tan x C e y =由e y x ==2π得4tan πC e e = C =1所以特解为2tan x e y =(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0 4|0π==x y解分离变量得dx e e dy y y xx +=-1cos sin两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy y y xx 1cos sin即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |或 cos y =C (e x +1)由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C 42=C 所以特解为)1(42cos +=x e y(5)xdy +2ydx =0 y |x =2=1 解分离变量得 dx xdy y 21-=两边积分得⎰⎰-=dx xdy y 21即 ln y =-2ln x +ln C 或 y =Cx -2由y |x =2=1得C ⋅2-2=1 C =4 所以特解为24xy =3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60︒, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x 则由水力学有 x dtdV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=, 即dt x dV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=. 又因为330tan x x r =︒=,故 dx x dx r V 223ππ-=-=,从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π-=⨯⨯⨯,即 dx x dt 2398025.062.03⨯⨯⨯=π,因此 C x t +⨯⨯⨯-=2598025.062.032π.又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053⨯⨯⨯⨯=πC ,故水从小孔流出的规律为645.90305.0)10(98025.062.0532252525+-=-⨯⨯⨯⨯=x x t π.令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=.又由牛顿定律, F =ma , 即vt dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=.由初始条件有C +⨯=⨯2210105021, C =250. 因此500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+⨯=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解由题设知,R dt dR λ-=, 即dt RdR λ-=,两边积分得ln R =-λt +C 1, 从而 )( 1C t e C Ce R ==-λ.因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e -λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021-=e R R , 从而16002ln =λ.因此t te R e R R 000433.0010002ln 0--==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为x yx y -=--2002,故曲线满足微分方程:xy dx dy -=, 即dx x dy y 11-=,从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2⨯3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dtdx v -==, 故dx =ky (h -y )dt . 又由已知, y =at , 代入上式得 dx =kat (h -at )dt , 积分得C t ka kaht x +-=3223121.由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x -=.因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x -=.习题12-31 求下列齐次方程的通解 (1)022=---'x y y y x解原方程变为1)(2--=xy x y dx dy令xyu =则原方程化为12-+=+u u dxdu x u 即dxx du u 1112=-两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=-+ 即Cx u u =-+12将xyu =代入上式得原方程的通解 Cx xyx y =-+1)(2 即222Cx x y y =-+(2)xy y dx dy xln =解原方程变为xyx y dx dy ln =令xy u =则原方程化为u u dxdu x u ln =+ 即dx x du u u 1)1(ln 1=-两边积分得ln(ln u -1)=ln x +ln C 即u =e Cx +1将xyu =代入上式得原方程的通解y =xe Cx +1(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0 解这是齐次方程令xy u =即y =xu 则原方程化为(x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0即dxxudu 1=两边积分得u 2=ln x 2+C将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=x 2(ln x 2+C )(4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0解这是齐次方程令x yu = 即y =xu则原方程化为(x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0即dx x du u u 121332=-两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=-- 即2312x Cu -= 将xyu =代入上式得原方程的通解x 3-2y 3=Cx(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xyx dx x y y x y x解原方程变为xyx y dx dy +=th 32令xyu = 则原方程化为u u dx du x u +=+th 32 即dx xdu u u 2sh ch 3=两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C 即sh 3u =Cx 2将xyu =代入上式得原方程的通解22sh Cx xy=(6)0)1(2)21(=-++dy yx e dx e y xy x解原方程变为yx y xe e yx dydx 21)1(2+-=令yx u = 则原方程化为uu e e u dy du y u 21)1(2+-=+ 即uue e u dy du y 212++-=分离变量得dyy du eu e u u1221-=++两边积分得ln(u +2e u )=-ln y +ln C 即y (u +2e u )=C将y x u =代入上式得原方程的通解Ce yx y y x=+)2(即C ye x yx=+22 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 (1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0 y |x =0=1解这是齐次方程令xyu =, 即y =xu 则原方程化为(x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0即 dx x du u u u 1332=-- 或dx xdu u u u 1)11113(=-+++-两边积分得-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C | 即u 2-1=Cxu 3将xyu =代入上式得原方程的通解y 2-x 2=Cy 3由y |x =0=1得C =1 故所求特解为y 2-x 2=y 3(2)xyy x y +=' y |x =1=2解令xyu =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1 