结构位移计算(第3讲)
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结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
位移法结构力学知识点概念讲解
位移法结构力学知识点概念讲解位移法是结构力学中常用的一种分析方法，通过计算结构的位移来求解结构的内力、应力和变形等问题。
它的基本思想是建立结构的位移与应力之间的关系，并利用位移方程和边界条件，求解结构的位移分布，进而获得结构内力、应力和变形等信息。
1.位移概念：结构的位移是指结构中各点相对于参考点的位置变化量。
通常用向量形式表示，位移向量包含所有结构节点的位移分量。
位移分量包括两个方向的位移：横向位移和纵向位移。
横向位移是结构在水平方向上的位置变化，纵向位移是结构在垂直方向上的位置变化。
2.位移分布方程：位移分布方程是描述结构位移与应力之间关系的基本方程。
根据结构的力学特性和边界条件，可以建立位移方程。
一般情况下，位移方程包含多个线性方程，通过求解这些方程组，可以得到结构的位移分布。
常用的位移分布方程包括静平衡方程、变形方程和边界条件等。
3.静平衡方程：静平衡方程是结构力学中最基本的方程之一，它描述结构受力平衡的条件。
根据牛顿第二定律，结构的受力和位移之间存在其中一种关系。
通过建立结构受力平衡的方程，可以获得结构的位移分布。
4.变形方程：变形方程是位移法分析中的重要概念，它用来描述结构的变形与应力之间的关系。
根据结构力学理论，结构受到外力作用时，会发生形变，形成内力和应力。
通过建立变形方程，可以求解结构内力和应力分布。
5.边界条件：边界条件是位移法中必须考虑的条件，它是解决位移方程的关键因素。
边界条件主要包括结构的支座约束条件和结构受力边界条件。
支座约束条件指明结构的一些节点固定或受到特定的位移限制，受力边界条件指明结构的一些部分受到特定的外力或力矩作用。
6.内力和应力计算：通过求解结构的位移分布，可以计算得到结构的内力和应力。
内力是指结构中各点所受的力的大小和方向，包括轴力、剪力和弯矩等。
应力是指结构内部各点处的应力大小和方向，包括正应力和剪应力等。
7.变形计算：位移法可以用来计算结构的变形情况，包括横向变形和纵向变形。
框架结构内力与位移计算PPT112页
（4）由梁两端的弯矩，根据梁的平衡条 件，可求出梁的剪力。
（5）由梁的剪力，根据结点的平衡条 件，可求出柱的轴力。
制作：韩小雷、马宏伟
53
思考
当柱两端铰接时，如何做！ 当柱一端铰接时，如何做！
制作：韩小雷、马宏伟
54
例：作下图所示框架的弯矩图，图中括 号内数字为各杆的线刚度
制作：韩小雷、马宏伟
反弯点法的主要工作有两个
（1）将每层以上的水平荷载按某一比例 分配给该层的各柱，求出各柱的剪力。 （2）确定反弯点高度。
制作：韩小雷、马宏伟
44
为了解决这两个问题；先让我们观察整个框架在水 平荷载作用下的变形情况，它具有如下几个特点： （l）如不考虑轴向变形的影响，由楼板刚性假
设，则上部同一层的各结点水平位移相等．
11
制作：韩小雷、马宏伟
12
上述两点即为分层计算法采用的两个近似假定。 这里对第二条假定做一点说明，试分析某层的竖 向荷载对其他各层的影响问题。首先，荷载在本 层结点产生不平衡力矩，经过分配和传递；才影 响到本层的远端。然后，在柱的远端再经过分配， 才影响到相邻的楼层。这里经历了“分配一传递 一分配”三道运算，余下的影响已经较小，因而 可以忽略。
►
制作：韩小雷、马宏伟
4
第一节 框架结构计算的基本假定
对多层框架结构进行内力和位移计 算，就必须进行计算模型的简化，引入 一些计算假定，得到合理的计算图形。
弹性工作状态假定► 平面抗侧力结构和刚性楼板假定►
制作：韩小雷、马宏伟
5
建筑结构的内力和位移按弹性方法进行计 算。在非抗震设计时，在竖向荷载和风荷 载作用下，结构应保待正常使用状态，结 构处于弹性工作阶段；在抗震设计时，结 构计算是针对多遇的小震进行的，此时结 构处于不裂、不坏的弹性阶段．所以，从 结构整体来说， 基本上处于弹性工作状态， 按弹性方法进行计算。
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
第七章 结构位移计算
W=FP△ = FP△`cosa
第七章 结构位移计算(Displacement)
2、静力实功 在静外力FP1作用下，变形体在力的作用点沿力的 方向发生位移△11 。静力实功为： 式中的“1/2” ？ W=(1/2)FP1△11
静力概念： 静力荷载加载到结构上是 有一个过程的，在这个加载 过程中，荷载从零增加到最 后值，结构的内力和位移也 达到最后值； 在整个加载过程中，外力 和内力始终保持静力平衡。
第七章 结构位移计算(Displacement)
⒋ 本章在全课程中的地位 想求静定结构的位移，必先求出静 定结构的内力。因此本章可以说是对前 面所学的各类静定结构的内力计算的复 习与巩固。同时，位移计算又是下章即 将开始学习的超静定结构的基础。 因而,从全课程来看，本章是承上启 下的一章，也是十分重要的内容。希望 每个同学重视起来。
D
变形位移
ABDC ABD”C” 刚体位移
C
D
ABD’C’ 变形位移
位移状态
第七章 结构位移计算(Displacement)
§7-2 变形体系的虚功原理
⒉ 着眼于位移：
dW ＝ dW dW dW ＝ dW
总 总 刚 刚
变
微段平衡，由刚体虚功原理
dW刚 0
W总 W变
第七章 结构位移计算(Displacement)
(a) 根据叠加原理，图(a)可 分解为图(b)、(c)两种情 况。 ※一个结构的两种状态。
(b)
(c)
第七章 结构位移计算(Displacement) §7-2 变形体系的虚功原理 一、刚体系的虚位移原理
