数学分析与高等代数考研真题详解--中科院卷
考研《高等代数》考研考点与考研真题详解
考研《高等代数》考研考点与考研真题详解在考研的众多科目中，《高等代数》是许多专业都需要面对的重要课程。
对于考生来说，深入了解其考点并熟悉真题的解题思路和方法至关重要。
接下来，让我们一起详细探讨《高等代数》的考研考点以及通过真题来进行具体的分析。
首先，多项式是《高等代数》中的一个基础考点。
多项式的运算、整除性、最大公因式等概念需要考生熟练掌握。
例如，给定两个多项式$f(x)＄和$g(x)＄，求它们的最大公因式就是常见的考题类型。
线性方程组也是重点之一。
包括解的存在性、唯一性以及求解的方法。
考生要清楚如何通过高斯消元法将线性方程组化为阶梯形，从而判断解的情况。
矩阵是必考的内容。
矩阵的运算、逆矩阵的求解、矩阵的秩等都经常出现在考研真题中。
比如，给出一个矩阵，要求判断其是否可逆，并求出其逆矩阵。
向量空间也是一个重要的考点。
涉及向量空间的定义、基与维数、子空间的相关性质等。
可能会要求考生证明某个集合是向量空间，或者求向量空间的基和维数。
线性变换是一个较难的考点，但也是高频考点。
需要理解线性变换的定义、性质，掌握线性变换的矩阵表示，以及如何求线性变换的核与值域。
特征值与特征向量是另一个关键考点。
包括特征值和特征向量的计算、性质以及相似对角化的条件和方法。
很多真题会要求根据给定的矩阵求其特征值和特征向量，并判断是否可相似对角化。
下面通过一些具体的考研真题来进一步说明。
真题一：已知多项式$f(x) ＝ x^3 2x^2 ＋ 3x 1$，＄g(x) ＝ x^2 3x ＋ 2$，求$f(x)＄与$g(x)＄的最大公因式。
解题思路：运用辗转相除法，先将$f(x)＄除以$g(x)＄，得到商式$q_1(x)＄和余式$r_1(x)＄，然后将$g(x)＄除以$r_1(x)＄，以此类推，直到余式为零，此时的除数就是最大公因式。
真题二：求解线性方程组：＄＼begin{cases} 2x_1 ＋ 3x_2 x_3 ＝ 1 ＼＼ 4x_1 ＋ 6x_2 2x_3 ＝2 ＼＼ 3x_1 ＋ 4x_2 ＋ 2x_3 ＝ 5 ＼end{cases}＄解题思路：首先对增广矩阵进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，判断解的情况。
2024年西安工程大学数学分析、高等代数考研真题(含部分解答)
2024年全国硕士研究生招生考试业务课试题一、计算题(1-6每题10分，7-8每题15分，共90分).220231lim .(1)x x x x e e x e →---- 2.20232023202320241lim(12).n n n→∞+++3.3x .4.设,a b为常数且20 1.xx a →>=求a 和b . 5.求函数(,,)22f x y z x y z =-+在约束条件2221x y z ++=下的最值。
6.判断2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--的原函数是否存在，说明理由。
若存在，求出它的一个原函数。
7.作适当变换，计算d d y x yDex y +⎰⎰,这里{(,)1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥∣. 8.计算2d (1)SSx y ++⎰⎰,其中S 为平面1x y z ++=在第一卦限部分。
二、证明题(9-11每题10分，12-13每题15分，共60分)9.设数列{}n a满足111,1).n a a n +==≥证明数列{}n a 收敛，并求lim .n n a →∞10.利用函数的凹凸性证明不等式ln ln ()ln(0,0).2x yx x y y x y x y ++≥+>> 11.求证：当0y >时，21sin d 1xy e x x y +∞-=+⎰. 12.设函数()f x 定义在区间I 上。
试证()f x 在I 上一致连续的充要条件为：对任何数列{}{},,n n x y I ⊂若lim()0,n n n x y →∞-=则[]lim ()()0.n n n f x f y →∞-= 13.设211(),[1,1]ln(1)n n f x x x n n ∞==∈-+∑.求证： 1)()f x 在[1,1]-上连续； 2)()f x 在1x =-处可导。
2024年全国硕士研究生招生考试业务课试题-高代 一、填空题（每题6分，共30分）1.设3阶实矩阵22332,,3A B αβγγγγ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中23,,,αβγγ均为3维行向量，且||18,||2A B ==,则||A B -=2.设λ是A 的特征值，则1P AP -的特征值是。