即dx xudu 1=两边积分得C x u +=ln 212将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=2x 2(ln x +C )由y |x =1=2得C =2 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2)(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0 y |x =1=1解这是齐次方程令xyu =, 即y =xu 则原方程化为(x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0即 dxx du u u u u u 1112232-=+++-+或 dx xdu u u u 1)1211(2=+-+ 两边积分得ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C | 即u +1=Cx (u 2+1)将xyu =代入上式得原方程的通解x +y =C (x 2+y 2)由y |x =1=1得C =1 故所求特解为x +y =(x 2+y 2)3设有连结点O (00)和A (11)的一段向上凸的曲线弧A O对于A O上任一点P (xy ) 曲线弧P O与直线段OP 所围图形的面积为x 2 求曲线弧A O的方程解设曲线弧A O的方程为y =y (x ) 由题意得20)(21)(x x xy dx x y x=-⎰两边求导得x x y x x y x y 2)(21)(21)(='--即 4-='x yy令xy u = 则有4-=+u dx du x u 即dx xdu u 41-=两边积分得u =-4ln x +C将xyu =代入上式得方程的通解y =-4x ln x +Cx 由于A (1 1)在曲线上即y (1)=1 因而C =1 从则所求方程为y =-4x ln x +x习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dxdy-=+;解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dxx dx +=+⋅=+⎰⋅⎰=-----⎰⎰.(2)xy '+y =x 2+3x +2;解原方程变为x x y x y 231++=+'.])23([11C dx e xx e y dx x dxx +⎰⋅++⎰=⎰- ])23([1])23([12C dx x x xC xdx x x x +++=+++=⎰⎰xC x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3)y '+y cos x =e -sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdxx dx +⎰⋅⎰=⎰--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=---⎰.(4)y '+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰- )2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=⎰- ⎰+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx xx x x=cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x . (5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0;解原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y .)1cos (1221222C dx e x x e y dx x xdx x x +⎰⋅-⎰=⎰--- )(sin 11])1(1cos[112222C x x C dx x x x x +-=+-⋅--=⎰. (6)23=+ρθρd d ;解 )2(33C d e e d d +⎰⋅⎰=⎰-θρθθ)2(33C d e e +=⎰-θθθ θθθ33332)32(--+=+=Ce C e e .(7)x xy dxdy42=+;解 )4(22C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅⎰=⎰-)4(22C dx e x e x x +⋅=⎰- 2222)2(x x x Ce C e e --+=+=. (8)y ln ydx +(x -ln y )dy =0;解原方程变形为y x y y dy dx 1ln 1=+.)1(ln 1ln 1C dy e ye x dy y y dyy y +⎰⋅⎰=⎰-)ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=⎰yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=.(9)3)2(2)2(-+=-x y dxdyx ; 解原方程变形为2)2(221-=--x y x dx dy.])2(2[21221C dx e x e y dxx dx x +⎰⋅-⎰=⎰---⎰+-⋅--=]21)2(2)[2(2C dx x x x=(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3+C (x -2).(10)02)6(2=+-y dxdyx y .解原方程变形为y x y dy dx 213-=-.])21([33C dy e y e x dy y dy y +⎰⋅-⎰=⎰- )121(33C dy yy y +⋅-=⎰32321)21(Cy y C y y +=+=.2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dx dysec tan =-, y |x =0=0;解 )sec (tan tan C dx e x e y xdxxdx+⎰⋅⎰=⎰-)(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=⎰. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)x x x ydx dy sin =+, y |x =π=1;解)sin (11C dx e xx e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰-)cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +-=+⋅=⎰.由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x x y --=π.(3)x e x y dx dycos 5cot =+, 4|2-==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +⎰⋅⎰=⎰-)5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +-=+⋅=⎰. 由4|2-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +-=x e x y .(4)83=+y dxdy, y |x =0=2; 解 )8(33C dx e e y dxdx +⎰⋅⎰=⎰-x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(---+=+=+=⎰.由y |x =0=2, 得32-=C , 故所求特解为)4(323x e y --=.(5)13232=-+y x x dx dy , y |x =1=0. 解)1(32323232C dx e e y dxx x dx x x +⎰⋅⎰=⎰---)21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=--⎰. 由y |x =1=0, 得eC 21-=, 故所求特解为)1(211132--=x e x y .3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y .解由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0. 由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dxdx +=+⎰⎰=⎰⎰--=e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解由牛顿定律F =ma , 得v k t k dtdv m 21-=, 即t m kv m k dt dv 12=+.