结构力学(第五版)第六章_结构位移计算
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结构力学6 结构位移计算
例 要求利用刚体体系的虚功原理来计算RB？
L/3 P
A
△P △B
B
△B △P
虚位移
RB
P P RB B 0 B P RB B 0 RB P 3 3
四、变形体体系的虚功原理 变形体体系处于平衡的充要条件是：
对于任何虚位移，外力所作虚功总和 等于各微段两侧截面上的内力在其变形上 所作的虚功总和，即外力虚功等于变形虚 功。
ω2 ω2
图 图
ω 11 ω
图 图
解：
I
I
2I I
2I
I
1 3 1 240 4 320, y1 4 3; 3 4
2 4 6 24, y 2
240 480 360； 2
ω
1
ω
3
1 2 8 3 480 4 960，y3 4＝ 。 2 3 3 1 y1 2 y2 3 y3 Ax EI 2 EI EI 8
h
h
l/2
顶点 l/2
形心
L
二次抛物线A=2hl/3 顶点
抛物线 顶点如何 确定？ h h
A=hl/2 a b
5l/8
3l/8
二次抛物线A=2hl/3 顶点 h 3l/4 l/4 二次抛物线A=hl/3
(a+l)/3
(b+l)/3
l
A=hl/2
三、几种常见简单图形的图乘 1、两个梯形图乘：
1 MM P dx EI 1 M (M Pa M Pb )dx EI
1
P1
2
B
△21
（4）虚功的两种状态
虚设力状态 虚设位移状△12
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
结构力学第五版 李廉锟 结构位移计算1图文
F
Δ11
第六章 结构位移的计算
（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因
素引起的。
若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一
个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿 F1方向又产生了位移Δ12如图所示。
力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在
位移Δ12上做了功。由于位移Δ12不是F1引起的，而是由
例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如
图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动
了一段距离 C C， 称为C点的线位移或挠度 ；支座截
面B转动了一个角度
，称为截面的角位移或转角。
B
(a)
第六章 结构位移的计算
又如图所示的刚架，在荷载作用下发生如图中虚线所
示的变形。刚架上的C点移动至C点，则称 CC 为点C的线位
移，用ΔC表示。
还可将该线位移分解
为沿水平方向和竖直方向的
两个分量，分别称为点C的
水平位移和竖向位移，分
别用ΔCx和ΔCy表示，几何关
系如图（b）所示，图中的 C
Cy
为截面C的转角，称为截面
C的角位移，上述线位移和
C x
角位移统称为绝对位移。
第六章 结构位移的计算
此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相对位移。 例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚 线所示的变形。
A、B两点的水平位移分
别为ΔAH和ΔBH，它们之和 为(ΔAB )H =ΔAH+ΔBH，称 为A、B两点的水平相对
线位移。A、B两个截面
的转角分别为 和 ，它
们之和A 为B
，
称为AAB、B两A 个截B 面的相
对角位移。
Δ11
第六章 结构位移的计算
（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因
素引起的。
若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一
个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿 F1方向又产生了位移Δ12如图所示。
力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在
位移Δ12上做了功。由于位移Δ12不是F1引起的，而是由
例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如
图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动
了一段距离 C C， 称为C点的线位移或挠度 ；支座截
面B转动了一个角度
，称为截面的角位移或转角。
B
(a)
第六章 结构位移的计算
又如图所示的刚架，在荷载作用下发生如图中虚线所
示的变形。刚架上的C点移动至C点，则称 CC 为点C的线位
移，用ΔC表示。
还可将该线位移分解
为沿水平方向和竖直方向的
两个分量，分别称为点C的
水平位移和竖向位移，分
别用ΔCx和ΔCy表示，几何关
系如图（b）所示，图中的 C
Cy
为截面C的转角，称为截面
C的角位移，上述线位移和
C x
角位移统称为绝对位移。
第六章 结构位移的计算
此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相对位移。 例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚 线所示的变形。
A、B两点的水平位移分
别为ΔAH和ΔBH，它们之和 为(ΔAB )H =ΔAH+ΔBH，称 为A、B两点的水平相对
线位移。A、B两个截面
的转角分别为 和 ，它
们之和A 为B
，
称为AAB、B两A 个截B 面的相
对角位移。
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第6章结构位移计算【圣才出品】
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第6章结构位移计算【圣才出品】第6章结构位移计算6.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、结构位移的基本概念（见表6-1-1）★★表6-1-1 结构位移的基本概念二、刚体的虚功原理★★★平衡方程是一种直接的受力分析方法，而虚功原理是一种间接手法。