中国科学院2001高等代数试题解答
中科院数学与系统科学研究所 高等代数试题解答一、 设A 和B 为满秩方阵，试求⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B O C A Q 的逆矩阵（用C B A ,,11--表示即可）。
解：由0det det det ≠⋅=B A Q 知，Q 可逆。
令 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-222112111X X X X Q ，E 表示与Q 同阶的单位矩阵，则由E Q Q =-1 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211X X X X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O C A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21E O O E ＝，其中1E 为与A 同阶的单位矩阵，其中2E 为与B 同阶的单位矩阵。
于是得22221121121111,,E B X C X O B X C X OA X E A X =+===＋由此解出 122111221111,,,----=-===B X CB A X O X A X所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----11111B O CB A A Q . 二、 设n a a a ，，， 21为n 个实数，方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a a a a a a a a a A 222111试求A 的所有特征值。
解： A 的特征多项式为由此可知，A 的n 个特征值为0,,0,1 ∑=ni i a （0为n 重特征根）。
三、 设d c b a ,,,为正实数,求出满足 b ax y +≥ 与 d cx y +-≥ 之y 的最小值. 解: 平面区域 {}d cx y b ax y y x D +-≥+≥=,),(的图形如下图中阴影部分:).(000111)(111)()det(1112221222111222111∑∑∑∑∑∑=-=====-=-=-------=---------=---------=-ni i n ni i nnnni i nnnni ini ini in nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A E λλλλλλλλλλλλλλλλλ由此知 满足b ax y +≥ 与 d cx y +-≥ 之y 的最小值即直线b ax y += 与 d cx y +-=交点的纵坐标,不难求得其值为ca bcad ++. 四、 设B A ,为方阵,且B 为满秩阵,s 为实数, sB A C +=试证明: 存在正数a ,使得在a s <<0时,C 满秩.证明:考虑矩阵 )(11----=+AB sE sE AB , 其中E 为单位阵. 由于关于s 的方程0)det(1=+-AB sE 仅有有限个根(它们为方阵1--AB 的全部特征根).从而数集{}0)det(01=+>=-AB sE s I 为有限集.若∅≠I ,则令a 为数集I 中的最小数;若∅=I ,则可取a 为任何正数.于是,当a s <<0时,必有0)det(1≠+-AB sE . 所以, 当a s <<0时,1-+AB sE 为满秩阵,从而B AB sE sB AC )(1-+=+= 为满秩阵. 五、 设)(,,2,1,),,,(21n m i a a a in i i i ≤='= α为n 维欧氏空间中的m 个向量. 又设 ()mj i ij p P ≤≤=,1 其中∑==nk jk ik ij a a p 1. 试证明:m ααα,,,21 为线性无关的, 当且仅当 P 为满秩.证明: 由已知条件, )(,,2,1,),,,(21n m i a a a in i i i ≤='= α为n维欧氏空间中的m 个向量. 令 ),,,(21m A ααα =为以),,2,1(m i i =α为列向量的矩阵, 则A 为n m ⨯实矩阵,且A A P '=(A '表示A 的转置矩阵).又设 =B ),()0,,0,,,,(21O A m = ααα为n 阶方阵, 则秩=B 秩A , 且()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'='O O O P O O O A A O A O A B B 为n 阶方阵,从而 秩='B B 秩P .