由通解公式得 )()(222211C dt e t m k e C dt e t m k ev t m kt m k dt mk dt m k +⋅=+⎰⋅⎰=⎰⎰--)(22222121C e k m k te k k et m kt mk tmk +-=-. 由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k mk C =. 因此 )(22122121222k m k e k m k te k k ev t m k t m k t m k +-=-即 )1(222121t m ke k mk t k k v ---=.5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系. 解由回路电压定律知01025sin 20=--i dt di t , 即t i dtdi 5sin 105=+.由通解公式得t dtdt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+⎰⋅⎰=⎰.因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).6. 设曲dy x x xf dx x yf L])(2[)(2-+⎰在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).解因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以 ])(2[)]([2x x xf xx yf y -∂∂=∂∂,即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x , 或 1)(21)(=+'x f x x f .因此xC x C dx x x C dx e e x f dx x dxx +=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰-32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故x x x f 3132)(+=.7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy-=+;解原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 112-=+, 即x x y dx y d cos sin )(11-=---. ])cos sin ([1C dx e x x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=⎰-, 原方程的通解为x Ce yx sin 1-=.(2)23xy xy dxdy=-; 解原方程可变形为 x y x dxdy y =-1312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅-⎰=⎰--)(222323C dx xe e x x +-=⎰-31)31(222232323-=+-=--x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223-=-x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy -=+; 解原方程可变形为 )21(31131134x y dx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x x x Ce x C dx e x e +--=+-=⎰-12])12([, 原方程的通解为1213--=x Ce yx .(4)5xy y dxdy=-; 解原方程可变形为 x ydx dy y =-4511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=⎰--)4(44C dx xe e x +-=⎰- x Ce x 441-++-=,原方程的通解为x Ce x y 44411-++-=.(5)xdy -[y +xy 3(1+ln x )]dx =0. 解原方程可变形为)ln 1(11123x y x dx dy y +=⋅-⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--.])ln 1(2[222C dx e x e ydx x dx x +⎰⋅+-⎰=⎰-- ])ln 1(2[122C dx x x x++-=⎰ x x x x C 94ln 322--=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解. 解原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x -=-, 即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得 C x du v f v g v v g +=-⎰ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然后求出通解:(1)2)(y x dxdy+=;解令u =x +y , 则原方程化为 21u dx du =-, 即21udu dx +=.两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ).(2)11+-=yx dx dy;解令u =x -y , 则原方程化为111+=-udx du , 即dx =-udu .两边积分得1221C u x +-=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1).(3)xy '+y =y (ln x +ln y );解令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+-, 即du uu dx x ln 11=.两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx . 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy =e Cx , 即Cx e xy 1=.(4)y '=y 2+2(sin x -1)y +sin 2x -2sin x -cos x +1; 解原方程变形为y '=(y +sin x -1)2-cos x . 令u =y +sin x -1, 则原方程化为 x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u =21. 两边积分得C x u+=-1.将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-1sin 1, 即Cx x y +--=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 . 解原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++-=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++-=-, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得u uu C x ln 121ln 21+--=+.