高中数学《三角函数应用举例》
三角函数应用实例
三角函数应用实例三角函数是数学中常见的函数之一，它在很多实际问题中都有广泛的应用。
在本篇文章中，我们将会介绍一些常见的三角函数应用实例，帮助读者深入理解三角函数的实际应用。
首先，我们来讨论三角函数在三角测量中的应用。
三角测量是通过测量角的大小和边的长度，来确定不同点之间的距离和方位关系的一种方法。
三角测量广泛应用于地理测量、导航、建筑等领域。
在三角测量中，正弦函数、余弦函数和正切函数等三角函数起到了关键的作用。
以地理测量为例，假设我们想要测量两座山之间的距离。
我们可以站在一个位置测量山顶的角度，然后移动到另一个位置再次测量山顶的角度。
通过测量这两个角度可以计算出两座山之间的距离。
这里就用到了正弦函数。
正弦函数可以表示角度和三角形边长之间的关系，通过计算正弦值可以求得两个角度所对应的边长比例，从而计算出两座山之间的距离。
另一个常见的三角函数应用是在物理问题中的运动学。
例如，我们想要计算一个物体在斜面上滑行的速度和加速度。
假设斜面的角度为θ，物体的质量为m，重力加速度为g。
我们可以利用正弦函数和余弦函数来计算物体在竖直方向和水平方向上的加速度。
根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的加速度可以表示为g*sin(θ)，而在水平方向上的加速度可以表示为g*cos(θ)。
通过计算这两个加速度，我们可以求得物体在斜面上滑行的加速度。
类似地，我们也可以利用三角函数来计算物体在斜面上的速度和位移。
此外，三角函数还可以应用于信号处理和通信领域。
在音频和视频信号处理中，我们经常需要对信号进行调整和处理。
而频率域处理是其中一个重要的方法，它通过将信号转换到频率域中进行处理。
而频率域分析中经常使用傅里叶变换来将时域信号转换为频域信号。
而这里面就涉及到了正弦函数和余弦函数。
傅里叶变换实际上是将一个时域信号分解成多个正弦函数和余弦函数的加权和，通过分析这些正弦函数和余弦函数的振幅和相位可以得到信号的频率和幅度信息。
最后，三角函数还可以在几何画图中得到应用。
利用三角函数解决实际问题的方法
利用三角函数解决实际问题的方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于实际问题的解决中。
无论是在物理、工程还是日常生活中，三角函数都能提供有效的数学工具，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一些利用三角函数解决实际问题的方法，并举例说明其应用。
一、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量物体的高度，如建筑物、树木等。
利用三角函数的正弦定理，我们可以通过测量物体的底边与其顶端的角度，以及观察者与物体的距离，计算出物体的高度。
假设观察者离物体的距离为d，底边与顶端的角度为θ，物体的高度为h，则有以下公式：h = d * sin(θ)通过测量角度和距离，我们就可以准确地计算出物体的高度。
二、解决航海导航问题在航海导航中，我们常常需要计算船只的位置和航向。
利用三角函数的正切定理，我们可以通过测量船只与目标点之间的角度和距离，计算出船只需要调整的航向角度。
假设船只与目标点之间的角度为α，距离为d，船只需要调整的航向角度为β，则有以下公式：β = α - tan⁻¹(d)通过测量角度和距离，我们可以确定船只需要调整的航向角度，从而准确导航。
三、计算力的合成在力学中，我们常常需要计算多个力的合成。
利用三角函数的正弦和余弦定理，我们可以将多个力的大小和方向进行合成。
假设有两个力F1和F2，夹角为θ，合成后的力为F，则有以下公式：F = √(F1² + F2² + 2F1F2cosθ)通过计算多个力的合成，我们可以得到最终的力大小和方向，为力学问题的解决提供便利。
四、计算角度和距离在工程测量中，我们经常需要计算两点之间的角度和距离。
利用三角函数的反正弦和反余弦定理，我们可以通过已知的两点坐标，计算出两点之间的角度和距离。
假设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的角度为α，距离为d，则有以下公式：α = atan2(y2 - y1, x2 - x1)d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)通过计算角度和距离，我们可以准确测量两点之间的位置和距离。
“高中数学课件：三角函数应用举例”
本课件将带你深入了解三角函数的丰富应用领域，包括在数学、物理学、航 空航天、地理学、生物学、建筑学等领域的实际应用。
三角函数的定义及性质回顾
回顾三角函数的定义，思考其基本性质，并通过实例加深理解。
用三角函数计算直角三角形的例题
已知斜边和一个角度
通过正弦、余弦和正切函数，计算出直角三角 形的其他边长。
求解三角函数方程的方法
1 利用单位圆的性质
通过单位圆，解三角方程，求解不同范围内 的解集。
2 使用三角恒等式
通过应用三角恒等式，简化方程，得出解集。
3 借助图形法
利用图形法求解三角方程的解集。
4 利用技巧和变换
通过基本数学技巧和变换，解决复杂的三角 方程。
三角函数在电路中的应用
1
交流电的频率和相位差
已知两个边长
通过正弦、余弦和正切函数，计算出直角三角 形的角度。
用三角函数计算一般三角形的例题
已知两边和一个角度
根据三角函数的定义，计算出三 角形的面积和其弦定理、正弦定理等相关 公式，求解三角形的角度和面积。
利用余弦定理、正弦定理等相关 公式，计算出三角形的第三边和 其他两个角度。
