切线的性质
切线与切点的性质
切线与切点的性质在数学中，切线与切点是几何学中重要的概念，它们在解决曲线问题和相关应用中具有重要的作用。
本文将阐述切线与切点的性质，并探讨其在数学中的应用。
一、切线的定义和性质切线是曲线上某一点处与该点处曲线相切的线段。
下面我们来说明切线的定义和性质。
1. 切线的定义给定一个曲线，选取曲线上一点P，如果通过P的直线与曲线相交于该点且相交处的过程逐渐接近于只有该点（也就是说，通过P的直线与曲线的交点与P的距离逐渐减小的极限即为P），则该直线称为曲线在点P处的切线。
2. 切线的性质（1）切线与曲线在切点处的切点垂直。
（2）切线在切点处与曲线的变化趋势相同。
二、切点的定义和性质切点是切线与曲线相交的点。
下面我们来说明切点的定义和性质。
1. 切点的定义对于给定曲线上的一条切线，切线与曲线的交点称为切点。
2. 切点的性质（1）切点在曲线上。
（2）切点处的切线是唯一的。
三、切线与切点的应用切线与切点在数学中的应用非常广泛，涵盖了几何、微积分和物理学的许多领域。
1. 几何中的应用在几何中，切线与切点常用于证明几何定理和解决几何问题。
例如，在平面几何中，通过构造切线和切点，可以证明两条直线的垂直、平行和相等等关系。
2. 微积分中的应用在微积分中，切线与切点是求解曲线的导数的重要工具。
通过求解切线与切点的斜率，可以得到曲线在切点处的斜率，从而计算出曲线的切线方程。
此外，切线还可以用于求解曲线的凹凸性、拐点以及切线与曲线的交点等问题。
3. 物理学中的应用在物理学中，切线与切点常用于研究物体的运动轨迹和力的作用。
通过切线与切点，可以分析物体在不同位置和不同时刻的运动状态，以及物体受力时的受力方向和大小等。
综上所述，切线与切点是数学中重要的概念，它们在几何、微积分和物理学中都有广泛的应用。
通过理解和运用切线与切点的定义和性质，我们可以解决各种与曲线相关的问题，从而探索数学的深奥之处。
对于学习和应用切线与切点的同学来说，掌握它们的性质和运用方法将会产生巨大的学习价值和实际应用效果。
切线的性质定理
根据(gēnjù)圆周角定理的推论3证明垂直的
如图，已知：AB是⊙O的直径(zhíjìng)，点C 在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在 AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线
第九页，共五十页。
根据(gēnjù)圆周角定理的推论3证明垂直的
如图，AB是⊙O的直径,CD⊥AB， 且OA2=OD·OP.
第二十二页，共五十页。
求证：如果圆的两条切线互相平行(píngxíng)，则连结两个切 点的线段是直径。
• 已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切 点,且AB∥CD
• 求证：连结E、F的线段是直径(zhíjìng)。
• 证明：连结EO并延长
• ∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB， ∴OE⊥CD．
第十四页，共五十页。
随堂训练
(xùnliàn)
1、AB是⊙O的直径,AE平分(píngfēn)∠BAC交⊙O于点E, 过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状, 并说明理由.
第十五页，共五十页。
随堂训练
(xùnliàn)
2、AB是⊙O的直径(zhíjìng),CD切⊙O于C， AE⊥CD， BC延长后与AE的延长线交于F， AF=BF，求∠A的 度数。
∠CAD= ∠BAD
第十七页，共五十页。
拓展 应 (tuò zhǎn) 用如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30O方向
移动，受台风影响区域(qūyù)的半径为200km， 那么下列城市A（200，380），B（600，480 ），C（550，300），D（370，540）中，哪 些城市要做抗台风准备？
的
如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC 延长线上一点(yī diǎn)，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.
