《实际问题的函数建模》
示范教案{§2实际问题的函数建模2.2用函数模型解决实际问题}
2．2用函数模型解决实际问题导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图像性质，本节我们通过实例比较它们的应用．推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.④分别用表格、图像表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型？活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、…….④列表画出函数图像．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图像讨论它们的单调性．⑦让学生自己比较并体会．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型．讨论结果：①y＝x.②y＝x2.③y＝(1＋5%)x，④如下表图5 图6 图7⑤它们分别属于：y ＝kx ＋b (直线型)，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，抛物线型)，y ＝ka x ＋b (指数型)．⑥从表格和图像得出它们都为增函数．⑦在不同区间增长速度不同，随着x 的增大y ＝(1＋5%)x 的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y ＝log a x ＋b ，我们把它叫作对数型函数． 函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．应用示例思路1例1 某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为12x 件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？解：无论分几次进货，公司进货的总数是8 000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．设购进8 000个元件的总费用为F ，一年总库存费为E ，手续费为H ，其他费用为C (C 为常数)，则E ＝2×12x ，H ＝500×8 000x ，x ＝8 000n(n ≥1，n ∈Z )， 所以F ＝E ＋H ＋C ＝2×12x ＋500×8 000x＋C ＝8 000n ＋500n ＋C ＝500⎝ ⎛⎭⎪⎫16n ＋n ＋C ＝500⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －n 2＋4 000＋C ≥4 000＋C ， 当且仅当4n ＝n ，即n ＝4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜．例2 电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具解：我们取磁钢面积x 为横坐标、用胶量y 为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出图8.图8从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y ＝ax ＋b 表示用胶量与磁钢面积的关系．取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标代入y ＝ax ＋b ，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0.812＝56.6a ＋b ，2.86＝189.0a ＋b . 解得a ＝0.015 47，b ＝－0.063 50.这条直线是y ＝0.015 47x －0.063 50.点评：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．例3 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随着利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图像，通过观察函数的图像，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(图9)．图9观察函数的图像，在区间[10,1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝20时，y ＝5，因此，当x ＞20时，y ＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10,1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立． 令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(图10)，由函数图像可知它是递减的，因此图10 f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，即log 7x ＋1＜0.25x .所以当x ∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25. 说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不超过利润的25%.综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司的要求.变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x %(x ＞0)，销售数量就减少kx %(其中k 为正常数)．目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个．(1)当k ＝12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？ (2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加．．．．时k 的取值范围． 