虚功原理是（任意平衡力系）在（任意可能位移）上所做的总虚功为零。
根据虚设对象不同，刚体的虚功原理分两种应用形式（虚力原理、虚位移原理），具体见表6-1-2。
表6-1-2 刚体的虚功原理三、变形体系的虚功原理（见表6-1-3）★★★表6-1-3 变形体系的虚功原理四、位移计算的一般公式单位荷载法★★★★★基于化整为零、积零为整的原则，结构位移的计算从局部变形入手，通过虚力原理中的单位荷载法推导其拉伸、剪切、弯曲变形公式，再对这些局部变形公式进行叠加，得到整体变形公式，最后通过虚功方程推导出位移计算公式，见表6-1-4。
表6-1-4 单位荷载法求变形体系的位移注：为虚设单位荷载在支座处引起的反力；、N、Error!S分别为单位荷载在截面引起的弯矩、轴力、剪力。
拟求位移Δ可以引申理解为广义位移，将结构位移广义化，可以求解两点之间的广义位移。
广义位移、广义单位荷载和外力虚功三者之间满足：W＝1·Δ。
单广义位移分类及单位荷载施加方式见表6-1-5。
表6-1-5 单广义位移分类及单位荷载施加方式五、静定结构在荷载作用下的位移计算（见表6-1-6）★★★★表6-1-6 静定结构在荷载作用下的位移计算注：G为材料的切变模量；A为杆件截面的面积；k为切应力沿截面分布不均匀而引用的改正系数（考试作为已知条件）。
六、图乘法（见表6-1-7）★★★★★。
建筑结构力学位移计算
2019/2/27 建筑结构力学 14
位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
( M N Q ) ds R c k k
c2
K
K
ds
t1
1
R1
t2
c1
ds d ds ds ds
R2
ds
d
d
Q N 外虚功：W 内虚功：W 1 R c M N Q d e k k i
（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
M P
EI
N P
1.2
EA
Q kP
10 9
GA
A A1
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
M M N N k Q Q P P P ds ds ds EI EA GA
2019/2/27
建筑结构力学
20
。 例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 ,EI C AV P=1 q x A x C C B A AV
B
l 2
1）列出两种状态
l 2
(a) 实际状态
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N 0 M x Q 1
的内力方程：
l 0 x AC段 2
实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12， 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。 产生位移的原因 位移发生的位置
ΔKj
2、虚功原理
虚力原理：在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚
3、虚功原理
功原理，这种虚功原理的形式称为虚力原理。 虚位移原理：在给定的力状态与虚设的位移状态之间应用
位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
( M N Q ) ds R c k k
c2
K
K
ds
t1
1
R1
t2
c1
ds d ds ds ds
R2
ds
d
d
Q N 外虚功：W 内虚功：W 1 R c M N Q d e k k i
（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
M P
EI
N P
1.2
EA
Q kP
10 9
GA
A A1
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
M M N N k Q Q P P P ds ds ds EI EA GA
2019/2/27
建筑结构力学
20
。 例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 ,EI C AV P=1 q x A x C C B A AV
B
l 2
1）列出两种状态
l 2
(a) 实际状态
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N 0 M x Q 1
的内力方程：
l 0 x AC段 2
实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12， 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。 产生位移的原因 位移发生的位置
ΔKj
2、虚功原理
虚力原理：在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚
3、虚功原理
功原理，这种虚功原理的形式称为虚力原理。 虚位移原理：在给定的力状态与虚设的位移状态之间应用
结构力学(第五版)第六章 结构位移计算
相对位移 △CD= △C+ △D
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。 返4回
B
变力 W= 1 M· ϕ 2
（d ）
返6回
P
（2）实功与虚功 实功： 力本身引起的位移上所作的功。 例如： W=
A 力在其它 虚功： 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。
△2
2
A
P1
△1
1
B P2 B
例如：
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
A RA
P
M
q B dS
q
RB N+dN Q+dQ
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QγdS+Mdϕ Wi=
（6—2)
整个结构内力的变形虚功为
虚功方程为
W=