刚体系处于平衡的充要条件是：在具有理想约束的
⒋ 用于动力计算和稳定性计算。
结构力学位移计算2
1 2 y1 d c 3 3 2 1 y2 d c 3 3
y2
d
M M dxw y w y
i k 1 1
a
ω1
Mi
2 2
al 2c d bl c 2d 2 3 3 2 3 3
3非标准抛物线乘直线形
l/3 c y1
l/3
ω2
b
三次抛物线ω=hl/4
l/5
(n+1)l/(n+2)
l/(n+2)
n次抛物线ω=hl/(n+1)
h
例1：求B点竖向位移。
3ql /2
1 1 3ql2 3 3ql4 B l l EI 3 2 4 8EI 2
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
例2：求梁B点竖向线位移。
ql2/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1.图乘法计算位移
MiMk MiMk 1 EI ds EI dx EI M i M k dx M i是直线 B B 1 1 M k xtgadx tga xM k dx A EI A EI x x0 y 1 tga ×w x0 1 wy0 EI EI w y0 MM P α dx EI EI M =xtgα
2.非标准图形乘直线形——叠加法
直线形乘直线形
a + b
弯矩图的叠加，是数值的叠 加（纵坐标的叠加），不是 图形的叠加。
M M
i
M i M k1 M k 2 dx
k1dx
M M dx
i k
a
ω1
Mk
M i M k 2 dx
c
l/3 y1
y2
d
M M dxw y w y
i k 1 1
a
ω1
Mi
2 2
al 2c d bl c 2d 2 3 3 2 3 3
3非标准抛物线乘直线形
l/3 c y1
l/3
ω2
b
三次抛物线ω=hl/4
l/5
(n+1)l/(n+2)
l/(n+2)
n次抛物线ω=hl/(n+1)
h
例1：求B点竖向位移。
3ql /2
1 1 3ql2 3 3ql4 B l l EI 3 2 4 8EI 2
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
例2：求梁B点竖向线位移。
ql2/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1.图乘法计算位移
MiMk MiMk 1 EI ds EI dx EI M i M k dx M i是直线 B B 1 1 M k xtgadx tga xM k dx A EI A EI x x0 y 1 tga ×w x0 1 wy0 EI EI w y0 MM P α dx EI EI M =xtgα
2.非标准图形乘直线形——叠加法
直线形乘直线形
a + b
弯矩图的叠加，是数值的叠 加（纵坐标的叠加），不是 图形的叠加。
M M
i
M i M k1 M k 2 dx
k1dx
M M dx
i k
a
ω1
Mk
M i M k 2 dx
c
l/3 y1
建筑力学结构位移计算
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14:46
§6-1 概述
C'
CV CDV DV
结构力学
C D
D'
截面C、D 的相对竖向 线位移为 :
A
B
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
C' D'
C
D
C
D
Δ CD C D
A B
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14:46
§6-1 概述
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14:46
§6-2 变形体系的虚功原理
2.杆系结构虚功方程
Wi FN d FSd Md
s s s
结构力学
We Wi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因 此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也 适用于一切非线性结构。 希望能很好理解，尽可能达到掌握！
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14:46
§6-1 概述
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
结构力学
叠加原理适用（principle of superposition)
静定结构在荷载作用下的位移计算 图乘法 静定结构温度变化时的位移计算 静定结构支座移动时的位移计算 线弹性结构的互等定理
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14:46
§6-1 概述
结构力学
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它 因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动 的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。
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§6-1 概述
C'
CV CDV DV
结构力学
C D
D'
截面C、D 的相对竖向 线位移为 :
A
B
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
