一元二次方程根与系数的关系培优练习.doc

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一元二次方程根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .10、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2221x x += .11、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 .12、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .13、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为14、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，则（1）1x 2+2x 2= _；（2）2111x x += ；（3）=-221)(x x _ _；（4）)1)(1(21++x x = .二、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（）（A ）0 （B ）正数（C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 三、解答题: 1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求242(1)4a a a++⋅-的值。

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 浙教版八年级下册培优讲义(含解析)

第2讲韦达定理命题点一：利用判别式求值例1若关于x 的方程ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，则实数a 的取值范围是 a ≥－1 .例2(1)如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( D ) A ．k ＜12 B ．k ＜12且k ≠0 C ．－12≤k ＜12 D ．－12≤k ＜12且k ≠0 (2)若关于x 的一元二次方程12x 2－2mx －4m ＋1＝0有两个相等的实数根，则(m －2)2－2m (m －1)的值为 72．命题点二：巧用韦达定理妙解代数式例3若m ，n 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，则m 2＋2m ＋n 的值为 0 .例4(1)已知α，β是方程x 2－x －1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．(2)若关于x 的一元二次方程2x 2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根为x 1，x 2，且x 1x 2>x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是( D )A ．m >－53B ．m ≤12C ．m ＜－53D ．－53＜m ≤12命题点三：根据根的范围求值例5已知关于x 的方程ax 2＋(a ＋1)x ＋6a ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜1＜x 2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．－1＜a ＜0B ．a ＜－1C ．－18＜a ＜0D ．a ＜－18例6已知关于x 的方程x 2＋2px ＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p 的取值范围是 p ＜－1 ．命题点四：解绝对值方程例7设方程||x 2＋ax ＝4只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根．解：方程等价于如下两个方程：x 2＋ax －4＝0，① x 2＋ax ＋4＝0. ②∵原方程只有3个不相等的实根，又∵两个方程不可能有公共根，∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a 2＋16≥0，Δ2＝a 2－16≥0.由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4.∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22；∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.例8若关于x 的方程x 2－(m ＋5)||x ＋4＝m 恰好有3个实数解，则实数m ＝ 4 .命题点五：构造方程求值例9已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为 3 ．例10已知mn ≠1，且5m 2＋2 018m ＋9＝0，9n 2＋2 018n ＋5＝0，则m n值为( B ) A.59 B.95 C.6703D ．－402 命题点六：三角形边的问题例11如果方程(x －1)(x 2－2x ＋m )＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34≤m ≤1 例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，则m 的取值范围是112<m ≤18 ．命题点七：整数根问题例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x 2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝－2278 ．例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程．设两个整数根为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－k ＋1k ＝－1－1k ，① x 1·x 2＝k －1k ＝1－1k .② 由①－②，得x 1＋x 2－x 1·x 2＝－2，整理，得(x 1－1)(x 2－1)＝3.∵方程的根都是整数，∴(x 1－1)(x 2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．有x 1－1＝1，x 2－1＝3或x 1－1＝－1，x 2－1＝－3.故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即－1－1k＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17，1. 课后练习1．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值为( A )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2．已知关于x 的方程x 2－(a 2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是( B )A ．5B ．－3C ．5或－3D ．13．已知四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足(a 2012－c 2012)(a 2012－d 2012)＝2 012，(b 2012－c 2012)(b 2012－d 2012)＝2 012，则(ab )2012－(cd )2012的值为( A )A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 0114．若实数a ，b 满足12a －ab ＋b 2＋2＝0，则实数a 的取值范围是( C ) A ．a ≤－2 B ．a ≥4 C ．a ≤－2或a ≥4 D ．－2≤a ≤45．已知关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋5－k ＝0有两个大于2的实数根，则k 的取值范围是( A )A ．－5＜k ≤－4B ．k >－5C ．k ≤－4D ．－4≤k ＜－26．关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2－k ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝4，则x 21－x 1x 2＋x 22的值为 4 ．7．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－m ＝3，n 2－n ＝3，那么代数式2n 2－mn ＋2m ＋2 015＝ 2026 .8．设a ，b 是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个根，则3a 3＋4b ＋2a 2的值为 11 ． 9．若方程||x 2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0或a >254． 10．若p ＋q ＝198，则方程x 2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．11．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝7，求下列代数式的值：(1)(x 1－x 2)2. (2)x 2x 1＋2＋x 1x 2. 解：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝2m －1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－2×(2m －1)＝7， ∴m 2－4m －5＝0.∴m 1＝5，m 2＝－1.当m 1＝5时，Δ＝m 2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)；当m 2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0.∴m ＝－1.∴x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝13，x 2x 1＋2＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2x 1·x 2＝－13.12．已知方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a ，b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋b a的值． (2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x 2－15x －5＝0的两个根，∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴原式＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47. 当a ＝b 时，原式＝2.综上所述，a b ＋b a的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x 2＋cx ＋16c＝0的两个实数根， ∴Δ＝c 2－4×16c≥0，c 3≥64，即c ≥4. 故正数c 的最小值为4.13．(自主招生模拟题)已知x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3－3x 2＋(a ＋2)x －a ＝0的三个实数根，则4x 1－x 21＋x 22＋x 23的值为( A )A ．5B ．6C ．7 D.814．(自主招生模拟题)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的根，c ，d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的根，则a ＋b ＋c ＋d ＝ 1210 ．15．(自主招生真题)设x 为正数，求分式x (x ＋1)2的最大值．解：设k ＝x (x ＋1)2. 整理，得kx 2＋(2k －1)x ＋k ＝0.由Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，得k ≤14，即分式x (x ＋1)2的最大值为14.。

