湖北省武汉市钢城第四中学2020-2021学年第一学期高二期中考试数学试卷
2020-2021学年湖北省武汉市钢城第四中学高二上学期9月月考数学试题解析
2020-2021学年湖北省武汉市钢城第四中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．圆2246110x y x y +-++=的圆心和半径分别是（）A ．()2,3-B ．()2,3-；2C ．()2,3-；1D ．()2,3-答案：A将圆的方程整理为标准型，然后确定其圆心和半径即可. 解：圆2246110x y x y +-++=的标准方程为：()()22232x y -++=，据此可知圆心坐标为()2,3-. 本题选择A 选项. 点评：本题主要考查圆的标准方程，圆的圆心与半径的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．若两直线12,l l 的倾斜角分别为α与β，斜率分别是1k 与2k ，则下列四个结论中正确的是（）A ．若αβ<，则12k k <B ．若αβ=，则12k k =C ．若12k k =，则αβ=D ．若12k k <，则αβ<答案：C根据倾斜角与斜率的关系，借助正切函数的定义域和单调性逐一判断选项即可. 解：A 选项中，若αβ<，取α为锐角，β为钝角，则12tan 0,tan 0k k αβ=>=<，则12k k >.故错误；B 选项中，取2παβ==，斜率均不存在，故错误；C 选项中，若12k k =，则斜率存在，倾斜角不是2π，因为12tan ,tan k k αβ==，而正切函数tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭也单调递增，故αβ=.故正确.D 选项中，若12k k <，取120,0k k <>，且[),0,αβπ∈，故12tan 0,tan 0k k αβ=<=>，故α是钝角，β是锐角，则αβ>.故错误.故选：C. 点评：本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，也考查了正切函数的定义域与单调性，属于中档题.3．圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．10x y +-= B ．210x y -+= C ．210x y -+= D ．10x y -+=答案：A圆22250x y x +--=的圆心为(1,0)M ，圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2)N -，两圆的相交弦AB 的垂直平分线即为直线MN ，其方程为020111y x --=---，即10x y +-=；故选A.点评：本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.4．如果0pr <，0qr <，那么直线0px qy r ++=不通过（）． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C由条件求直线的横，纵截距，根据截距的正负，判断直线所过的象限. 解：当0x =时，0qy r +=，0qr <，0ry q ∴=-> 当0y =时，0px r +=，0pr <，0rx p∴=->， 直线的横截距和纵截距都是正数，所以直线过第一，二，四象限，不过第三象限. 故选：C 点评：本题考查一般式直线方程，重点考查根据方程形式求直线的横，纵截距，属于基础题型. 5．圆22(2)5x y ++=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（） A ．22(1)(1)5x y +++= B ．()2225x y +-= C ．22(1)(1)5x y -+-= D ．22(2)5x y -+=答案：A求出已知圆的圆心关于直线10x y -+=对称的点，即得对称圆的方程. 解：圆22:(2)5C x y ++=的圆心坐标为(2,0)C -设点(2,0)C -关于直线10x y -+=对称的点(,)C m n '， 则01221022n m m n -⎧=-⎪⎪+⎨-⎪-+=⎪⎩，解得1m =-，1n =-．∴对称的圆的方程为22(1)(1)5x y +++=．故选：A 点评：本题主要考查对称圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．已知直线()1:3453l m x y m ++=-，()2:258l x m y ++=平行，则实数m 的值为（） A ．-1 B ．-7C ．-1或-7D ．133-答案：B先根据两条直线平行得到系数之间的关系，再计算参数m 的值即可. 解：12//l l ()()35240m m ∴++-⨯=2870m m ∴++=1m ∴=-或7-.当1m =-时，1:248l x y +=，2:248l x y +=，两直线重合，不符合题意； 当7m =-时，1:4426l x y -+=，即1:2213l x y -=-，2:228l x y -=，满足题意.故7m =-.故选：B. 点评：本题考查了利用两条直线平行求参数的问题，属于基础题.7．设点()2,3A -，()2,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（） A ．1k或4k ≤- B ．41k -≤≤ C ．14k -≤≤ D ．以上都不对答案：A根据题中条件，画出图形，由斜率的计算公式，即可求出结果. 解：画出图形，连接AB ，PA ，PB ，因为直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交， 所以12112PB k k +≥==+或13412PA k k +≤==--， 故选：A. 点评：本题主要考查直线斜率的应用，属于基础题型.8．已知半圆()()()221242x y y -+-=≥与直线(1)5y k x =-+有两个不同交点，则实数k 的取值范围是（）A ．55(B ．33[,]22- C ．53[]2D ．3553[,(,]22- 答案：D画出图形，利用切线MP 、MQ 和直线MA 、MB 的斜率表示可得解. 解：直线(1)5y k x =-+过定点M (1,5)， 如图：MP 、MQ 与圆切于P 、Q 两点，(1,2)A -，(3,2)B ，523112MA k -==-（-），523132MB k -==--，设过M 的圆的切线方程为5(1)y k x -=-，即50kx y k -+-=， 圆心(1,2)到直线50kx y k -+-=221k =+，解得5k =，所以52MP k =，52MQ k =-， 由图可知，352k -≤<532k <≤， 故选：D 点评：本题考查了数形结合思想，考查了圆的标准方程，考查了斜率公式，考查了圆的切线方程，属于中档题. 二、多选题9．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为3则直线的倾斜角可能为（） A ．56πB ．3π C ．23π D ．6π 答案：AD根据几何方法求出弦长与已知弦长相等，解方程可得直线的斜率，进一步可得直线的倾斜角. 解：圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的圆心为(2,3)，半径为2，圆心到直线30kx y -+=的距离d ==，因为弦长为2=224341k k =-+，解得213k =，所以k =，所以直线的倾斜角为6π或56π. 故答案为：AD 点评：本题考查了圆的标准方程，考查了利用几何方法求弦长，考查了求直线的斜率和倾斜角，属于基础题. 10．若圆()2220x y r r +=>上恰有相异两点到直线4325=0x y -+的距离等于1，则r可以取值（） A ．92B ．5C ．112D ．6答案：ABC首先求得圆心(0,0)到直线4325=0x y -+的距离为5，从而得到若圆上恰有一个点到直线4325=0x y -+的距离等于1，则4r =或6r =，分析题意，得到结果. 解：圆心(0,0)到直线4325=0x y -+的距离5d ==，半径为r ，若圆上恰有一个点到直线4325=0x y -+的距离等于1， 则4r =或6r =， 故当圆()2220x y r r +=>上恰有相异两点到直线4325=0x y -+的距离等于1，所以(4,6)r ∈， 故选：ABC. 点评：该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，圆上点到直线距离与半径比较，属于简单题目.11．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为则m 的倾斜角可以是（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．75°答案：AD先由两平行直线的距离公式得直线1l 与2l 的距离为2d =，再结合直线被两平行线所截得的线段的长为22，求得该直线与直线1l 所成角30︒，然后结合直线1l 的倾斜角为45︒求解即可.解：由两平行直线的距离公式可得：直线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=的距离为3122d -==，又直线被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为22， 即该直线与直线1l 所成角30︒， 又直线1l 的倾斜角为45︒，则该直线的倾斜角大小为15︒和75︒， 故答案为：15︒和75︒. 点评：本题考查了两平行直线的距离公式及直线的倾斜角，重点考查了运算能力，属基础题. 12．已知点A 是直线:20l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90，则点A 的坐标可以是（） A ．(2 B ．()21C ．)2,0D ．()21,1-答案：AC设点A 的坐标为()2t t ，可得知当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ∠取得最大值90，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出2OA =进而可求出点A 的坐标. 解：如下图所示：原点到直线l 的距离为222111d ==+，则直线l 与圆221x y +=相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值， 连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90，且90APO AQO ∠=∠=，1OP OQ ==，则四边形APOQ 为正方形，所以22OA ==由两点间的距离公式得()2222OA t t=+-=整理得22220t t -=，解得0t =2，因此，点A 的坐标为(2或)2,0.故选：AC. 点评：本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、填空题13．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为________． 答案：2x ＋y －7＝0过一点作圆的切线只有一条，说明点在圆上，根据垂直关系即可求该切线方程. 解：∵过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， ∴点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，∵圆心与切点连线的斜率k ＝1031--＝12， ∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 故答案为：2x ＋y －7＝0 点评：此题考查直线与圆的位置关系，过一点作圆的切线的条数与点和圆的位置关系的辨析.14．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为，则a ＝________.利用两个圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，再利用几何方法求弦长可得结果. 解：圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦所在直线方程为10ay -=， 设圆心(0,0)到直线10ay -=的距离为d ，则d =d ==所以1||a =||2a =，所以2a =±.又0a >，所以2a =，故答案为：2. 点评：本题考查了求两圆公共弦所在直线方程，考查了利用几何方法求弦长，属于基础题. 15．已知直线l 经过点(4,2)A -，且在两坐标轴上截距相等，则直线l 的方程为________. 答案：20x y +=或20x y ++=按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果. 解：当直线l 在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线l 的方程为20x y +=； 当直线l 在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线l 的方程为1x ya a+=， 所以421a a-+=，解得2a =-，所以直线l 的方程为20x y ++=，所以直线l 的方程为20x y +=或20x y ++=. 故答案为：20x y +=或20x y ++= 点评：本题考查了分类讨论思想，考查了直线方程的截距式，属于基础题.16．已知两点()30A -,，()0,3B ，点C 是圆2240x y x +-=上任意一点，则ABC 面积的最小值是________.答案：152-求出圆心到直线AB 的距离为2d =，圆上任意一点到直线AB 的最小距离为2-这个距离就是三角形的高，进而可求出结果. 解：由题意可得，直线AB 的方程为133x y+=-，即30x y -+=， 由2240x y x +-=得()2224x y -+=，则圆心坐标为()2,0，半径为2r；圆心()2,0到直线AB 的距离为2d ==，根据圆的性质可得，圆上任意一点C 到直线AB 的最小距离为222r -=-；此时11152122222ABCSAB ⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.故答案为：152-. 点评：本题主要考查求圆上一点与圆外线段构成三角形的面积，转化为求圆上一点到定直线的距离问题即可，属于常考题型. 四、解答题17．在①经过直线1:20l x y -=与直线2:210l x y +-=的交点.②圆心在直线20x y -=上.③被y 轴截得弦长AB =；这三个条件中任选一个，补充下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆Q ，点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，且圆Q ____？答案：从三个条件中任选一个，都存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭. 先由点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，得到圆心在直线AB 的垂直平分线上，得到圆心横坐标，设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；设圆的半径为r ；根据圆的性质，分别计算三种情况对应的圆心坐标和半径，即可得出结果.解：因为点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，所以圆心在直线AB 的垂直平分线上，又直线AB 的方程为1y =-，直线AB 的垂直平分线所在直线方程为：21122x -+==-， 则可设圆心坐标为1,2b ⎛⎫-⎪⎝⎭；设圆的半径为r ， 若选①，由20210x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则圆过点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()222221*********r b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1b =-；则294r =， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选②，由圆心在直线20x y -=上可得1202b ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭，则1b =-， 所以()2221911124r ⎛⎫=--+-+= ⎪⎝⎭， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭；若选③，若圆被y 轴截得弦长AB =， 根据圆的性质可得，22219224AB r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()222191124r b ⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭解得1b =-， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 综上，存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭. 