C' D'
C
D
C
D
Δ CD C D
A B
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§6-1 概述
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§6-2 变形体系的虚功原理
2.杆系结构虚功方程
Wi FN d FSd Md
s s s
结构力学
We Wi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因 此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也 适用于一切非线性结构。 希望能很好理解，尽可能达到掌握！
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§6-1 概述
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
结构力学
叠加原理适用（principle of superposition)
静定结构在荷载作用下的位移计算 图乘法 静定结构温度变化时的位移计算 静定结构支座移动时的位移计算 线弹性结构的互等定理
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§6-1 概述
结构力学
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它 因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动 的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。
结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
飞行器结构力学电子教案
结构变形可通过不同的结构位移形式来表征，并通过计算位移值来定量描述。
结构在外界因素（诸如载荷、温度改变、支座移动、制造误差等）作用下几何形状发生的变化，称为结构变形。
1、结构的变形
一、结构位移计算概述
相对线位移：两个参考点沿某一方向上的相对变形量。
线位移：参考点沿某一方向上的变形量。
角位移：参考截面或元件的转动变形量，转角、扭转角等。
飞行器结构力学基础 ——电子教学教案
单击此处添加副标题
01
第三讲
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02
静定结构的位移计算
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第三章 静定结构的内力与变形计算 Internal Forces and Deformations of Statically Determinate Structures
CONTENT
06
实质：用静力平衡法解几何问题。
07
虚力原理对求解静不定结构内力具有重要的应用。
08
五、单位载荷法－求位移的Mohr公式 单位载荷法的一般表达式 利用虚功原理(虚力原理)，可以求出变形结构中任意一点由于变形而产生的位移。 真实的位移状态 平衡的虚力状态 令 ，则有 虚功原理
因为，在发生虚位移的过程中，外力和内力保持不变,因此，在虚功的表达式中无系数“1/2”。
虚功的例子
真实外力 虚位移 虚功为：
1
虚力—— 一种假想的、满足平衡条件的任意力系。
2
假象的：是指虚力仅仅是想象中一种可能力系。
5
因此，在发生虚力的过程中，变形体的位移均保持不变，即保持原有的协调状态。
4
任意的：是指虚力与变形体的变形无关。
上式可写成：
五、单位载荷法－求位移的Mohr公式
结构在外界因素（诸如载荷、温度改变、支座移动、制造误差等）作用下几何形状发生的变化，称为结构变形。
1、结构的变形
一、结构位移计算概述
相对线位移：两个参考点沿某一方向上的相对变形量。
线位移：参考点沿某一方向上的变形量。
角位移：参考截面或元件的转动变形量，转角、扭转角等。
飞行器结构力学基础 ——电子教学教案
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第三讲
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02
静定结构的位移计算
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第三章 静定结构的内力与变形计算 Internal Forces and Deformations of Statically Determinate Structures
CONTENT
06
实质：用静力平衡法解几何问题。
07
虚力原理对求解静不定结构内力具有重要的应用。
08
五、单位载荷法－求位移的Mohr公式 单位载荷法的一般表达式 利用虚功原理(虚力原理)，可以求出变形结构中任意一点由于变形而产生的位移。 真实的位移状态 平衡的虚力状态 令 ，则有 虚功原理
因为，在发生虚位移的过程中，外力和内力保持不变,因此，在虚功的表达式中无系数“1/2”。
虚功的例子
真实外力 虚位移 虚功为：
1
虚力—— 一种假想的、满足平衡条件的任意力系。
2
假象的：是指虚力仅仅是想象中一种可能力系。
5
因此，在发生虚力的过程中，变形体的位移均保持不变，即保持原有的协调状态。
4
任意的：是指虚力与变形体的变形无关。
上式可写成：
五、单位载荷法－求位移的Mohr公式
结构力学讲义位移法
nny nl
2、结点独立角位移数
