结构力学53结构位移计算的一般公式
结构力学 位移计算
1
1
MK
θ
∆
已知K点发生剪切位移，求B端位移 B
K
∆i =
∑ ∫ [N
i
δε
+ Q i δγ
+ M i δθ
] ds
----适用于各种杆件体系 线性 非线性 适用于各种杆件体系(线性 非线性). 适用于各种杆件体系 线性,非线性 对于由线弹性直杆组成的结构，有： 对于由线弹性直杆组成的结构， 线弹性直杆组成的结构 适用于线弹性 直杆体系, 直杆体系
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 所加单位广义力与所求广义位移相对应 该单位 广义力在所求广义位移上做功. 广义力在所求广义位移上做功 B A P 例: 1)求A点水平位移 求 点水平位移 2)求A截面转角 求 截面转角 3)求AB两点相对水平位移 求 两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角 求 两截面相对转角
P=1
C
P=1
(f)
ϕC
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
ϕA = ?
A B P=1 P=1
(h)
ϕ AB = ?
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
解：构造虚设单位力状态. 构造虚设单位力状态
q A
h b
N i ( x) = 0, N P ( x) = 0
Qi ( x) = 1, QP ( x) = q(l − x)
M i ( x) = x − l , M P ( x) = −q (l − x) 2 / 2
结构力学§5-3、4 荷载作用下的位移计算与举例
3. 各种静定结构位移的计算公式 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形 只考虑弯曲变形
MP M ∆ = Σ∫ ds o EI
l
（2）桁架 —只有轴向变形 只有轴向变形
FNP F N ∆=Σ L EA
（3）组合结构
FNP F N MP M ∆ = Σ∫ ds + Σ L o EI EA
l
（受弯构件） 受弯构件）
结 束
（第二版）作业：5—10 ，11, 13, 22 第二版）作业：
∆ CV
1 q q 1 qL x Lx − x 2 1.2 × − qx L L 2 2 2 2 2 dx = 2∫ 2 dx + 2∫ 2 0 0 EI GA 5qL4 κ qL2 = + 384 EI 8GA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL 弯曲变形： 弯曲变形： ∆ M = 384 EI
两者的比值： 两者的比值： 若高跨比为： 若高跨比为：
∆Q ∆M = 11.52
4
剪切变形： 剪切变形： ∆ Q =
EI h = 2.56 GAL2 L
2
κ qL2
8GA
h 1 = L 10
则： ∆
∆Q
M
= 2.56%
结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 一般形的影响。
l
截面剪应力 非均布修正系数
dη = k
FQP GA
ds
FNP dλ = ds EA
l k FQP F Q l F FN MP M 1× ∆ = Σ ∫ ds + Σ ∫ ds + Σ ∫ NP ds o o o EI GA EA
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
结构力学(1)智慧树知到课后章节答案2023年下山东大学
结构力学（1）智慧树知到课后章节答案2023年下山东大学山东大学第一章测试1.结构力学课程的研究对象是（）A:杆系结构 B:板壳结构 C:实体结构 D:三种结构都不是答案:杆系结构2.水利工程中的重力坝属于（）A:杆系结构 B:实体结构 C:三种结构都不是 D:板壳结构答案:实体结构3.结构内部只传递力不传递力矩的结点是（）A:组合结点 B:刚结点 C:定向滑动结点 D:铰结点答案:铰结点4.外部存在两个支座反力的支座是（）A:固定端支座 B:固定铰支座 C:可动铰支座 D:定向滑动支座答案:固定铰支座;定向滑动支座5.图示结构，外部存在两个支座反力且不存在约束力矩的支座是（）A:支座B B:铰结点 C C:支座D D:支座E答案:支座B6.结构计算简图中杆件与杆件之间的连接区简化成结点（）答案：正确A:错 B:对答案:对7.定向滑动支座存在一个约束力与一个约束力矩（）A:对 B:错答案:对8.结构内部的铰结点存在一个约束力与一个约束力矩（）A:错 B:对答案:错9.