点评：本题主要考查求圆的方程，考查由圆上的点求圆的方程，考查由圆心和半径求圆的方程，考查由圆的弦长求圆的方程，属于常考题型.18．已知直线l 经过直线3x +4y -2=0与直线2x +y +2=0的交点P（1）若直线l 平行于直线3x -2y -9=0，求直线l 的方程；（2）若直线l 垂直于直线3x -2y -8=0，求直线l 的方程.答案：（1）32100x y -+=（2）2320x y +-=设直线l 的方程为：342(22)0x y x y λ+-+++=，即(32)(4)220x y λλλ+++-+=，（1）根据两条直线平行的条件列式可解得结果；（2）根据两条直线垂直的条件列式可解得结果解：设直线l 的方程为：342(22)0x y x y λ+-+++=，即(32)(4)220x y λλλ+++-+=，（1）因为直线l 平行于直线3x -2y -9=0， 所以32422329λλλ++-+=≠--，解得187λ=-， 所以直线l 的方程为32100x y -+=，（2）因为直线l 垂直于直线3x -2y -8=0，所以3(32)2(4)0λλ+-+=，解得14λ=-， 所以直线l 的方程为2320x y +-=.点评：本题考查了直线系方程，考查了两条直线平行、垂直的条件，属于基础题.19．ABC 中，(0,1)A ，AB 边上的高线方程为240x y +-=，AC 边上的中线方程为230x y +-=，求,,AB BC AC 边所在的直线方程答案：210x y -+=，2370x y +-=，1y =先求出AB 边上的高线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为-1，求出直线AB 的斜率后可写出直线AB 的方程；把直线AB 与AC 边上的中线方程联立求出交点B 的坐标，然后设出AC 的中点D 和C 的坐标，根据中点坐标公式列出方程组，求出解即可得到C 的坐标，利用两点坐标写出直线BC 的方程；由A 和C 的坐标写出直线AC 的方程即可.解：直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为210x y -+=，由210230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩可得直线AB 与AC 边中线的方程交点为1,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设AC 边中点()()1111,32,42,D x x C y y --，因为D 为AC 的中点，由中点坐标公式得()1111112421,,(2,1)23211x y x C x y y =-⎧=⎧⎪∴∴⎨⎨-=+=⎪⎩⎩， BC ∴边所在的直线方程为2370x y +-=，AC 边所在的直线方程为1y =．点评：本题考查直线的方程的求法以及中点坐标公式，此类问题注意分析直线方程的已知量和未知量，从而选择合适的计算方法，本题属于中档题.20．已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB的长为求实数a 的值.答案：（1）3x =或34210x y +-=；（2）34-. （1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r ，直接求解圆的切线方程即可．（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a 即可．解：（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2r .当直线斜率不存在时，直线3x =与圆C 显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=，2=，解得34k =-， ∴方程为33(3)4y x -=--，即34210x y +-=. 故过点M 且与圆C 相切的直线方程为3x =或34210x y +-=.（2）∵弦长AB为 2.圆心到直线40ax y -+=的距离d =∴224⎛⎫+=⎝⎭， 解得34a =-. 点评：本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．21．已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=. （1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的最短弦长并求此时直线l 的方程；（3）已知点(,)P x y 在圆C 上，求22x y +的最大值.答案：（1）证明见解析（2）250x y --=（3）30+（1）求出直线经过定点(3,1)，并且定点(3,1)在圆()()22:1225C x y -+-=内，所以结论正确；（2）设圆心C 到直线l 的距离为d ，根据||d CM ≤，当且仅当CM l ⊥时，d 最大，由此可求得最短弦长和直线l 的方程；（3）根据222||x y OP +=，且||OP 的最大值等于||5OC +可得结果.解：（1）由()():211740l m x m y m +++--=得(27)40x y m x y +-++-=， 由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即直线l 经过定点(3,1)， 因为22(31)(12)25-+-<，所以点(3,1)在圆()()22:1225C x y -+-=内， 所以不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点.（2）由()()22:1225C x y -+-=可知，圆心(1,2)C ，半径为5，设(3,1)M ，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则||d CM ≤=， 当且仅当CM l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离为d 最大，此时直线被圆 C 截得的弦长最短，最短弦长为==，因为211132CM k -==--，所以直线l 的斜率为2，所以直线l 的方程为12(3)y x -=-，即250x y --=.（3）设坐标原点为O ，则||OC ==，所以max ||||55OP OC =+=，所以2222||x y OP +==的最大值为25)30=+点评：本题考查了直线经过定点问题，考查了圆的标准方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的弦长问题，考查了两点间的距离公式，属于中档题.22．平面内有两个定点A （1，0），B （1，﹣2），设点P 到A 、B 的距离分别为12d d ，，且12d d =（I ）求点P 的轨迹C 的方程；（II ）是否存在过点A 的直线l 与轨迹C 相交于E 、F 两点，满足OEF S ∆=（O 为坐标原点）．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．答案：（Ⅰ）22(1)(4)8-++=x y ；（II ）存在过点A 的直线l ：x=1，理由见解析． 试题分析：（1）设点P 坐标，利用两点间距离公式及题中给出的等式可求得P 的轨迹方程．（2）分两种情况讨论：一、斜率不存在；二、斜率存在．当斜率不存在时，很容易求得三角形面积，满足题中条件；当斜率存在时，可设直线方程，可求得EF 的长度，及O 到EF 的距离，利用三角形面积为22可求得直线的斜率，得直线方程． （Ⅰ）设P （x ，y ），则，d2=，∵，∴=， 整理得：()()22x 1y 48-++=,∴点P 的轨迹C 的方程为()()22x 1y 48-++=．（II ）存在过点A 的直线l ，l 与轨迹C 相交于E ，F 两点，且使三角形S △OEF 22= 理由如下： ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=1， 直线过圆心，EF 42=O 到直线l 的距离为1，此时，ΔOEF 1S EF 1222=⋅⋅= ②当直线l 斜率存在时，设l 方程为：()y k x 1=-．点C 到l 的距离32d k 1=+，利用勾股定理，得：222168k 8EF 282k 1k 1-=-=++ 点O 到l 的距离42kd k 1=+，2ΔOEF 22k 18k 8S 2222k 1k 1-∴=⋅=++整理得23k 1=-，无解．所以直线斜率存在时满足题意的直线不存在．综上，存在过点A 的直线l ：x=1，满足题意．。
2019-2020学年湖北省武汉市钢城第四中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年湖北省武汉市钢城第四中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．在(2-x )6展开式中，含x 3项的系数是（ ） A ．20 B ．-20 C ．160 D ．-160【答案】D【解析】先确定(2-x )6展开式的通项公式，再令x 的幂指数为3求解即可. 【详解】因为(2-x )6展开式的通项公式()()66166221rrr r r rr r T C x C x --+=-=-， 令3r =，得()333334621160T C x x =-=-，含x 3项的系数是160-. 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A 、10种B 、15种C 、20种D 、30种 【答案】C【考点定位】该题主要考察分类组合的实际应用，把握分类，正确运用组合是关键 【解析】某一个队获胜可以分成3中情况，得分3:0,4:1,5:2；方法数为2213421+)20.C C C +⋅=（3．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（ ） A ．14 B ．16C ．18D ．20【答案】C【解析】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等时，即所得的等差数列的公差为0，二是所得的等差数列公差为1或-1，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，分别求出其不同的取法，再求和.【详解】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况， 一是标号相等时，即全部为1、2、3、4、5、6时，有6种取法，二是所得的等差数列公差为1或-1，即1、2、3；3、2、1；…4、5、6；6、5、4等8种取法，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，即1、3、5；5、3、1；…2、4、6；6、4、2等4种取法，所以共有68418++=种. 故选：C 【点睛】本题主要考查分类加法计算原理，还考查了分类讨论的思想和列举求解的能力，属于中档题.4．C 33+C 43+C 53+…+C 153等于（ ） A ．C 154 B ．C 164 C ．C 173 D ．C 174【答案】B【解析】利用组合数的性质求解 【详解】C 33+C 43+C 53+…+C 153，4333334456715...C C C C C C =++++++，43333556715...C C C C C =+++++， 433366715...C C C C =++++， 43437151515......C C C C =++==+， 416C =.故选：B 【点睛】本题主要考查组合数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．用1、2、3、4、5、6中的两个数分别作为对数的底数和真数，则得到的不同的对数值共有（ ） A ．30个 B ．15个C ．20个D ．21个【答案】D【解析】先对真数为1和不为1讨论，再对底数，真数都不为1求解，然后求和. 【详解】因为1只能作真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值为0，有1个对数式， 从1除外的其余各数中任取两数，分别作为真数和底数，共能组成5420⨯=个对数式，且值不同，所以共有12021+=个. 故选：D 【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人，则两名女生相邻而站的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】这是一个古典概型，先确定5名师生站成一排站法数，记“两名女生相邻而站”为事件A ，两名女生站在一起，视为一个元素与其余3个人全排，计算出事件A 共有不同站法数，再代入公式求解. 【详解】5名师生站成一排共有55120A =种站法，记“两名女生相邻而站”为事件A ，两名女生站在一起有222A =种，视为一个元素与其余3个人全排，有4424A =种排法， 则事件A 共有不同站法242448A A ⋅=种，所以()4821205p A ==， 两名女生相邻而站的概率是25. 故选：B 【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于中档题. 7．如果函数()f x ax b =+在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a =（ ）A ．3-B ．2C ．3D ．2-【答案】C【解析】根据平均变化率的定义，可知()()2321a b a b y a x +-+===-n n 故选C8．下图是y = f (x )的导数图象，①f (x )在(-3，1)上是增函数；②1x =-是f (x )的极小值点；③f (x )在(2，4)上是减函数，在(-1，2)上是增函数；④x =2是f (x )的极小值点；则正确的判断是（ ）A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①③④【答案】B【解析】根据导数极值点的定义以及导数的正负与函数的增减之间的关系判断. 【详解】①当31x -<<-时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，故f (x )在(-3，1)上不单调，故错误；②当31x -<<-时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，故1x =-是f (x )的极小值点，故正确；③当24x <<时，()0f x '<，当12x -<<时，()0f x '>，所以f (x )在(2，4)上是减函数，在(-1，2)上是增函数，故正确；④当24x <<时，()0f x '<，当12x -<<时，()0f x '>，x =2是f (x )的极大值点，故错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查极值点的定义以及导数的正负与函数的增减之间的关系，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.9．与直线2x －6y ＋1＝0垂直，且与曲线f (x )＝x 3＋3x 2－1相切的直线方程是（ ） A ．3x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0【答案】A【解析】根据f (x )＝x 3＋3x 2－1，求导()f x '，设切点为()00,P x y ，再根据切线与直线2x －6y ＋1＝0垂直，求得切点，写出切线方程. 【详解】因为f (x )＝x 3＋3x 2－1， 所以()236f x x x '=+，设切点为()00,P x y ，又因为切线与直线2x －6y ＋1＝0垂直， 所以()2000363f x x x '=+=-，解得01x =-，01y =，所以切线方程是()131y x -=-+，即 3x ＋y ＋2＝0. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.82(log 5.1),(2),(3)a g b g c g =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】根据奇函数()f x 在R 上是增函数可得()g x 为偶函数且在[)0,+∞上为增函数，从而可判断,,a b c 的大小. 【详解】()g x 的定义域为R .