圆的切线与弦
圆的切线与弦圆是几何学中的基本概念，具有许多特性和性质。
本文将讨论圆的切线和弦，揭示它们的定义、性质和应用。
一、切线的定义与性质切线是指与圆只有一个公共点的线段。
在圆上的任意一点，可以通过作一条垂直于该点的直径来确定一条切线。
切线与半径垂直相交，形成直角。
以圆心O为中心，画一条半径OA。
假设存在一条切线AB，与半径OA在点A相交。
根据切线的定义，线段AB与圆只有一个公共点A。
同时，可以证明AO与切线AB垂直相交，即∠OAB = 90°。
切线的性质还包括以下几点：1. 一条切线与半径的夹角为90°。
2. 圆的切线长度相等，属于等长线段。
3. 切线与半径的乘积相等，即AO×OB = AB×AB。
二、弦的定义与性质弦是指圆上的两点所确定的线段。
两点分别为弦的端点，弦的中点为圆心。
以圆心O为中心，画一条半径OA和一条经过圆上另一点B的弦。
根据弦的定义，线段AB由圆上的两点所确定，其中A和B分别为弦的两个端点。
弦的性质还包括以下几点：1. 弦的长度可以小于、等于或大于半径的长度。
2. 如果弦的长度等于半径的长度，则该弦为圆的直径。
3. 如果弦的长度小于圆的直径，则弦一定在直径上。
4. 弦的垂直平分线过圆心。
三、切线与弦的关系在圆上，切线与弦之间存在一些重要的关系。
这些关系对于解决几何问题和计算问题非常有用。
1. 切线和弦的夹角等于该弦所对的弧所对应的圆心角的一半。
也就是说，如果弦所对的圆心角为θ，则切线和弦的夹角为θ/2。
2. 切线与弦相交时，相交点与圆心的连线与弦所对的圆心角相等。
3. 切线和切线之间的夹角等于其所对应的弧的圆心角的一半。
四、切线与弦的应用切线和弦在几何学和实际应用中有着广泛的应用。
1. 在解决几何问题中，切线和弦的相关性质可以用于推导出一些几何定理和关系，例如圆的切线定理、割线定理等。
2. 在实际生活中，切线和弦的概念被广泛应用于建筑、工程和导航等领域。
切线的判定和性质2
切线的判定和性质切线是数学中一个重要的概念，尤其在微积分和几何学中使用得非常广泛。
本文将讨论如何判定一条直线是否为曲线的切线以及切线的一些性质。
切线的判定判定一条直线是否为曲线的切线，有以下两种常见的方法：1. 函数导数法设曲线的方程为 y = f(x)，如果某一点 (a, f(a)) 处的函数导数f’(a) 存在且等于切线的斜率 k，则直线 y = kx + b 是曲线在点 (a, f(a)) 处的切线。
2. 函数极限法设曲线的方程为 y = f(x)，如果点 (a, f(a)) 处的函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且等于切线的斜率 k，则直线 y = kx + b 是曲线在点 (a, f(a)) 处的切线。
需要注意的是，以上两种方法得到的切线方程并不一定相同，因为函数在某一点处的导数和极限不一定相等。
但是当函数是可导的时候，两种方法能得到相同的结果。
切线的性质切线作为曲线的一条特殊直线，具有以下一些性质：1. 切点切点是切线与曲线相交的点，切线与曲线通常只有一个交点。
切点坐标为 (a, f(a))，其中 a 是曲线上的一点，f(a) 是曲线在点 a 处的函数值。
2. 切线的斜率切线与曲线在切点处的斜率是相等的。
切线的斜率可以通过上述判定切线的两种方法得到。
3. 切线方程切线方程可以使用点斜式或一般式表示。
点斜式为 y - f(a) = k(x - a)，其中 k 是切线的斜率。
一般式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 是切线方程的系数。
4. 切线与曲线的关系切线与曲线在切点处相切，因此切线方程所表示的直线与曲线在切点处重合。
切线与曲线在切点处的函数值相等，即切线方程与曲线方程在切点处相等。
5. 切线的几何意义切线可以看作曲线在切点处的局部近似，切线的斜率表示曲线在切点处的变化速率。
当切线的斜率为正时，曲线在切点处向上增长；当切线的斜率为负时，曲线在切点处向下增长；当切线的斜率为零时，曲线在切点处取极值。
切线的性质和判定
O l A
判断： (1)过半径的外端的直线是圆的切线（×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的 切线（×）
O l r A O r l O r l
过点A作直线l⊥OA。思考： （1） 圆心O到直线l的距离和 圆的半径有什么数量关系?