中考数学根与系数关系培优练习含答案

中考数学根与系数关系培优练习阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值；（2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于35而小于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=．（1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（）A ．2B ．4C ．3D ．56．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++；（2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ① 85174A B -=- ② 解由① ②联立的方程组得 1(4038517)8A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥ 解得23,a ≥故正实数a 的最小值为23(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由2350b b c ++=，得2+350b ca a ⨯+⨯=，即()12122350x x x x -++=，解得1213253x x x -=-，假设235x ≤，则11323553x x --≤，由10x ＜推得103--≥不成立，故235x ＞；假设21x ≥，则1132153x x --≥，由10x ＜推得132053x --≥＞，矛盾．故21x ＜，综上所述2315x ＜＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得()1253b ac =-+，得()3333131025555555f a b c a a c c a ⎛⎫-=++=-++=⎪ ⎪⎝⎭， ()()()1132533f a b c a a c ⎡⎤=++=----⎣⎦．若a ＞0，0c ＜，则305f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则305f ⎛⎫⎪⎪⎝⎭＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()3105f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.＜，故原方程必有一根介于35与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞（2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫----⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c db c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）5172m -=．（2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

九年级培优专题二一元二次方程的根与系数的关系课件

A．1
B．2
C．－2
D．－1
1
2
2．方程 6x2 －3x＋2＝0 的两根之和是__________，两根
1
3
之积是__________．
3、如果2是方程 x
2
6x m 0
4
8
的一个根，则另一个根是___ｍ=____。
4、已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0
又∵x1＋x2＝m－1，x1x2＝－m，且 m≠0，
1 1
2
x1＋x2＝－3.
x1＋x2
2
∴ x x ＝－3.
1 2
m－1
2
∴
＝－3.
－m
∴3m－3＝2m.
∴m＝3.
【跟踪训练】
7．已知关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋k＋1＝0 的两个实
数根是 x1，x2，且 x21＋x22＝24，则 k 的值是( D )
∵x1＋x2＝－3，
13
∴3×(－3)－4x2＝4，x2＝－ 4 .
13
将 x2＝－ 4 代入原方程，得
13
13
13
2
－＋3×－＋m＝0，m＝－ .
4
4
16

2
x
9、已知方程 kx k 2 0 的两个实数根
是
x1, x且
2
x x 4求k的值。
∴可设所求作的方程为
y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0.
即 y2＋6y－8＝0.
【跟踪训练】
5．请写出一个两实数根符号相反的一元二次方程
x2－x－6＝0(答案不唯一)
_____________________________．