()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==⎡⎤⎣⎦，故()g x 为偶函数.因为()f x 为R 上的奇函数，故()00f =，当0x >时，因为()f x 为R 上的增函数，故()()00f x f >=. 设任意的120x x ≤<，则()()120f x f x ≤<，故()()1122x f x x f x <，故()()12g x g x <，故()g x 为[)0,+∞上的增函数，所以 ()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，而0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，故()()()0.823log 5.12g g g >>，所以c a b >>.故选C. 【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.11．设()()210nn f x x x xx =+++⋅⋅⋅+>，其中,2n N n ∈≥，则函数()()12,12n n n G x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．与n 有关【答案】B【解析】先利用导数判断()f x 在()0,∞+上单调递增，再利用零点存在定理可得结果. 【详解】由()231'1234...0n n f x x x x nx-=+++++>，知()f x 在()0,∞+上单调递增，11111112222201222212n n nn n G f +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-=--=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，()()()112102n n G f n n =-=->≥，根据零点存在定理可得()()2n n G x f x =-在1,12n ⎛⎫⎪⎝⎭零点的个数只有1个，故选B. 【点睛】判断函数()y f x =零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.12．如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同的种法种数为（ ）A ．96B ．84C ．260D ．320【答案】C【解析】按照A -B -C -D 的顺序种花，分A ，C 同色与不同色两种情况求解. 【详解】按照A -B -C -D 的顺序种花，当A ，C 同色时，541480⨯⨯⨯=种， 当A ，C 不同色时，5433180⨯⨯⨯=种， 所以共有260种. 故选：C 【点睛】本题主要考查涂色问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．若C 9x -2=C 92x -1，则x =_____． 【答案】4【解析】根据组合数的性质求解. 【详解】因为C 9x -2=C 92x -1， 所以2219x x -+-= 解得4x = 故答案为：4 【点睛】本题主要考查组合数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．(1-x )7的展开式中，所有含x 的奇次幂的项的系数和为____________． 【答案】-64【解析】设(1-x )7270127...a a x a x a x =++++，分别令1x =和 1x =-，两式相减求解即可.【详解】设(1-x )7270127...a a x a x a x =++++，令1x =时，0127...0a a a a ++++=，令1x =-时，70127...2a a a a -++-=，两式相减得：()71372...2a a a +++=-，所以137...64a a a +++=-. 故答案为：64- 【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A 地移动到B 地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A 移动到B 最近的走法共有____种．【答案】80【解析】分三步来考查，先从A 到C ，再从C 到D ，最后从D 到B ，分别计算出三个步骤中对应的走法种数，然后利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】分三步来考查：①从A 到C ，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有12C 种走法；②从C 到D ，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有36C 种走法； ③从D 到B ，由①可知有12C 种走法.由分步乘法计数原理可知，共有13126280C C C =种不同的走法.故答案为：80. 【点睛】本题考查格点问题的处理，考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用，属于中等题. 16．设函数f (x )的定义域为R ．若存在与x 无关的正常数M ，使|f (x )|≤ M |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为有界泛函．则函数：① f (x )=-3x ，② f (x )=x 2，③ f (x )=sin 2x ，④ f (x )=2x ，⑤ f (x )=x cos x 中，属于有界泛函的有____________．（填上所有正确的番号） 【答案】①③⑤【解析】根据“f (x )为有界泛函”的定义找到符合条件的M 即可. 【详解】① 因为()33f x x x =-=，要使3x M x ≤对一切实数x 均成立，只要3M ≥即可，故正确.② 因为()2f x x M x =≤，当0x ≠时，x M ≤，不存在这样的M ，使|f (x )|≤ M |x |对一切实数x 均成立，故错误.③ 因为()2sin sin f x x x x =≤≤，要使2sin x M x ≤对一切实数x 均成立，，只要1M ≥即可，故正确.④因为()2xf x =，当0x =时，()0100f M =>⋅=，不存在这样的M ，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 均成立，故错误.⑤ 因为()cos f x x x x =≤，要使x M x ≤对一切实数x 均成立，，只要1M ≥即可，故正确.故答案为：①③⑤ 【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成． （1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）15；（2）120；（3）74【解析】（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，利用分类计数原理求得结果．（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，利用分步计数原理求得结果．（3）首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择． 【详解】（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N =5+6+4=15种；（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N =5×6×4=120种； （3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择：N =5×6+6×4+4×5=74种．； 【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.18．求下列函数的最值：（1）()ln f x x x =-，](0x e ∈，； （2）()31443f x x x =-+，[]0?3x ∈，. 【答案】（1）最大值1-，没有最小值；（2）最大值为4，最小值为43- 【解析】（1）求导()111xf x x x-'=-=，唯一的极值点为最值点，注意端点取不到的情况.（2）求导()24f x x '=-，求出极值，再与端点值比较，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值. 【详解】 （1）()111x f x x x-'=-=， 由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x e <<.()f x ∴在()0,1内单调递增，在(]1,e 内单调递减，∴当1x =时，()f x 取最大值()11f =-. ∵当0x →时，()f x →-∞，()f x ∴没有最小值.（2）∵()31443f x x x =-+， ∴()24f x x '=-.令()0f x '=，得1222x x =-=，.∵()423f =-，()04f =，()31f = ∴函数()f x 在[]0,3上最大值为4，最小值为43-. 【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元．设该容器的建造费用为千元．（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时.【解析】【详解】 （1）由体积V=3243r r ππ+l =803π，解得l =，∴y=2πr l ×3+4πr 2×c =6πr×+4cπr 2=2π•，又l ≥2r ，即≥2r ，解得0＜r≤2∴其定义域为（0，2]．（2）由（1）得，y′=8π（c ﹣2）r ﹣，=，0＜r≤2由于c ＞3，所以c ﹣2＞0 当r 3﹣=0时，则r=令=m ，（m ＞0）所以y′=①当0＜m ＜2即c ＞时， 当r=m 时，y′=0当r ∈（0，m ）时，y′＜0 当r ∈（m ，2）时，y′＞0所以r=m 是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当m≥2即3＜c≤时，当r ∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减． 所以r=2是函数y 的最小值点．综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r=2； 当c ＞时，建造费用最小时r=20．设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(13)3n a b +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 【答案】（1）5n =； （2）-32.【解析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51-的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值. 【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥L ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-． 【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.21．已知函数()21xax x f x e+-=．（1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．【答案】（1）切线方程是210x y --=（2）证明见解析 【解析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当a 1≥时，()12f x e 1x x e x x e +-+≥++-（）,令12gx 1x e x x +=++-，只需证明gx 0≥即可． 【详解】 （1）()()2212xax a x f x e-++'-=，()02f '=．因此曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程是210x y --=． （2）当1a ≥时，()()211x xf x e x x ee+-+≥+-+．令()211x g x x x e+=+-+，则()121x g x x e+=++'，()120x g x e+''=+>当1x <-时，()()10g x g '-'<=，()g x 单调递减；当1x >-时，()()10g x g '-'>=，()g x 单调递增；所以()g x ()1=0g ≥-．因此()0f x e +≥． 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造12g(x)1x e x x +=++-很关键，本题有难度．22．设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和xy e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 【答案】（I ）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -.（II ）（i ）见解析.（ii ）[7,1]-.【解析】试题分析：求导数后因式分解根据1a ≤，得出4a a <-，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对()g x 求导，根据函数()y g x =和x y e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，解得0()0f x '=，根据()f x 的单调性可知()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，得出32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤，求出()f a 的范围，得出b 的范围.试题解析：（I ）由()()32634f x x x a a x b =---+，可得()()()()()2'3123434f x x x a a x a x a =---=---，令()'0f x =，解得x a =，或4x a =-.由1a ≤，得4a a <-. 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为(),a -∞，()4,a -+∞，单调递减区间为(),4a a -.（II ）（i ）因为()()()()''xg x e f x f x =+，由题意知()()0000'xx g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()()()()0000000'x x x x f x e e e f x f x e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.（ii ）因为()xg x e ≤，[]001,1x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x ≤.又因为()01f x =，()0'0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a =. 另一方面，由于1a ≤，故14a a +<-，由（I ）知()f x 在()1,a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[]1,1a a -+上恒成立，从而()xg x e ≤在[]001,1x x -+上恒成立.由()()326341f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令()32261t x x x =-+，[]1,1x ∈-，所以()2'612t x x x =-，令()'0t x =，解得2x =（舍去），或0x =.因为()17t -=-，()13t =-，()01t =，故()t x 的值域为[]7,1-. 所以，b 的取值范围是[]7,1-. 【考点】导数的应用【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.。
