四川省遂宁市船山区河沙镇初级中学数学(北师大版)九年级2.1《对函数的再认识》学案
九年级数学对函数的再认识
2.1对函数的再认识教学目标:1、使学生经历从实际问题抽象出函数模型的过程,了解对应观点下的函数意义,会求简单函数的函数值。
2、会根据实际问题求出函数的关系式。
教学重点：函数的概念的理解。
教学难点：理解函数的意义。
教学过程：诊断补偿：1、什么是函数？你能举出几个函数的例子吗？2、A、B两地的路程为900km，一辆汽车从A到B地所需时间t(h)与汽车的平均速度v(km/h)之间的关系式是3、如图，矩形ABCD的一边AB长为4cm，另一边BC长为acm，矩形ABCD的面积S(cm2)与a(cm)的关系式是_____________4、某种书的定价为8元，如果购买10本以上，超过10本以上，超过10本的部分打八折，问题：（1）购买该种书6本需会款__________元；（2）购买该种书14本需付款_________-元；（3）付款金额y（元）与购买该种书的本数x（本）之间的关系式是___________。
小结：从上面的找出的关系式发现：这三道题目中都有几个变量，它们分别是什么这几个变量是否可以取任意值，自变量的取值范围是什么？对于自变量在它可以取值的范围内的每一个值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应由此你对函数有了哪些进一步的认识?与同伴进行交流精讲提炼：定义：一般地,在一个变化过程中有两个变量,对于自变量地某一范围内的每一个确定值,都有惟一确定的值与它对应,那么就说是的函数强调;对于函数概念的理解,主要抓住以下三点:1 函数不是数,是指在一个变化过程中两个变量之间的关系2 自变量每一个确定值,函数有一个并且只有一个值与之对应3 自变量的取值范围题组： 1下列表达式是否为的函数y==±x y=x2 s=t3+2 y=x+2(x≥0)2下列函数中是函数的图象的是例1、 一年期定期储蓄的年利率是2.25，所得利息要缴纳20%的利息税，存款到期时，银行应向储户支付的金额y （元）与储户的存款额x （元）之间的关系式是什么？（不交利息税） 题链导航：求利息的公式是什么？ 精讲提炼：分析：利息=存款额×利率 支出的金额=存款额+利息 解：y=x+2.25%(1-20%)x =x+0.018x =1.018x所以y 与x 之间的关系式是y=1.018x 。
2.1对函数的再认识
驶向胜利 的彼岸
?
(6) v=10πr².
随堂练习 8
知道就做别客气
驶向胜利 的彼岸
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m S(m²) 2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ) 用总长为60m的篱笆围成矩形场地 与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？ a(m)之间的关系是什么 与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？ 是哪一种函数？ 是哪一种函数？
下课了!
结束寄语
•
有信心的人, 有信心的人,可以化渺小 为伟大,化平庸为神奇. 为伟大,化平庸为神奇.