三角函数在计算机图形学中的应用
坐标变换和旋转
利用三角函数描述二维和三维图 形的坐标变换和旋转。
分形图形的生成
通过三角函数的迭代运算生成各 种神奇的分形图形。
动画的平滑过渡
通过三角函数描述动画的平滑过 渡和插值。
利用正弦函数和余弦函数描述交流电的
电阻、电感和电容的阻抗
2
频率和相位差。
通过三角函数计算电路中电阻、电感和
电容的阻抗。
3
电压和电流的相位关系
三角函数公式 典型应用
三角函数公式典型应用引言三角函数是数学中常见的函数类型，它们在许多领域和行业中都有典型的应用。
本文将介绍三角函数的公式及其在几个典型应用中的具体应用情况。
三角函数公式正弦函数正弦函数（sin）是一个周期函数，其定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数的公式如下：$$\sin(x) = \frac{opposite}{hypotenuse}$$余弦函数余弦函数（cos）也是一个周期函数，其定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
余弦函数的公式如下：$$\cos(x) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$$正切函数正切函数（tan）是一个周期函数，其定义域是除了其奇数倍的$\frac{\pi}{2}$的实数集外的所有实数，值域是整个实数集。
正切函数的公式如下：$$\tan(x) = \frac{opposite}{adjacent}$$典型应用几何学三角函数在几何学中有广泛应用。
例如，在解决三角形的各种问题时，我们可以利用正弦定理和余弦定理来计算三角形的边长和角度。
三角函数还可以帮助我们计算三角形的面积和高度。
物理学三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，在力学中，我们经常需要计算物体在斜面上的运动，这时可以利用三角函数来计算物体在斜面上的分解力和加速度。
此外，波动和振动等物理现象的描述也使用了三角函数的概念。
工程学三角函数在工程学中也是必不可少的。
例如，在测量和定位方面，三角函数被广泛应用于测量角度和距离。
在电路分析中，三角函数可以帮助我们分析和计算交流电流的相位和幅值。
结论三角函数的公式和应用广泛存在于几何学、物理学和工程学等多个领域。
熟练掌握三角函数公式和它们在不同应用中的具体应用情况，对于解决实际问题和深入理解数学的应用是非常重要的。
参考文献:。
高中数学《三角函数应用举例》
x
50
50 25 3 43m.
tan 60 tan 30 3 3
3
答:该塔约有43m高.
30°
A 50
D 6┌0° BC
m 12
P α β
归纳与提高
P
450 O P
O
45° B
30° A
C
30°60° A
45°45°220000米 B
30° B
450
45°
O
A
P 4455°° 3300°°
B的对边 斜边
b c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
3
【例3】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与 “天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号 与“天宫”一号的组合体当在离地球表面343km的圆形轨道 上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时， 从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置? 最远点与P点的距离是多少? (地球半径约为6 400 km， π取3.142，结果取整数)？
∴海底黑匣子C点距离海面的深度 为(500 2000 3)m
25
1.（2011·成都中考）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务
的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在
我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至
达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰
行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值)
高中数学三角函数的应用举例与解析
高中数学三角函数的应用举例与解析三角函数是高中数学中的重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将通过一些具体的题目来说明三角函数的应用，并分析解题的方法和技巧，希望对高中生及其父母有所帮助。
一、角度的计算与应用题目一：一艘船从A点出发，以每小时30公里的速度向东航行，航行2小时后到达B点。
然后，船改变航向，以每小时40公里的速度向北航行，航行3小时后到达C点。
求船从A点到C点的直线距离。
解析：这个问题涉及到角度的计算和三角函数的应用。
首先，我们可以根据船的速度和时间计算出船从A点到B点的距离，由于船以每小时30公里的速度向东航行，航行2小时，所以A点到B点的距离为60公里（30公里/小时 × 2小时 = 60公里）。
接下来，我们需要计算船从B点到C点的距离。