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．命题p：∃x∈R，2x+1＞0的否定为（）A．∀x∈R，2x+1＜0B．∃x∈R，2x+1≤0C．∀x∈R，2x+1＞0D．∀x∈R，2x+1≤02．下列各组数中方差最小的是（）A．1，2，3，4，5B．2，2，2，4，5C．3，3，3，3，3D．2，3，2，3，2 3．已知直线过A（3，m+1），B（4，2m+1）两点且倾斜角为，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．一个等比数列的第3项和第7项分别为8和18，则它的第5项为（）A．12B．﹣12C．±12D．5．已知某圆拱桥拱高5米，水面跨度为30米，则这座圆拱桥所在圆的半径为（）米A．20B．25C．24D．236．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行阶梯水价，每人月用水量中不超过a立方米的部分按2.5元/立方米收费，超出a立方米的部分按7元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某年的月均用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：如果a为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米，a至少定为（）A．2B．2.5C．3D．47．一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（）A．B．C．D．8．已知动点M到A（1，1），B（﹣3，3）两点的距离相等，P是圆（x﹣3）2+y2＝5上的动点，则|PM|的最小值为（）A．B．C．2D．二、选择题（共4个小题）9．若A，B为互斥事件，P（A），P（B）分别表示事件A，B发生的概率，则下列说法正确的是（）A．P（A）+P（B）＜1B．P（A）+P（B）≤1C．P（A∪B）＝1D．P（A∩B）＝010．某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：x23456y 2.2 3.8 6.57.0已知根据表中原始数据得回归直线方程为＝1.23x+0.08．某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（）A．所支出的维修费用与使用年限正相关B．估计使用10年维修费用是12.38万元C．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5D．点（4，5）一定在回归直线＝1.23x+0.08上11．下列命题为真命题的是（）A．“a，A，b成等差数列”的充要条件是“2A＝a+b”B．“a，A，b成等比数列”的充要条件是“A2＝ab”C．“a＝﹣”是“方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0表示平行于x轴的直线”的充分不必要条件D．已知直线l过点（3，1），则“直线l的斜率为”是“直线l与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”的充分不必要条件12．已知数列{a n}的前n项和S n满足，下列说法正确的是（）A．若首项a1＝1，则数列{a n}的奇数项成等差数列B．若首项a1＝1，则数列{a n}的偶数项成等差数列C．若首项a1＝1，则S15＝477D．若首项a1＝a，若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（3，5）三、填空题（共4个小题）13．若“x≤a”是“x≤2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为．14．在所有7位自然数中任取一个数，则头两位都是3的概率为15．已知直线l1：mx+ny+5＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：3x﹣y﹣1＝0，若这三条直线交于一点，则交点坐标为，点（m，n）到原点的距离最小值为．16．长为的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C，已知过定点P（2，0）的直线l与曲线C相交于E，F两点，O为坐标原点，当△EOF的面积取到最大值时，直线l的斜率为四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A（2，0），B（3，3），C（﹣1，1）．（1）求点A到直线BC的距离；（2）求△ABC的外接圆的方程．18．（12分）在①a2﹣2，a3，a4+6成等比数列，②a3+1，a5，a6+1成等差数列，③a2，a4+2，a6+10成等比数列，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并作答．正项等差数列{a n}满足a1＝4，且______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和．19．（12分）由于疫情，学生在家经过了几个月的线上学习，某高中学校为了了解学生在家学习情况，复学后进行了复学摸底考试，并对学生进行了问卷调查，如表（单位：人）是对高二年级数学成绩及“认为自己在家学习态度是否端正”的问卷调查的统计结果，其中成绩不低于120分为优秀，成绩不低于90分且小于120分的为及格，成绩小于90分的为不及格．优秀及格不及格学习态度端正91300a学习态度不端正9200322按成绩用分层抽样的方法在高二年级中抽取50人，其中优秀的人数为5．（1）求a的值；（2）用分层抽样的方法在及格的学生中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学习不端正的概率；（3）在及格的学生中随机抽取了10人，他们的分数如图所示的茎叶图，已知这10名学生的平均分为104.5，求a＞b的概率．20．（12分）已知命题p：∃x∈[2，3]，使不等式ax2﹣ax﹣1＜0成立；命题q：∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[1，2]使不等式＜0成立．（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题p和命题q一真一假，求实数a的取值范围．21．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，直线l：（m+2）x+（m+1）y+4m+6＝0．（1）证明：不论实数m为何值，直线l与圆C始终相交；（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，设集合M＝{x|x＝|AB|且x∈N}，在集合M中任取两个数，求这两个数都不小于8的概率．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝3a n﹣3，．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，若数列{c n}为递增数列，求λ的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．命题p：∃x∈R，2x+1＞0的否定为（）A．∀x∈R，2x+1＜0B．∃x∈R，2x+1≤0C．∀x∈R，2x+1＞0D．∀x∈R，2x+1≤0解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，2x+1≤0，故选：D．2．下列各组数中方差最小的是（）A．1，2，3，4，5B．2，2，2，4，5C．3，3，3，3，3D．2，3，2，3，2解：根据各个选项的数据，显然选项C的方差是0，方差最小，故选：C．3．已知直线过A（3，m+1），B（4，2m+1）两点且倾斜角为，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣D．解：根据题意，直线AB的倾斜角为，则其斜率k＝tan＝﹣，又由A（3，m+1），B（4，2m+1），则AB的斜率k＝＝m，则有m＝﹣，故选：C．4．一个等比数列的第3项和第7项分别为8和18，则它的第5项为（）A．12B．﹣12C．±12D．解：∵a3•a7＝8×18，∴a5＝±＝±＝±12，∵等比数列的奇数项的符号相同，∴a5＝12，故选：A．5．已知某圆拱桥拱高5米，水面跨度为30米，则这座圆拱桥所在圆的半径为（）米A．20B．25C．24D．23解：设圆的半径为r，由题意可得弦心距为r﹣5，半弦长为15，故有152+（r﹣5）2＝r2，求得r＝25，故选：B．6．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行阶梯水价，每人月用水量中不超过a立方米的部分按2.5元/立方米收费，超出a立方米的部分按7元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某年的月均用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：如果a为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米，a至少定为（）A．2B．2.5C．3D．4解：由频率分布直方图得：用水量在[0，0.5）的频率为0.08×0.5＝0.04，用水量在[0.5，1）的频率为0.16×0.5＝0.08，用水量在[1，1.5）的频率为0.30×0.5＝0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.44×0.5＝0.22，用水量在[2，2.5）的频率为0.50×0.5＝0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.28×0.5＝0.14，∵用水量在[0，2.5）的频率为：0.04+0.08+0.15+0.22+0.25＝0.74，用水量在[0，3）的频率为：0.04+0.08+0.15+0.22+0.25+0.14＝0.88．∴根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米，a至少定为3元．故选：C．7．一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（）A．B．C．D．解：一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色．则两次摸球全是白球的概率为×＝，故两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为1﹣＝，故选：B．8．已知动点M到A（1，1），B（﹣3，3）两点的距离相等，P是圆（x﹣3）2+y2＝5上的动点，则|PM|的最小值为（）A．B．C．2D．解：由动点M到A（1，1），B（﹣3，3）两点的距离相等，得M在线段AB的垂直平分线上，∵AB的中点坐标为（﹣1，2），，∴AB的垂直平分线方程为y﹣2＝2（x+1），即2x﹣y+4＝0．P是圆C：（x﹣3）2+y2＝5上的动点，如图：∵圆心C到直线2x﹣y+4＝0的距离d＝，∴|PM|的最小值为．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．若A，B为互斥事件，P（A），P（B）分别表示事件A，B发生的概率，则下列说法正确的是（）A．P（A）+P（B）＜1B．P（A）+P（B）≤1C．P（A∪B）＝1D．P（A∩B）＝0解：∵A，B为互斥事件，P（A），P（B）分别表示事件A，B发生的概率，∴P（A）+P（B）≤1，P（A∩B）＝0，故A错误，B正确，C错误，D正确．故选：BD．10．某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：x23456y 2.2 3.8 6.57.0已知根据表中原始数据得回归直线方程为＝1.23x+0.08．某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（）A．所支出的维修费用与使用年限正相关B．估计使用10年维修费用是12.38万元C．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5D．点（4，5）一定在回归直线＝1.23x+0.08上解：由线性回归方程为＝1.23x+0.08，回归系数为＞0，所支出的维修费用与使用年限正相关，选项A正确；x＝10时，＝1.23×10+0.08＝12.38，所以估计使用10年维修费用是12.38万元，选项B 正确；某设看不清的数字为a，计算＝×（2+3+4+5+6）＝4，＝×（2.2+3.8+a+6.5+7.0）＝，代入回归直线方程＝1.23x+0.08中，得＝1.23×4+0.08，解得a＝5.5，所以根据回归方程可推断出模糊不清的数据值为5.5，选项C错误；样本中心点（4，5）在线性回归方程＝1.23x+0.08上，所以选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，也考查了运算求解与推理能力，是中档题．11．下列命题为真命题的是（）A．“a，A，b成等差数列”的充要条件是“2A＝a+b”B．“a，A，b成等比数列”的充要条件是“A2＝ab”C．“a＝﹣”是“方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0表示平行于x轴的直线”的充分不必要条件D．已知直线l过点（3，1），则“直线l的斜率为”是“直线l与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”的充分不必要条件解：对于A：由2A＝a+b得A﹣a＝b﹣A，即a，A，c成等差数列，若a，A，b成等差数列，则A﹣a＝b﹣A，即“2A＝a+b“是“a，A，b成等差数列”的充要条件，故A正确；对于B：若a，A，b成等比数列，则A＝±（ab＞0），由A＝，可得a，A，b成等比数列，或“x＝0且a与b中至少一个为0”，属于a，A，b成等比数列”的必要条件是“A2＝ab”不对，故B错误；对于C：当a＝﹣时，代入方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0，可得k＝0，表示平行于x轴的直线”当示平行于x轴的直线时，可得6a2﹣a﹣2＝0，可得a＝﹣或a＝，所以a＝﹣”是“方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0表示平行于x轴的直线”的充分不必要条件；故C正确；对于D：已知直线l过点（3，1），且直线l的斜率为”与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”，而过（3，1）与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”的直线l的斜率有两个值，所以是充分不必要条件，故D正确；故选：ACD．【点评】本题等差等比的性质应用和直线方程以及圆的切线问题，属于中档题．12．已知数列{a n}的前n项和S n满足，下列说法正确的是（）A．若首项a1＝1，则数列{a n}的奇数项成等差数列B．若首项a1＝1，则数列{a n}的偶数项成等差数列C．若首项a1＝1，则S15＝477D．若首项a1＝a，若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（3，5）解：数列{a n}的前n项和S n满足，所以，，当n＝1时，S1+S2＝4×4＝16，即2a1+a2＝16，当n＝2时，a3+2S2＝36，对于A：已知a1＝1，故a2＝14，a3＝6，所以a3﹣a1＝5≠8，故数列{a n}的奇数项不成等差数列，故A错误；对于B：故a n+1+a n＝4（2n+1），a n+a n﹣1＝4（2n﹣1），所以a n+1﹣a n﹣1＝8，故数列{a n}的偶数项成等差数列，故B正确；对于C：S15＝（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a14）＝1+6×+，故C正确；对于D：由a1＝a，知，所以a2＝16﹣2a，，解得a3＝4+2a，a4＝24﹣2a．若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，只需满足a1＜a2＜a3＜a4，即a＜16﹣2a＜4+2a＜24﹣2a，解得：3＜a＜5．故a的取值范围是（3，5），故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若“x≤a”是“x≤2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（2，+∞）．解：设P＝{x|x≤a}，Q＝{x|x≤2}，由条件知，“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件，则Q⫋P；∴a＞2，即则实数a的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义建立不等式关系是解决本题的关键，属于基础题．14．