解：依题意，价格上涨x %后，销售总金额为y ＝a (1＋x %)·b (1－kx %)＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k )x ＋10 000]． (1)取k ＝12，y ＝ab 10 000⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋50x ＋10 000， 所以x ＝50，即商品价格上涨50%，y 最大为98ab . (2)因为y ＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k )x ＋10 000]， 此二次函数的开口向下，对称轴为x ＝501－k k，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x |x ＞0}的一个子集内增大时，y 也增大．所以501－k k＞0，解得0＜k ＜1. 点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.思路2例1 某工厂有216名工人接受了生产1 000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )(单位：小时，可不为整数)．(1)写出g (x )，h (x )解析式；(2)比较g (x )与h (x )的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：(1)由题意，知需加工G 型装置4 000个，加工H 型装置3 000个，所用工人分别为x 人，216－x 人．∴g (x )＝4 0006x ，h (x )＝ 3 000216－x ·3， 即g (x )＝2 0003x ，h (x )＝1 000216－x(0＜x ＜216，x ∈N ＋)． (2)g (x )－h (x )＝2 0003x －1 000216－x ＝1 000·432－5x 3x 216－x . ∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g (x )－h (x )＞0，g (x )＞h (x )；当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g (x )－h (x )＜0，g (x )＜h (x )．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2 0003x ，0<x ≤86，x ∈N ＋；1 000216－x ，87≤x <216，x ∈N ＋.(3)完成总任务所用时间最少即求f (x )的最小值．当0＜x ≤86时，f (x )递减，∴f (x )≥f (86)＝2 0003×86＝1 000129. ∴f (x )min ＝f (86)，此时216－x ＝130.当87≤x ＜216时，f (x )递增，∴f (x )≥f (87)＝1 000216－87＝1 000129. ∴f (x )min ＝f (87)，此时216－x ＝129.∴f (x )min ＝f (86)＝f (87)＝1 000129. ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86,130或87,129.变式训练m 与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品，并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x 个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点，(1)根据题中条件填空，m ＝________(元/吨)；(2)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解：(1)∵f (m )＝(m －195.5)2＋(m －200.5)2＋(m －204.5)2＋(m －199.5)2＝4m 2－1 600m＋160 041，∴m ＝200.(2)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万吨，收购总金额为200a (1＋2x %)，故y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝20010 000a (100＋2x )(10－x )＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)．(3)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)，依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，即x 2＋40x －84≤0. 解得－42≤x ≤2.又0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是0＜x ≤2.2.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫税率为8%)，计划可收购m 万担(其中m 为正常数)，为了减轻农民负担，如果税率降低x %，预计收购量可增加(2x )%.(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，求x 的取值范围．解：(1)y ＝120m ×104[1＋(2x )%]×(8－x )%＝120m (－2x 2－84x ＋800)．(2)由题意知120m (－2x 2－84x ＋800)≥0.78×120m ×104×8%，解得0＜x ≤2.所以x 的取值范围是0＜x ≤2.例2 民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图11，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图12.(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式．(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)图11 图12解：(1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元． 由题设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，由图知f (1)＝14，∴k 1＝14. 又g (4)＝52，∴k 2＝54. 从而f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0)． (2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元，企业利润为y 万元．