金融工程学 (第七章)

2、看涨期权空头的回报与盈亏分布
由于期权合约是零和游戏（Zero—Sum Games），
也就是说买者的盈利就是卖者的亏损，买者的亏 损就是卖者的盈利，所以我们可以发现，看涨期
权多头和空头的曲线是关于x轴对称的。
期权到期时的股价
欧式看涨期权空头的回报与盈亏表达式
欧式看涨期权空头回报
max(ST X ,0)
对看跌期权而言，由于执行时其收益等于协议价
格与标的资产市价之差，因此，标的资产的价格
越低、协议价格越高，看跌期权的价格也就越高。
(ii) 期权的有效期：时间价值显然会受到时间的影响。 但是，对于欧式和美式期权，时间的影响有所不同：
对于美式期权，有效期越长，期权价值越大，而欧式
期权则不一定。
(iii) 标的资产价格的波动率：所谓波动率是指标的资
欧式看跌期权空头的回报与盈亏表达式 欧式看跌期权多头回报
max( X ST ,0)
欧式看跌期权多头盈亏
[max( X ST ,0) p]
5、美式期权的回报与盈亏分布
由于美式期权多方随时都可以行使权力，因此，
我们有：
美式看涨期权的回报（多方）
max(S X ,0)
美式看跌期权的回报（多方）
4、有收益资产欧式看跌期权价格的下限
将上述组合 D 的现金改为 Xe
r T t
D ，可得出
有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：
p max Xe

Hale Waihona Puke r T t D S, 0

五、美式期权的提前执行
1、提前执行无收益资产美式看涨期权的合理性
提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。
构造组合 组合 A ：一份美式看涨期权加金额为 Xe r T t 的 现金。 组合 B ：一单位标的资产。
不提前执行： T 时刻组合 A 的价值为 max ST , X ，
而组合 B 的价值为 S ，组合 A 在 T 时刻的价值一
T
定大于等于组合 B。 若在 τ 时刻提前执行：组合 A 的价值 S X Xe 而组合 B 的价值为 S 。由于 T , r 0 ，故 Xe 价值将小于组合B。 结论：提前执行是不理智的。无收益资产美式看 涨期权价格的价格下限为
务。他可以在期权合约规定的时间内行使其购买 或出售标的资产的权利，也可以不行使这个权利。 空方义务：对期权的出售者来说，他只有履行合 约的义务，而没有任何权利。当期权买者按合约 规定行使其买进或卖出标的资产的权利时，期权 卖者必须依约相应地卖出或买进该标的资产。
• 期权多空双方的权利义务 交易进行 之前 期 权 多 方 期 权 空 方 交易进行 之中 交易完成之后
C max S Xe r T t , 0


r T

，
r T
X。
也就是说，若提前执行美式期权的话，组合 A 的


2、提前执行无收益资产美式看跌期权的合理性 组合 A ：一份美式看跌期权加一单位标的资产。 组合 B ：金额为 Xe r T t 的现金。 若不提前执行，则到 T 时刻：组合 A 的价值 为 max ST , X ，组合 B 的价值为 X ，因此组合 A 的 价值大于等于组合B。 若在 τ 时刻提前执行：组合 A 的价值为 X，组合 B 的价值为 Xe
r T

，因此组合 A 的价值高于组合 B。
结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，
主要取决于期权的实值额 X S 、无风险利率水
平等因素。一般来说，只有当 S 相对于 X 来说较
低，或者 r 较高时，提前执行无收益资产美式看
跌期权才可能是有利的。由于无收益资产的美式
价格的波动为期权持有者带来收益的可能性所隐
含的价值。
期权的时间价值是基于期权多头权利义务不对称
这一特性所导致的期权剩余有效期内标的资产价
格变化可能给期权多头带来的收益的一种反映。
期权时间价值影响因素： 标的资产价格发生有利波动的幅度越大，期权时 间价值越大。 期权剩余有效期越长，标的资产价格发生有利波 动的概率越大，期权时间价值越大。 平价期权的时间价值最大。
,0