2023年中考数学----《一元二次方程之根与系数的关系》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----《一元二次方程之根与系数的关系》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 根与系数的基本关系：若21x x ，是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，则这两个根与系数的关系为：ac x x a b x x =⋅−=+2121，。

同时存在：00222121=++=++c bx ax c bx ax ，。

2. 常考推广公式：①()2122122212x x x x x x −+=+。

②()1221221221x x x x x x x x +=+。

③21212112122111x x x x x x x x x x x x +=+=+。

④()21212212122212121212221122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x −+=+=+=+。

⑤()()()2212121p x x p x x p x p x +++=++。

⑥()()212212214x x x x x x −+=−。

专项练习题1、（2022•益阳）若x ＝﹣1是方程x 2+x +m ＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设x 2+x +m ＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．2、（2022•青海）已知关于x的方程x2+m x+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【分析】根据方程根的定义，将x＝1代入方程，解出m的值即可．【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，所以1+m+3＝0解得m＝﹣4．故选：B．3、（2022•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（）A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0【分析】设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得m的值，即可求得方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为a，∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，∴4﹣4+m＝0，解得m＝0，则﹣2a＝0，解得a＝0．故选：B．4、（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【分析】把x＝x1代入方程表示出x12﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，则原式＝x1（x12﹣2022）+x22＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1+4044＝4045．故选：A．5、（2022•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（）A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6【分析】根据根与系数的关系求出x2，a的值，代入代数式求值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣a，∵x1＝﹣1，∴x2＝3，x1•x2＝﹣3＝﹣a，∴a＝3，∴原式＝3﹣（﹣1）2﹣32＝3﹣1﹣9＝﹣7．故选：B ．6、（2022•宜宾）已知m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两个根，则m 2+m n +2m 的值为（）A ．0B ．﹣10C ．3D ．10【分析】由于m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m +n ＝﹣2，mn ＝﹣5，而m 是方程的一个根，可得m 2+2m ﹣5＝0，即m 2+2m ＝5，那么m 2+mn +2m ＝m 2+2m +mn ，再把m 2+2m 、mn 的值整体代入计算即可．【解答】解：∵m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两个根，∴mn ＝﹣5，∵m 是x 2+2x ﹣5＝0的一个根，∴m 2+2m ﹣5＝0，∴m 2+2m ＝5，∴m 2+mn +2m ＝m 2+2m +mn ＝5﹣5＝0．故选：A ．7、（2022•乐山）关于x 的一元二次方程3x 2﹣2x +m ＝0有两根，其中一根为x ＝1，则这两根之积为（）A ．31B ．32C ．1D ．﹣31 【分析】直接把x ＝1代入一元二次方程即可求出m 的值，根据根与系数的关系即可求得．【解答】解：∵方程的其中一个根是1，∴3﹣2+m ＝0，解得m ＝﹣1，∵两根的积为，∴两根的积为﹣，故选：D ．8、（2022•巴中）α、β是关于x 的方程x 2﹣x +k ﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k 的值为．【分析】α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k 的一元一次方程，即可解得答案．【解答】解：∵α、β是方程x 2﹣x +k ﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k ﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k +1﹣1＝﹣k ＝4，∴k ＝﹣4，故答案是：﹣4．9、（2022•日照）关于x 的一元二次方程2x 2+4mx +m ＝0有两个不同的实数根x 1，x 2，且x 12+x 22＝163，则m ＝．【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝，再由x 12+x 22＝变形得到（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝，即可得到4m 2﹣m ＝，然后解此方程即可．【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝，∵x 12+x 22＝，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝，∴4m 2﹣m ＝，∴m 1＝﹣，m 2＝，∵Δ＝16m 2﹣8m ＞0，∴m ＞或m ＜0，∴m ＝不合题意，故答案为：﹣．10、（2022•内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，则k 的值为．【分析】根据x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，可得x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，把+＝x 12+2x 2﹣1变形再整体代入可得＝4﹣k ，解出k 的值，并检验即可得k ＝2．【解答】解：∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，∴x 12＝2x 1﹣k +1，∵+＝x 12+2x 2﹣1，∴＝2（x 1+x 2）﹣k ，∴＝4﹣k ，解得k ＝2或k ＝5，当k ＝2时，关于x 的方程为x 2﹣2x +1＝0，Δ≥0，符合题意；当k ＝5时，关于x 的方程为x 2﹣2x +4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意； ∴k ＝2，故答案为：2．10、（2022•绥化）设x 1与x 2为一元二次方程21x 2+3x +2＝0的两根，则（x 1﹣x 2）2的值为．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x 1+x 2＝﹣6，x 1x 2＝4，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（﹣6）2﹣4×4＝36﹣16＝20，故答案为：20．11、（2022•鄂州）若实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，则a 1+b1的值为．【分析】由实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，知a 、b 可看作方程x 2﹣4x +3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a +b ＝4，ab ＝3，将其代入到原式＝即可得出答案．【解答】解：∵实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，∴a 、b 可看作方程x 2﹣4x +3＝0的两个不相等的实数根，则a +b ＝4，ab ＝3，则原式＝＝，故答案为：．12、（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是．【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴x1•x2＝3，故答案为：3．。