在所有7位自然数中任取一个数，则头两位都是3的概率为解：在所有7位自然数中任取一个数，基本事件总数n＝9×106，其中头两位都是3包含的基本事件个数m＝105，则头两位都是3的概率p＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知直线l1：mx+ny+5＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：3x﹣y﹣1＝0，若这三条直线交于一点，则交点坐标为（1，2），点（m，n）到原点的距离最小值为．解：联立，得，∵直线l1：mx+ny+5＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：3x﹣y﹣1＝0，这三条直线交于一点，∴交点坐标为（1，2），把（1，2）代入直线l1：mx+ny+5＝0得：m+2n+5＝0，即m＝﹣2n﹣5，点（m，n）到原点的距离：d＝＝＝＝，∴当n＝﹣2，m＝﹣1时，点（m，n）到原点的距离最小值为．故答案为：（1，2），．【点评】本题考查直线的交点坐标、两点间的距离的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．长为的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C，已知过定点P（2，0）的直线l与曲线C相交于E，F两点，O为坐标原点，当△EOF的面积取到最大值时，直线l的斜率为±解：设M点坐标为（x，y），则A点坐标为（2x，0），B点坐标为（0，2y），由|AB|＝2，得（2x﹣0）2+（0﹣2y）2＝8，化简得x2+y2＝2，所以曲线C的方程x2+y2＝2，由题知，直线l斜率存在，设直线l的斜率为k，方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，△EOF的面积取到最大值时，OE⊥OF，圆心到直线的距离d＝1，∴d＝＝1，∴k＝±．故答案为：±．【点评】本题考查了点的轨迹方程，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，确定△AOB的面积取到最大值时，OA⊥OB是关键，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A（2，0），B（3，3），C（﹣1，1）．（1）求点A到直线BC的距离；（2）求△ABC的外接圆的方程．解：（1）∵A（2，0），B（3，3），C（﹣1，1），故直线BC的方程为＝，即2x﹣y+3＝0．故点A到直线BC的距离d＝＝＝．（2）△ABC的外接圆的方程为x2+y2+dx+ey+f＝0，把A、B、C的坐标代入可得，求得，故△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y＝0．【点评】本题主要考查用两点式求直线的方程，点到直线的距离公式，用待定系数法求圆的方程，属于中档题．18．（12分）在①a2﹣2，a3，a4+6成等比数列，②a3+1，a5，a6+1成等差数列，③a2，a4+2，a6+10成等比数列，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并作答．正项等差数列{a n}满足a1＝4，且______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和．解：若选①：（1）设正项等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：a32＝（a2﹣2）（a4+6），又a1＝4，∴（4+2d）2＝（4+d﹣2）（4+3d+6），解得：d＝2或d＝﹣2（舍），∴a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）由（1）可得：＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和为﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．若选②：（1）设正项等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：2a5＝a3+a6+2，又a1＝4，∴2（4+4d）＝4+2d+4+5d+2，解得：d＝2，∴a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）由（1）可得：＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和为﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．若选③：（1）设正项等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：（a4+2）2＝a2（a6+10），又a1＝4，∴（4+3d+2）2＝（4+d）（4+5d+10），解得：d＝2或d＝﹣（舍），∴a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）由（1）可得：＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和为﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．19．（12分）由于疫情，学生在家经过了几个月的线上学习，某高中学校为了了解学生在家学习情况，复学后进行了复学摸底考试，并对学生进行了问卷调查，如表（单位：人）是对高二年级数学成绩及“认为自己在家学习态度是否端正”的问卷调查的统计结果，其中成绩不低于120分为优秀，成绩不低于90分且小于120分的为及格，成绩小于90分的为不及格．优秀及格不及格学习态度端正91300a学习态度不端正9200322按成绩用分层抽样的方法在高二年级中抽取50人，其中优秀的人数为5．（1）求a的值；（2）用分层抽样的方法在及格的学生中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学习不端正的概率；（3）在及格的学生中随机抽取了10人，他们的分数如图所示的茎叶图，已知这10名学生的平均分为104.5，求a＞b的概率．解：（1）设高二年级总人数为n人，由题意可得＝，解得n＝1000，则a＝100﹣（91+9）﹣322﹣（300+200）＝78，（2）设所抽样本中有x人学习态度端正的学生，则由分层抽样可知＝，解得x＝3，因此抽取一个容量为5的样本中，由2个学习态度不端正，3个学习态度端正，分别记作a，b，A，B，C，从中任取2个的基本事件为（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10个．至少含有11人学习不端正的基本事件有7个，（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），∴从中任取2人，至少有1人学习不端正的概率P＝；（3）记事件A为“a＞b“，因为平均分为104.5，则（90×3+100×4+110×3+2+a+b+5+6+8+3+6+7）＝104.5，解得a+b＝8，∴a和b的取值共有9种情况，它们是（0，8），（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1），（8，0），其中a＞b有4种情况，它们是（5，3），（6，2），（7，1），（8，0），故P（A）＝．20．（12分）已知命题p：∃x∈[2，3]，使不等式ax2﹣ax﹣1＜0成立；命题q：∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[1，2]使不等式＜0成立．（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题p和命题q一真一假，求实数a的取值范围．解：命题p：∃x∈[2，3]，使不等式ax2﹣ax﹣1＜0成立，即a＜在[2，3]上有解，又当2≤x≤3时，2≤x2﹣x≤6，所以，故a，命题q：∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[1，2]使不等式＜0成立，所以，因为y＝（）x﹣x在[﹣1，2]上单调递减，故x1∈[﹣1，2]时，值域[﹣，3]，所以∃x2∈[1，2]，，即a＞＝x+在[1，2]上有解，因为y＝x+在[1，2]上先减后增，当x＝时取得最小值2，故a＞2，（1）若命题p为真，则a的范围{a|a}，（2）若命题p和命题q一真一假，当p真q假时，即a＜，当p假q真时，即a＞2，综上，实数a的取值范围{a|a＜或a＞2}．21．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，直线l：（m+2）x+（m+1）y+4m+6＝0．（1）证明：不论实数m为何值，直线l与圆C始终相交；（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，设集合M＝{x|x＝|AB|且x∈N}，在集合M中任取两个数，求这两个数都不小于8的概率．【解答】（1）证明：化直线l：（m+2）x+（m+1）y+4m+6＝0为m（x+y+4）+2x+y+6＝0，由，解得，∴直线l过定点P（﹣2，﹣2），又（﹣2﹣1）2+（﹣2﹣1）2＝18＜25，∴点P在圆内，∴不论实数m为何值，直线l与圆C始终相交；（2）解：设C到直线l的距离为d，∵|AB|＝，∴当d最大时|AB|最小，d最小时|AB|最大，又0≤d≤|CP|，即当l与直线CP垂直时，，∴．|AB|max＝10，即M＝{x|且x∈N}＝{6，7，8，9，10}，从6，7，8，9，10中任取两数的基本事件有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10种，两数都不小于8的有（8，9），（8，10），（9，10）共3种．∴在集合M中任取两个数，这两个数都不小于8的概率为．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝3a n﹣3，．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，若数列{c n}为递增数列，求λ的取值范围．解：（1）∵S n＝3a n﹣3，∴S n﹣1＝3a n﹣1﹣3（n≥2），两式相减得：a n＝3a n﹣3a n﹣1，即a n＝a n﹣1，n≥2，又当n＝1时，有S1＝3a1﹣3，解得：a1＝，∴数列{a n}是首项、公比均为的等比数列，∴a n＝（）n，b n＝3log a n+1＝3n+1；（2）由（1）可得：＝（）n﹣λ（3n+1）2，∵数列{c n}为递增数列，∴c n+1﹣c n＝（）n+1﹣λ（3n+4）2﹣（）n+λ（3n+1）2＝×（）n﹣λ（18n+15）＞0对∀n∈N*恒成立，即λ＜对∀n∈N*恒成立，设f（n）＝，n∈N*，则＝×，由＞1解得：n＞，∴当n≥2时，f（n+1）＞f（n）；当n＝1时，f（n+1）＜f（n），∴f（n）min＝f（2）＝，∴λ＜，即λ的取值范围为（，+∞）．。
湖北省武汉市钢城第四中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷(答案不全)
钢城四中2020—2021（上）期中考试卷学科数学年级 高一 命题 时间 120 分值 150’第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式4＋3x －x 2<0的解集为( )A ．{x |－1<x <4}B ．{x |x >4，或x <－1}C ．{x |x >1，或x <－4}D ．{x |－4<x <1} 2．不等式y ＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y 的图象为（ ）3．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )4．函数y ＝5－4x －x 2的递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．[－5，－2]C ．[－2,1]D ．[－5,1]5．若关于x 的不等式x 2＋px ＋q <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式x 2＋px ＋qx 2－5x －6>0的解集是( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |x <－1，或x >6}C ．{x |－1<x <1，或2<x <6}D ．{x |x <－1，或1<x <2，或x >6}6.已知集合A ＝{1,2}，B ＝{4,5,6}，则从A 到B 的函数f (x )有( )A ．8个B ．6个C ．7个D ．9个7． 函数f (x )＝x 3＋x ＋a x－8(a ∈R )在区间[m ，n ]上的最大值为10，则函数f (x )在区间[－n ，－m ]上的最小值为（ ）A ．-10B ．-8C ．-26D ．与a 有关8．若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B ．[1,2] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的的3分. 9．下列结论正确的是( )A ．当x >0时，x ＋1x≥2 B ．当x >2时，x ＋1x的最小值是2C ．当x <54时，y ＝4x －2＋14x －5的最小值为5D ．当x >0，y >0时，x y ＋yx ≥210．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是( )A ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1，或m >9} B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0} C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1} D ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1}11．函数f (x )＝x 2－(4a －1)x ＋2在[－1,2]上单调，则实数a 的取值可能是( )A ．－1B ．0C ．1D ．212．(多选题)已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A ．这个函数有两个单调递增区间B ．这个函数有三个单调递减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值7D ．这个函数在其定义域内有最小值－7第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为__________ 14.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式x f (x )<0的解集是________．15．已知A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个必要不充分条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是______．16．设f (x )是定义在R 上的增函数，且f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1，则不等式f (x )＋f (－2)>2的解集为_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1；18. (1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )；(2)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式；19．(12分)已知方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根．(1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围；(2)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．21．(12分).已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .(1)现已画出函数f (x )在y 轴及y 轴左侧的图象，如图所示，请把函数f (x )的图象补充完整，并根据图象写出函数f (x )的单调递增区间； (2)写出函数f (x )的值域．22．(12分)已知函数f (x )＝|x +1|(x -2)．(1)作出函数f (x )的图象．(2)判断直线y ＝a 与y ＝|x +1|(x -2)的交点的个数(3)已知方程|x +1|(x -2)=2m-1有三个实数解。
湖北省武汉市钢城第四中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
故选：B.