则y ＝f (x )＋g (10－x )＝x 4＋5410－x (0≤x ≤10)， 令10－x ＝t ，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)， 当t ＝52时，y max ＝6516≈4， 此时x ＝10－254＝3.75(万元)． ∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元. 变式训练某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？解：设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获利y 1元，在月末出售，可获利y 2元，则y 1＝15%x ＋10%(x ＋15%x )＝0.265x ，y 2＝0.3x －700.图13利用函数图像比较大小，在直角坐标系中，作出两函数的图像如图13所示，得两图像的交点坐标为(20 000，5 300)．由图像，知当x ＞20 000时，y 2＞y 1.当x ＝20 000时，y 1＝y 2；当x ＜20 000时，y 2＜y 1.∴当投资小于20 000元时，月初出售；当投资等于20 000元时，月初、月末出售均可；当投资大于20 000元时，月末出售.知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k ，通过x 块玻璃以后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．(lg 3≈0.477 1) 解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k ＝0.9k ；光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k ＝0.92k ；光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k ＝0.93k ；光线经过x 块玻璃后强度为0.9x k .∴y ＝0.9x k (x ∈N ＋)．(2)由题意，知0.9x k ＜k 3， ∴0.9x ＜13.两边取对数，x lg 0.9＜lg 13. ∵lg 0.9＜0，∴x ＞lg 13lg 0.9. ∵lg 13lg 0.9＝lg 31－2lg 3≈10.4，∴x min ＝11. ∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下． 拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图像如图14所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2；③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．哪些说法是正确的？图14解：①说法正确．∵关系为指数函数，∴可设y＝a x(a＞0且a≠1)．∴由图知2＝a1.∴a＝2，即底数为2.②∵25＝32＞30，∴说法正确．③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图像性质分析问题、解决问题．作业习题4—2 A组2.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是一个不可多得的素材．(设计者：林大华)。
《用函数模型解决实际问题》上课教学方案设计
《用函数模型解决实际问题》教学设计本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址用函数模型解决实际问题这部分内容，非常注重贴近实际生活，关注社会热点，要求学生对一些实际例子做出判断、决策，注重培养学生分析问题、解决问题的能力。
解决函数建模问题，也就是根据实际问题建立起数学模型来。
所谓的数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表达的一种数学结构。
函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行。
本节内容是安排在学生刚学完函数的相关知识，为学生建立起函数模型奠定基础。
学生虽然对这种函数建模问题并不陌生，但是要建立起正确的函数模型却不是一件容易的事。
这种题型题目较长，相关的内容较多，问题不是一眼就可以看出答案，需要建立的函数模型也多种多样，不少还会涉及到求二次函数的最值问题，学生往往是无从下手，对自己失去信心。
针对这种情况，我觉得直接让学生一步到位就找出解决问题的途径是很困难，老师在这里就应该发挥自己的主导地位，带领学生由问题入手，逐步分析，自己设计出一个一个的小问题，最后把这些小问题串起来，把题目中的大问题解决。
用函数模型解决实际问题需要建立的函数模型是多种多样的，只有根据题目的要求建立起适当的函数模型，才能成功地解决问题。
教师在授课过程中，要注重分类的思想，帮助学生把函数建模问题分成几类，以方便学生形成自己的知识系统。
一．一次函数模型的应用某同学为了援助失学儿童，每月将自己的零用钱一相等的数额存入储蓄盒内，准备凑够200元时一并寄出，储蓄盒里原有60元，两个月后盒内有90元。
（1）盒内的钱数（元）与存钱月份数的函数解析式，并画出图象。
（2）几个月后这位同学可以第一次汇款？这种题型只要建立起一次函数就可以很快地解决问题，而且学生以前也有接触过，对他们而言这种问题难度不大，主要是让他们对函数建模有个感觉。
二．二次函数模型的应用建立二次函数模型解决实际问题是整本书中出现得最多的一种方法，这种多用于根据二次函数的性质求出最值，求利润问题也多属于这种类型。
函数建模的在实际问题中的应用
类型 ，并通过具体 例题说 明了函数建模 的实际应用 。 关键词 函数 建模 应用
用 数学 刻画实 际 问题 ， 用数学 的眼 光看 实际 问题 ，用数 学的语言 表达实 际 问题 ， 也就 是数 学
们 称 直接 从 拟合 数 据 资料 出发 组建 数 学模 型 为 拟合 模型 。一般 来说 ，通过 一个与 现实 生活密 切 相关 的 实例 ， 收集 数据 ，拟 合 函数 模 型 ，解 决 实 际 问题 ， 善 函数 模型 建立 的过程与 方法 ，利 完
个 ， 天需 同样 多 的元 件用 于组装 整机 。该元 件 每
每年分 次进 货 ，每 次 购买元件 的数 量均 为 ｘ，
购一 次货 需手续 费 ５ ０ 元． ０ 已购进 而未使 用 发现 问题 中 的主要 因素 及其 相 互作
．
件要付库存费，可以认为平均库存量为÷ 件， ２
用 已有 的数学 知识 分析 研究 身边 的问题 。
建模 。数学建模 的过 程 ， 一方 面使 实 际问题被 抽
象化 ，揭露 出数学本 质 ， 实 际问题 归入到 数学 使 科学 中 。 一方面 ，使学 习过 的数 学 知识表现 出 另 了应用 价值 。 函数建模 就 是通 过探 索 实际应用 问 题 中的数量关 系和变 化规律 ， 中抽象 出函数 模 从 型 ，并 运用 函数 的知 识解 决实 际 问题 的过程 。
