高三物理复习中的极值与临界问题专题

极值与临界问题专题常州二中徐展临界现象是量变质变规律在物理学上的生动体现。

即在一定的条件下，当物质的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点常称为临界点，这种现象也就称为临界现象.如:静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度；碰撞中的能量临界、速度临界及位移临界；电磁感应中动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；带电粒子在磁场中运动的边界临界；电路中电学量的临界转折等.解决临界问题，一般有两种方法，第一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。

所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最佳结果所需满足的极值条件.求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。

物理方法包括（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值。

数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值。

一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高.若将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。

在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定,但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。

在应用牛顿运动定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词句时，往往会有临界现象。

此时要用极限分析法，看物体不同加速度时，会有哪些现象发生，找出临界点，求出临界条件。

解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。

在解决临办极值问题注意以下几点：1.许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。

2.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。

3.临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

4.确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。

【典型例题与练习】运动学中的极值与临界问题：1．一车处于静止状态，车后相距s0=25m处有一个人，当车开始起动以1m/s2的加速度前进的同时，人以6m/s速度匀速追车，能否追上？若追不上，人车间的最小距离为多少？人不可能追上车 18 m。

A、B 两车停在同一点，某时刻A车以2m/s2的加速度匀加速开出，2s后B车同向以3m/s2的加速度开出。

问：B车追上A车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？【解析】〖解法1〗由于当A 车的加速度度小于B 车的加速度，B 车后启动，则B 车一定能追上A 车，在追上前当两车的速度相等时，两车相距最远。

设当A 车运动t 时间时，两车速度相等，则有,(3)A B A B v v a t a t ==- 解得：39B A B a t s a a ==- 把t 代入两车之间距离差公式得：2211(3)2722A B A B s s s a t a t m ∆=-=--= 〖解法2〗设A 启动ts 两车相距最远，A 车的位移：212A s at =，B 车的位移：21(3)2B s a t =- 两车间距离为22211(3)0.5913.522A B A B s s s a t a t t t ∆=-=--=-+- 由数学知识可知，当992(0.5)t s s =-=⨯-时， 两车间有最大距离：2211(3)2722A B A B s s s a t a t m ∆=-=--= 2． 如图所示，一平直的传送带以速度V=2m/s 匀速运动，传送带把A 处的工件运送到B 处，A 、B 相距L=10m ．从A 处把工件无初速地放到传送带上，经时间t=6s 能传送到B 处，欲用最短时间把工件从A 处传到B处，求传送带的运行速度至少多大？答案：52m/s(一直加速)3． 如图所示，一固定斜面的倾角为α，高为h ，一小球从斜面顶端沿水平方向落至斜面底端，不计小球运动中所受的空气阻力，设重力加速度为g ，则小球从抛出到离斜面距离最大所经历的时间为A ．g h 2B ．g h 2sin αC ．g h 2D ．gh 答案：A牛顿定律角度解题中的极值与临界问题：4． 一根劲度系数为k 、质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物体，有一水平的板将物体托住，并使弹簧处于自然长度，如图所示，现让木板由静止开始以加速度a (a <g )匀加速向下移动，求经过多长时间木板与物体分离。

【解析】木板与物体分离的临界条件是它们之间的作用力为零。

对于m 物体由牛顿运动定律得：mg F kx ma --=，当F=0以后，随着x 的增大，物体m 的加速度减小，二者开始分离。

物体与木板分离的临界点为F= 0时，此时由上式可得：(),m g a mg kx ma x k--== 由木板一直作加速度为a 的匀加速运动，则由运动学规律得：2122(),2x m g a x at t a x -=== ·· AB a B F5． 如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。

【解析】作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：F.cos θ-F 2-F 1cos θ=0,Fsin θ+F 1sin θ-mg=0要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 340320≤≤。

6． 如图所示，质量为kg M 2=的木块与水平地面的动摩擦因数4.0=μ，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N 的恒力F ，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度cm h 10=，木块M 可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？【解析】设当轻绳与水平方向成角θ时，对M 有Ma F Mg F =--)sin (cos θμθ整理得Ma Mg F =-+μθμθ)sin (cos令A =+θμθsin cos ，可知，当A 取最大值时a 最大。

利用三角函数知识有： )sin(12ϕθμ++=A ，其中211arcsinμϕ+=，而2max 1μ+=A ，与此相对应的角为 8.2111arcsin 902≈+-=μθ所以加速度的最大值为：22max /8.61s m g M F a ≈-+=μμ此时木块离定滑轮的水平距离为：cm h S 25cot ≈=θ7． 如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和B ，物体A 放在倾角为θ的斜面上，已知物体A 的质量为m ，物体B 和斜面间动摩擦因数为μ（μ<tan θ），滑轮的摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B 质量的取值范围．答案：(sin cos )(sin cos )B m m m θμθθμθ-≤≤+8． 如图所示，质量均为M 的两个木块A 、B 在水平力F 的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A 与B 的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A 与B 一起运动时的水平力F 的范围。

答案：F ≤Mg 329． 一物体在斜面上以一定速率沿斜面向上运动，斜面的倾角θ可在0°～90°之间变化。

设物体所能达到的最大位移x 与斜面倾角之间的关系如图所示，求x 的最小值.答案：θ=60°时，x 的最小值35mG F 2 F 1 F x y θ θ Fθ B F 60°A10． 一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央．桌布的一边与桌的AB 边重合，如图．已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2，现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面,加速度方向是水平的且垂直于AB 边．若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？（以g 表示重力加速度） 答案：11．如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg 。

现用水平拉力F 拉其中一个质量为2 m 的木块，使四个木块一同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为A ．53mg μB ． 43mg μC ．23mg μ D ．mg μ3 答案：B能量角度解题中的极值与临界问题：12．如图所示，半径为R 、圆心为O 的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m 的重物，忽略小圆环的大小。

（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图5)．在—两个小圆环间绳子的中点C 处，挂上一个质量M =2m 的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M ．设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M 下降的最大距离．（2）若不挂重物M ．小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态?【解析】(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为h ，由机械能守恒定律得: )sin )sin ((222θθR R h mg Mgh -+=解得 2h R =，（另解h=0舍去）(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为:a ．两小环同时位于大圆环的底端．b ．两小环同时位于大圆环的顶端．c ．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端．d ．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上(如图26所示)．对于重物m ，受绳子拉力T 与重力mg 作用，有:T mg = 对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力T 、竖直绳子的拉力T 、大圆环的支持力N .两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反sin sin 'T T αα=得'αα=,而'90αα+=，所以 45α＝。