由于船以每小时40公里的速度向北航行，航行3小时，所以B点到C点的距离为120公里（40公里/小时 × 3小时 = 120公里）。
最后，我们可以利用三角函数中的正弦函数来计算出船从A点到C点的直线距离。
设直线距离为x，船从A点到B点的距离为60公里，船从B点到C点的距离为120公里。
根据正弦函数的定义，我们可以得到以下等式：sin(90°) = 60/x，sin(90°) = 120/x。
由于sin(90°) = 1，所以60/x = 1，解得x = 60公里。
因此，船从A点到C点的直线距离为60公里。
二、三角函数的周期性题目二：一辆车以每小时60公里的速度匀速行驶，经过2小时后，车辆突然停下来。
问车辆在2小时内行驶的距离。
解析：这个问题涉及到三角函数的周期性。
由于车辆以每小时60公里的速度匀速行驶，经过2小时后停下来，所以车辆在2小时内行驶的距离为120公里（60公里/小时 × 2小时 = 120公里）。
三、三角函数的图像与性质题目三：已知函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的图像如下所示，请问在该区间内，函数f(x)的最大值和最小值分别是多少？解析：这个问题涉及到三角函数的图像与性质。
三角函数：生活中的指南针
三角函数：生活中的指南针
三角函数在现实生活中有许多应用，以下是一些实例：
1.时钟：时钟的指针的运动轨迹可以通过三角函数来描述。
例如，秒针一圈的长度是60秒，分针一圈的长度是60分钟，时针一圈的长度是12小时。
当我们在时钟上表示时间时，实际上是在使用三角函数来描述各指针之间的大小关系。
2.地球运动：地球的运动如果用三角函数来描述，就可以得出地球每天的运行轨迹，以及每天的日出日落时间。
这其中就涉及到了正弦、余弦和正切等三角函数。
3.建筑：在建筑设计中，三角函数也被用来计算建筑物的抗压能力、承重能力等。
例如，通过使用三角函数，可以计算出梁的跨度和高度，以使其在满足承重要求的同时，保持足够的稳定性。
4.机械：在机械设计中，三角函数同样有广泛的应用。
例如，可以用来计算出机械的转动角度，以及机械的运动轨迹等。
5.测量：在测量建筑物或山的高度时，如果知道建筑物的位置与仰角之间的距离，则可以利用三角函数轻松地计算得到建筑物的高度。
6.游戏：在一些游戏中，如赛车游戏，当控制赛车运动的角度时，需要利用三角函数时刻计算赛车当前的位置以及运动的距离。
7.航空飞行：飞行工程师在考虑飞行路径时，需要精确地计算飞行轨道、着陆角度等，这就涉及到了大量的三角函数应用。
通过以上例子，我们可以看出三角函数在生活中的应用十分广泛，几乎在各个领域都有其用武之地。
三角函数在生活中的应用
三角函数在生活中的应用
三角函数在生活中的应用非常广泛，以下是一些具体的例子：
1. 导航和测量：在地理学和导航系统中，三角函数被广泛用于确定位置和导航路线。
例如，使用正弦函数可以计算出一个船只或飞机相对于地平线的高度，而使用余弦函数可以帮助计算两地之间的距离和方位角。
2. 音乐学：在音乐学中，三角函数也有重要的应用。
例如，正弦函数可以用来描述声音的波动，音乐中的音调和和弦也可以用三角函数来表示。
3. 光学：在光学中，三角函数被广泛应用于描述和计算光线的传播、折射和反射。
我们可以利用三角函数来计算出反射镜或折射体中光线的角度和路径。
4. 建筑和工程：在建筑和工程中，三角函数常用于测量高度、距离和角度。
例如，工程师可以使用三角函数来计算建筑物的高度、角度和结构的稳定性。
5. 航海和航空：航海员和飞行员使用三角函数来计算船舶或飞机的位置、航向和速度。
三角函数也用于制定航线和导航系统。
6. 电磁学：电磁学中常用交流电，而交流电可以用三角函数（特别是正弦函数和余弦函数）来描述。
此外，复数函数常用正弦函数和余弦函数的复变函数表示。
7. 日常生活：在现实生活中存在大量具有周期性变化的现象，比如农业中筒车中盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系、物理中
的简谐运动等。
这些都可以借助三角函数来描述。
总的来说，三角函数在生活中的应用非常广泛，几乎无处不在。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
仰角
B
水平线
αD Aβ
俯角
C
9
【解析】如图，a = 30°,β= 60°，AD＝120．
tan a BD , tan CD
AD
AD
Байду номын сангаас
BD AD tan a 120 tan 30
B
120 3 40 3(m) 3
CD AD tan 120 tan 60
αD Aβ
120 3 120 3(m)
27
16
练习
. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的 另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一 直线（精确到0.1m）
【解析】要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是
△BDE 的一个外角，
30°
60°
11
【解析】如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,
AB=50m.设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
tan ADC AC , tan BDC BC ,
x
x
AC x tan 60, BC x tan 30.
x tan 60 x tan 30 50.