将u =xy 代入上式得原方程的通解xy xy y x C x ln 121ln 221+--=+, 即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12-5 1判别下列方程中哪些是全微分方程并求全微分方程的通解(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0解这里P =3x 2+6xy 2 Q =6x 2y +4y 2因为x Qxy y P ∂∂==∂∂12所以此方程是全微分方程其通解为Cdy y y x dx x yx=++⎰⎰02202)46(3即 Cy y x x =++3223343(2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0解这里P =a 2-2xy -y 2Q =-(x +y )2 因为x Qy x y P ∂∂=--=∂∂22所以此方程是全微分方程其通解为Cdy y x dx a yx=+-⎰⎰0202)(即 a 2x -x 2y -xy 2=C(3)e y dx +(xe y -2y )dy =0解这里P =e y Q =xe y -2y因为x Qe y P y ∂∂==∂∂所以此方程是全微分方程其通解为Cdy y xe dx e yy x =-+⎰⎰000)2(即 xe y -y 2=C(4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0解原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0这里P =-(y sin x +sin y ) Q =x cos y +cos x因为x Qx y y P ∂∂=-=∂∂sin cos所以此方程是全微分方程其通解为Cdy x y x dx yx=++⎰⎰00)cos cos (0即 x sin y +y cos x =C 解(5)(x 2-y )dx -xdy =0 解这里P =x 2-yQ =-x 因为xQy P ∂∂=-=∂∂1所以此方程是全微分方程其通解为Cxdy dx x yx=-⎰⎰002即 C xy x =-331(6)y (x -2y )dx -x 2dy =0解这里P =y (x -2y ) Q =-x 2 因为yx y P 4-=∂∂ x x Q 2-=∂∂所以此方程不是全微分方程 (7)(1+e 2)d+2e 2d=0解这里P =1+e 2 Q =2e 2因为x Qe y P ∂∂==∂∂θ22所以此方程是全微分方程其通解为Cd e d =+⎰⎰θθρθρρ02022即(e 2+1)=C(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0解这里P =x 2+y 2 Q =xy 因为y y P 2=∂∂ y x Q=∂∂所以此方程不是全微分方程2利用观察法求出下列方程的积分因子并求其通解(1)(x +y )(dx -dy )=dx +dy解方程两边同时乘以yx +1得yx dydx dy dx ++=- 即d (x -y )=d ln(x +y )所以y x +1为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为x -y =ln(x +y )+C(2)ydx -xdy +y 2xdx =0解方程两边同时乘以21y 得02=+-xdx yxdyydx 即0)2()(2=+x d y x d所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为C x y x =+22(3)y 2(x -3y )dx +(1-3y 2x )dy =0解原方程变形为xy 2dx -3y 3dx +dy -3x 2dy =0两边同时乘以21y并整理得)33(2=+-+xdy ydx ydyxdx 即0)(3)1()2(2=--xy d yd x d所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为C xy yx =--3122 (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx解方程两边同时乘以221y x +得 022=-++dx y x ydyxdx 即0)]ln(21[22=-+dx y x d所以221y x +为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为x 2+y 2=Ce 2x(5)(x -y 2)dx +2xydy =0 解原方程变形为 xdx -y 2dx +2xydy =0两边同时乘以21x得0222=-+x dx y xydy x dx 即0)()(ln 2=+x y d x d 所以21x为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为C xy x =+2ln 即x ln x +y 2=Cx(6)2ydx -3xy 2dx -xdy =0 解方程两边同时乘以x 得 2xydx -x 2dy -3x 2y 2dx =0 即yd (x 2)-x 2dy -3x 2y 2dx =0再除以y 2得03)(2222=--dx x ydyx x yd 即0)(32=-x y x d所以2yx 为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为032=-x yx3 验证)]()([1xy g xy f xy -是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子并求下列方程的通解解方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy -得0])()([)]()([1=+-dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P -= )]()([)(xy g xy f y xy g Q -=因为x Qxy g xy f xy g xy f xy g xy f y P ∂∂=-'-'=∂∂2)]()([)()()()( 所以)]()([1xy g xy f xy -是原方程的一个积分因子(1)y (x 2y 2+2)dx +x (2-2x 2y 2)dy =0解这里f (xy )=x 2y 2+2 g (xy )=2-2x 2y 2所以3331)]()([1y x xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=-++dy y x y x dx y x x其通解为Cdy y x y x dx x x y x=-++⎰⎰132221323232即 Cy x y x =-+-)11ln (ln 31222或2212yx e Cy x =(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy -x 3y 3)dy =0解这里f (x y )=2x y +1 g (x y )=1+2x y -x 3 y 3 , 所以441)]()([1yx xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子方程两边同乘以441yx 得全微分方程2112433334=-+++dy y x y x xy dx y x xy其通解为 C dy y x y x xy dx x x y x =-+++⎰⎰14333142112即 C y y x y x =++||ln 31133224用积分因子法解下列一阶线性方程(1)xy '+2y =4ln x解原方程变为xxy x y ln 42=+' 其积分因子为22)(x e x dxx =⎰=μ在方程x x y x y ln 42=+'的两边乘以x 2得x 2y '+2xy =4x ln x 即(x 2y )'=4x ln x两边积分得C x x x xdx x y x +-==⎰222ln 2ln 4原方程的通解为21ln 2x Cx y +-=(2)y '-tan x ⋅y =x解积分因子为x e x xdxcos )(tan =⎰=-μ在方程的两边乘以cos x 得 cos x ⋅y '-sin x ⋅y =x cos x 即(cos x ⋅y )'=x cos x两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅⎰cos sin cos cos方程的通解为xCx x y cos 1tan ++=习题12-61 求下列各微分方程的通解 (1)y ''=x +sin x解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +-=+='⎰21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++-=+-=⎰原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++-=(2)y '''=xe x解 12C e xe dx xe y x x x +-==''⎰21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++-=+-='⎰3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++-=++-=⎰原方程的通解为32213C x C x C e xe y x x +++-=(3)211xy +=''解 12arctan 11C x dx xy +=+='⎰x C dx xx x x dx C x y 1211arctan )(arctan ++-=+=⎰⎰212)1ln(21arctan C x C x x x +++-=原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++-=(4)y ''=1+y '2解令p =y ' 则原方程化为p '=1+p 2 即dx dp p=+211两边积分得arctan p =x +C 1 即y '=p =tan(x +C 1) 211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++-=(5)y ''=y '+x解令p =y ' 则原方程化为 p '-p =x由一阶线性非齐次方程的通解公式得1)()(111--=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰--x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dxdx即 y '=C 1e x -x -1于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +--=--=⎰原方程的通解为22121C x x e C y x +--=(6)xy ''+y '=0解令p =y ' 则原方程化为 x p '+p =0 即01=+'p xp由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p xdxx 1ln 111==⎰=--即 x C y 1=' 于是 211ln C x C dx xCy +==⎰原方程的通解为 y =C 1ln x +C 2(7)yy ''+'=y '2 解令p =y ' 则dydppdx dy dy dp y =⋅='' 原方程化为 21p dydpyp=+ 即dy y dp p p 112=-两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=- 即22121y C p ±-当|y '|=|p |>1时方程变为 2211y C y +±=' 即dxdy y C ±=+21)(11两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2 即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=当|y '|=|p |<1时方程变为2211y C y -±=' 即dxdy y C ±=-21)(11两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2 即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=(8)y 3y ''-1=0 解令p =y ' 则dydp py ='' 原方程化为013=-dydppy 即pdp =y -3dy两边积分得122212121C y p +-=- 即p 2=-y -2+C 1故 21--±='y C y 即dx dy yC ±=--211两边积分得)(12121C x C y C +±=-即原方程的通解为 C 1y 2=(C 1x +C 2)2(9)y y 1=''解令p =y ' 则dydp py ='' 原方程化为y dy dp p1= 即dyypdp 1=两边积分得122221C y p += 即1244C y p += 故 12C y y +±=' 即dx dy C y ±=+11两边积分得原方程的通 211231]2)(32[C C y C C y x ++-+±=(10)y ''=y '3+y ' 解令p =y '则dydppy ='' 原方程化为 p p dy dp p +=3 即0)]1([2=+-p dydpp由p =0得y =C 这是原方程的一个解由0)1(2=+-p dydp得arctan p =y -C 1 即y '=p =tan(y -C 1)从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x -=-=+⎰ 故原方程的通解为12arcsin C e y C x +=+2 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解(1)y 3 y ''+1=0 y |x =1=1 y '|x =1=0解令p =y ', 则dy dpp y ='', 原方程化为013=+dy dppy , 即dy ypdp 31-=, 两边积分得1221C yp +=, 即y y C y 211+±='.由y |x =1=1, y '|x =1=0得C 1=-1, 从而y y y 21-±=',分离变量得 dx dy yy=-±21, 两边积分得221C x y +=-± 即22)(1C x y +-±=由y |x =1=1得C 2=-1, 2)1(1--=x y 从而原方程的通解为22x x y -=.(2)y ''-ay '2=0 y |x =0=0 y '|x =0=-1解令p =y ', 则原方程化为02=-ap dxdp即adxdp p=21两边积分得11C ax p+=- 即11C ax y +-='由y '|x =0=-1得C 1=111+-='ax y 两边积分得2)1ln(1C ax a y ++-=由y |x =0=0得C 2=0故所求特解为)1ln(1+-=ax ay(3)y '''=e ax y |x =1=y '|x =1=y ''|x =1=0 解 11C e adx e y ax ax +==''⎰由y ''|x =1=0得a e aC 11-=2211)11(C x e a e a dx e a e a y a ax a ax +-=-='⎰由y '|x =1=0得a a e ae a C 2211-=dx e a e a x e a e a y a a a ax )1111(22⎰-+-= 322311211C x e a x e a x e a e a a a a ax +-+-= 由y |x =1=0得a a a a e a e a e a e a C 32312111-+-= 故所求特解为 322232)22()1(2a a a e a x a e a x e a e y a a a ax ----+-=(4)y ''=e 2y y |x =0=y '|x =0=0解令p =y ', 则dydpp y ='', 原方程化为y e dydpp 2= 即pdp =e 2y dy积分得p 2=e 2y +C 1即12C e y y +±='由y |x =0=y '|x =0=0得C 1=-1 故12-±='y e y 从而dx dy e y±=-112 积分得-arcsin e -y =±x +C 2 由y |x =0=0得22π-=C 故x x e y cos )2sin(=-=-π从而所求特解为y =-lncos x (5)yy 3='' y |x =0=1y '|x =0=2解令p =y ', 则dydppy ='', 原方程化为 y dydpp 3= 即dy y pdp 3=两边积分得12322221C y p += 即1232C y y +±=' 由y |x =0=1 y '|x =0=2得C 1=0432y y =' 从而dxdy y 243=-两边积分得24124C x y += 即42)4121(C x y +=由y |x =0=1得C 2=4故原方程的特解为4)121(+=x y(6)y ''+y '2=1 y |x =0=0 y '|x =0=0解令p =y ', 则dy dpp y ='', 原方程化为12=+p dydpp 即2222=+p dydp于是 1)2(211222+=+⎰⋅⎰=--⎰y dydy e C C dy e e p即 121+±='-y e C y由y |x =0=0 y '|x =0=0得C 1=-1ye y 21--±='故dx dy ey ±=--211两边积分得22)1ln(C x e e y y +±=-+由y |x =0=0得C 2=0xe e y y ±=-+)1ln(2从而得原方程的特解y =lnch x3 试求y ''=x 的经过点M (01)且在此点与直线121+=x y 相切的积分曲线解 1221C x y +='21361C x C x y ++=由题意得y |x =0=121|0='=x y由21|0='=x y 得211=C 再由y |x =0=1得C 2=1 因此所求曲线为121613++=x x y4 设有一质量为m 的物体在空中由静止开始下落如果空气阻力为R =c 2v 2(其中c 为常数 v 为物体运动的速度) 试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系解以t =0对应的物体位置为原点垂直向下的直线为s 正轴建立坐标系由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==-===0| |0022t t v s v c mg dt dv m将方程分离变量得 dt vc mg mdv =-22两边积分得 1||ln C kt mgcv mgcv +=-+(其中m g c k 2=) 由v |t =0=0得C 1=0ktmgcv mg cv =-+||ln 即ktem gcv m g cv =-+。