２１ ０ ２年 ９月
电大 理 工 Ｓｕ ｙｏ Ｓ ｉ ｃ ｎ ｎ ｉｅｒ ｇａＲ Ｖ ｔｄ ｆ ｃ ｎｅａｄＥ ｇｎｅｉ ｔ Ｔ Ｕ． ｅ ｎ
第 ３期
总 第 ２ ２期 ５
函数建模 的在实际 问题 中的应用
赵 瑛
阳 １０ ３ ） １０ ４ 辽宁广播 电视大学
实际问题的函数建模教案
实际问题的函数建模教案第一章：引言1.1 课程目标：通过本章的学习，学生将了解实际问题的函数建模的基本概念和方法，并能够运用这些知识解决简单的实际问题。
1.2 教学内容：实际问题的函数建模的定义和意义实际问题建模的基本步骤实际问题建模的常用方法1.3 教学活动：介绍实际问题的函数建模的概念和重要性通过实例演示实际问题的函数建模的基本步骤和方法引导学生进行小组讨论，分享不同的问题解决方法1.4 作业与评估：学生将完成一篇关于实际问题建模的小组报告学生将通过课堂演讲展示他们的建模方法和结果第二章：线性函数建模2.1 课程目标：通过本章的学习，学生将能够理解线性函数的概念，并能够将实际问题转化为线性函数模型。
2.2 教学内容：线性函数的定义和性质将实际问题转化为线性函数模型的方法线性函数模型的求解和分析2.3 教学活动：介绍线性函数的基本概念和性质通过实例展示如何将实际问题转化为线性函数模型学生将通过小组合作，解决实际问题并建立线性函数模型2.4 作业与评估：学生将完成一些关于线性函数建模的练习题学生将通过小组报告展示他们的线性函数建模方法和结果第三章：多项式函数建模3.1 课程目标：通过本章的学习，学生将了解多项式函数的概念，并能够将实际问题转化为多项式函数模型。
3.2 教学内容：多项式函数的定义和性质将实际问题转化为多项式函数模型的方法多项式函数模型的求解和分析3.3 教学活动：介绍多项式函数的基本概念和性质通过实例展示如何将实际问题转化为多项式函数模型学生将通过小组合作，解决实际问题并建立多项式函数模型3.4 作业与评估：学生将完成一些关于多项式函数建模的练习题学生将通过小组报告展示他们的多项式函数建模方法和结果第四章：指数函数建模4.1 课程目标：通过本章的学习，学生将了解指数函数的概念，并能够将实际问题转化为指数函数模型。
4.2 教学内容：指数函数的定义和性质将实际问题转化为指数函数模型的方法指数函数模型的求解和分析4.3 教学活动：介绍指数函数的基本概念和性质通过实例展示如何将实际问题转化为指数函数模型学生将通过小组合作，解决实际问题并建立指数函数模型4.4 作业与评估：学生将完成一些关于指数函数建模的练习题学生将通过小组报告展示他们的指数函数建模方法和结果第五章：实际问题建模的案例分析5.1 课程目标：通过本章的学习，学生将能够分析并解决一些复杂的实际问题，运用不同的函数建模方法。
§2 实际问题的函数建模
y = 1000 × (1 + 2.25%)5 = 1000 × 1.02255
由计算器算得： 1117.68（ 由计算器算得：y = 1117.68（元）
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题， 例4. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识 人口数量的变化规律， 人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus, 早在1798年 英国经济学家马尔萨（ 1798 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 就提出了自然状态下的人口增长模型
50(1- k) ] 上递增， 在 (- , 上递增， k 50(1- k) , + ) 上递减 在 [ k
∴适当地涨价，即 x>0 , 即 适当地涨价，
50(1- k) > 0 k ,能使销售总金额增加 能使销售总金额增加. 就是 0 < k <1 ,能使销售总金额增加.
例3、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化 设本利和为y 存期为x 写出本利和y随存期x 的函数式。如果存入本金1000元 每期利率2.25%， 的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计 1000 2.25% 算5期后的本利和是多少？ 期后的本利和是多少？ 思路分析 （1）复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和 复利是计算利率的一个方法， 本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P 本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P， 每期利率为r 本利和为y ,存期为 存期为x, 每期利率为r，本利和为y ,存期为x, 则复利函数式为 y=p(1+r)x.
北师大版数学必修一《实际问题的函数建模》参考课件
例2:西安市的一家报刊推主从报社买来《西安晚报》的价
格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报
纸还可以以每份0.08元的价格退回报社，在一个月（按30 天计算）内，有20天里每天可以卖出400份，在其余的10 天里每天只能卖出250份，如果他每天从报社买进的份数 是相同的.那么他应该每天从报社买进多少份，才能使每 月获得的利润最大？并计算出他一个月最多可赚多少钱？
每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方
法，增加利润.已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减 少10件，问应该将售价定为多少元，才能使所赚利润最 大，并求最大利润.
例6:小王是某房产开发公司的一名工程师，该房地产公司
要在如图所示的矩形拆迁地ABCD上规划出一块矩形地面
PQRC建造住宅小区，但市文物局规定，在三角形AEF地区
§2.2：用函数模型解决实际问题
概述：函数模型是应用最广泛的数学模型之一， 它在实际生活中的应用非常地广泛，不同的函数 模型能刻画出现实生活中不同的变化规律.如果实 际问题中的变量与变量之间的关系一旦被认定为 是函数关系就可以将实际问题转化为数学问题， 建立一个函数模型，通过研究函数的性质，从而 更好地去把握问题，分析问题上，使实际问题得 以解决.
例3:某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12 台与6台，现在要销售给A地10台，B地8台.又已知从 甲地调运一台到A地、B地的运费分别为400元与800
元；从乙地调运一台到A地、B地的运费分别为300元
与500元.