9．ABC
【分析】
根据相互独立事件的概率公式以及互斥事件的概率公式、对立事件的概率公式逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于A： 个球都是红球的概率为 ，故选项A正确；
对于B： 个球中恰有 个红球的概率为 ，故选项B正确；
对于C：至少有一个红球包括两个都是红球和恰有 个红球，结合选项A、B可知：至少有一个红球的概率为 ，故选项C正确；
16．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．
四、解答题
17．在①只有第 项的二项式系数最大，②第 项与第 项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为 ，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
对于D： 个球不都是红球的对立事件为 个球都是红球，所以 个球不都是红球的概率为 ，故选项D不正确；
故选：ABC.
10．AD
【分析】
利用多项式的乘法法则得到 系数由三部分组成，利用二项展开式的通项公式求出各项的系数，列出方程求出 的值．
【详解】
解：因为 ，所以 的展开式中 的系数是 ，故 ，解得 或-1.
7．将标号为 、 、 、 、 、 的 个小球随机地放入标号为 、 、 、 、 、 的 个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有 个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有（）
A． 种B． 种C． 种D． 种
8．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）
湖北省武汉市钢城第四中学2019-2020高二下学期期中考试数学试卷Word版
数学试卷考试时长：120分钟，满分150分一、单选题（每题5分，总分：60分）1. 在(2-x)6展开式中，含x3项的系数是 ( )A.20B.-20C.160D.-1602. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有 ( )A.20种B.15种C.30种D.10种3. 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ( )A.14B.16C.18D.204. C33+C43+C53+…+C153等于 ( )A.C154 B.C164 C.C173 D.C1745. 用1、2、3、4、5、6中的两个数分别作为对数的底数和真数，则得到的不同的对数值共有( )A.30个B.15个C.20个D.21个6. 5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人，则两名女生相邻而站的概率是 ( )A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/57. 若函数y=ax+b在区间[1, 2]上的平均变化率为3，则a等于 ( )A.-3B.2C.3D.-28.如图所示是y = f(x)的导数图象，则正确的判断是 ( )① f(x)在(-3, 1)上是增函数；② x=-1是f(x)的极小值点；③ f(x)在(2, 4)上是减函数，在(-1, 2)上是增函数；④ x=2是f(x)的极小值点A.① ② ③B.② ③C.③ ④D.① ③ ④9. 与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是 ( )A.3x＋y＋2＝0B.3x－y＋2＝0C.x＋3y＋2＝0D.x－3y－2＝010.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(−log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为 ( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a11.设f n(x)=1+x+x2+⋯+x n(x>0)，其中n∈N，n≥2，则函数G n(x)= f n(x)−2在(12n,1)内的零点个数是 ( )A.0B.1C.2D.与n有关12.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同的种法种数为 ( )A.96B.84C.260D.320二、填空题（每题5分，总分：20分）13. 若C9x-2=C92x-1，则x=_____．14.(1-x)7的展开式中，所有含x的奇次幂的项的系数和为____________．15. 如图所示，机器人亮亮从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有____种．16.设函数f(x)的定义域为R．若存在与x无关的正常数M，使|f(x)|≤ M|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为有界泛函．则函数：① f(x)=-3x，② f(x)=x2，③ f(x)=sin2x，④ f(x)=2x，⑤ f(x)=xcosx中，属于有界泛函的有____________．（填上所有正确的番号）三、解答题（总分：70分）17.(本题10分)某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？18. (本题12分)求下列函数的最值：(1)f(x)=ln x−x，x∈(0,e]；x3−4x+4，x∈[0,3].（2）f(x)=1319.(本题12分) 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容立方器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数解析式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.20.(本题12分)设(1+x)n＝a0+a1x+a2x2+...+a n x n，n≥4，n∈N∗. 已知a32＝2a2a4，（1）求n的值；（2）设(1+√3)n＝a+b√3，其中a，b∈N∗，求a2−3b2的值．21.(本题12分)已知函数f(x)=ax2+x−1．（1）求曲线y=f(x)在点(0,−1)处的切e x线方程；（2）证明：当a≥1时，f(x)+e≥0．22.(本题12分)设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f(x)=x3−6x2−3a(a−4)x+b，g(x)=e x f(x)．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线， (i)求证：f(x)在x=x0处的导数等于0； (ii)若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0−1,x0+1]上恒成立，求b的取值范围．高二数学答案答案1~12：DACBD BCBAC BC13：4；14：-64;15：80;16：①③⑤；17. 答案：（1）N=5+6+4=15；（2）N=5×6×4=120；（3）N=5×6+6×4+4×5=74．解：（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N=5+6+4=15种；（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N=5×6×4=120种；（3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择：N=5×6+6×4+4×5=74种．;解析：（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，利用分类计数原理求得结果．（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，利用分步计数原理求得结果．（3）首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择．18. 解：（1）f ′(x )=1x −1=1−x x，由f ′(x )＞0得x ＜1.∴f （x ）在（0，1）内单调递增，在(1，e ]内单调递减，∴当x=1时，f （x ）取最大值f （1）=-1.∵当x →0时，f （x ）→−∞，∴f （x ）没有最小值.（2）∵f （x ）=13x 3−4x +4，∴f ′(x )=x 2−4.令f ′(x )=0，得x 1=−2，x 2=2.∵f （2）=−43，f(0)=4，f(3)=1∴函数f （x ）在[0，3]上最大值为4，最小值为−43.;19.解：(1).设容器的容积为V ，由题意知V =πr 2l +43πr 3=803π，故l =V−43πr 3πr2=803r 2−43r =43(20r 2−r).因为l ≥2r ，所以0<r ≤2.所以建造费用y =2πrl ×3+4πr 2c =2πr ×43(20r 2−r)×3+4πr 2c ，即y =4π(c −2)r 2+160πr，0<r ≤2.; (2).由（1）得y ′=8π(c −2)r −160πr 2=8π(c−2)r 2∙(r 3−20c−2)，0<r ≤2.因为c >3，所以c-2>0.当r 3−20c−2=0时，r =√20c−23.令√20c−23=m ，则m >0，故y ′=8π(c−2)r 2(r −m )(r 2+rm +m 2).①当0<m <2，即c >92时，令y ′=0，得r =m .当r ∈(0，m)时，y ′<0；当r ∈(m ，2)时，y ′>0，故r =m 是函数y 的极小值点，也是最小值点.②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0，2)时，y ′≤0，函数单调递减，故r =2是函数y 的最小值点.综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r =2；当c >92时，建造费用最小时r =√20c−23.20. 解：（1）由(1+x)n ＝Cn0+Cn1x +Cn2x 2+...+Cnnx n ，n ≥4，可得a 2＝Cn2=n(n−1)2，a 3＝Cn3=n(n−1)(n−2)6，a 4＝Cn4=n(n−1)(n−2)(n−3)24，a32＝2a 2a 4，可得(n(n−1)(n−2)6)2＝2⋅n(n−1)2⋅n(n−1)(n−2)(n−3)24，解得n ＝5；（2） (1+√3)5＝C50+C51√3+C52(√3)2+C53(√3)3+C54(√3)4+C55(√3)5＝a +b √3，由于a ，b ∈N ∗，可得a ＝C50+3C52+9C54=1+30+45＝76，b ＝C51+3C53+9C55=44，可得a 2−3b 2＝762−3×442＝−32；;解析：（1）运用二项式定理，分别求得a 2，a 3，a 4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）运用二项式定理，结合组合数公式求得a ，b ，计算可得所求值；21.解：(Ⅰ)由f(x)=x3−6x2−3a(a−4)x+b，可得f′(x)=3x2−12x−3a(a−4)=3(x−a)(x−(4−a))，令f′(x)=0，解得x=a，或x=4−a.由|a|≤1，得a<4−a．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：x (−∞,a)(a,4−a)(4−a,+∞)f′(x)+−+f(x)↗↘↗∴f(x)的单调递增区间为(−∞,a)，(4−a,+∞)，单调递减区间为(a,4−a)；(Ⅱ)(i)证明：∵g′(x)=e x(f(x)+f′(x))，由题意知{g(x0)=e x0g′(x0)=e x0，∴{f(x0)e x0=e x0e x0(f(x0)+f′(x0))=e x0，解得{f(x0)=1f′(x0)=0．∴f(x)在x=x0处的导数等于0；(ii)∵g(x)≤e x，x∈[x0−1,x0+1]，由e x>0，可得f(x)≤1．又∵f(x0)=1，f′(x0)=0，故x0为f(x)的极大值点，由(I)知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1<4−a，由(Ⅰ)知f(x)在(a−1,a)内单调递增，在(a,a+1)内单调递减，故当x0=a时，f(x)≤f(a)=1在[a−1,a+1]上恒成立，从而g(x)≤e x在[x0−1,x0+1]上恒成立．由f(a)=a3−6a2−3a(a−4)a+b=1，得b=2a3−6a2+1，−1≤a≤1．令t(x)=2x3−6x2+1，x∈[−1,1]，∴t′(x)=6x2−12x，令t′(x)=0，解得x=2(舍去)，或x=0．∵t(−1)=−7，t(1)=−3，t(0)=1，故t(x)的值域为[−7,1]．∴b的取值范围是[−7,1]．; 解析：(Ⅰ)求出函数f(x)的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f(x)的单调区间；(Ⅱ)(i)求出g(x)的导函数，由题意知{g(x0)=e x0g′(x0)=e x0，求解可得{f(x0)=1f′(x0)=0.得到f(x)在x=x0处的导数等于0；(ii)由(I)知x0=a.且f(x)在(a−1,a)内单调递增，在(a,a+1)内单调递减，故当x0=a时，f(x)≤f(a)=1在[a−1,a+1]上恒成立，从而g(x)≤e x在[x0−1,x0+1]上恒成立．由f(a)=a3−6a2−3a(a−4)a+b=1，得b= 2a3−6a2+1，−1≤a≤1.构造函数t(x)=2x3−6x2+1，x∈[−1,1]，求出t(x)的取值范围，即可求出b的取值范围.22.答案：解：(1)f′(x)=(2ax+1)e x−(ax2+x−1)e x(e x)2=−(ax+1)(x−2)e x．∴f′(0)=2，即曲线y=f(x)在点(0,−1)处的切线斜率k=2，∴曲线y=f(x)在点(0,−1)处的切线方程方程为y−(−1)=2x，即2x−y−1=0．(2)证明：函数f(x)的定义域为：R，可得f′(x)=(2ax+1)e x−(ax2+x−1)e x(e x)2=−(ax+1)(x−2)e x，令f′(x)=0，可得x1=2,x2=−1a <0，当x∈(−∞,−1a)时，f′(x)<0，x∈(−1a,2)时，f′(x)>0，x∈(2,+∞)时，f′(x)<0．∴f(x)在(−∞,−1a )，(2,+∞)递减，在(−1a,2)递增，注意到a≥1时，函数g(x)=ax2+x−1在(2,+∞)单调递增，且g(2)=4a+1>0函数f(x)的图象如下：∵a≥1，∴1a ∈(0,1]，则f(−1a)=−e1a≥−e，∴f(x) min=−e1a≥−e，∴当a≥1时，f(x)+e≥0．;解析：（1）f′(x)=(2ax+1)e x−(ax2+x−1)e x(e x)2由f′(0)=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程．(2)可得f′(x)=(2ax+1)e x−(ax2+x−1)e x(e x)2=−(ax+1)(x−2)e x.可得f(x)在(−∞,−1a)，(2,+∞)递减，在(−1a,2)递增，注意到a≥1时，函数g(x)=ax2+x−1在(2,+∞)单调递增，且g(2)=4a+1>0只需(x) min=−e1a≥−e，即可．。
