备战中考数学 一元二次方程 培优易错试卷练习(含答案)附答案解析

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．

【答案】（1）k ＞

34；（2 【解析】

【分析】

（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；

（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，

利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.

【详解】

（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，

∴k ＞34

； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，

设方程的两个根为m ，n ，

∴m ＋n ＝5，mn ＝5，

∴

=

=.

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

2．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．

涵涵的作业

解：x 2﹣7x+10=0

a=1 b=﹣7 c=10

∵b 2﹣4ac=9＞0

∴73

2

±

∴x1=5，x2=2

所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．

探究应用：请解答以下问题：

已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+m

2

﹣

1

4

=0的两个实数根．

（1）当m=2时，求△ABC的周长；

（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．

【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为7

2

；（2）当

△ABC为等边三角形时，m的值为1．

【解析】

【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．

（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣

m）2﹣4（m

2

﹣

1

4

）=m2﹣2m+1，可求得m.

【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．

（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+3

4

=0，

∴x1=1

2，x2=

3

2

．

当1

2

为腰时，

1

2

+

1

2

<

3

2

，

∴1

2、

1

2

、

3

2

不能构成三角形；

当3

2

为腰时，等腰三角形的三边为

3

2

、

3

2

、

1

2

，

此时周长为3

2

+

3

2

+

1

2

=

7

2

．

答：当m=2时，△ABC的周长为7

2

．

（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，

∴△=（﹣m）2﹣4（m

2﹣

1

4

）=m2﹣2m+1=0，

∴m1=m2=1．

答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．

【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.

3．解下列方程：

(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；

(2)(x＋1)2＝6x＋6.

【答案】(1)x1＝1＋

6

2

，x2＝1－

6

2

(2) x1＝－1，x2＝5.

【解析】

试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；

（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.

试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝1

2

，∴x2－2x＋1＝

3

2

.

∴(x－1)2＝3

2

.

∴x－1＝±3

2＝±

6

.

∴x1＝1＋6，x2＝1－6.

(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.

∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.

∴x1＝－1，x2＝5.

4．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；

（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．

【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．

【解析】

试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.

试题解析：（1）∵方程有两个实数根，

∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；

（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，

∵x12x22+4x1+4x2=1，

∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，

∵a≤3，

∴a=﹣1．