（2） 二者位置有什么关系？ （3） 由此你发现了什么？
O
A
l
(1)直线l经过半径OA的外端点A； (2)直线l垂直于半径0A．
O l A
则:直线l与⊙O相切
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线。
A
A
判定直线与圆相切有哪些方法？
切线的判定方法有三种：
•①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线.
课本３８页 做一做 例３ 课后题
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 O A C
Hale Waihona Puke 分析：由于AB过⊙O上的点C，
所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。
B
例2 如图，BE平分为∠AＢC，Ｏ是ＢＥ上任 意一点，圆Ｏ与ＢＡ相切于点Ｄ，ＢＣ与
圆Ｏ相切吗？为什么？
D B
Ａ
O
Ｅ
C
Ｆ
例1与例2的证法有何不同?
O A C B D A O B
E
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法切线是与圆相切于一点且只与圆的该点相交一次的直线。
切线与半径垂直，也就是与半径所在的直径形成直角。
切线的定义给定一个圆，如果通过圆上的一点作两条直线，其中一条与半径垂直且只与该点相交一次，那么称这条直线为这个圆的一条切线。
切线的性质1. 切线与圆相切于一点，且只与圆的该点相交一次。
2. 切线与半径垂直，即与半径所在的直径形成直角。
3. 以切点为端点的切线被称为切线段。
4. 圆心到切点的线段被称为切线的斜率。
切线的求解方法求解圆的切线可以根据以下步骤进行：1. 给定一个圆和切点P，连接圆心O与切点P，得到半径OP。
2. 利用切线性质，使切线与半径OP垂直，得到直角三角形。
3. 根据已知条件，计算切线的长度。
切线的长度可以通过利用勾股定理或几何构造法进行计算。
勾股定理法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 根据勾股定理，有切线长度s的平方等于d的平方减去圆的半径r的平方，即s^2 = d^2 - r^2。
3. 取根号可以得到切线的长度s。
几何构造法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 以切点为圆心，作一条半径为r的圆。
3. 连接圆心与新圆上与切点P相对应的点Q，得到直角三角形OPQ。
4. 根据直角三角形OPQ中的三边关系，可以计算出切线的长度s。
这是圆的切线的定义、性质和求解方法的简要介绍。
掌握这些基本概念和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用切线在几何学中的重要性。
初中数学圆的切线与切圆知识点总结
初中数学圆的切线与切圆知识点总结圆是初中数学中常见的几何图形之一，而圆的切线与切圆也是初中数学中的重要知识点。
接下来，我们将对初中数学中关于圆的切线和切圆的知识点做一个总结。
一、圆的切线切线是圆上一点到该点处圆周的切线，也是与圆只有一个交点的直线。
切线有以下几个重要性质：1. 切线与半径的垂直性：切线与圆的半径相交处呈垂直关系，即切点处的切线垂直于过切点的半径。
2. 切线的长度：切线与圆的半径相交处形成直角三角形，根据勾股定理，切线的平方等于半径的平方与切线段的乘积。
3. 切线之间的关系：若两条切线分别与圆相交于点A和点B，则切线上的两个切点与圆心所连接的线段AB平行。
二、切线的性质与定理1. 切线定理：若直线L与圆相交于点A和点B，且点A处的线段AB的端点B在圆上，则直线L为圆的切线。
2. 弦切角定理：若弦AB与切线CD相交于点E，则角BED为弦切角，角BED的角度等于弦AB的对应弧的一半。
3. 切线与半径之间的关系定理：若切线与圆的半径相交于点A，则线段OA的平方等于切线上的切点与该切点处半径的乘积。