完整版一元二次方程根与系数关系附答案

元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分.选择题（共6小题）1.已知关于x的一元二次方程3X2+4X-5=0,下列说法正确的是（A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定2 .关于X的一元二次方程X2+2X- m=0有实数根，则m的取值范围是（A.m>- 1B. m> —1C. m<- 1D. m<- 13.关于X的一元二次方程X2+3X- 1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C•没有实数根D.不能确定4 .设X1、X2是一元二次方程2X2- 4X- 1=0的两实数根，则X12+X22的值是（A. 2B. 4C. 5D. 6 5.若a P是一元二次方程X2- 5X- 2=0的两个实数根，则a+P的值为（C. - 2 D . £A.—5B. 556 .已知关于X的方程X2-4X+C+1=0有两个相等的实数根，贝U常数c的值为（A. —1B. 0C. 1 D . 3评卷人得分二.填空题（共1小题）7.若关于X的一元二次方程X2-3x+a=0（aM0）的两个不等实数根分别为p,且P2- pq+q2=18，则2工的值为P q评卷人得分三.解答题(共8小题)&已知关于X 的方程x 2-( 2k+1) x+k 2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围;(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线 L的长. 9 .已知关于x 的方程x 2+ax+a - 2=0.(1)若该方程的一个根为1,求a 的值;(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.10.已知关于X 的一元二次方程(X- m ) 2-2 (X - m ) =0 (m 为常数).(1) 求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根;(2) 若该方程一个根为3，求m 的值.11.已知关于x 的一元二次方程X 2-x+a - 1=0.当a=- 11时，解这个方程; 若这个方程有两个实数根X 1，x 2，求a 的取值范围；若方程两个实数根 X 1，X 2满足[2+X 1 (1 - X 1) ][ 2+X 2 (1 - X 2) ] =9，求a 的值.12 .已知X 1，X 2是关于X 的一元二次方程4kx 2- 4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使(2X 1 - X 2) (X 1- 2x 2) =-|■成立？若存在，求出k 的值; 若不存在，说明理由; 13.已知关于x 的方程(k+1) x 2-2 (k - 1) x+k=0有两个实数根X 1, X 2.(1)求k 的取值范围；(2)若 X 1+x 2=x 1x 2+2，求 k 的值.14. 已知关于 x 的方程 x 2-2 (m+1) x+m 2- 3=0.(1) 当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2) (3) (2)求使一 - 2的值为整数的实数k 的整数值;K1(3)若 k=- 2，入=，试求入的值.(2)设X1、X2是方程的两根，且X12+X22=22+X1X2，求实数m的值. 15.已知关于X的一元二次方程X2-2x+m- 1=0有两个实数根X I、X2.1）求m 的取值范围；(2)若X I2+X22=6X I X2，求m 的值.参考答案与试题解析．选择题（共6 小题）1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x- 5=0,下列说法正确的是（A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【解答】解：•••△ =42- 4X 3X (-5) =76>0,•••方程有两个不相等的实数根.故选：B.2 .关于x的一元二次方程x2+2x- m=0有实数根，则m的取值范围是（A. m>- 1B. m>- 1C. m<- 1D. m<- 1【解答】解：•••关于x的一元二次方程X2+2X-m=0有实数根,••△ =22— 4X 1X(- m) =4+4m>0,解得：mA- 1.故选：A.3.