结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数加上组合结点
（半铰结点）数。 但须注意， 1）当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的
转角时，应一并计入在内作为基本未知量。 2）至于结构固定支座或定向支座处，因其转角等于零或 为已知的支座位移值；铰结点或铰支座处，因其转角不 独立（也没必要），所以都不作为位移法的基本未知量。
MBAiA iB MBFA
例：试用位移法-直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图
。
解：1)基本未知量为刚结
点B点的角位移Z1，基本体
系如图（B）所示。
用 位
2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中 i
EI l
）
移 法
M AB 0 MBA 3iZ1 136FPl MBC 3iZ1 M CB 0
求 3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条
解 件建立方程并求解。
超 静 定 结 构
由图c的平衡条件： MB 0 得：MBAMBC0
6iZ1
3 16
FPl
0
Z1
1 32i
FPl
4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯
矩图。
M AB 0
M
BA
3 32
FPl
MBC
3 32
FPl
M CB 0
9.3 位移法的基本未知量
3.适用范围不同 力 法：超静定结构 位移法：超静定结构，也可用于静定结构。
一般用于结点少而杆件较多的刚架。
例：
二、用位移法计算超静定结构的思路
例如：用位移法求解如图所示的刚架。 1.为了使问题简化，作如下计算假定： 1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向
2、结点独立角位移数
结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数加上组合结点
（半铰结点）数。 但须注意， 1）当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的
转角时，应一并计入在内作为基本未知量。 2）至于结构固定支座或定向支座处，因其转角等于零或 为已知的支座位移值；铰结点或铰支座处，因其转角不 独立（也没必要），所以都不作为位移法的基本未知量。
MBAiA iB MBFA
例：试用位移法-直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图
。
解：1)基本未知量为刚结
点B点的角位移Z1，基本体
系如图（B）所示。
用 位
2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中 i
EI l
）
移 法
M AB 0 MBA 3iZ1 136FPl MBC 3iZ1 M CB 0
求 3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条
解 件建立方程并求解。
超 静 定 结 构
由图c的平衡条件： MB 0 得：MBAMBC0
6iZ1
3 16
FPl
0
Z1
1 32i
FPl
4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯
矩图。
M AB 0
M
BA
3 32
FPl
MBC
3 32
FPl
M CB 0
9.3 位移法的基本未知量
3.适用范围不同 力 法：超静定结构 位移法：超静定结构，也可用于静定结构。
一般用于结点少而杆件较多的刚架。
例：
二、用位移法计算超静定结构的思路
例如：用位移法求解如图所示的刚架。 1.为了使问题简化，作如下计算假定： 1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向
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q
对吗？
B A
A
C
FP=1 B
MP 图
1 2 ql 8
应分段！
M
图
l 4
1 2 l 1 2 5 l Cy [( ql ) ( )] 2 EI 3 2 8 8 4 4 5 ql () 384 EI
q A B A
1 2
C B
1
MP 图
1 2 ql 8
M
图
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 1 ql 3 24 EI （ ）
图示结构，设外侧温度升高 t1 ，内侧温 度升高 t 2 ，求K点的竖向位移 ( Ky ) t 。
dut t 0ds
h1 t 0 t1 ( t 2 t1 ) h h2 t1 h1t 2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴 温度 t 0 与上、下边缘的温差 t 为：
这部分主要内容：
MM P ds 1. 图乘法； EI
C
MP
yc MM P ds EI EI
2. 注意事项； 3. 几种常见图形的面积和形心 位置的确定方法；
yC
M
4. 应用举例。
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI 1 x tan M P dx EI tan xM P dx EI tan 1 xc yc EI EI
FN图面积
M 图面积
FNt 0ds M
td s
上式中的正、负号：
若温度以升高为正，则轴力以拉为正； 若 M 和 t 使杆件的同一边产生拉伸 变形，其乘积为正。