3、不付红利的欧式看跌期权价格的下限 考虑两个组合 组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产。 组合D： Xe –r(T-t)的现金。 在时刻T，组合C的价值为：max(ST，X)，组合D的 价值为： X。在不存在套利机会的情况下，有 p ＋S ≥ Xe –r(T-t)，即p ≥ Xe –r(T-t)–S。由于p ≥ 0， p ≥max(Xe –r(T-t)–S，0)
第七章 期权
一、期权的定义与种类
1、期权的概念 所谓期权（Option），是指赋予其购买者在规定期限 内按双方约定的价格（简称执行价格，Exercise Price或Striking Price）购买或出售一定数量某种 资产（称为标的资产，Underlying Assets）的权利 的合约。根据期权购买者的权利不同、执行时限不同 和标的资产不同，期权又有多种不同的分类。
r ( t ) r (T t ) ,0) max(S X , 0) max( S Xe , S D Xe
欧式
有收益 看跌期权 无收益 美式 有收益
max( X ST , 0) max( XerT t S ,0)
max( X ST , 0) max( Xe rT t S D ,0)
既没有权 必须承担支 以执行价格买入、 利也没有 付期权费用 卖出标的资产的 义务 的义务 权利 既没有权 拥有收取期 以执行价格卖出、 利也没有 权费用的权 买入标的资产的 义务 利 义务
• 期权交易中的双重买卖关系
看涨期权
期权多方 以执行价格买入 标的资产的权利 以执行价格卖出 标的资产的义务
头寸 无收益 欧式 看涨期权 美式 有收益 无收益 有收益 无收益
期权回报
内在价值
max(ST X ,0) max(S XerT t ,0)
max(ST X ,0) max(S D XerT t ,0)
rT t ,0) max(ST X ,0) max(S Xe
看跌期权
以执行价格卖出 标的资产的权利 以执行价格买入 标的资产的义务
期权空方
二、期权的回报与盈亏分布
1、看涨期权多头的回报与盈亏分布
期权到期时的股价
欧式看涨期权多头的回报与盈亏表达式 欧式看涨期权多头回报
max(ST X ,0)
欧式看涨期权多头盈亏
max(ST X ,0) c
上式之所以直接相加减，其假设前提是无风险利 率为0。除非特别说明，本章计算期权回报与盈亏， 均假设无风险利率为0。
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• 按执行时限划分：欧式期权、美式期权和百慕大 期权
• 按标的资产划分：股票期权、股价指数期权、金 融期货期权、利率期权、货币期权（外汇期权）
3、期权的多方与空方 多方权利：对于期权的多方来说，在付出期权费
后，期权合约赋予他的只有权利，而没有任何义
欧式看涨期权空头盈亏
[max( ST X ,0) c]
3、看跌期权多头的回报与盈亏分布
期权到期时的股价
欧式看跌期权多头的回报与盈亏表达式 欧式看跌期权多头回报
max(X ST ,0)
欧式看跌期权多头盈亏
max(X ST ,0) p
4、看跌期权空头的回报与盈亏分布
期权到期时的股价
产收益率的标准差，它反映了标的资产价格的波动状
况。标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就
越大。
(iv) 无风险利率：影响期权价格的另一个重要因素是
无风险利率，尤其是短期无风险利率。
(v) 标的资产的收益：按照美国市场惯例，标的资产 分红或者是获得相应现金收益的时候，期权合约的协 议价格并不进行相应的调整。这样，标的资产进行分 红付息，将减少标的资产的价格，这些收益将归标的 资产的持有者所有，同时协议价格并未进行相应调整。 因此在期权有效期内标的资产产生的现金收益将使看
max(X S ,0)
相应地，我们有： 美式看涨期权的盈亏（多方）
max(S X ,0) c
美式看跌期权的盈亏（多方）
max(X S ,0) p
三、期权价格的特性
1、内在价值 期权价值（理论价格）的构成： 内在价值+时间价值 期权的内在价值（Intrinsic Value）是指多方行 使期权时所获回报最大贴现值与0之间的较大值。
max( X S ,0) max( X S ,0)
r ( t ) max( X S , Xe ( S D),0) max( X S ,0)
2、实值期权、平价期权与虚值期权
3、期权的时间价值
期权时间价值 = 期权价格 − 期权内在价值
期权的时间价值是在期权尚未到期时，标的资产
c≥ max(S –Xe –r(T-t) ， 0)
2、有收益资产欧式看涨期权价格的下限 只要将上述组合 A 的现金改为 D Xe
r T t
，其中
D 为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似
的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格 的下限为
c max S D Xe

r T t
假定期权到期日MS股票$115/股，则执行期权的
结果如下：
期权购买者损益：
100×（$115 －$100 － $5） = $1000
期权出售者损益：
100×（$100 ＋ $5 －$115） = -$1000
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35 30 25 20 15 10 5 0 -5 70 -10 -15 -20 -25 -30 -35