以下证明秩='B B 秩B . 为此考虑齐次线性方程组 O BX = (1) 与 O BX B =' (2)令 21,W W 分别表示(1)与(2)的解向量空间, 则显然有21W W ⊂. 另一方面, 注意到对任意n 维实(列)向量Y , .00=⇒='Y Y Y 我们有 O BX O BX BX O BX B X O BX B =⇒='⇒=''⇒=')(. 所以又有 12W W ⊂. 从而 21W W =, 维=1W 维2W .由线性方程组理论可知, 秩+B 维1W = n ,秩+'B B 维2W = n , 于是得 秩='B B 秩B .综上讨论, 我们有 秩=P 秩='B B 秩=B 秩A .由此知, m ααα,,,21 线性无关, 当且仅当秩m A =,当且仅当秩m P = ,当且仅当P 为满秩.六、 设B A ,为对称方阵, 试证明Tr(A A B B )Tr(A B A B )≤, 其中“Tr ”表示方阵的追迹(即对角元素之和).证明: 设B A ,为n 阶对称方阵,),,,(2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''==n n A αααααα .),,,(2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''==n n B ββββββ则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=n n n n n n n n AB βαβαβαβαβαβαβαβαβαβββααα 2122212121112121),,,(所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''=n n n n n n n n n n n n AB βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα 212221************2121112)(由此得 ∑∑=='⋅'=ni nj i j j i 112)()(Tr(AB )βαβα.而 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=n n n n n n n n A αααααααααααααααααααααααα 21222121211121212),,,(所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''''''⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''=n n n n n n n n n n n n B A ββββββββββββββββββαααααααααααααααααα21222121211121222121211122 由此得 ∑∑=='⋅'=ni nj i jj i 1122)()()B Tr(A ββαα.最后由柯西- 布涅柯夫斯基不等式易知.,1)()()()(,n j i i jj i i j j i ≤≤'⋅'≤'⋅'ββααβαβα从而得 ).B Tr(A Tr(AB )222≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=n n n n n n n n B ββββββββββββββββββββββββ 21222121211121212),,,(。
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
, 2. 定义 Mn.C / 上的变
(1)求变换 T 的特征值. (2)若 A 可对角化，证明 T 也可对角化.
四.(20 分) A 为 n 阶实对称矩阵，令
S D fX jX T AX D 0, X 2 Rng
(1)求 S 为 Rn 中的一个子空间的充要条件并证明. (2)若 S 为 Rn 中的一个子空间，求 di mS .
C pn n
二.(15 分) 设 f .x/ 2 C Œa, b，f .a/ D f .b/，证明 9xn, yn 2 Œa, b, s.t . lim .xn yn/ D n!1 0，且 f .xn/ D f .yn/.
三.(15 分) 证明
Xn .
kD0
1/k
Cnk
k
C
1 m
C
1
D
X m .
kD0
1/k
Cmk
k
C
1 n
C
1
其中m, n是正整数
Y 1
X 1
四.(15 分) 无穷乘积 .1 C an/ 收敛，是否无穷级数 an 收敛？若是，证明这个
nD1
nD1
结论；若不是，请给出反例.
X 1
ż1
五.(15 分) 设 f .x/ D xn ln x，计算 f .x/dx.