你能根据表格中的数据作出猜 想吗
2
3
4
5
6 7
驶向胜利 的彼岸
亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说， 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的 也就是说， 也就是说 利率是一个变量.在我国 在我国,利率的调整是由中国人民银 利率是一个变量 在我国 利率的调整是由中国人民银 行根据国民经济发展的情况而决定的. 行根据国民经济发展的情况而决定的 设人民币一年定期储蓄的年利率是x, 设人民币一年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后, 一年到期后,银行将本金和利息自动 按一年定期储蓄转存.如果存款是100 按一年定期储蓄转存.如果存款是100 元,那么请你写出两年后的本息和 y(元 的表达式(不考虑利息税). y(元)的表达式(不考虑利息税). y=100(x+1)²=100x +200x+100. y=100(x+1) =100x²+200x+100. =100x
t/s 1 2 3 4 5 h/m 2.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆 长方体的长和宽 某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽 某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆 相等,高比长多 高比长多0.5m. 相等 高比长多 (1).长方体的长和宽用 长方体的长和宽用x(m)表示 长方体需要涂漆的表面积 表示,长方体需要涂漆的表面积 长方体的长和宽用 表示 长方体需要涂漆的表面积S(m2)如 如 何表示? 何表示 (2).如果涂漆每平方米所顼要的费用是 元,油漆每个长方体所需费 如果涂漆每平方米所顼要的费用是5元 油漆每个长方体所需费 如果涂漆每平方米所顼要的费用是 表示,那么 的表达式是什么? 用y(元)表示 那么 的表达式是什么 元 表示 那么y的表达式是什么
北师大九年级数学 知识点
北师大九年级数学知识点北师大九年级数学知识点北师大九年级数学是中学数学的重要环节，它是为高中数学打下扎实基础的一门学科。
本文将从几个重要知识点入手，系统地介绍北师大九年级数学的教学内容。
一、代数与函数1. 实数集与数轴实数集包括有理数和无理数，数轴是表示实数的图形工具。
2. 一次函数一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数。
学习如何通过一次函数的图像确定a和b的值。
3. 二次函数二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b和c为常数。
学习如何确定二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等相关概念。
4. 幂函数与指数函数幂函数是形如y=axⁿ的函数，其中a为常数，n为自然数。
指数函数是形如y=aⁿ的函数，其中a为常数，n为自然数。
学习如何求解幂函数与指数函数的值。
二、数与代数式的运算1. 分式和学习如何进行分式的四则运算，包括分式加减法、乘法、除法，以及分式的化简和消去。
2. 代数式的展开与因式分解学习如何将代数式进行展开与因式分解，掌握常见的代数式展开与因式分解的方法和技巧。
三、平面几何1. 四边形的性质学习正方形、长方形、菱形、平行四边形等四边形的特点和性质，包括对角线的性质、内角之和等。
2. 相似三角形学习相似三角形的判定条件和性质，掌握相似三角形的相关定理，如角边比例定理、全等三角形的性质等。
3. 圆的性质学习圆的周长、面积计算方法，以及切线与弦的性质，掌握与圆相关的各种定理。
四、概率与统计1. 事件与概率学习事件与概率的基本概念，包括样本空间、事件的运算关系，以及求解概率的方法。
2. 统计分析学习如何进行统计数据的整理、分析与展示，包括频数表、频率表、直方图、折线图等。
以上只是北师大九年级数学的一部分知识点，在实际教学中，还需要结合教材和课堂实践进行综合性学习。
北师大九年级数学注重培养学生的逻辑思维和数学推理能力，通过练习和实践提高学生的问题解决能力和创新思维能力。
北师版初三数学反比例函数回顾与思考
北师版初三数学反比例函数回顾与思考
九年级数学(上)第五章反比例函数
4.反比例函数小结(1)回顾与思考
阳泉市义井中学高铁牛
挑战“记忆”
我反思——我进步
1.你能举出现实生活中有关反比例函数的几个实例吗?
2.说说函数和的图象的联系和区别.
3.你能总结一下反比例函数的图象特征吗?现同伴进行交流.
4.你能用反比例函数的知识解决有关问题吗?请举例说明.
温故而知新
反比例函数的图象和性质
形状反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线;
位置当k>0 时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;当k0 时,在每一象限内,y 随x 的增大而减小;
当k0,即一次函数与y 轴的正半轴相交,因此选(2).
观察与发现
“慧眼”辩真伪
复习提问
下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?