（1）设从乙地调运x台到A地，求总运费y元关于x的函
数关系式；
（2）若总运费不超过9000元，问一共有几种调运方案？
一.常见的函数模型有：
研究实际问题的函数模型预测
研究实际问题的函数模型预测函数模型预测是一种常用的数学建模方法，在研究实际问题时起到了至关重要的作用。
通过建立数学函数模型，我们可以对未来的情况进行预测，并为问题的解决提供有力的依据。
本文将探讨函数模型预测在研究实际问题中的应用，并介绍相关的数学方法和技巧。
一、函数模型预测的基本原理函数模型预测是一种基于历史数据和已知条件的预测方法。
其基本原理是通过对已有数据进行拟合，找到一个最佳的数学函数模型，然后利用这个模型来进行未来情况的预测。
函数模型预测可以用于各种实际问题的研究，如市场销售趋势的分析、股票价格的预测、天气变化的模拟等。
二、函数模型预测的数学方法和技巧在函数模型预测中，常用的数学方法和技巧包括函数选择、数据拟合、模型验证和预测评估等。
1. 函数选择在进行函数模型预测时，首先需要选择适当的函数形式。
函数的选择应基于问题的特点和数据的分布情况。
常用的函数形式有线性函数、指数函数、对数函数、多项式函数等。
根据数据的特点，选择合适的函数形式可以提高预测的准确性。
2. 数据拟合数据拟合是指将函数与已有数据进行匹配，寻找最佳的函数参数。
拟合过程中，我们需要确定函数的参数，使得函数能够最好地拟合已有数据，并尽量减小拟合误差。
常用的拟合方法包括最小二乘法、最大似然法等。
3. 模型验证模型验证是评估函数模型的好坏和可靠性。
在模型验证过程中，我们需要使用历史数据对模型进行验证，并计算模型的拟合度、均方根误差等指标。
通过模型验证，我们可以进一步优化模型，并判断模型是否适用于未来情况的预测。
4. 预测评估预测评估是对函数模型进行评估和优化的过程。
通过与实际情况的比较，我们可以评估模型的准确性和可靠性，并进行模型的优化和改进。
预测评估是函数模型预测中一个循环迭代的过程，可以不断提高模型的预测精度。
三、函数模型预测的应用案例函数模型预测在各个领域都有广泛的应用。
下面以股票价格预测为例，介绍函数模型预测的应用案例。
假设我们想预测某只股票在未来一周内的价格变动趋势。
人教版高中数学必修第一册4.2实际问题的函数建模
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 利用已知函数模型求解实际问题 例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出 13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶 的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程. 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝151 (h)，所以 0≤t≤151. 因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t， 所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t(0≤t≤151 ). 2 h 内火车行驶的路程 S＝13＋120×(2－1600)＝233 (km).
年份 1950 1951 1952 1953 1954 人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266
知识点三 数据拟合 思考 自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程， 简述什么是数据拟合？ 答案 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器 测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选 择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就 是数据拟合. 由优惠办法①得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N＋).
由 优 惠 办 法 ② 得 函 数 关 系 式 为 y2 ＝ (20×4 ＋ 5x)×92% ＝ 4.6x ＋ 73.6(x≥4 ，
x∈N＋).
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；
已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当
年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
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8000 500 n C n
4 当 n n
，即n=4时,总费用最少。
例2 已知某商品的价格每上涨x%,销 售的数量就减少kx%,其中k为正常数.
1 1. 当 k 时，该商品的价格上涨多 2
少，就能使销售的总金额最大？
ห้องสมุดไป่ตู้
2. 如果适当的涨价，能使销售总金 额增加，求k的取值范围。 进入
序号
1 11.0 2 19.4 3 26.2 4 46.6 5 56.6 6 67.2 7 125.2 8 189.0 9 247.1 10 443.4
磁钢面积 /cm2
（2）确定函数类型后，如
0.664 0.812 0.972 1.688
用胶量/g
何求出具体的函数解析式？
2.86
0.164
0.396
思考如下问题：（1）总费用由哪些部分组成？ （2）每一部分费用的表达式是什么？
分析： １、每次进货量x与进货次数n有什么 8000 关系： x
8000 2、进货次数为： n x 8000 3、全年的手续费是： 500 x n
1 4、一年的总库存费为： 2 x 2
5、其它费用： Ｃ
令总费用为F
北师大版高中数学必修1 第四章函数应用
2.2 用函数模型解决 实际问题
函数模型是应用最广泛的数 学模型之一,许多实际问题一旦认 定是函数关系,就可以通过研究函 数的性质把握问题,使问题得到解 决.
例1 某公司一年需要一种计 算机元件8 000个,每天需同 样多的元件用于组装整机. 该元件每年分n次进货,每次 购买元件的数量均为x,购一 次货需手续费500元.已购进而未使用的元件要 付库存费,可以认为平均库存量为0.5x件,每个 元件的库存费是一年2元.请核算一下,每年进货 几次花费最小?