（6—3)
dS du
dϕ
γ γ
dS
位移状态
dS
9
返dx γ回
§6—3 位移计算的一般公式
k 1. 位移计算的一般公式 t1 K △K t2 c3 K ds 设平面杆系结构由 ds k Ｒ ３ K′ 于荷载、温度变化及支 k P1 座移动等因素引起位移 du、dϕ、γdS N MQ 、、 如图示。 Ｒ １ c2 求任一指定截面K K c1 ２ 沿任一指定方向 k—k 实际状态－位移状态 Ｒ 虚拟状态－力状态 上的位移△K 。
结构力学位移计算公式
结构力学位移计算公式结构力学是研究结构体系的力学性能和运动规律的学科，是工程力学的一个重要分支。
在结构力学中，位移是一个重要的物理量，它描述了结构体系在受外力作用下发生的变形情况。
位移计算公式是用来计算结构体系的位移的数学公式。
1.剪力梁位移计算公式：在剪力梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在剪力梁上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(G*A)其中，δ表示位移，F表示施加在剪力梁上的集中力，L表示剪力梁的长度，G表示剪力梁的剪切模量，A表示剪力梁的截面面积。
2.弹性梁位移计算公式：在弹性梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在弹性梁上施加一个力矩作用时，位移可以通过以下公式进行计算：θ=(M*L)/(E*I)其中，θ表示位移，M表示施加在弹性梁上的力矩，L表示弹性梁的长度，E表示弹性梁的弹性模量，I表示弹性梁的截面惯性矩。
3.压杆位移计算公式：在压杆中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在压杆上施加一个轴向力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在压杆上的轴向力，L表示压杆的长度，E表示压杆的弹性模量，A表示压杆的截面面积。
4.梁柱位移计算公式：在梁柱中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在梁柱上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在梁柱上的集中力，L表示梁柱的长度，E表示梁柱的弹性模量，A表示梁柱的截面面积。
上述的位移计算公式是基于简化假设和力学理论推导得出的，适用于较为简单的结构体系。
在实际工程设计中，考虑到结构的复杂性和非线性效应，可能需要使用更为复杂的有限元分析等方法来计算位移。
在实际应用中，还需要根据具体情况进行适当的修正和调整，以获得更加准确的位移计算结果。
结构力学+结构位移计算
结构力学
郑州大学土木工程学院
§6–2 实功与虚功 广义力与广义位移
11
2、广义力与广义位移
与力有关因素 广义力P
在虚功式中包含了两个方面因素： 广义力与广义位移的关系是：它
与广义力相应的位移因素
们的乘积是虚功。即：W=P
广义位移
广义力
相应的广义位移
单个力
力作用点沿力方向上的线位移
单个力偶
力偶作用截面的转角
(3)在结构的制作、架设、养护等过程中，常需预先知道结
构的位移，以便采取一定的施工措施。例如建筑起拱。图示
(4)在结构的动力计算和稳定计算中，也需计算结构的位移。
★结构位移是几何量，自然可以采用以杆件变形关系为基
础的几何法计算，但计算位移更好的方法是以虚功原理为基
础的虚功法。
3、线性变形体系
d2 y dx2
21
(2)虚设力求未知位移（虚力原理）
①求虚C设y 。平衡力系。在拟求位移点c1 A
沿拟求位移方向虚设一集中力。
②虚力原理之应用
l
BC
Cy
a
FΔCy FRAc1 0
F1
已 可为根虚知任C简据力y位意的便虚状移假Δ值C起力态之设y与见与原间，F，实理的为的FFR令际建几计大A F位立c何算小1=移的1方方无，al状虚程便关c则态功1。，。(是方↓常彼程)取此，F 无实=A1关质F。RA的上这(是种al拟CVF利求与用的F无虚未B关功知)原位，理移故C沿与F
FS1
Wv FN1du2 FS1 2ds M1d2
M1+dM1 FN1+dFN1
ds FS1+dFS1
d2=2ds
对整个杆系结构：
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C
C
yc 1 (1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l )
EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4
5ql 3
( )
128 EI
30
例 6—11 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2 MP A l/2
Mi
ql2 / 2
ql2 / 2
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
MP图 此时
b
ya=2/3×c－1/3×d
d
ya
yb M图
yb=2/3×d－1/3×c
返19回
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
叠加后的抛物线
图形（）与原抛物
线图形（）的面积
QA
MB
大小和形心位置以及
形心处的竖标仍然是
MA
QB
相同的。
MA
MB
qL2
1
c
yc
EI
1 ( 2 l ql2 1 l 1 l ql2 2 l EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2
C q
1 l ql2 1 l ) 22 8 32
ql2 / 8
17 ql4 ()
384 EI
ql2 / 32
ql2 / 8
31
例 6—11 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
w= dW = P Cos dS
（a）
返5回
常力功
变力功 力偶功
P
A
B
△
W= P△ Cos (b)
由A→B, 力由0→P
W=
1 2
P△ Cos
（c）
P
A
d
常力 W= M·
B
（d）
变力
W=
1 2
M·
P
返6回
（2）实功与虚功 实功：力本身引起的位移上所作的功。
例如：
A
P1
1
B
△1
W=
A
P2