爆破荷载属于动力荷载（）A:错 B:对答案:对10.基础沉陷在结构力学中看作广义荷载，称作支座移动（）A:对 B:错答案:对第二章测试1.自由度的计算不需要区分必要约束与多余约束（）A:错 B:对答案:错2.图式对称体系，属于（）A:几何不变且无多余约束体系 B:几何可变体系C:几何不变、有多余约束体系 D:瞬变体系答案:瞬变体系3.体系外部与基础之间的约束总个数为3个时，体系一定是几何不变的体系（）A:错 B:对答案:错4.图示体系里面有3个多余约束（）A:错 B:对答案:对5.下列体系，自由度S=0的是（）A:几何可变体系 B:几何不变、有多余约束体系 C:瞬变体系 D:几何不变且无多余约束体系答案:几何不变、有多余约束体系;几何不变且无多余约束体系6.图式体系，属于（）A:几何不变且无多余约束体系 B:瞬变体系 C:几何不变、有多余约束体系 D:几何可变体答案:几何不变且无多余约束体系7.图式体系，欲在A端施加约束变成几何不变且无多余约束的体系，正确的方法是（）A:施加固定端支座 B:施加水平可动铰支座 C:施加固定铰支座 D:施加竖向可动铰支座答案:施加竖向可动铰支座8.图式体系，属于（）A:几何可变体系 B:几何不变且无多余约束体系 C:几何不变、有多余约束体系 D:瞬变体系答案:几何不变、有多余约束体系9.图式体系，属于（）A:瞬变体系 B:几何不变且无多余约束体系 C:几何不变、有多余约束体系 D:几何可变体系答案:几何不变且无多余约束体系10.图式体系，属于A:瞬变体系 B:几何不变、有多余约束体系 C:几何可变体系 D:几何不变且无多余约束体系答案:几何不变且无多余约束体系第三章测试1.轴力沿着横截面的法线方向（）A:错 B:对答案:对2.杆件弯矩图的形状需要根据垂直于杆轴线方向的分布荷载情况进行判断（）答案:对3.一段直杆件上剪力图为斜直线时，杆上一定作用着垂直于杆轴线方向的均匀分布荷载作用（）A:对 B:错答案:对4.图示梁不属于静定多跨梁（）A:对 B:错答案:错5.图示刚架属于简支刚架（）答案:对6.根据垂直于杆轴线方向的分布荷载情况可判断基本形状的内力图是（）A:轴力图 B:弯矩图 C:剪力图 D:其他答案内力图的形状都不能判断答案:弯矩图;剪力图7.外部存在三个支座反力的结构是（）A:简支刚架 B:简支梁 C:三铰刚架 D:悬臂刚架答案:简支刚架;简支梁;悬臂刚架8.图示结构，剪力为（）A:50KN、剪力为负 B:120KN.m、剪力为正 C:50KN、剪力为正 D:120KN.m、剪力为负答案:50KN、剪力为正9.图示刚架结构，杆端弯矩为（）A:10KN.m、下侧受拉 B:20KN.m、下侧受拉 C:20KN.m、上侧受拉 D:10KN.m、上侧受拉答案:10KN.m、下侧受拉10.图示刚架结构，杆端弯矩为（）A:100KN.m、下侧受拉 B:0 C:100KN.m、上侧受拉 D:60KN.m、下侧受拉答案:100KN.m、上侧受拉第四章测试1.图示结构属于拱式结构（）A:错 B:对答案:错2.选择三铰拱作为屋架支撑结构时，宜选择图示结构（）A:错 B:对答案:错3.有拉杆的三铰拱，拱身不受水平推力的作用（）A:对 B:错答案:错4.图示组合结构，横梁跨中截面的剪力为零（）A:对 B:错答案:对5.图示组合结构，杆件CD的轴力大小为（）A:1/2ql B:2ql C:ql D:答案:ql6.图示桁架结构，杆件CD的轴力是（）A:ql B:1/2ql C:D:-1/2ql答案:-1/2ql7.图示桁架结构，杆件BE的轴力是（）A:P B:C:-2P D:-P答案:8.图示组合结构，EF杆件在E截面的弯矩是（）A:2qa2、下侧受拉 B:qa2、上侧受拉 C:D:qa2、下侧受拉答案:qa2、下侧受拉9.三铰拱合理拱轴线状态下，横截面内力不为零的是（）A:弯矩 B:其他答案内力均不为零 C:剪力 D:轴力答案:轴力10.三铰拱合理拱轴线的线型取决于A:其他答案都不正确 B:拱上作用荷载 C:矢跨比 D:内部铰的位置答案:拱上作用荷载第五章测试1.图示结构A支座发生支座角位移，结构将产生刚体体系位移（）A:错 B:对答案:对2.图示组合结构，内部铰结点存在竖向线位移（）A:对 B:错答案:对3.图乘法应用中，选取的面积和标距可位于同一个弯矩图（）A:对 B:错答案:错4.静定结构在支座移动下产生的位移实质上是结构的内力产生的（）A:对 B:错答案:错5.静定结构在下列哪些广义荷载下产生刚体体系位移（）A:支座移动 B:温度改变 C:制造误差 D:一般荷载答案:支座移动6.