4
【分析】从组合体上能直接看到的地球表面最远的点， 应是视线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线， 切点Q是从飞船观测地球时的最远点．弧PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ
（即a）.
F
P Q
α O·
5
【解析】在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
它沿正南方向航行一段时间后，到达
P
C
位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处， 这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多
34°
远？（结果取整数）
B
18
【解析】如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
65° A
≈72.505
P C
在Rt△BPC中，∠B＝34°
sin B PC
视线
铅
仰角
直
线 俯角
水平线
视线
7
【例4】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高 楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数）.
仰角
B
水平线
αD Aβ
俯角
8
C
Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角 形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
北
A 60°
B
D
20
坡度(坡比)、坡角： (1)坡度也叫坡比，用i表示. 即i=h/l，h是坡面的铅直高度， l为对应水平宽度，如图所示 (2)坡角：坡面与水平面的夹角. (3)坡度与坡角(若用α表示)的关系：i=tanα. 方向角：指南或北方向线与目标方向线所成的小于90° 的角，叫方向角.
28.2.2 应用举例
第1课时
1
1、了解仰角、俯角的概念，能应用锐角三角函数的知识 解决有关实际问题；
2、培养学生分析问题、解决问题的能力.
2
A
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2 b
c
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
Ca
B
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
O
220000米 D
13
B
1.（2010·青海中考）如图，从热气球C上测定建筑物A、B 底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为 150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离
为（ C ）
A.150 3 米
B.180 3 米
C.200 3 米
D.220 3 米
14
2.（2011·株洲中考）如图，孔明同学背着一桶水，从山
∴∠BED=∠ABD－∠D=90° cos BDE DE
BD DE COSBDE BD
AB 140°
C
E
cos 50 520 0.64 520 332.8m
50°
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
D
17
【例】如图，一艘海轮位于灯塔P的北
偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处， 65° A
21
如 图 所 示 ， 某 地 下 车 库 的 入 口 处 有 斜 坡 AB ， 其 坡 比
i=1∶1.5，则AB= 13 m.
C
22
1.（2010·宿迁中考）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走 了1000m，则他升高了（ A ）
A. 200 5m B. 500m C. 500 3m D. 1000m
2.（2010·达州中考）如图，一水库迎水坡AB的坡度 i 1: 3， 则该坡的坡角α=___3_0_°_.
23
2.（2010·鄂州中考）如图，一艘舰艇在海面下500米A点 处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出， 继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角 为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣 子C点距离海面的深度（结果保留根号）．
【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，
在Rt△ACD中：
A
tan ADC AC DC
B
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2m
所以AB=AC－BC=55.2－ 答40：=棋15杆.2的m高度为15.2m.
54° 45° D 40m C
34°
PB
PB PC 72.505 130海里
sin B sin 34
B
答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离
灯塔P大约130海里．
19
1.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群 由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船
Q cos a OQ 6400 0.9491
OF 6400 343
a 18.36o
∴弧PQ的长为
F PQ
α
O·
18.36 6400 18.36 3.142 6400 2051(km)
180
180
当组合体在P点正上方时，从组合体观测地球时的最远
点距离P点约2051km.
6
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角 叫做仰角；从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277(m)
C
答：这栋楼高约为277m.
10
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰 角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°, 那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 要解决这问题,我们仍需将其数学化.
24
【解析】作CF⊥AB于F，则
D A 30°
tan 30 CF , tan 60 CF
AF
BF
∴
AF CF 3CF, BF CF 3 CF
tan 30
tan 60 3
E B 60° F
C
∵ AF BF AB 4000
∴ 3CF 3 CF 4000
3
∴ CF 2000 3(m)
x
50
50 25 3 43m.
tan 60 tan 30 3 3
3
答:该塔约有43m高.
30°
A 50
D 6┌0° BC
m 12
P α β
归纳与提高
P
450 O P
O
45° B
30° A
C
30°60° A
45°45°220000米 B
30° B
450
45°
O
A
P 4455°° 3300°°
∴海底黑匣子C点距离海面的深度 为(500 2000 3)m
25
1.（2011·成都中考）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务
的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在
我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至
达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰
行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值)
脚出发，沿与地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年
春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从到
上升的高度是
米．
【解析】依题意得，∠ACB=90°.所以 sin∠ACB=sin30°= BC BC 1 .
AB 80 2
所以BC=40（米）. 【答案】40
15
3. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶 部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度 （精确到0.1m）
B的对边 斜边
b c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
3
【例3】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与 “天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号 与“天宫”一号的组合体当在离地球表面343km的圆形轨道 上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时， 从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置? 最远点与P点的距离是多少? (地球半径约为6 400 km， π取3.142，结果取整数)？