关于x的一元二次方程x2+3x- 1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C•没有实数根D.不能确定【解答】解：T a=1, b=3, c=- 1, •△=b2-4ac=32-4X1X(- 1) =13>0, •方程有两个不相等的实数根.故选：A.4 .设X1、x2是一元二次方程2x2- 4x- 1=0的两实数根，则X12+x22的值是（）A. 2B. 4C. 5D. 6【解答】解：••• X1、x2是一元二次方程2x2- 4x- 1=0的两实数根,••• X I +X 2=2, x i x 2=-—,2•- X 12+X 22= ( X 1+X 2) 2 - 2X 1X 2=22- 2X(-丄)=5.故选：c. a + 3 =5故选：B.6•已知关于x 的方程x 2-4x+c+1=0有两个相等的实数根，贝U 常数c 的值为（ A . - 1 B. 0 C 1 D . 3【解答】解：•••关于x 的方程x 2- 4x+c+1=0有两个相等的实数根, •••△ = (- 4) 2-4X 1X(c+1) =12- 4c=0,解得：c=3.故选：D . .填空题（共1小题）7.若关于x 的一元二次方程x 2-3x+a=0（aM0）的两个不等实数根分别为p , 且p 2- pq+q 2=18,则2』的值为 -5 .x 的一元二次方程X 2 - 3x+a=0 （aM 0）的两个不等实数根分别为P 、q ,••• p+q=3, pq=a ,••• pq 二-3, n 7•. q + p =p zq =8£= - 5 p q pq pq 一3 '5 .若a 3是一元二次方程x 2- 5x - 2=0的两个实数根，则a+3的值为（ 2 53是一元二次方程x 2- 5x - 2=0的两个实数根，ot 、A .- 5 B. 5 C -2 D . 【解答】解：•••关于 ••• p 2- pq+q 2= (p+q ) 2-3pq=18，即 9 -3a=18,故答案为：-5.三.解答题(共8小题)&已知关于x的方程x2-( 2k+1) x+k2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围;(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线L 的长.【解答】解：(1)v方程x2-(2k+1) x+k2+1=0有两个不相等的实数根,•••△ =[ -( 2k+1) ]2-4X 1X(k2+1) =4k- 3>0,■ k> 徑.(2)当k=2时，原方程为x2-5x+5=0,设方程的两个为m、n,m+n=5, mn=5,■ • £ J11?吋(血口)2-2nai .9 .已知关于x的方程x2+ax+a - 2=0.(1)若该方程的一个根为1,求a的值；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【解答】(1)解：将x=1代入原方程，得：1 +a+a- 2=0, 解得：a^.(2)证明：△ =a2- 4 (a- 2) = (a-2) 2+4.•••( a-2) 2>0,•••( a-2) 2+4>0,即^> 0,•••不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.10.已知关于x的一元二次方程(X- m) 2-2 (x- m) =0 (m为常数).(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根;(2)若该方程一个根为3,求m的值.【解答】(1)证明：原方程可化为x 2-( 2m+2) x+m 2+2m=0,•/ a=1, b=-( 2m+2), c=m 2+2m ,:.△ =b 2 - 4ac=[ -( 2m+2) ] 2- 4 (m 2+2m ) =4>0,•••不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根.(2)解：将 x=3代入原方程，得：(3-m ) 2-2 (3 - m ) =0,解得：m 1=3, m 2=1.••• m 的值为3或1.11. 已知关于x 的一元二次方程x 2-x+a - 1=0.当a=- 11时，解这个方程；若这个方程有两个实数根X 1, X 2,求a 的取值范围；若方程两个实数根X 1, X 2满足[2+X 1 (1 - X 1) ][ 2+X 2 (1 -X 2) ] =9,求a 的值.