50(1 k ) 0 ∴适当地涨价，即 x>0 , 即 k
就是
0<k<1,能使销售总金额增加.
例3 电器材厂在生产扬声 器的过程中，有一道重要 的工序：使用AB胶粘合 扬声器中的磁钢与夹板.思考如下问题： 长期以来,由于对AB胶的 （1）磁钢面积与用胶量间 用量没有一个确定的标准,经常出现用胶过多,脱水外 是否具有函数关系？用什 溢;或用胶过少,产生脱胶,影响了产品质量.经过实验, 么方法可以确定是什么函 已有一些恰当用胶量的具体数据 . 数关系？
50 40 30 20 10 0
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60
取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a· bx
7.9 a.b 得： 160 47.25 a.b
70
用计算器得：a2, b1.02
建立数 学模型
练习Ｐ125 作业P130：A组：2； B组：1
小结：掌握解决应用题的步骤及 思维方式。
这样就得到函数模型： y=21.02x
(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值 的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个 地区一名身高为175㎝,体重为78㎏的在校 男生的体重是否正常?
解 (2)将x=175代入y=21.02x，得 y=21.02175 用计算器得：y63.98 由于 7863.981.22>1.2, 所以这个男生偏胖。
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表提供的的数据,能否建立一个恰当 的函数模型,使它能近似地反映这个地区一 体化未成年男性体重y㎏与身高x㎝的函数关 系?试写出这个函数模型的关系式；
解：(1)以身高为横坐标,体重为纵坐 标,画出散点图
60
根据图的分布 特点,设y=a· bx 这一函数来近 似刻画其关系;
取点(56.6,0.812),(189.0,2.86)代入y=ax+b, 0 . 812 56 . 6 a b , 得方程: 2.86 189.0a b.
解得： a=0.015 47,
b=-0.06350 ，
这条直线是 ：
y=0.015 47x-0.063 50 .
注：取不同的的点代入会得到直线不同，要注意检验 是否符合实际问题。
0.404
4.076
7.332
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定两者关系
现在需要提出一个既科学又简便的方法来 确定磁钢面积与用胶量的关系. 解 磁钢面积x为横坐标,用胶量y为纵坐标, 建立直角坐标系.根据上表数据描点.
8 y/g
根据图的分 布特点,用 y=ax+b表示 其关系
7
6
5 4 3 2 1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 x/cm2
这节课你学习到了什 么？
解决应用问题的基本步骤
实 际 应用题
明确题意,找出 题设与结论的 数学关系 —— 数量关系和空 间位置关系
在分析联想的基 础上,转化为数 学问题,抽象构 建成一个或几个 数学模型来解
阅读 ,分析 , 联 想 , 转化 ,抽象
再翻译成具 体应用问题 的 结 论 解答数 学问题 运用数学知 识作为工具
思考： 例3给我们带来了什么 启示？把这种处理数据方法 叫作什么呢？
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过 绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些 点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种 函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入 这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达 式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以 确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法 称为数据拟合。 在自然科学和社会科学中，很多规律、定 律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟 合得到的。
归纳为：
根据收集到的 数据的特点 ，通过 建立函数模型解决 实际问题的基本过 程，可简化为如下 程序过程：
实际数据 画出散点图 选择函数模型 求出函数模型 检验
不合乎实际
例子
合乎实际
用函数模型解释实际问题
例4 某地区不同身高的未成年男性的体重平均 值如下表：
身高/cm 体重/kg 身高/cm 60 6.13 120 70 7.90 130 80 9.99 140 90 12.15 150 100 15.02 160 110 17.50 170
9 y max ab 即该商品的价格 当 x = 50时， 8 上涨50%时，销售总金额最大。
返回
2.∵二次函数 ab 2 y [kx 100 (1 k ) x 10000 ] 10000
50(1 k ) ] 上递增， 在 ( , k
50(1 k ) , ) 上递减 在 [ k
1 8000 F 2 x 500 C 2 x
2 2 4 16 500 n C 500 8 n 4000 C n n 2 4 500 n 4000 C ≥4000+C n
思考：我们应该怎么入手？
解：1.设商品现定价a元,卖出数量为b个. 由题设：当价格上涨x%时,销售总额为 y a(1 x%) b(1 kx%)
ab y [kx 2 100 (1 k ) x 10000 ] 10000 ab 2 1 [( x 50 ) 22500 ] 取k 得 y 20000 2