人教版八年级上册数学第十二章全等三角形含答案

人教版八年级上册数学第十二章全等三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（）A.11B.12C.13D.142、如图，已知∠ABC，①BD平分∠ABC；②DE=DF；③∠ABC+∠EDF=180°，以①②③中的两个作为条件，另一个作为结论，可以使结论成立的有几个（）A.0个B.1个C.2个D.3个3、在ΔABC和ΔDEF中，AB=DE，∠A=∠D，若证ΔABC≌ΔDEF还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A.∠B=∠EB.∠C=∠FC.BC=EFD.AC=DF4、如图，在△和△中，90°，．有以下结论：①；②平分；③平分．其中，正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.35、∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为4，Q是OB上任一点，则（）A.PQ≥4B.PQ＞4C.PQ≤4D.PQ＜46、如图，AB∥CD,BC平分∠ABE, ∠C=34°,则∠BED的度数等于（）A. B. C. D.7、如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b 的面积为（A.8B.9C.10D.118、如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD ， DP⊥AB于P ．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是（）.A. B.2 C. D.189、如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A 1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……：∠An-1BC与∠An-1CD的平分线交于点An ，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为( )A.4B.5C.6D.710、如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD相等的角有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证△ACE≌△BDF时，需添加一个条件是( )A.AB＝BCB.DC＝BCC.AB＝CDD.以上都不对12、如图，在中，是的角平分线，于点，，，，则长是（）A.3B.4C.5D.613、如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）A.330°B.315°C.310°D.320°14、如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（）A.105°B.100°C.110°D.115°15、如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出以下4个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP=30°时，则EF的长度为2.其中结论正确的有（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④二、填空题(共10题，共计30分)16、正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=2 ，AE=8，则ED=________．17、如图1，在中，，为中点.将沿翻折，得到（如图2），为上一点，再将沿翻折，使得与重合（如图3），给出下列四个命题：①；②；③；④.其中说法正确的是________.18、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下三个结论：①AD=BE；②EQ=DP；③△CPQ是等边三角形；其中一定成立的结论有________．19、如图，线段AC与BD交于点O，且OA=OC，请添加一个条件，使△OAB≌△OCD，这个条件是________ .20、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、（k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________.21、如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是________ （只填一个）．22、如图，∠AOB=120°，∠MPN = 60°， OP平分∠AOB，点 M、N 分别在射线 OA，OB 上（都不与点 O 重合），∠MPN 绕着点 P 转动， OP 与 MN 交于点 G， OP=10，当 MN取得最小值时， DOGN 的面积为________23、如图，平分，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是等边三角形；③；④．其中正确的是________（填写序号）24、已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A=________度．25、如图，BC=2，A为半径为1的圆B上一点，连接AC，在AC上方作一个正三角形ACD，连接BD，则BD的最大值为________三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC27、如图，已知OC=OE，OD=OB，试说明△ADE≌△ABC．28、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点F在CB的延长线上且AB=BF，过F 作EF⊥AC交AB于D，求证：DB=BC．29、如图，ΔABC≌ΔDEF，∠A=25°，∠B=65°，BF=3cm，求∠DFE的度数和EC的长.30、证明命题“角的平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用几何符号语言表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，_▲_. 求证：_▲_.请你补全已知和求证，并写出证明过程.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、C4、D5、A6、D7、C8、A9、C10、D11、C12、A13、B15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、30、。

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1、分析电子衍射与X 衍射有何异同？答：相同点：① 都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。

② 两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。

不同点：① 电子波的波长比x 射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad 。

而X 射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2。

② 在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使衍射条件变宽。

④ 原子对电子的散射能力远高于它对x 射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。

3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。

令入射方向矢量为k （k = 1/λ），衍射方向矢量为k ，，衍射矢量为g 。

则有g = 2ksin θ。

∵g=1/d ；k=1/λ，∴2dsin θ=λ。

即厄瓦尔德球图解与布拉格方程等价。

4、画出fcc、bcc晶体的倒易点阵，并标出基本适量a*，b*，c*。

5、何为零层倒易面和晶带定理？说明同一晶带中各晶面及其倒易矢量与晶带轴之间的关系。

答：在倒易点阵中，通过倒易原点O*且与某一晶带轴[uvw]垂直的二维平面称为零层倒易面。

因为零层倒易面上的倒易面上的各倒易矢量都和晶带轴r=[uvw]垂直，故有g.r=0即hu+kv+lw=0这就是晶带定理。

6、为何对称入射时，即只有倒易点阵原点在爱瓦尔德球面上，也能得到除中心斑点以外的一系列衍射斑点？答：如果倒易点是几何点，那么对称入射时就没有倒易点落在厄瓦尔德球上。