2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为（ ） A ．18B ．1C ．2D ．14【答案】B【分析】根据抛物线标准方程有1p =，即可知焦准距.【详解】由抛物线22x y =知：1p =，而焦点坐标为1(0,)2，准线方程为：12y， ∴焦点到准线的距离为1， 故选：B2．若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线的斜率为（ ）A ．12±B ．2±C ．2±D ．2±【答案】C【解析】试题分析：双曲线的渐近线为，渐近线的斜率，由于离心率，设，，，因此渐近线的斜率，故答案为C.【解析】双曲线的性质.3．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3π的扇形，则圆锥的高为（ ）A ．33B 34C 35D ．5【答案】C【分析】利用扇形的弧长为底面圆的周长求出r 后可求高. 【详解】因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3π的扇形，所以 圆锥的母线长为6，设其底面半径为r ，则623r ππ⨯=，所以1r =，36135-= C【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为l，底面圆的半径长为r，则该扇形的圆心角的弧度数为2rlπ.4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．6B26C15D10【答案】D【解析】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、1DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），1C（0，2，1）∴1BC=（-2，0，1），AC=（-2，2，0），AC且为平面BB1D1D的一个法向量．∴110cos,58BC AC〈〉==⋅．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为105【解析】直线与平面所成的角5．若直线9mx ny+=和圆229x y+=没有交点，则过点(),m n的直线与椭圆221169x y+=的交点个数为（）A．2个B．1个C．0个D．无法确定【答案】A【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点(,)m n在椭圆内，进而可得结论. 【详解】解：直线9mx ny+=和圆229x y+=没有交点，∴圆心()0,0到直线90mx ny+-=的距离2293dm n-=>+，解得：229m n +<，即点(,)m n 在圆229x y +=内，又圆229x y +=内切于椭圆221169x y +=，∴点 (),m n 在椭圆221169x y +=内，即过点(),m n 的直线与椭圆221169x y +=有两个交点.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到点 (),m n 在椭圆221169x y +=内.6．三棱锥,10,8,6P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角P AC B --的大小为( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】B【分析】P 在底面的射影是斜边的中点，设AB 中点为D 过D 作DE 垂直AC ，垂足为E ，则∠PED 即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角，在直角三角形PED 中求出此角即可． 【详解】因为AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6 所以底面为直角三角形又因为P A ＝PB ＝PC = 所以P 在底面的射影为直角三角形ABC 的外心，为AB 中点．设AB 中点为D 过D 作DE 垂直AC ，垂足为E ，所以DE 平行BC ，且DE 12=BC ＝4，所以∠PED 即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角．因为PD 为三角形P AB 的中线，所以可算出PD ＝所以tan ∠PED PDDE==所以∠PED ＝60°即二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为60° 故答案为60°．【点睛】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键．7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题，“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”类似地：如今有长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积（最接近的一项）约为（ ）（注：1丈=10尺=100寸， 3.14π≈，5sin 22.513︒≈）A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸【答案】D【分析】由已知条件求得截面圆的半径R ，进而可求弓形所对圆心角AOB ∠，由弓形面积OBCA AOBS S S'=-求阴影部分面积，结合体积公式知木材镶嵌在墙中的体积100V S ''=，即为答案.【详解】由题意知：10AB =寸，1CD =寸，圆柱形木材的高为100寸，∴圆柱形木材截面半径为R ，则有222()4AB R R CD =-+，可得13R =寸，∴如上圆柱木材截面图：5sin 13AD AOD R ∠==， ∴45AOB ∠≈︒，又圆柱木材截面面积2169S R ππ==， 弓形面积为11210 6.332582OBCA AOBS S S S'=-=-⨯⨯=， ∴木材镶嵌在墙中的体积约为100633V S ''=≈立方寸， 故选：D【点睛】关键点点睛：根据圆的性质求半径，利用弓形面积OBCA AOBS S S '=-求嵌入面积，应用柱体体积公式求镶嵌在墙中的体积.8．已知直线()0y kx k =≠与双曲线22221 (0,0y a b bx a -=>>）交于A ､B 两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D【分析】设双曲线的左焦点为1F ，则可得四边形1AF BF 为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得222(2)(2)16a c a =-，即可求出离心率.【详解】设双曲线的左焦点为1F ，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接11,AF BF ，则四边形1AF BF 为矩形，则可得1||2AF AF a -=，()222211||2AF AF F Fc +==，所以()222211111||2||||2||AF AF AF AF AF AF F F AF AF -=-+=-，又因为1211||42ABF AF F SSAF AF a ==⋅=， 所以222(2)(2)16a c a =-，得5c a =， 所以5ce a==故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形的性质列出关于,a c 的齐次方程式222(2)(2)16a c a =-，即可求出离心率.二、多选题9．已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m // α，n // β，且m // n ，则α // β C ．若m ⊥α，n // β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n // β，且m // n ，则α⊥β 【答案】AD【分析】根据直线与平面平行，垂直的性质定理，判断定理，灵活判断，可以正确推导，也可以举反例说明．【详解】解：对于A ：若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥可以判断αβ⊥是正确的，因为可以设两个平面的法向量为1n ，2n ，可得数量积为零，即12n n ⊥，所以可判断αβ⊥是正确的，故A 正确，对于B ：若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ．不正确，如两个面相交，两个相交的墙面，直线m ，n 都平行于交线，也满足，//m α，//n β，所以B 不正确； 对于C ：若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则有可能//αβ，不一定αβ⊥，所以C 不正确； 对于D ：若m α⊥，//n β，且//m n ，n α∴⊥，//n β，αβ∴⊥，故D 正确；故选：AD ．【点睛】本题考察了直线与平面的位置关系，熟练掌握好平行，垂直的定理即可判断，属于中档题．10．椭圆22:12516x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则||PF 的值可能是（ ） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】BC 【分析】计算得到28a c PF a c ，得到答案.【详解】由题意可得5a =，3c ==，则28a cPF a c .故选：BC.11．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线//MN 平面ABC 的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】根据线面平行的判定定理依次判断即可.【详解】对A ，如图，连接PQ ，,,,M N A C 分别为中点，∴////MN PQ AC ，MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴//MN 平面ABC ，故A 正确；对B ，如图，连接,MP NP ，,,A B C 分别为中点，则可得//NP BC ，且NP ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，//NP ∴平面ABC ，又MA PC ，∴四边形MACP 是平行四边形，//MP AC ∴，且MP ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//MP ∴平面ABC ，MP NP P ⋂=，∴平面//MNP 平面ABC ，MN ⊂平面MNP ，∴//MN 平面ABC ，故B 正确；对C ，如图，,,A B C 分别为中点，易得平面//ABC 平面MPNQ ，MN ⊂平面MPNQ ，∴//MN 平面ABC ，故C 正确；对D ，连接,,BN CN PQ ，则可得////AB PQ CN ，故,,,A B C N 四点共面，即N ∈平面ABC ，即直线MN 与平面ABC 不平行，故D 错误.故选：ABC.【点睛】本题考查线面平行的判断，解题的关键是正确理解线面平行的判定定理和平面的相关性质.12．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥ B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13．如果方程222171x y a a +=++表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是_________.【答案】23a -<<【分析】由椭圆焦点在x 轴上知271a a +>+，即可求实数a 的取值范围. 【详解】由题意知：271a a +>+，整理得260a a --<， ∴23a -<<， 故答案为：23a -<<.14．若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的体积为________.（棱台体积公式：()1213V h S S =+其中1S ，2S 分别为棱台上、下底的面积，h 为棱台的高）【答案】【分析】根据正四棱台各个棱长求出该四棱台的高，即可求出体积.【详解】解：由题意正四棱台如图，11322OA O A ==，11922OB O B ==， 22192326()3222h AA ==--=， 2139S ==，22981S ==，()11221132(998181)117233V h S S S S =++=⨯⨯+⨯+=故答案为：1172.15．已知F 为抛物线28x y =的焦点， O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为__________． 【答案】13【详解】∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A 到准线的距离为4，即A 点的纵坐标为2， 又点A 在抛物线上，∴不妨取点A 的坐标A （4，2）； 坐标原点关于准线的对称点的坐标为B （0，-4）,则|PA|+|PO|的最小值为：22(40)(24)213-++=, 故答案1316．已知一圆锥底面圆的直径为6，圆锥的高为33a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以绕自身中心任意转动，则a 的最大值为_________. 【答案】22【分析】正四面体在该几何体内可以绕自身中心任意转动等价于该四面体内接于圆锥的内切球，正四面体可以从正方体中截得，计算出圆锥的内切球的直径，即为正方体的体对角线，根据体对角线和面对角线的关系求解即可.【详解】解：依题意正四面体在该几何体内可以绕自身中心任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P ，球的半径为R ，下底面半径为r ，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如下图：则3,33CA CB CS ===， 所以226SA SB CA CS ==+=，所以SAB 是等边三角形，故P 是SAB 的中心， 所以12113332323R PQ PS CP ==⨯=⨯=⨯=, 正四面体可以从正方体中截得，如图：正方体边长AB 与正四面体棱长1A B 的关系为：12222AB A B a ==； 因为正方体外接球3R所以根据正方体外接球直径与边长关系式23R AB =，可得：2323222a a ⨯=⇒=. 故答案为：22.【点睛】几何体的外接球、内切球问题： （1）几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径； （2）几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.四、解答题17．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PB PD =（1）求证：//CD 平面PAB ; （2）求证：PC BD ⊥．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【分析】（1）利用//CD AB 结合线面平行的判定定理，证得结论成立.（2）连接AC 交BD 于O ，连接PO ，根据菱形的性质得到AC BD ⊥，根据等腰三角形的性质得到PO BD ⊥，由此证得BD ⊥平面PAC ，进而证得BD PC ⊥. 【详解】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//CD AB , 又因为AB平面PAB ，CD ⊄平面PAB ,所以//CD 平面PAB ．（2）连AC 交BD 与O ，连PO .四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥且,BO OD OA OC ==BO OD PO BD PB PD =⎫⇒⊥⎬=⎭.因为PO BD ⊥，AC BD ⊥，POAC O =，所以BD ⊥平面PAC ，所以PC BD ⊥.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查通过证明线面垂直来证明线线垂直，属于中档题.18．已知抛物线22(0)y px p =>的顶点为O ,准线方程为12x =-（1）求抛物线方程；（2）过点1,0（）且斜率为1的直线与抛物线交于,P Q 两点，求OPQ ∆的面积．【答案】（1）22.y x =（23【分析】（1）根据抛物线的准线方程求得p 的值，进而求得抛物线方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和抛物线方程，写出韦达定理，求得PQ 的长，利用三角形面积公式求得OPQ ∆的面积. 【详解】解（1）22y px =的准线2p x =-，1-122p p ∴=-=，22.y x ∴= （2）设直线l 方程为1x y =+，()()112221,,,,2x y P x y Q x y y x =+⎧⎨=⎩则2220y y ⇒--=，()()12121202122y y y y ⎧∆=>⎪∴+=⎨⎪=-⎩， 21211PQ y y ∴=+-=6 2211d ==+ 1226322OPQ s ∆∴=⨯⨯= 【点睛】本小题主要考查已知抛物线的准线求抛物线方程，考查直线和抛物线相交所得弦长的计算以及与抛物线有关的三角形面积的计算，属于中档题.19．椭圆C ：(2222122x y m m m+=>，直线l 过点()1,1P ，交椭圆于A ､B 两点，且P 为AB 的中点.（1）求直线l 的方程；（2）若AB OP ，求m 的值. 【答案】（1）230x y +-=；（2）m【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，利用弦长公式AB =m 的值.