三、切圆切圆是指一个圆与另一个圆外切于一个点的情况。
切圆有以下几个重要性质：1. 切圆的切点：切圆的切点即两个圆外切点的连线与两个圆的切点连线重合。
2. 切线关系：两个相切的圆的切点处的切线重合。
3. 切圆的切线长度：两个相切的圆的切线长度相等。
四、切圆的性质与定理1. 切圆外切定理：若两个圆相切于点A，则过该切点的直线为两个圆的外公切线。
2. 切圆公切线定理：若两个圆外切于点A，并且直线L与两个圆相交于点B和点C，则过点B和点C的直线为两个圆的公切线。
3. 切圆的切线垂直关系：两个切圆的切线相交于切点处且垂直。
总结：通过以上的总结，我们了解了初中数学中与圆的切线与切圆相关的知识点。
理解并掌握这些知识，可以帮助我们解决与圆相关的几何问题，在解题过程中更加灵活和准确。
如果对这些知识点还不够熟悉，建议多进行相关题目的练习，加深对这些知识的理解和应用能力。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
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1
∵CD是⊙O的切线∴OC⊥CD
又∵CD⊥AD∴OC∥AD ∴∠1=∠3 又∵OA=OC ∴∠2=∠3 ∴ ∠1=∠2 即AC平分∠DAB
A
2
3
O
B
变式1 如图,AB为⊙O的直径, C为⊙O
上一点,AD⊥CD,AC平分∠DAB.
D C
1 2 3
求证: CD是⊙O的切线
变式2 如图 ,AB 为⊙ O 的直径 , AC 平 A
练习
1、如图, △ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D, DE ⊥AC于E,以D为圆心,DE为半径作⊙D. 求证：AB是⊙D的切线.
A
F
E D C
B
2、如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作 PC⊥AB于C.点D是半圆上位于PC左侧的点，连结BD 交线段PC于E，且PD=PE. 求证：PD是⊙o的切线.
P
D
5 2 3 4
E
1
A
O
C
B
3、已知,如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,点 O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与 AC,AB分别交于点D,E，且∠CBD=∠A.判断 直线BD与⊙o的位置关系，并证明你的结论.
C D 4 3 A 2
●
1
E
B
O
课堂练习
4、如图4，⊙M与x轴相交于点A（2，0），
变：如图：AD是切线，判断弦切 角∠DAC与圆周角∠ABC之间的 关系 E B C D
O
A
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
例2:如图, PA、PB是 ⊙O的切线，切点分别 为A、B。C是⊙O上一 点(不与点A 、B 重 合)，若∠APB=40°， 求∠ACB的度数.
若不给出 图形,结果 是否一样?
C
O
E B
C D E B
不变,除上述结论外,你还能推 出哪些正确的结论?(要求将图画
出,写出4个结论取即可)
A
一、切线的性质： 1、圆的切线与圆只有一个交点。 2、切线与圆心的距离等于半径。 3、圆的切线垂直于过切点的半径。 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心 二、辅助线的作法 凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切 点的半径．从而运用切线的性质定理，产生垂直 的位置关系．
A
∵CD⊥AE
∴DC⊥OC ∴DC是⊙O的切线.
E D C A O B A D C
O
B
能力提高 已知:AB是⊙O的直径, ⊙O过AC 的中点,DE⊥BC,垂足为E. ⑴这些条件你能推出哪些正确的 A 结论?(所连辅助线不要出现在结论中.