几种情况：
温度引起的轴向 变形影响不能少。
对梁和刚架： t t 0 N
t
h
( 2c d ) y1 3 y 2 ( c 2d ) 3
(3) 梯-梯异侧组合
A a C
1
2
y2
B b D
d
M p图
y1
c
M图
M M dx y
P
1 1
2 y2
( 2c d) y 3 y (c 2d) 3
2
l 2
1
M 图
解法三:
ql 2 2
A
ql 2 8
C
l 2
B A
2
1
MP
图
M
图
1 1 ql l Cy [( l ) EI 3 2 4 2 4 1 l ql l 17ql ( )] () 3 2 8 8 384 EI
负面积法:
yc 1 y1 2 y2
例 6. 已知 CD、BD杆的 E1 A1 和AC杆的 E2 I 2 为常数，求 Dy 。 解：作荷载和单位荷载的内力图 a
C
E1 A1
FP D
+ FP
FP
2FP
+1
2
1
a
B
E1 A1
FP a
aFNP l yc 1 FP a ( 2 )( 2FP ) 2a E1 A1 E2 I 2 E1 A1
FP l 4
M
2 1 l FP l 2 l 1 1 FP FP l 3 FP a [( ) ] a EI 2 2 4 3 4 EA 2 2 48 EI 4 EA
M
对 桁 架： t t 0 FN l 问题：当桁架有制造误差li 时,如何求位移？
ΔΔl FNi Δli
例： 刚架施工时温度为20 0C ，试求冬季 外侧温度为 -10 0C ，内侧温度为 0 0C 时A 点的竖向位移 Ay 。已知 l=4 m, 105 , 各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
解：构造虚拟状态
实际状态
虚拟状态
单位荷载内力图为：
FN 图
( 10 20) (0 20) t0 250C 2
M 图
, t 20 ( 30) 100C
Ay t 0 N
t
h
M 0.005m ( )
6. 静定结构支座移动时的位移计算
D
FP A C B
a
l
2
l
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP F P 2
D
A
l
C
2
FP
B
l 2
a
1 FN 2 1 A C
l 2 l 2
l 4
D
a
B
MP
请对计算结果 l MM P a FN FNP FP l 3 12aI Cy 0 ds 0 ds 进行适当讨论！ ) (1 3 Cy EI EA 48 EI l A
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl n 1
h
C
( n 1)l n2
l n2
例如
(1) 曲-折组合
M M dx y y
P 1 1
2 2
3 y3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
M M pdx 1 y1 2 y2
FP
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FPl/2 FPl/2 FPl/2
FP
FPl/4
EI 2EI
M 图
MP 图
FPl
在
M
图求面积，在 M P图取竖标，有：
yc
1 l FP l 1 3l FP l Ay l l EI EI 2 2 2 EI 2 4 FP l 3 () 16 EI
解法一:
ql 2 2
A
q
ql 2 8
C A B
l2
C
B
l2
FQ ql 2
q MP 图 1 l ql 2 l A Cy [( ) ql 2 EI 2 8 4 8 1 l ql 2 l ( ) A 2 2 4 3 1 l ql 2 3 l 17ql 4 ( )] () 3 2 8 4 2 384 EI
三、几点讨论（只有荷载作用）：
kFQ FQP ds FN FNP ds MM P ds P EI EA GA
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
M M P ds 1. 对梁和刚架： P EI FN FNP ds FN FNP l 2. 对桁架： P EA EA FN FNP l MM P ds 3. 对组合结构： P EI EA
例 2：已知 l=12 m , h=8 m , Bx 0.04 m By 0.06 m , 求 A ? 解：构造虚设力状态
FAx FAy
1 1 A FRi ci ( By Bx ) 0.0075 rad ( l 2h
)
例 4. 已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement) 1 K
KC K
FR1
K
c1
c2 c3
实际位移状态
FR 3
FR2
虚拟力状态
静定结构由于支座移动并不产生内力，材 料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位 移。（该位移也可由几何关系求得）。有
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的 凹凸方向，注意反弯点的利用。如：
FPl/2
FPl/2
FPl/2 FP FP
FPl/4
MP 图
FPl/4
例 7. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
解：作荷载和单位荷载的内力图
MP
分解
M
Cy
1 1 ql l 3l 1 ql l [( ) ( l) EI 3 8 2 8 2 8 3 2 ql 2 l ql 4 ( l) ] () 3 8 4 128 EI
du dv d 0
c FNdu FQdv Md FRi ci
FRi ci
例1：求 Cx ?