关于静定结构，叙述正确的是（）A:支座移动下，静定结构不产生内力，但产生刚体体系位移 B:支座移动下，静定结构即产生内力，又产生刚体体系位移 C:支座移动下，静定结构即产生内力，又产生变形体体系位移 D:支座移动下，静定结构不产生内力，但产生变形体体系位移答案:支座移动下，静定结构不产生内力，但产生刚体体系位移7.以下关于静定结构的叙述正确的是（）A:支座移动下，静定结构不产生内力，但产生刚体体系位移 B:温度改变下，静定结构不产生内力，但产生变形体体系位移 C:一般荷载下，静定结构即产生内力，又产生变形体体系位移 D:制造误差下，静定结构即产生内力，又产生变形体体系位移答案:支座移动下，静定结构不产生内力，但产生刚体体系位移;温度改变下，静定结构不产生内力，但产生变形体体系位移;一般荷载下，静定结构即产生内力，又产生变形体体系位移8.图示组合结构，计算铰D左右截面的相对角位移，虚设的单位力是（）A:左、右截面虚设一对方向相同的单位力偶1B:右截面虚设一个单位力偶1 C:左截面虚设一个单位力偶1 D:左、右截面虚设一对方向相反的单位力偶1答案:左、右截面虚设一对方向相反的单位力偶19.结构位移计算的一般公式，其中代表（）A:轴向变形产生的位移 B:支座移动产生的位移 C:弯曲变形产生的位移 D:剪切变形产生的位移答案:支座移动产生的位移10.桁架结构在结点荷载作用下，只有轴向变形产生的位移A:对 B:错答案:对第六章测试1.多余约束对改善超静定结构的力学特性是必要的（）A:错 B:对答案:对2.图示超静定结构中的多余约束力标注是正确的（）A:错 B:对答案:对3.图示两种超静定结构的内力是相同的（）A:错 B:对答案:错4.图示超静定梁承受支座位移作用，将梁的抗弯刚度提高3倍，内力和位移均发生改变（）A:对 B:错答案:对5.图示超静定刚架承受内外侧温度改变作用，将结构的抗弯刚度提高2倍，内力不发生改变（）A:对 B:错答案:错6.关于力法基本方程中的系数与自由项，下列叙述正确的是（）A:拱式结构采用图乘法 B:刚架结构采用图乘法 C:梁式结构采用图乘法 D:拱式结构采用积分法答案:刚架结构采用图乘法;梁式结构采用图乘法 ;拱式结构采用积分法7.关于静定结构与超静定结构，下列叙述正确的是（）A:静定结构的内力与杆件的刚度无关 B:静定结构与超静定结构的内力都取决于杆件的刚度 C:静定结构与超静定结构的位移都取决于杆件的刚度 D:超静定结构的内力与杆件的刚度有关答案:静定结构的内力与杆件的刚度无关;静定结构与超静定结构的位移都取决于杆件的刚度;超静定结构的内力与杆件的刚度有关8.图于超静定桁架结构，各杆EA相同，力法方程中的自由项是（）A:B:C: D:答案:9.图于超静定梁，各跨EI=常数，跨度为a，q=2kN/m力法方程中的自由项是（）A: B: C: D:答案:10.图于超静定梁，力法方程中的系数是A: B: C: D:答案:第七章测试1.位移法只能求解超静定结构在荷载作用下的内力。
结构力学位移法
M=1 C
M=1
若求结构两个截面的相对角位移 在两个截面上加两个方向相反单 位力偶
1 d
1 d
A
求结构两个截面的相对角位移 B
d
C 求AB杆的角位移 杆的角位移
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力偶 的两个集中力取 1/d，垂直作 用于杆端
1 d1
1 d1
A
B 求AB、AC杆的角位移 、 杆的角位移
式中k—考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 式中k 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数 与截面形状有关
∆ = ∑∫
FQ FQP FN FNP MMP ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ k ds EI EA GA
式中 F N FQ M ——虚设单位荷载引起的内力 虚设单位荷载引起的内力
l
q
A B
L
∆Q ∆M
∆Q ∆M
EI = 4.8 GAl 2
= 4.8
E 8 = 2(1 + µ ) = G 3
I h2 = A 12
EI h = 1.067( ) 2 GAl 2 l
∆Q ∆M h = 1.067( ) 2 = 1.067% l
当 h= 1 时 l 10 h 1 当 = 时 l 2
FN FQ FQ
ds ds
M
M
ds dθ=κds
γ0 dη= γ0 ds dλ=εds
ds微段 微段 整根杆 变形体系
dwi12=FN εds+FQ γ0ds +M κds w’i12= ∫ (FN εds+FQ γ0ds +M κds) wi12= ∑∫(FN εds+FQ γ0ds +M κds)
结构力学图乘法详述
Pl 2 16 EI
积分常可用图形相乘来代替