①②③④
⑤⑥⑦⑧y =。
初中数学_对函数的再认识教学设计学情分析教材分析课后反思
教学年级九年级教学时间[来源:]课题课型新授主讲教师教学目标[来源:学科网]知识与能力：1、了解函数的三种表达方式：解析法、列表法、和图象法；2、会求简单函数的自变量取值范围及函数值；3、会根据实际问题求出函数的表达式[来.源:、[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]过程与方法：使学生经历从实际问题抽象出函数模型的过程，了解对应观点下的函数意义情感态度价值观：使学生经历从实际问题抽象出函数模型的过程，了解对应观点下的函数意义培养合作意识教学重点难点教学重点：函数的定义、函数自变量取值范围，根据实际问题求出函数的表达式教学难点：函数定义的理解，简单函数自变量的取值范围，根据实际问题求取表达式并求函数的自变量取值范围教学资源多媒体三角板教法与学法简述以合作教学为主展开教学，学生探索发现法，归纳总结。
内容设计双边活动设计教学内容一、提问1、函数的表达方式：2、函数的定义3．练习观察课本39页，40页表格和图象分别说出其中自变量的取值范围二、新课例3．求下列函数的自变量x的取值范围(1)y=2x-4 (2)y=341+x(3) y=12+x(4)y=x321-例4、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S与一边长x之间的关系式，并求出x的取值范围三、练习：1.、2、四、小结：函数的自变量的取值范围类型总结：五、作业: 课后作业：小组内讨论教师点评教师引导学生完成小组讨论学生代表发言学生板演板书设计3.1 对函数的再认识（2）复习回顾: 例3. 例4. 练习：课外作业布置必做随堂练习1,2选作68页问题解决3.1对函数的再认识(2)在学习本节前，学生已经掌握了一次函数和反比例函数，对函数有了一定的认识；虽然对函数有一定的认知，但函数一直是初中数学教学的一个难点，原因在于函数变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。
教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。
教科书利用实例引出函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，对于自变量取值范围这部分内容，要求学生对整式、分式、二次根式、综合式子以及实际问题各种类型都要会解决，教学中则应让学生牢固地掌握。
鲁教版初中数学九年级上册《对函数的再认识(1)》参考教案2
课 题 3.1 对函数的再认识(1)
目的要求 重点难点
1、掌握函数的概念； 2、会根据题意列出正确的函数关系式； 3、理解什么叫做函数值。 重点：掌握函数的概念； 难点：会根据题意列出正确的函数关系式。
教具准备 多媒体课件
教法
引导探究 课型 新授
教师活动
学生活动
教学意图
一、复习提问： 你还记得什么是函数吗？你能举几 个函数的例子吗？ 二、做一做：(幻灯片) (1)AB 两地之间的路程为 900km,一
学生填空。并互相对照 答案是否正确。让三个 同学分别起来交流自己 的答案及思路。
锻炼学生的思 考能力及语言 表达能力。
10 本以上，超过 10 本的部分打八折，
购买 6 本需要___元，购买 14 本呢？
(4)付款金额 y 与本数 x 之间的关系
式是_______________
三、给出定义：
资料来源于网络 仅供免费交流使用
习题 3.1
学生对于函数的定义理解有点模糊，在教学中要多举几个例子， 且要全面。
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学生思考并回答 学生举几个函数的例 子，有正比例函数，一 次函数，反比例函数。 都可以。
通过举例子，引 起学生的学习 兴趣，知道本节 课是以前所学 知识的延续。
辆汽车从 A 地到 B 地所需时间 t(h)
与汽车的平均速度 v 之间的关系是
_________________
(2) 矩形 ABCD 的面积为 18cm2，其 中一边 BC 长为 acm，矩形 ABCD 的周长 l（cm）与 a（cm）的关系式 是_____________ (3)某种书的定价为 8 元，如果购买
的函数。
北师大版九年级下册数学第4讲《二次函数的概念》知识点梳理
北师大版九年级下册数学第 4 讲《二次函数的概念》知识点梳理【学习目标】1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.【要点梳理】要点一、函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x 在某一范围内的每一个确定值，y 都有惟一确定的值与它对应，那么就说y 是x 的函数.对于自变量x 在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y 有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a 时函数的值，简称函数值.要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义. 