【解答】解：(1)把a=- 11代入方程，得X 2-X - 12=0,(X+3) (X - 4) =0, x+3=0 或 X - 4=0,二 X 1 = - 3, X 2=4;即(-1) 2-4X 1X(a - 1)>0,解得虫号;S|j+a-I=0 ! K /-七+ 旷1 二0 , ••• Kj-X 冷-1， Zj .•••[2+X 1 (1-X 1) ][ 2+X 2 (1 - X 2) ]=9,••• -工 1 勺[2+呵-七2]二 9,> 2_ 2 把Kj — g 厂nT ， ^厂七二^-!代入，得：[2+a- 1][ 2+a - 1]=9，即(1+a ) 2=9,解得a=- 4, a=2 (舍去),所以a 的值为-4(1) (2)v 方程有两个实数根 /.△> 0,(3)v 貨],N 2是方程的两个实数根,12 .已知X 1 , X 2是关于X 的一元二次方程4kX 2- 4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k ,使(2X 1 - X 2) (X 1- 2X 2)=-3成立？若存在，求出k 的值; 2若不存在，说明理由;【解答】解：(1)v X I 、X 2是一元二次方程4&- 4kx+k+1=0的两个实数根,bxl二 X 1+X 2=1 , X 1X 2- ,4k•■- ( 2X 1 - X 2)( X 1 - 2X 2) =2X 1 2 - 4X 1X 2 - X 1X 2+2X 22=2( X 1+X 2)2 - 9X 1X 2=2X 12- 9 X ^i =24fc 90+1}4k934-寻成立，乙k i ，•••△ =16k 2-4X4k (k+1) =- 16k>0,••• kv 0,v k g ,•矛盾,•••不存在这样k 的值；十工：)' 2 十 ) 一2工 I Hn (工 1 十 X?)'十 Xi Kn(2)原式 J ------- ——2= -- --- ---- - 2= ------- -- ---- - 4=-K ［辽2 £ 1.上24k+1=1 或-1,或 2,或-2,或 4,或-4解得 k=0或-2, 1，- 3, 3,- 5.••• kv 0.二 k=- 2，- 3 或-5；(3) v k=- 2,入=,X 1+x 2=1,V(2)求使一 -2的值为整数的实数k 的整数值;K1(3)若 k=- 2,入= 七，试求入的值.若2-* 解上述方程得,入XX2 = 1, X2 —, X1二/‘ 入41' k+lX1x2=k 中I =1,4k 8'• I J(入+1)沖，•入=±^.13.已知关于X的方程(k+1) X2-2 (k- 1) x+k=0有两个实数根X1, X2.(1)求k的取值范围；(2)若X1+x2=X1X2+2, 求k 的值.【解答】解：(1)v关于X的方程(k+1) X2- 2 (k- 1) x+k=0有两个实数根, k十1工0△二[吃(Al) ]2-业山+D>o'解得：kw丄且kM- 1.3(2)v关于X的方程(k+1) X2- 2 (k- 1) x+k=0有两个实数根X1, X2. x1+X2=Xk~l、, X1X2」一.k+1 k+1• • • X1 +X2=X1 X2+2,即"f D£J-+2 ,k+1 k+1解得：k=- 4,经检验，k=- 4是原分式方程的解,二k=- 4.14.已知关于x 的方程x2-2 (m+1) x+m2-3=0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根?(2)设X1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值.【解答】解：(1)^ =[ - 2( m+1)]2-4( m2- 3)=8m+16.当方程有两个不相等的实数根时，则有△> 0,即8m+16>0,解得m>-2;( 2)根据一元二次方程根与系数之间的关系,得x1+x2=2(m+1), x1x2=m2- 3,X I2+X22=22+X I X2= (X I+X2)2- 2X I X2,•••[2 (m+1) ] - 2 (m2-3) =6+ (m2-3), 化简，得m2+8m-9=0,解得m=1或m=-9 (不合题意，舍去), •实数m 的值为1 ．15.已知关于X的一元二次方程X2-2x+m- 1=0有两个实数根X I、X2.1)求m 的取值范围；(2)若X I2+X22=6X I X2，求m 的值.解答】解：(1)v方程有两个实数根,• △> 0,即(一2) 2-4 (m- 1 )> 0,解得mW2；( 2)由根与系数的关系可得x1+x2=2, x1x2=m- 1 ,X I2+X22=6X I X2,••( X1+X2)2- 2X I X2=6X1X2，即(X1+X2)2=8X I X2,• 4=8( m- 1 ),解得m=1.5.。