§6-5 图乘法
直杆 EI C
位移计算举例
MiMk MiMk 1 EI ds EI dx EI M i M k dx M i是直线 B B 1 1 tg xM k dx M k xtgdx A EI EI A tg B 1 1 y w ×w x0 y tg xd w 0 EI EI EI A
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
2
三、位移计算的一般步骤: K
t1 t2
MP EI
NP EA
QP k GA
10 9
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
1.2
A
A1
MM P NN P kQ QP ds ds ds EI EA GA
4
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P ds EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 9 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
例：求图示梁中点的挠度。
1 1 3a 3a Pa EI 2 4
求B点的竖向位移。
ql2/2
4
1 1 ql 3l ql B l EI 3 2 4 8 EI 1 1 3ql 2 l B y 0 L 2 EI 3 8 2
结构力学5-3结构位移计算的一般公式
F Q FQP F N FNP MM P ds k ds ds 所以： K EA GA EI
⑴ 梁和刚架： K ⑶ 组合结构： K
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。 其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
1 2
1 2
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。 已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB F Q FQP MM P F N FNP ds ds k ds EI EA GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
FP
0
2FP
FP
b h, h 1 , G 0.4 E R 10
解：⑴ 实际状态的内力。 M P FP R sin FNP FP sin , FQP FP cos ⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
2FP
FP
0
0
0
0
1
0
1
0
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
第八章 -结构力学
二、结构位移计算的一般公式
由叠加原理：
i
总位移⊿=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小
i
位移d⊿
d (M N Q )ds
l
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点
的位移为： (M N Q )ds
l
若结构的支座还有给定位移，则总的位移为：
( M N Q )ds Rkck （9-6）
虚功方程：
1 m M d 0
m M d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对
剪位移d，试求A点在i－i方向的位移 Q。
B
d
B
解：①、在B截面处加
i
机构如图（将实际位移状态
A
Q
明确地表示为刚体体系的位 移状态）。
i
②、A点加单位荷载 FP=1，在铰B处虚设一对剪
A
Q
力Q（为保持平衡）
Q 1sin
➢ ① NP， QP ， MP是荷载作用下，结构各截面上
的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的
内力。
➢ ②E，G材料的弹性模量和剪切弹性模量。
➢ ③A，I杆件截面的面积和惯性矩。
➢ ④EA，GA ， EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯
1、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。
与力有关的因素，称为广义力S。
与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。