要点二、函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：表示方法全面性准确性直观性形象性列表法×∨∨×解析式法∨∨××图象法××∨∨要点三、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c 可分别为零，也可以同时都为零．【典型例题】类型一、函数的相关概念1、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【思路点拨】抓住函数定义中的关键词语“y 都有惟一确定的值”，x与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.【答案】C；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.举一反三：【变式】下列等式中，y 是x 的函数有（）个.3x - 2 y= 0, x2-y2= 1, y = x, y =| x |, x =| y |3 2x -12x -1⎩A.1B.2C.3D.4【答案】C ；要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于 x 2- y2= 1,当 x 取 2 时， y 有两个值± 与它对应，对于 x =| y | ，当 x 取 2 时， y 有两个值±2 和它对应，所以这两个式子不满足函数定义的要求：y 都有惟一确定的值与 x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义.2、求出下列函数中自变量 x 的取值范围. （1）． y = x 2 - x + 5 （2）． y =4x2x - 3（3）． y = （4）． y =x（5）． y = （6）． y =x + 3x +2【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的 x 的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.【答案与解析】解：（1）． y = x 2 - x + 5 ， x 为任何实数，函数都有意义；（2）． y =4x 2x - 3 ，要使函数有意义，需 2 x －3≠0，即 x ≠ 3 ；2（3）． y =（4）． y =，要使函数有意义，需 2 x ＋3≥0，即 x ≥ - 3；2x ，要使函数有意义，需 2 x －1＞0，即 x > 1； 2 （5）． y = （6）． y =x + 3 x +2 ， x 为任何实数，函数都有意义；⎧x + 3 ≥ 0 ，要使函数有意义，需⎨x + 2 ≠ 0 ，即 x ≥－3 且 x ≠－2.【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况.3、若 y 与 x 的关系式为 y = -x 2+4x +5 ，当 x ＝2 时， y 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【思路点拨】把 x = 2 代入关系式即可求得函数值. 【答案】B ；【解析】 y = -22+ 4⨯ 2 + 5 = 9 .【总结升华】 y 是 x 的函数，如果当 x ＝ a 时 y ＝ b ，那么b 叫做当自变量为 a 时的函数值.类型二、函数的三种表示方法2x + 3 3 1- 2x2x + 3 31- 2x4、一水库的水位在最近5 小时内持续上涨，下表记录了这5 小时的水位高度．t/时012345…y/米10 10．05 10．10 10．15 10．20 10．25 …(1)由记录表推出这5 小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．(2)据估计这种上涨的情况还会持续2 小时，预测再过2 小时水位高度将达到多少米？【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数.【答案与解析】解：(1)由表中观察到开始水位高10 米，以后每隔1 小时，水位升高0.05 米，这样的规律可以表示为：y=0.05t+10（0≤t≤5）这个函数的图象如下图所示：(2)再过2 小时的水位高度，就是t=5+2=7 时，y=0.05t+10 的函数值，从解析式容易算出：y=0.05×7+10=10.35, 从函数图象也能得出这个值数．答：2 小时后，预计水位高10.35 米．【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题.类型三、二次函数的概念5、当常数m≠时，函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数；当常数m= 时，这个函数是一次函数．【思路点拨】根据一次函数与二次函数的定义求解.【答案与解析】解：由函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数，得m2﹣2m﹣8m≠0．解得m≠4，m≠﹣2，由y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2 是一次函数，得，解得m=4，故答案为：4，﹣2；4．【总结升华】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不能为零，一次函数一次项的系数不能为零．举一反三：【变式1】下列函数中，是二次函数的是（)A.y = 2 -x2【答案】AB.y =x2-1xC. y = (x - 2)2-x2D. y =x3- 2x +1【变式 2】若函数是二次函数，则m 的值是．【答案与解析】解：若函数是二次函数，则m2﹣9m+20=2，再利用m﹣6≠0，故（m﹣3）（m﹣6）=0，m≠6，解得：m=3．故答案为：3．。