0
nD1
六.(15 分) 设定义 .0, C1/ 上的函数 f .x/ 二阶可导，且 lim f .x/ 存在，f 00.x/ 有 x!C1 界，证明 lim f 0.x/ D 0. x!C1
(1)证明存在正交矩阵 P 使得
0
P T AP
D
BB@
a 0
0
1
中科院硕士研究生入学考试2006高等代数试题解答
中科院2006年硕士研究生入学考试《高等代数》试题1．（16分）已知,,αβγ为实数，求n nA αβγαβγα⨯⎛⎫ ⎪⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式的值．2．（16分）线性方程组111122*********,111,221,000n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数矩阵为11121212221,11,21,n n n n n n a a a a a a A aa a ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 设()1,2,,j M j n =是在矩阵A 中化去第j 列所得到的1n -阶子式．求证：⑴()()112,,,1n n M M M ---是方程组的一个解；⑵如果A 的秩为1n -，那么方程组的解全是()()112,,,1n n M M M ---的倍数．3．（16分）若α为一实数，试计算1lim 1nn n nαα→+∞⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭． 4．（18分）设a 为实数，10010011a aA a ⨯⎛⎫⎪⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，求50A 的第一行元素之和．5．（18分）若向量()12,,,2s s ααα>线性无关，讨论122311,,,,s s s αααααααα-++++线性相关性．6．（18分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x x y P y z z '⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭化为椭圆柱面方程2244y z ''+=．求,a b 的值和正交矩阵P ． 7．（16分）设有实二次型()T f x x Ax =，其中Tx 是x 的转置，A 是33⨯实对称矩阵并满足以下方程：3261160A A A I -+-=．试计算()1max max Ax f x =．其中2222123xx x x =++，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵A 来求．8．（16分）20062006A ⨯∈是给定的幂零阵（即：存在正整数p 使得0p A =而10p A-≠），试分析线性方程()20060Ax x =∈非零独立解个数的最大值和最小值．9．（16分）设f 是有限维向量空间V 上的线性变换，且nf 是V 上的恒等变换，这里n 是某个正整数．设(){}|W v V f v v =∈=。
数学考研-中科院考研试题合辑2011-2015
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中国科学院研究生院
2011 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：数学分析
考生须知：
1. 本试卷满分为 150 分， 全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上， 写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1. (30 分)
3. (15 分) 设函数 f (x) 满足， f ′′ (x) < 0（当 x > 0） ， f (0) = 0．证明对于所有 x1 > 0， x2 > 0， 有 f (x1 + x2 ) < f (x1 ) + f (x2 )．
25 10 15 15
) ) ) )
²Ë¥
n→∞ n→∞
√ lim sin2 (π n2 + n). lim an ,
ØÁ a1 = 1, an+1 = 1 + a1 (n ≥ 1).
n
2 (
«Ï
Á f (x) ¼ ¢ g(x) =
g′′ (x) + g(x) = f (x), y = ex
x 0 f (x
Ľ (−∞, +∞) ÉÙ ÉÆÙ £ £
5 (
Ê Ä½ [a, b] É¢f (x) Ô¢g(x) ¶¢ Á f (x) > 0, g(x) > 0.
2010年中科院高等代数真题及答案解析[1]
![2010年中科院高等代数真题及答案解析[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/0aa774bb1b37f111f18583d049649b6648d7099c.png)
∴ξ T (H − xIn )ξ = ξ T (−K + iyIn )ξ = 0
设 H = (hij ), K = (kij ) ∈ ℂn×n ，则由上式可得
hk1ε12
+
hk
2ε
2 2
+⋯ + (hkk
−
x)ε
2 k
+⋯ +
hknε
2 n
=
0
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯ + (kkk
−
iy)ε
+
hk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ + hkn
⋅
ε
2 n
≤
hk1
⋅
ε
2 k
+
hk 2
⋅
ε
2 k
+⋯ + hkn
⋅
ε
2 k
≤
nh
ε
2 k
y ⋅ εk
2=
iyε
2 k
=
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯ +
kknε
2 n
≤
hk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯+
kknε
2 n
=
kk1
⋅ ε12
+
kk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ +
n
n
n
n
= ai ⋅ xi + ai + xi − n ai xi +1 .