B C
解：构造虚设力状态
B C FP=1
虚拟力状态
c3
A
l
A
FCy 1
c2
实际位移状态 l
FAx 1
FAy 1
c1
Cx (1 C1 1 C2 1 C3 ) (C1 C2 C3 )
ql 4
ql 2 M 8 2
ql 2 8
解法二:
ql 2 2
ql 2 8
ql 2 2
A
ql 2 32
ql 2 8
1 1 l ql l Cy [( ) EI 2 2 2 3 A 2 1 l ql l ( ) 2 2 8 6 2 4 2 l ql l 17ql ( )] () 3 2 32 4 384 EI
1 FP a 2 2a (1 2 2 )FP a 4FP a 3 ( FP a 2 a ) () E2 I 2 2 3 E1 A1 3 E2 I 2
5 . 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
必须注意 适用条件
二、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
对吗？
B A
A
C
FP=1 B
MP 图
1 2 ql 8
应分段！
M
图
l 4
1 2 l 1 2 5 l Cy [( ql ) ( )] 2 EI 3 2 8 8 4 4 5 ql () 384 EI
q A B A
1 2
C B
1
MP 图
1 2 ql 8
M
图
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 1 ql 3 24 EI （ ）
图示结构，设外侧温度升高 t1 ，内侧温 度升高 t 2 ，求K点的竖向位移 ( Ky ) t 。
dut t 0ds
h1 t 0 t1 ( t 2 t1 ) h h2 t1 h1t 2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴 温度 t 0 与上、下边缘的温差 t 为：
这部分主要内容：
MM P ds 1. 图乘法； EI
C
MP
yc MM P ds EI EI
2. 注意事项； 3. 几种常见图形的面积和形心 位置的确定方法；
yC
M
4. 应用举例。
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI 1 x tan M P dx EI tan xM P dx EI tan 1 xc yc EI EI
FN图面积
M 图面积
FNt 0ds M
td s
上式中的正、负号：
若温度以升高为正，则轴力以拉为正； 若 M 和 t 使杆件的同一边产生拉伸 变形，其乘积为正。
几种情况：
温度引起的轴向 变形影响不能少。
对梁和刚架： t t 0 N
t
h
( 2c d ) y1 3 y 2 ( c 2d ) 3
(3) 梯-梯异侧组合
A a C
1
2
y2
B b D
d
M p图
y1
c
M图
M M dx y
P
1 1
2 y2
( 2c d) y 3 y (c 2d) 3
2
l 2
1
M 图
解法三:
ql 2 2
A
ql 2 8
C
l 2
B A
2
1
MP
图
M
图
1 1 ql l Cy [( l ) EI 3 2 4 2 4 1 l ql l 17ql ( )] () 3 2 8 8 384 EI
负面积法:
yc 1 y1 2 y2
例 6. 已知 CD、BD杆的 E1 A1 和AC杆的 E2 I 2 为常数，求 Dy 。 解：作荷载和单位荷载的内力图 a
C
E1 A1
FP D
+ FP
FP
2FP
+1
2
1
a
B
E1 A1
FP a
aFNP l yc 1 FP a ( 2 )( 2FP ) 2a E1 A1 E2 I 2 E1 A1
FP l 4
M
2 1 l FP l 2 l 1 1 FP FP l 3 FP a [( ) ] a EI 2 2 4 3 4 EA 2 2 48 EI 4 EA
M
对 桁 架： t t 0 FN l 问题：当桁架有制造误差li 时,如何求位移？
ΔΔl FNi Δli
例： 刚架施工时温度为20 0C ，试求冬季 外侧温度为 -10 0C ，内侧温度为 0 0C 时A 点的竖向位移 Ay 。已知 l=4 m, 105 , 各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
解：构造虚拟状态
实际状态
虚拟状态
单位荷载内力图为：
FN 图
( 10 20) (0 20) t0 250C 2
M 图
, t 20 ( 30) 100C
Ay t 0 N
t
h
M 0.005m ( )
6. 静定结构支座移动时的位移计算
D
FP A C B
a
l
2
l