九年级数学反比例函数三角函数二次函数北师大版知识精讲
初三数学反比例函数、三角函数、二次函数北师大版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：反比例函数、三角函数、二次函数 二. 重点、难点：这三部分涉及的知识非常灵活，学生掌握起来特别困难。
在这里建议大家在复习中注意以下几点：1. 深入理解概念。
反比例函数和二次函数都有自己的一般形式。
它们都有较灵活的变形。
如反比例函数y kx=可写成y ＝kx －1的形式，二次函数除了一般形式y=ax 2+bx+c 外，还可有顶点式y ＝a(x －h)2＋k ，在具体的题目中，应用起来也很方便。
研究三角函数的前提是在直角三角形中，正弦、余弦、正切的概念必须记牢，才能在计算中灵活应用。
2. 注意数形结合，函数之所以被大部分同学认为较难，是函数可以从“数”和“形”两个方面进行研究，有的题目给出的“数”的形式，让你找到“形”的变化。
当然，有的题目反之，如果同学们不能使“数”和“形”两方面顺利地相互转化，自然驾驭不了知识。
在后面的讲解中，我将结合例题具体讲解。
【例题分析】例1. 小山上有一电视塔CD ，由地面一点A ，测得塔顶C 的仰角为30°，由A 向小山前进100米，到B 点，由塔顶C 测得B 的俯角为60°，已知CD=20米，求小山的高度DE 。
分析：解决本题的关键只要分清仰角和俯角的概念，仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的叫仰角，视线与水平线下方的叫俯角，然后用转化的数学思想，将解：︒=∠∴︒=∠12060ABC CBE ，︒=∠∴︒=∠3030ACB A ，又米即100==∴∠=∠AB BC ACBA ︒=∠∴︒=∠∆3060BCE CBE BEC Rt ，中，在 （米）501002121=⨯==∴BC BE 在中，，即Rt BCE CBE CE BE DE∆ tan tan ∠=+=︒=2050603 3500=+2∴DE 米)20350(-=∴DE答：米为小山的高度)20350(-DE例2. 已知，如图，二次函数y ＝ax 2－5x ＋c 的图象如下：（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标。
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备课时间：9.23 上课时间：10.7
课型：新授课课时：1课时
2.1《对函数的再认识》学案
学习目标：
1．复习并进一步认识函数的定义，能够表示简单变量之间的函数关系
2.了解表示函数的方法。
．
学习重点：会求简单函数的自变量取值范围及函数值。
学习过程：
一、学前准备
(一)一起想一想
（1）对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得什么是函数吗？你能举出几个函数的例子吗？
（2）你学过哪些函数？请你写出它们的表达式，它们的图象各是什么?
（3）函数的定义是什么，你还记得吗?
(二)自己做一做：
课本P37 “做一做”（作到书上）
二、探究活动
(一)独立思考：在上面三个例子中 :
（1）自变量分别是什么 ? 自变量可以取值的范围是什么 ?
（2）对于自变量在它可以取值的范围内的每一个值,另一个变量是否都有惟一确定的值与它对应?
（3）由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同伴进行交流。
函数的定义：
（二）探究交流
例1：某种商品按进价提高30%后标价，又以9折优惠售出，试写出该商品每件的利润y(元)与每件的进价x(元)之间的关系式.
思考：对于自变量 x 在可以取值范围内的一个确定的值α, 函数y 有惟一确定的对应值 , 这个对应值叫做 .
如对于例 2(1) 中的函数y =3x+7,16就是当x =3 时的函数值 .
（三）应用探究
A、课本P38随堂练习1、2做到练习本上
B、课本P39习题1、2做到练习本上
C、课本P39试一试
练习中你出现过什么问题？还有什么需要格外．．
注意的？ 四、回顾思考：通过本节课的学习,你有什么体会和收获?
五、自我测试
1、x 取什么值时，函数y=x+2与函数2
3-=x x y 的值相等 2、x 取什么值时，函数y=x+2的值小于0.
3、x 取什么值时，函数y=x+2的值大于函数y=5-3x 的值.。