但是，由于电镜样品是薄样品，倒易点拉长成倒易杆。

倒易杆与厄瓦尔德球相交可以产生衍射。

8、举例说明如何用选区衍射的方法来确定新相的惯习面及母相与新相的位向关系。

答：例如分析钢淬火时，马氏体在奥氏体的一定结晶面上形成的，此面为惯习面，它在相变过程中应该保持不变形与不转动。

由于马氏体相变时原子规则地发生位移,使新相(马氏体)和母相之间始终保持一定的位向关系。

在铁基合金中由面心立方母相γ变为体心立方(正方)马氏体M时具有著名的K-S关系：{111}γ∥{011}M,<01ī>γ∥<ī11>M和西山关系：{111}γ∥{110}M，<211>γ∥<110>M。

惯性面的取向分析：利用透射电镜测定惯性面的指数，其根据是选区衍射花样与选区内组织形貌的微区对应性。

这里特介绍一种最基本、较简便的方法。

该方法的基本要点为：使用双倾台或旋转台倾转样品，使惯性面平行于入射束方向，在此位向下获得的衍射花样中将出现该惯性面的衍射斑点。

把这个位向下拍照的形貌像和相应的选区衍射花样对照，经磁转角校正后，即可确定惯性面的指数。

其具体操作步骤如下：1) 利用双倾台倾转样品，使惯性面处于与入射束平行的方向。

2) 拍照包含有惯性面的形貌像，以及该视场的选区电子衍射花样。

3) 标定选区电子衍射花样，经磁转角校正后（即确保TEM方式下和SAED方式下，没有磁转角差异），将惯性面在形貌像中的迹线（TEM图像的得边界线）画在衍射花样中。

4) 由透射斑点作迹线的垂线，该垂线所通过的衍射斑点的指数即为惯性面的指数。

例如：镍基合金中的片状—Ni3Nb相常沿着基体(面心立方结构)的某些特定平面生长。

当片状相表面相对入射束倾斜一定角度时，在形貌像中片状相的投影宽度较大(见图实4—1a)；如果倾斜样品使片状相表面逐渐趋近平行于入射束，其在形貌像中的投影宽度将不断减小；当入射束方向与片状相表面平行时，片状相在形貌像中显示最小的宽度(图实4—1b)。

图实4—1c是入射电子束与片状相表面平行时拍照的基体衍射花样。

由图实4—1c所示的衍射花样的标定结果，可以确定片状相的生长惯习面为基体的(111)面。

通常习惯用基体的晶面表示第二相的惯习面。

母相与新相的位向分析：利用两相合成的电子衍射花样的标定结果，可以直接确定两相间的取向关系。

具体的分析方法是，在衍射花样中找出两相平行的倒易矢量，即两相的这两个衍射斑点的连线通过透射斑点，其所对应的晶面互相平行，由此可获得两相间一对晶面的平行关系；另外，由两相衍射花样的晶带轴方向互相平行，可以得到两相间一对晶向的平行关系。

由图实4—3a给出的两相合成电子衍射花样的标定结果可确定两相的取向关系：(200)M∥(002)，[011]M∥。

例如根据书上P176的衍射斑点的结果，可知马氏体的晶带轴是[001],奥氏体的晶带轴是[011]。

马氏体和奥氏体的位向关系： 9、说明多晶、单晶及非晶衍射花样的特征及形成原理。

答：多晶体的电子衍射花样是一系列不同半径的同心圆环单晶衍射花样是由排列得十分整齐的许多斑点所组成的非晶态物质的衍射花样只有一个漫散中心斑点单晶花样是一个零层二维倒易截面，其倒易点规则排列，具有明显对称性，且处于二维网络的格点上。

因此表达花样对称性的基本单元为平行四边形。

单晶电子衍射花样就是(uvw)*0零层倒易截面的放大像。

多晶试样可以看成是由许多取向任意的小单晶组成的。

故可设想让一个小单晶的倒易点阵绕原点旋转，同一反射面hkl 的各等价倒易点（即（hkl ）平面族中各平面）将分布在以1/d hkl 为半径的球面上，而不同的反射面，其等价倒易点将分布在半径不同的同心球面上，这些球面与反射球面相截，得到一系列同心园环，从反射球心向各园环连线，投影到屏上，就是多晶电子衍射图。