2
B
虚功：力在其它
MP图
解：1. 作实际状态的MP图。
2. 设置虚拟状态并作 。
yC=h h
M图
3. 按式（6—9）计算
∆CD=∑
yC
EI
=
1 EI
(
2 3
qL2
8 L)h =
qhL2 12EI
（→←）
返22回
例 6—3 求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。
PL
C
B
2
PL
2
L
EI
EI
P
A
PL
PL
2P
4
1
DL
PL
MP图
d=MPdx
A MP
面积
MP图 B
（1）杆轴为直线；
dx
（2）EI=常数；
（3） 和M两个弯矩图 O 中至少有一个是直线图形。
M
xA
Bx
上述 积分可以得到简化。
设等截面直杆AB段的两个弯矩图中， 为一段直线，MP图为任意
形状， 则上式中的ds可用dx代替。故有 =xtg,且tg=常数，则
∫ ∫ tg
l
ll
11
反对称弯矩图EI 2
3
10 Pl3 ()
3 EI
M i ABX
yc 0
EI
AB
yc 0
EI
11
对称弯矩图
11
1
Mi
Mi
l
l
1
33
作变形草图
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：
Pl
PP
1
1
1
1
34
练习
求B点水平位移。
4EI
Pl
l
EI
EI
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
27
例 6—9 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。
C
lq
1 1 1
A
B
Mi
ll
1/ l
ql2 / 4
ql2 / 4
0
q
MP
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc 1 2 ql 2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
沿任一指定方向 k—k 上的位移△K 。
利用虚功原理计算
c1 c2
Ｒ１ Ｒ２
实际状态－位移状态 虚拟状态－力状态
c1、c2、c3、△K du、d、ds
N、M、Q、Ri、PK 1
外力虚功 W=
=
(6－4)
内力虚这功便是W平i=面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结
果可为得 正，所求位移△K与假设的 这种方法又称为单位荷载法。
变形：是指结构形状的改变。
位移：是指结构各处位置的移动。
2. 位移的分类
线位移：
角位移： A
(△A)
△Ay △Ax
绝对位移 △C △D
相对位移 △CD= △C+ △D
△C C C′ P A
P
A
△Ay △A
□
△Ax
A′
A
△D D′ D
B
返3 回
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
1 (1 Pl l 2 l Pl l l)
EI 2
3
4 Pl 3 ()
26
3 EI
例 6—7 求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2 8
B
M图
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
1
第六章 结构位移计算
§6—1 概述
§6—2 变形体系的虚功原理
§6—3 位移计算的一般公式
A′
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§6—5 图乘法
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理 2
§6—1 概 述
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为
基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论
静定结构的位移计算。
返4回
§6—2 变形体系的虚功原理 1. 功、实功与虚功
（1）功
P B
A
dW=P dS Cos
17 ql4 ()
384 EI
ql2 / 8
ql2 / 8
32
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位
移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。
Pl
l
PP
AB
ABY
对称yc 结构的对称弯矩图与
其E反I 对称弯矩图图乘,结果
MP 1 (1 为l P零l. 2 l 4 l Pl l 2)
式(6—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功 Wi——内力虚功
（6—1）
返8回
内力虚功的计算
给定力状态 给定位移状态
微段dS上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+QdS+Md
整个结构内力的变形虚功为
Wi=
（6—2)
虚功方程为
W=
（6—3)
AP
M
RA
q
Q
N
q B
dS
RB
N+dN
力状态
Q+dQ
ds
A
B
dS
二次抛物线
L
L/2 顶点
二次抛物线 1=2/3(hL) 2=1/3(hL)
3L/8 5L/8
1
2
顶点
4L/5
L/5
L
返18回
4 .图乘的技巧
当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如： a
c
a
c
L
则
b
MP图
ya
yb d
M图
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d
有
tEgIxC
△KP=
(6－9)
yC E16I
返回
2. 图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
3. 常用的几种简单图形的面积和形心
2L/3
L/3
形心
L
h
h
❖a
b
形心
（L+a)/3
(L+b)/3
L
返17回
M图
解： 1. 作MP图、 ；
2. 图乘计算。
△ = Ay
∑
yC
EI
=
1 EI
(
L‧L 2
)
PL 2
-
21EI(L‧
32L) P4L=
1P6LE2I返（23回↓）