中国科学院研究生院-2012年-招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题-高等代数
n 阶单位矩阵， 表示直和。
科目名称：高等代数
第1页
共2页
5． (20 分) 设 n 阶矩阵 A 可逆， , 均为 n 维列向量，且1 T A1 0 ，其中 T 表 示 的转置。
1） 证明矩阵 P
A T
可逆，并求其逆矩阵； 1
2） 证明矩阵 Q A T 可逆，并求其逆矩阵。 6． (20 分) 证明：任何复数方阵 A 都与它的转置矩阵 A 相似。 7． (22 分) 在二阶实数矩阵构成的线性空间 R
共2页
8． (18 分) 设 T1 , T2 , , Tn 是数域上线性空间 V 的非零线性变换， 试证明存在向
0 1 生成的子空间。 试求 W 的一组标准正 A2 1 1
量 V ，使得 Ti ( ) 0, i 1, 2, , n 。
科目名称：高等代数
第2页
2 2 T
中定义：
( A, B) tr( AT B) ， A, B R 22 其中， AT 表示矩阵 A 的转置， tr( X ) 表示矩阵 X 的迹。 1) 证明 ( A, B) 是线性空间 R 22 的内积； 1 1 2) 设 W 是由 A1 , 0 0 交基。
n n
a1an 1 a2 a n 1 2 an
其中，
ai 1,
i 1
a
i 1
2 i
n。
1) 求 A 的全部特征值； 2) 求 A 的行列式 det( A) 和迹 tr( A) 。
4．(15 分) 设数域 k 上的 n 阶方阵 A 满足 A2 A ， V1 , V2 分别是齐次线性方 程组 Ax 0 和 ( A I n ) x 0 在 k n 中的解空间，试证明： k n V1 V2 ，其中 I n 代表
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博士家园考研丛书 （2010 版）
全国重点名校数学专业考研真题及解答
数学分析与高等代数 考研真题详解
中国科学院数学专卷 博士家园 编著
博士家园系列内部资料
《 博士家园数学专业考研丛书》
编委会
这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究
生来进一步深造的同学来说，历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。为了帮助广大
校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无
闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成 21 世纪的数学大国。”每年有上万名数
学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更
2
博士家园系列内部资料
数学分析与高等代数考研真题详解
中国科学院考研数学专卷
目录
中国科学院考研数学专卷...............................................................................................................3 2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ..................................................................3 2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ..........................................................4 2000 年招收硕士研究生入学考试《线代解几》试题 ..................................................................6 2000 年招收硕士研究生入学考试《线代解几》解答 ..................................................................7 2001 年中科院数学与系统科学研究所《高等代数》试题及解答 ............................................10 2002 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................16 2003 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ................................................................17 2003 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ........................................................18 2003 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................24 2003 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................25 2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ................................................................28 2004 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ........................................................29 2004 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................32 2004 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................33 2005 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 ....................................................37 2005 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................41 2005 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................43 2006 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题 ................................................................51 2006 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题解答 ........................................................52 2006 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题 ................................................................55 2006 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答 ........................................................57 2007 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 ....................................................64 2007 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 ....................................................69 2008 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》部分试题及解答 ............................................75 2009 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》两试题及解答 ................................................78 2010 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答 ....................................................80 2010 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题及解答 ....................................................86 中科院数学所复试时遇到的题目.................................................................................................96
没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的
试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校
的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们
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Δx , Δy →0
Δx2 + Δy2
= lim Δx , Δy →0
−ΔxΔy2 (Δx2 + Δy2 )3
=
lim
r→0
−r
3
cos t r3
sin
2
t
= − lim cos t sin2 t , r→0
显然可以
知道这个极限和 t 有关, 即极限和路径有关, 所以极限不存在, 从而由定义可知是不可微
同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从 2004 年开始
大量收集数学专业的考研真题，其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。有些试
题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园(),
这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高
的．■
2．(i)证 对 fn (x) 求导 fn '(x) = nxn−1 ln x + xn−1 = nfn−1(x) + xn−1 , 再对等式两边 n −1次导,
分)设
f
(x)
=
∞ n=0
x
1 + 2n
, x ∈[0, +∞)
．证明：
(i) f (x) 在[0, +∞) 上连续；
(ii) lim f (x) = 0 ； x→+∞
(iii)对一切 x ∈ (0, +∞) 有 0 < f (x) − ln(1+ x) < 1 ． x ln 2 1+ x
6．(10 分)设 f (x) 在[−a, a] 上有连续的导数, 证明:
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博士家园系列内部资料
中国科学院考研数学专卷
2000 年招收硕士研究生入学考试《数学分析》试题
1．（15 分）定义函数
f
(x,
y)
=
⎧ ⎪ ⎨
x2
x3 +
y2
,
x2
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