一元二次方程根与系数关系专项训

一元二次方程根与系数关系专项训练1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是( )A.x 2+2x －3=0B.x 2－2x+3=0C.x 2+2x+3=0D.x 2－2x －3=03、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

4、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，求m 的值。

5、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

6、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。

这个方程的根应该是什么?7、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0。

(1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此方程会有两个负根吗?为什么?8、当m为何值时，方程3x2+2x+m－8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2，另一个根小于－2?9.关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。

10．（09年包头市）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（）A ．1B ．12C ．13D ．25 11．（10年包头市）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（） A ．1 B ．12C ．13D ．25。

初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题1(附答案详解)

初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题1（附答案详解）1．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870-+=x x的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A．3B．3 C．6 D．92．若关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．33．若关于x的方程（k-1）x2-2kx+k-3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞34B．k＞34且k≠1C．k＜34D．k＜34且k≠14．关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）A．m≤B．m<C．m≤D．m<5．关于x的一元二次方程2310kx x+-=有实数根，则k的取值范围是（）A．94k≤-B．94k≥-且0k≠C．94k≥-D．94k>-且0k≠6．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为﹣2和4，则b+c的值是（）A．-10 B．10 C．-6 D．-17．若关于x的一元二次方程2410kx x-+=有实数根，则k的取值范围是（）A．k=4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0D．k≤48．一元二次方程x2﹣2x﹣5=0根的判别式的值是（）A．24 B．16 C．﹣16 D．﹣249．若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．210．方程(m－2)x2-x+=0有两个实数根，则m的取值范围( )A．m>B．m≤且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠2 11．已知a、b为方程x2+4x+2=0的两实根，则a3+14b+50=_______．12．已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2b﹣10+ab2的值为______．13．已知一元二次方程x2+7x﹣1=0的两个实数根为α，β，则(α-1)(β-1)的值为____．14．已知x1、x2为方程x2+4x+2=0的两实根，则x13+14x2+5=_______.15．若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m+4=0的两个根，则m=__．16．已知一元二次方程22510x x --=的两根为1x ,2x ，则12x x +=___17．方程x 2-7x+1=0的两根之和等于____，两根之积等于______。

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一元二次方程培优综合练习
1、关于 x 的代数式 x2 mx m 8 是一个完全平方式．求 m 的值．