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP F P 2
D
A
l
C
2
FP
B
l 2
a
1 FN 2 1 A C
l 2 l 2
l 4
D
a
B
MP
请对计算结果 l MM P a FN FNP FP l 3 12aI Cy 0 ds 0 ds 进行适当讨论！ ) (1 3 Cy EI EA 48 EI l A
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl n 1
h
C
( n 1)l n2
l n2
例如
(1) 曲-折组合
M M dx y y
P 1 1
2 2
3 y3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
M M pdx 1 y1 2 y2
FP
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FPl/2 FPl/2 FPl/2
FP
FPl/4
EI 2EI
M 图
MP 图
FPl
在
M
图求面积，在 M P图取竖标，有：
yc
1 l FP l 1 3l FP l Ay l l EI EI 2 2 2 EI 2 4 FP l 3 () 16 EI
解法一:
ql 2 2
A
q
ql 2 8
C A B
l2
C
B
l2
FQ ql 2
q MP 图 1 l ql 2 l A Cy [( ) ql 2 EI 2 8 4 8 1 l ql 2 l ( ) A 2 2 4 3 1 l ql 2 3 l 17ql 4 ( )] () 3 2 8 4 2 384 EI
三、几点讨论（只有荷载作用）：
kFQ FQP ds FN FNP ds MM P ds P EI EA GA
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
M M P ds 1. 对梁和刚架： P EI FN FNP ds FN FNP l 2. 对桁架： P EA EA FN FNP l MM P ds 3. 对组合结构： P EI EA
例 2：已知 l=12 m , h=8 m , Bx 0.04 m By 0.06 m , 求 A ? 解：构造虚设力状态
FAx FAy
1 1 A FRi ci ( By Bx ) 0.0075 rad ( l 2h
)
例 4. 已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement) 1 K
KC K
FR1
K
c1
c2 c3
实际位移状态
FR 3
FR2
虚拟力状态
静定结构由于支座移动并不产生内力，材 料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位 移。（该位移也可由几何关系求得）。有
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的 凹凸方向，注意反弯点的利用。如：
FPl/2
FPl/2
FPl/2 FP FP
FPl/4
MP 图
FPl/4
例 7. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
解：作荷载和单位荷载的内力图
MP
分解
M
Cy
1 1 ql l 3l 1 ql l [( ) ( l) EI 3 8 2 8 2 8 3 2 ql 2 l ql 4 ( l) ] () 3 8 4 128 EI
du dv d 0
c FNdu FQdv Md FRi ci
FRi ci
例1：求 Cx ?
B C
解：构造虚设力状态
B C FP=1
虚拟力状态
c3
A
l
A
FCy 1
c2
实际位移状态 l
FAx 1
FAy 1
c1
Cx (1 C1 1 C2 1 C3 ) (C1 C2 C3 )
ql 4
ql 2 M 8 2
ql 2 8
解法二:
ql 2 2
ql 2 8
ql 2 2
A
ql 2 32
ql 2 8
1 1 l ql l Cy [( ) EI 2 2 2 3 A 2 1 l ql l ( ) 2 2 8 6 2 4 2 l ql l 17ql ( )] () 3 2 32 4 384 EI
1 FP a 2 2a (1 2 2 )FP a 4FP a 3 ( FP a 2 a ) () E2 I 2 2 3 E1 A1 3 E2 I 2
5 . 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
必须注意 适用条件
二、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；