非晶的原子表现为近程有序，长程无序；原子的分布在非常小的范围内有一定的序。

由于单个原子团或多面体中原子具有近邻关系反映到倒空间也具有对应原子近邻距离的一个或两个倒易球面，反射球面与它们相交得到的轨迹都是一个或两个半径恒定并且以倒易点阵原点为中心同心圆环。

一、填空题1、电子衍射和X 射线衍射的不同之处在于入射波长不同、试样尺寸形状不同，以及样品对电子和X 射线的散射能力不同。

2、电子衍射产生的复杂衍射花样是高阶劳厄斑、超结构斑点、二次衍射、孪晶斑点和菊池花样。

3、偏离矢量S 的最大值对应倒易杆的长度，它反映的是θ角偏离布拉格方程的程度。

4、单晶体衍射花样标定中最重要的一步是确定晶体结构。

5、二次衍射可以使密排六方、金刚石结构的花样中在本该消光的位置产生衍射花样，但体心立方和面心立方结构的花样中不会产生多余衍射。

6、倒易矢量的方向是对应正空间晶面的法线；倒易矢量的长度等于对应晶面间距的倒数。

7、只要倒易阵点落在厄瓦尔德球面上，就表示该晶面满足布拉格条件，能产生衍射。

()()[][]⎭⎬⎫M M A 001//011011//111A二、名词解释1、偏离矢量s ：倒易杆中心至与爱瓦尔德球面交截点的距离可用矢量s 表示，s 就是偏离矢量。

2、晶带定律：凡是属于[uvw]晶带的晶面，它的晶面指数(hkl)都必须符合hu+kv+lw=0，通常把这种关系式称为晶带定律。

3、相机常数：定义 K=Lλ，称相机常数，其中L 为镜筒长度，λ为电子波长。

三、选择题1、单晶体电子衍射花样是（ A ）。

A. 规则的平行四边形斑点；B. 同心圆环；C. 晕环；D.不规则斑点。

2、薄片状晶体的倒易点形状是（ C ）。

A. 尺寸很小的倒易点；B. 尺寸很大的球；C. 有一定长度的倒易杆；D. 倒易圆盘。

3、当偏离矢量S<0时，倒易点是在厄瓦尔德球的（ A ）。

A. 球面外；B. 球面上；C. 球面内；D. B+C 。

4、能帮助消除180º不唯一性的复杂衍射花样是（ A ）。

A. 高阶劳厄斑；B. 超结构斑点；C. 二次衍射斑；D. 孪晶斑点。

5、菊池线可以帮助（ D ）。

A. 估计样品的厚度；B. 确定180º不唯一性；C. 鉴别有序固溶体；D. 精确测定晶体取向。

6、如果单晶体衍射花样是正六边形，那么晶体结构是（ D ）。

A. 六方结构；B. 立方结构；C. 四方结构；D. A 或B 。

7、有一倒易矢量为*+*+*=*c b a g 22，与它对应的正空间晶面是（ C ）。

A. （210）；B. （220）；C. （221）；D. （110）；。

四、是非题1、多晶衍射环和粉末德拜衍射花样一样，随着环直径增大，衍射晶面指数也由低到高。

（√）2、单晶衍射花样中的所有斑点同属于一个晶带。

（×）3、偏离矢量S=0时，衍射斑点最亮。

这是因为S=0时是精确满足布拉格方程，所以衍射强度最大。

（ √ ）4、对于未知晶体结构，仅凭一张衍射花样是不能确定其晶体结构的。

还要从不同位向拍摄多幅衍射花样，并根据材料成分、加工历史等或结合其它方法综合判断晶体结构。

（√）5、电子衍射和X 射线衍射一样必须严格符合布拉格方程。

（×）6、倒易矢量能唯一地代表对应的正空间晶面。

（√ ）五、问答题1、试推导电子衍射的基本公式，并指出L λ的物理意义。

解：图为电子衍射花样形成原理图。

其中样品放在爱瓦尔德球的球心O 处。

当入射电子束和样品内某一组晶面（h k l ）相遇，并满足布拉格方程时，在K ˊ方向产生衍射束，其中图中O ˊ、G ˊ点分别为入射束与衍射束在底片上产生的透射斑点（中心斑点）和衍射斑点。

hkl g （矢量）是衍射晶面的倒易矢量，其端点O *，G 位于爱瓦尔德球面上，投影G ˊ通过转换进入正空间。

∵电子束发散角很小，约2º-3º，∴可认为△OO *G ∽△OO ˊG ˊ，那么矢量hkl g 与矢量k 垂直∴有R/L=hkl g /k又∵有hkl g =1/hkl d k=1/λ∴R=L λ/hkl d = L λhkl g …………………⑴又∵近似有矢量R ∥矢量hkl g∴上式亦可以写成R = L λg ……………⑵式⑴⑵就是电子衍射的基本公式式中L λ称为电子衍射的相机常数（L 为相机长度）。