不写推理过程,写出3个结论即可)
⑵当∠ABC为直角时,其他条件 D
圆的切线的性质
知识回顾
证明一条直线是圆的切线有哪些方法?
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。
2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
解题方法：有交点，连半径，证垂直。 无交点，作垂直，证半径。
切线的判定： 1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
B（8，0），与y轴相切于点C， 求圆心M的坐标．
y
C
M
O A 图4
B
x
作业
A
1.如图，在⊙O中，AB为 直径， AD为弦， 过B点的 切线与AD的延长线交于点 C，且AD=DC
求∠ABD的度数. C
D
O
2. 如图，AB为⊙O的直径， AD是和⊙O相切于点A的 切线， ⊙O的弦BC平行于 OD.
D 4
将上述判定1、2反过来，结论是否还成立呢？
成立。 切线的性质：
1、圆的切线与圆只有一个交点。
2、切线与圆心的距离等于半径。
如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与 直线L是不是垂直呢？ 分析：假设OA与L不垂直，过 O 点作OM⊥L，垂足为M。 根据垂线段最短的性质，有 OM﹤OA，这说明圆心O到直线 A L L的距离小于半径OA，于是直 O 线L就要与圆相交，而这与直线 L是圆O的切线相矛盾。 因此，OA与直线L垂直。
4.已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦， ∠DBC =∠A. 请问BC是⊙O的切线吗？为什么？
C D
E
B O
D
A
A O E B C
变式、已知：AB是圆O的直径，C是AB 延长线上的一点，CD切圆O于点D， DE⊥AB于点E。求证： ∠CDB = ∠EDB
5、已知：AB是圆O的直径，AC切 圆O于点A，DE切圆O于点E，交AC 于点D。求证：AD=CD
A P 40° 140° O B C
PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B， C是⊙O上一点(不与点A 、B 重合)，若 ∠APB=40°，求∠ACB的度数.
A
P
40°
C
O C
B
∠ACB=70° ，或 ∠ACB=110°
例3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， AD 和 过 C 点 切 线 互 相 垂 直 ， 垂 足 为 D. 求证:AC平分∠DAB
B
C 2
1 O B 3
A
求证：DC是⊙O的切线
练习与巩固：
1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°， 则∠BAC等于（ C ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°
O B A
（1）
A E
C
O B
（3）
B
D
（2）
C
A
2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于 60 _度. 点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___ 3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，⊙O与AB相切 于点A, 则⊙O
P O
B
A
O
B
E
C
变式.如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于P， CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．
6.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交 过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并 说明你的理由.
变式.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E 作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并 说明理由.
MA
L
性质3：圆的切线垂直于过切点的半径。
符号语言 ∵ 直线L是圆O的切线 ∴ OA ⊥ L
如图, 直线l是圆O的切线, 切点为A, ∠OBA=40°,求∠AOB. 解: 由于线段OA是过切点的半径, 因此 OA ⊥l,从而∠OAB=90°, 于是∠AOB=90°－40° =50°
40°
O ·
B
A
l
练习1、已知：如图：AB是⊙O的 弦 ， AC 切 圆 于 点 A ， 且 ∠BAC=54°，求∠OBA的度数。
已知直线和圆相切时， 常连接切点与圆心。 -----辅助线
54°
2，已知：AB是直径，AD是切线， 判断弦切角∠DAC与圆周角 ∠ABC之间的关系 B
C A D
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
分∠DAB ,CD是⊙O的切线. 求证: AD⊥CD
O
B
变式导练 已 知 : 如 图 , AB 是 ⊙ O 的 直 径 ,⊙O 过 BE 的中点 C,CD⊥AE.
E D
1 2 3
C O B
求证:DC是⊙O的切线.
证明: 连结AC,OC ∵AB为⊙O的直径∴AC⊥BE 又∵BC=EC∴AE=AB ∴∠1=∠2 又∵OA=OC∴∠2=∠3∴∠1=∠3 ∴AE∥OC