2、 Rt△ABC 中， C=90°， a,b 是方程 x2 5x 3 0 的两个根，求
Rt△ABC
的斜边上的

中线的长．

3、已知 △ABC 中， AB=AC= m ,BC= n ．
求证：关于 x 的方程
4x2 8mx n
2
0
一定有两个不相等的实数根．

4、已知 a、b、c 是 △ABC 的三边长，且关于
2 2
有两个
x 的方程
b x 1
2ax c( x 1) 0

相等的实数根．
求证： △ABC 是直角三角形．

1
5、已知 a、b、c 是 △ABC 的三边长，方程
a2 b2 c2 x2 2 a b c x 3
0

有两个相

等的实数根．
求证： △ABC 是正三角形．

、已知 a、b、c 是 △ABC 的三边长，
a、b
是方程

2
(c 4) x 4c 8 0
的两根．

①判断 △ABC 的形状．
②若
5a
3c ，求 a、 b、c
的长．

2
7、梯形
ABCD 中， AD ∥ BC ， AB=AD ， 8s梯形 ABCD =13s△ ABC ，梯形的高
5 3
AE =
，且

2
1 + 1
=
13． AD BC

40
①求 B 的度数．

②设 M 为对角线 AC 上的一点， DM 的延长线与 BC 相交于一点
F，当 s△ ABC
=
25

3
时，

8
求CF和DF的长．

3
8、已知关于 x 的方程 x2 2 a 1 x b 2 2 a 2014 b3 的值．
0
有两个相等的实数根．求

2 2
1 1
的值．
、已知

a b
，且满足 a 3a 1 0 ， b 3b 1 0 ．求

9
a2 1 b
2

10、已知关于 x 的一元二次方程
m 1 x2 2mx m 3
0

有两个不相等的实数根，且这两

个实数根不互为相反数．
①求 m 的取值范围．

②当 m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为 x1 ,x2 ，求
3x12 1
4x2

的值．

11、已知关于 x 的方程
mx2 2m 1 x m 2 0( m
0)

．

①求证：这个方程有两个不相等的实数根．
②如果这个方程的两个实数根分别是 x1 ,x2 ，且 x1 3 x2 3 5m ，求 m 的值．

4
12、已知实数 x、y、z满足 x y 2 ， xy z2 1 ，求
x y
z

的值．

13、已知 x1 , x2 是方程
x
2
(3m 5) x 6m2 0 的两个实数根，且 x

1
=

3
，求 m 的值．

x
2
2

14、已知关于 x 的一元二次方程 x2 5x 3 0 的两根为、．
①求 2 3( 2 7 6)的值．

②求的值．

15、已知关于 x 的方程
x
2
3x m
0 的两个实数根的平方和是
11．

求证：关于 x 的方程 k 3 x2 kmx m2 6m 4 0 有两个不相等的实数根．

5
16、已知关于 x 的方程 x2 2 m 2 x m2 0 ．问：是否存在实数
m 使方程的两根的平方

和等于 56，若存在，求出 m ；若不存在，请说明理由．

、已知关于 x 的一元二次方程
x
2
(5k
1)x k
2

2 0
，是否存在负数

k
，使方程的两实

数根的倒数和等于
4？如果存在，请求出
k
；如果不存在，请说明理由．

18、已知关于 x 的一元二次方程 m2 x2 2m 3 x 1 0 的两实数根的和为— 1，而关于 x 的
另一个一元二次方程
x
2
2(a m) x 2a m2 6m 4
0 有大于 0
而小于 5 的实数根，求

整数 a 的值．

19、关于 x 的一元二次方程 4m2
x
2
(8m
1)x 4 0
有两个不相等的实数根．

①若这个方程的两个实数根的倒数和不小于
-2，求 m 的取值范围．
② m 为何值时，这个方程的两根之比是 1:4．

6
20、 m 为何值时，一元二次方程 2(m 3) x2 4mx 3m 6 0 的两根为
、
，且满足

= ．

21、已知关于 x 的一元二次方程
x2 (m 2) x m
2
0
．

4
①求证：无论 m 取什么值，方程总有两个不相等的实数根．

②若这个方程的两个实数根是
x1, x2 ，且满足 x1 x2 2 ，求 m 的值及 x1 和 x2
．

22、已知关于 x 的方程
x
2
m
2

3 x 1 (m2 2)
0
．

2
①无论 m 取何值，方程总有两正根．

②若这个方程的两实数根是
x1 , x2 ，且满足 x
1
2 x2 2

x1 x
2

17
，求 m 的值．

7
23、已知关于 x 的一元二次方程 x2 12x k 0 的两根之差为 2，求这个方程的两根及 k 的值．
24
x 2mx 1 m 4 0
（ m 是实数）．
、已知关于 x 的一元二次方程
2 2

①求证：方程必有两个不相等的实数根．

②设 , 为方程 x2 2mx 1 m2 4 0 的两根，且，若
2,
2
是方程

x
2
qx
2 0
的两根，求实数

的值．

25、已知关于 x 的一元二次方程
x
2
2(k 2) x k
2

4 0
有两个实数根，且这两个实数根

的平方和比这两个根的积大
21，求
k
的值．