即：W=PΔ
1）广义力是单个力，则广义位移是沿此力作用线 方向的线位移。 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的 截面的转角β，即角位移。
mA
Δ A
B
P
Bm B
2、虚功
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l 2
0
x 2
1 2
qlx
1 2
qx2
dx
k GA
l 201 2源自1 2qlqx
dx
5ql4 kql2 384EI 8GA
A bh, I bh3 , k 1.2, G 0.4E 12
yC
5ql 4 384EI
1
2.4
h l
2
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
k F Q FQP ds GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
2FP
FP
00
2FP
0
00
00
FP
FP
1
1
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
FN 图
xB
F N FNP
EA
l
1 EA
1
FP
2d
2
4
虚拟力状态
yB
FP R3 EI
2
sin2
d
FP
R
0
EA
2
sin2
d
kFP
R
0
GA
2 cos2 d
0
FP R3 FP R kFP R 4EI 4EA 4GA
b h, h 1 , G 0.4E R 10
yB
FP R3
4EI
1
1 4
h R
2
1 12
h R
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。
其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
12
12
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。
已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
b h, h 1 , G 0.4E R 10
2
FP R3
4EI
1
1 400
1 1200
解：⑴ 实际状态的内力。
MP FP Rsin FNP FP sin , FQP FP cos
⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB
M M P ds EI
F N FNP ds EA
EI
截面系数：
k
A I2
A
S2 b2
dA
所以： K
F N FNP ds EA
k F Q FQP ds GA
M M P ds EI
⑴
梁和刚架： K
MMP EI
ds
⑵ 桁架： K
F N FNP l EA
⑶
组合结构： K
MMP EI
ds
F N FNP EA
ds
⑷ 拱：
K
求KJ两截面 的相对转角
求桁架位移时, 施加单位荷载的方法： 求C点的竖向位移
求CD杆与CF杆夹角的改变
求DE两点距离的改变 求CF杆的弦转角
§5-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
仅有荷载作用时：K
F N F Q 0 M ds
按照材料力学有：
FNP ,
EA
0
k
FQP GA
,
MP
解：⑴ 实际状态的内力。
MP FP Rsin FNP FP sin , FQP FP cos
⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB
M M P ds EI
F N FNP ds EA
k F Q FQP ds GA
M MP ds EI
F N FNP ds EA
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
解：⒈ 求C点的竖向位移。
当0≤x≤l/2:
MP
1 2
qlx
1 qx2 , 2
M
1 2
x,
FQP
1 2
ql
qx
FQ
1 2
yC
2
l 2
0
MMP EI
dx
l 2
k
F Q FQP
dx
0 GA
2
1 EI
§5-3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法
We 1 K F Rc
由虚功方程(5-3)有： We
F N F Q 0 M ds
于是, 得：
K
F N F Q 0 M ds F Rc
求刚架位移时, 施加单位荷载的方法：
求K点的竖向位移
求K点的水平位移
求K截面的转角
求KJ两点的 相对线位移
FP d EA