【详解】（1）222113122m m m +=<，(m >，∴点P 在椭圆里面， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221212x y m m x y m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得222212122202x x y y m m --+=， 变形为()()()()121212122202x x x x y y y y m m +-+-+=，①点()1,1P 是线段AB 的中点，12122,2x x y y ∴+=+=， 并且有椭圆对称性可知120x x -≠， 由①式两边同时除以12x x -，可得，1222122202y y m m x x -+⋅=-， 设直线AB 的斜率为k ，120k ∴+=， 解得：12k =-， 所以直线l 的方程()1112302y x x y -=--⇒+-=； （2）OP ==222212230x y m mx y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，22612920y y m -+-=， 可得122y y +=，212926m y y -=，AB ==化简为()2292144103m -+⨯-=，且2m >解得：3m =【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.20．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，14AB =，5BC =，14AA =，点,E F 分别在1111,A B D C 上，11 2.A E D F ==（1）求直线CF 与1C E 所成角的余弦值；（2）过点,E F 的平面α与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（11810（2）13【分析】（1）连接1,,EF EB BC ，1C EB ∠或其补角即为所求；（2）根据5EF =在棱AB 上找出点M 使得5ME =，体积之比转化为面积之比.【详解】（1）连接1,,EF EB BC ，长方体1111ABCD A B C D -中，11112,//A E D F A E D F ==， 所以四边形11A EFD 是平行四边形，所以11A D 与EF 平行且相等， 所以EF 与BC 平行且相等，所以四边形EFCB 为平行四边形， 所以//FC BE ，直线CF 与1C E 所成角就是1C EB ∠或其补角，2222111113,410C E EF FC EB EB BB =+==+=22111141C B B B B C =+=，在1C EB ∆中，由余弦定理，22211111810cos 2213410C E EB C B C EB C E EB +-∠===⋅⨯⨯，所以直线CF 与1C E 1810（2）设过点,E F 的平面α与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，即正方形EFNM ，则5EM=，作EP AB ⊥于P ，作FQ DC ⊥于Q ，所以3PM =，所以图中只能点M 在点P 的右侧，平面α把该长方体分成的两部分为直棱柱11AMEA DNFD -和直棱柱11EMBB FNCC -，两个直棱柱的高相等，两部分体积之比为1111117122132AMEAEMBBAM A EAASMB B ES AA+⋅===+⋅.【点睛】此题考查空间几何体中求异面直线夹角，处理平面与几何体的截面问题，关键在于准确找出几何关系进行计算.21．如图，直三棱柱111ABC A B C-中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱1CC上，已知AB AC=，13AA=，2BC CF==.（1）求证：1//C E平面ADF；（2）在棱1BB上是否存在点M，使平面CAM⊥平面ADF，若存在，试求出BM的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1BM＝.【分析】（1）根据题干条件运用线面平行的判定定理证明；（2）根据题干条件运用面面垂直的判定定理推证.【详解】（1）证明：连接CE交AD于O，连接OF.因为CE，AD为ABC的中线，则O为ABC的重心，故123CF COCC CE==，故1OF C E∥，因为OF⊂平面ADF，1C E⊄平面ADF，所以1C E平面ADF.（2）解：存在点M ，当1BM ＝时，平面CAM ⊥平面ADF .证明如下：因为AB AC =，AD ⊂平面ABC ， 故AD BC ⊥.在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，1BB ⊂平面11B BCC ，故平面11B BCC ⊥平面ABC .又平面11B BCC ⋂平面ABC BC =，AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面11B BCC ， 又CM ⊂平面11B BCC ， 故AD CM ⊥. 又1BM=，2BC =，1CD =，2FC =，故Rt CBM Rt FCD △≌△. 易证CM DF ⊥， 又DFAD D ＝，DF ，AD ⊂平面ADF ，故CM ⊥平面ADF .又CM ⊂平面CAM ， 故平面CAM ⊥平面ADF .22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()2,1P，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的弦PA ，PB 分别与椭圆C 交于A ，B . （i ）证明直线AB 过定点；（ii ）求点P 到直线AB 距离的最大值.【答案】（1）22163x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii）3. 【分析】（1）由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，结合,,a b c 的关系，则椭圆方程可求；（2）（i ）当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，利用根与系数的关系结合PA PB ⊥可得(21)(231)0k m k m +-++=，讨论210k m +-=或2310k m ++=，即可求出直线过定点；（ii ）可知当PM AB ⊥时，求出点P 到AB 的距离．求解当直线AB 的斜率不存在时，点P 到直线的距离，由此可得点P 到直线AB 距离的最大值．【详解】解：（1）由题意，得22411a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为222a b c =+，得26a =，23b =，所以，椭圆的方程为22163x y +=.（2）（i ）当直线AB 斜率存在时， 设其方程为y kx m =+， 代入椭圆方程， 整理得()222124260k xkmx m +++-=，由0∆>，得22630k m -+>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412km x x k -+=+，21222612m x x k-=+， 因为PA PB ⊥， 所以121211122y y x x --⋅=---， 即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-，①其中()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++，()12122y y k x x m +=++，代入①，整理得22483210k mk m m ++--=，即(21)(231)0k m k m +-++=，当210k m +-=时，直线AB 过点P ，不合题意，所以2310k m ++=，此时，直线AB 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当直线AB 斜率不存在时，设其方程为xn =， 代入解得23n =或2n =（舍去）， 综上所述，直线AB 恒过定点21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭. （ii ）∴当PM AB ⊥时，点P 到AB的最大距离为||d PM ==当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为xn =， 代入解得23n =或2n =舍去． 当23n =时，点P到直线23x=的距离为43．综上，点P到直线AB距离的最大值为||d PM==【点睛】易错点睛：本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系. 讨论直线AB 的斜率是否存在是易错点.。
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钢城四中2020—2021（上）期中考数学试卷
第I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．命题“x R ∀∈，321x x +≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，321x x +> B ．x R ∀∈，321x x +≥ C ．x R ∃∈，321x x +>
D ．x R ∃∈，321x x +≥
2．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆22
1x y +=相交”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．抛物线2
12
y x =的焦点坐标是（ ） A ．()0,1
B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭,
C ．10,
4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
4．设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P 点，若12F PF ∆为等腰三角形，则椭圆的离心率是（ ） A 2
B ．
21
2
C ．22-
D 21
5．如图所示，12F F 分别为椭圆22
22x y 1a b +=的左右焦点，点P 在椭圆
上，
2POF ∆32b 的值为( )
A 3．3．33 D ．436．已知P 为椭圆22
13620
x y +
=上的一个点，M 、N 分别为圆 ()
2
241x y ++=和圆()2
241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．4
7．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，过左焦点F 作斜率为12的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，
且A 在第一象限，若||||OA OF =（O 为坐标原点），则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．x y 4
3
±
= B ．43
y x =±
C ．23
y x =±
D ．32
y x =±
8．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点为P ，且123
F PF π
∠=.离心率为（ ）
A B ．
4
C D ．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的的3分. 9．经过点()4,2P -的抛物线的标准方程为（ ）
A ．2y x =
B ．28x y =
C ．2
8x
y D ．28y x =-
10．设1F ，2F 为椭圆C ：22
1167
x y +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △ 为等腰
三角形，则下列结论正确的是（ ）
A ．12MF =
B ．22MF =
C ．点M 的横坐标为
8
3
D ．12MF F S =△11．已知曲线C 的方程为22
1()26x y k R k k
+=∈--，则下列结论正确的是（ ）
A ．当4k =时，曲线C 为圆
B ．“4k >”是“曲线
C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件
C ．当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y =
D ．存在实数k 使得曲线C
12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两个定点()
1F 和)
2
F 连线的斜率之积等于1
3
，记点
P 的轨迹为曲线E ，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ）
A ．E 的方程为
13
22
=-y x
B ．E
C ．E 的渐近线与圆()2
221x y -+=相切 D ．满足AB =l 有2条
第II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的
焦距为12，则椭圆C 的方程是__________．
14．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，焦点与椭圆221259
x y +=的焦点相同，那么双曲线的
标准方程为________．
15．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一动点，定点()1,1A ，当PAF △周长最小时，PF 所
在直线的斜率为______.
16．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y
a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、
B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则
C 的离心率为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知命题p ：“方程210x mx ++=有两个不相等的实根”，命题p 是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；
（2）设不等式()(2)0x a x a ---<的解集为N ，若x∈N 是x∈M 的充分条件，求a 的取值范围．
18．（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22142
-=y x 有相同的渐近线，且经过点
(2,2)M .
（1）求双曲线C 的方程；
（2）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
19．（12分）已知点(2,1)P -在椭圆()22
2:102
x y
C a a +=>上，动点,A B 都在椭圆上，且直线AB 不经过
原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求直线AB 的斜率．
20．如图，抛物线2
:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C
为圆心，CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N. （I ）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （II ）若2
·AF AM AN =，求圆C 的半径.
21．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别是12,F F ，
122F F =，点P 为椭圆短轴的端点，且12PF F △3（1）求椭圆的方程；
（2）点31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是椭圆上的一点，12,B B 是椭圆上的两动点，且直线12,BB BB 关于直线1x =对称，试证
明：直线12B B 的斜率为定值.
22．已知()2,0P 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴
重合的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线,PA PB 的斜率之积为1
4
-． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若→
→
=MB AM 2求OAB 面积的最大值．。