温州数学一元二次方程的专项培优易错试卷练习题(含答案)

(2)根据 k 取最小整数，得到 k＝0，列方程即可得到结论． 【详解】
(1)∵ 关于 x 的一元二次方程 x2+(k+1)x+ 1 k 2 ＝0 有两个不相等的实数根， 4
∴ △ ＝(k+1)2﹣4× 1 k2＞0， 4
∴ k＞﹣ 1 ； 2
(2)∵ k 取最小整数， ∴ k＝0， ∴ 原方程可化为 x2+x＝0， ∴ x1＝0，x2＝﹣1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)的根的判别式△ ＝b2﹣4ac：当△ ＞0，方程有两 个不相等的实数根；当△ ＝0，方程有两个相等的实数根；当△ ＜0，方程没有实数根．
x2 m 2 x m 0
根据题意得 2+t= m 2 ,2t=m， 1
解得 t=0， 所以 m=0， 即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0. 【点睛】 本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过 程中注意对△ 的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为 t，用 根于系数关系列出方程组，在求解.
（2）利用根与系数的关系得到
x1
x2
(m
1)
，
x1x2
1 4
m2
2
，然后解关于
m
的一
元二次方程，即可确定 m 的值．
【详解】
解：（1）∵ x2 (m 1)x 1 m2 2 0 有两个实数根， 4
∴ (m 1)2 41 (1 m2 2) 0 ， 4
∴ 2m 9 0 ，
∴ m9 ； 2
m﹣ m2=12， 60m﹣3m2=192， m2﹣20m+64=0， m1=4，m2=16， ∵ 要使销售量尽可能大， ∴ m=16． 【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
10．阅读下面的材料，回答问题：
解方程 x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
月份
用水量 （吨）
水费 （元）
四月
35
59.5
五月
80
151
【答案】
4．已知关于 x 的一元二次方程 x2 m 2 x m 0（m 为常数）
（1）求证：不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析； (2) 即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0. 【解析】 【分析】 （1）可用根的判别式，计算判别式得到△ =(m+2)2−4×1⋅ m=m2+4＞0，则方程有两个不相等 实数解，于是可判断不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
【解析】 【分析】 （1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△ =b2-4ac 证明判断即可； （2）根据方程的根，利用代入法即可求解 m 的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】 （1）证明： ∵ （x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0， ∴ x2﹣7x+12﹣m2=0， ∴ △ =（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2， ∵ m2≥0， ∴ △ ＞0， ∴ 对任意实数 m，方程总有 2 个不相等的实数根； （2）解 ：∵ 方程的一个根是 2， ∴ 4﹣14+12﹣m2=0，解得 m=± ， ∴ 原方程为 x2﹣7x+10=0，解得 x=2 或 x=5， 即 m 的值为± ，方程的另一个根是 5． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关 系是关键. 当△ =b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当△ =b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当△ =b2-4ac＜0 时，方程没有实数根.
5．已知关于 x 的一元二次方程 x2+(k+1)x+ 1 k 2 ＝0 有两个不相等的实数根． 4
(1)求 k 的取值范围； (2)当 k 取最小整数时，求此时方程的解．
【答案】(1)k＞﹣ 1 ；(2)x1＝0，x2＝﹣1． 2
【解析】 【分析】
(1)由题意得△ ＝(k+1)2﹣4× 1 k2＞0，解不等式即可求得答案； 4
x1
x2
b a
，
x1x2
c a
．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系
和根的判别式.
9．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为 20 元，每天销售 150 件： （1）若要每天的利润不低于 2250 元，则销售单价至少为多少元？ （2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天
经检验，x=2000 是原方程的解;
答：该绿化项目原计划每天完成 2000 平方米；
（2）设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2 或 x= 26 （不合题意，舍去）． 3
答：人行道的宽为 2 米．
8．已知：关于 x 的一元二次方程 x2 (m 1)x 1 m2 2 0 . 4
经检验 是方程（﹡）的根，但
，∴
【解析】
（1）计算△ =（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；
（2）有（1）可知方程的两根，再有条件 x1＞x2，可知道 x1 和 x2 的数值，代入计算即
可．
一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、
2．已知：关于 的方程 （1） 用含 的式子表示方程的两实数根；
有两个不相等实数根
．
（2）设方程的两实数根分别是 ， （其中
），且
【答案】（I） kx2+（2k－3)x+k－3 = 0 是关于 x 的一元二次方程．
∴
由求根公式，得
．∴
或
，求 的值．
（II）
，∴
．
而
，∴
，
．
由题意，有
∴
即
（﹡）
解之，得
开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低 m%，则日销售量可
以在 150 件基础上增加 m 件，结果当天的销售额达到 5670 元；要使销售量尽可能大， 求出 m 的值． 【答案】（1）销售单价至少为 35 元；（2）m=16． 【解析】 试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；
（2）设方程的另一个根为 t，利用根与系数的关系得到 2+t= m 2 ,2t=m,最终解出关于 t 1
和 m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明： △ =(m+2)2−4×1⋅ m=m2+4， ∵ 无论 m 为何值时 m2≥0， ∴ m2+4≥4＞0， 即△ ＞0， 所以无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为 t，
∴ x1＝0，x2＝2．符合题意． 综上所述，m＝2． 【点睛】 本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出 m 的值和 m 的范围是解此题 的关键．
7．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 46000 米 2，施工队在绿化了 22000 米 2 后， 将每天的工作量增加为原来的 1.5 倍，结果提前 4 天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少米 2？ （2）该项绿化工程中有一块长为 20 米，宽为 8 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同 的矩形绿地，它们的面积之和为 56 米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道 （如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+ m），列出方程求解即可． 试题解析：（1）设销售单价至少为 x 元，根据题意列方程得， 150（x﹣20）=2250， 解得 x=35， 答：销售单价至少为 35 元；
（2）由题意得：35×（1﹣ m%）（150+ m）=5670，
150+ m﹣150× m%﹣ m%× m=162，
【答案】(1)2000；(2)2 米
【解析】
【分析】
（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；
（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程
【详解】
解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成 x 米 2，
根据题意得： 46000 22000 ﹣ 46000 22000 = 4
x
1.5x
解得：x=2000，
（1）若此方程有两个实数根，求没 m 的最小整数值；
（2）若此方x12
x1x2
18
1 4
m2
x22 ，求 m
的值.
【答案】（1）-4；（2）m=3
【解析】
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到△ ≥0，然后解不等式得到 m 的范围，再在此范围内找出 最小整数值即可；
保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措
施，其中规定每月用水量超过 （吨）时，超过部分每吨加收环境保护费 元.下图反映
了每月收取的水费 （元）与每月用水量 （吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：
3．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、 五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出 的值.
6．已知关于 x 的方程 x2﹣2x+m﹣2＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 m 的取值范围； (2)如果 m 为正整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值． 【答案】(1)m＜3；(2)m＝2． 【解析】 【分析】 （1）根据题意得出△ ＞0，代入求出即可； （2）求出 m=1 或 2，代入后求出方程的解，即可得出答案． 【详解】 （1）∵ 方程有两个不相等的实数根． ∴ △ ＝4﹣4(m﹣2)＞0． ∴ m＜3； （2）∵ m＜3 且 m 为正整数， ∴ m＝1 或 2． 当 m＝1 时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去； 当 m＝2 时，原方程为 x2﹣2x＝0． ∴ x(x﹣2)＝0．