结构力学第四章位移计算
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结构力学4静定结构的位移计算
4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
A M k M P ds
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
结构力学 位移法典型方程、计算举例
r11 B r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
结构力学位移法
M=1 C
M=1
若求结构两个截面的相对角位移 在两个截面上加两个方向相反单 位力偶
1 d
1 d
A
求结构两个截面的相对角位移 B
d
C 求AB杆的角位移 杆的角位移
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力偶 的两个集中力取 1/d，垂直作 用于杆端
1 d1
1 d1
A
B 求AB、AC杆的角位移 、 杆的角位移
式中k—考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 式中k 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数 与截面形状有关
∆ = ∑∫
FQ FQP FN FNP MMP ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ k ds EI EA GA
式中 F N FQ M ——虚设单位荷载引起的内力 虚设单位荷载引起的内力
l
q
A B
L
∆Q ∆M
∆Q ∆M
EI = 4.8 GAl 2
= 4.8
E 8 = 2(1 + µ ) = G 3
I h2 = A 12
EI h = 1.067( ) 2 GAl 2 l
∆Q ∆M h = 1.067( ) 2 = 1.067% l
当 h= 1 时 l 10 h 1 当 = 时 l 2
FN FQ FQ
ds ds
M
M
ds dθ=κds
γ0 dη= γ0 ds dλ=εds
ds微段 微段 整根杆 变形体系
dwi12=FN εds+FQ γ0ds +M κds w’i12= ∫ (FN εds+FQ γ0ds +M κds) wi12= ∑∫(FN εds+FQ γ0ds +M κds)
结构力学-第四章-结构位移计算-2
M ( x) x (0 x a )
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
结构力学4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题 是非判定题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 关于静定结构，有变形就必然有内力。
（ ） (6) 关于静定结构，有位移就必然有变形。
（ ）(7) 习题(7)图所示体系中各杆EA 相同，那么两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题(8)图所示，EI =常数。
以下图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题(9)图所示，以下图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题(10)图所示结构的两个平稳状态中，有一个为温度转变，现在功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 (7)图图(b)M图(a)M P 81qM 图(b)P M 图(a)习题 (8)图 习题 (9)图(a)P习题 (10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度转变作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题 填空题(1) 习题(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引发D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
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FNP
EA
0
k
FQP GA
FP
△
在常力FP作用下，物体沿力的方向发生位移△，则常力FP 在位移过程中作的功为: W=FP△ 力偶M在物体转动θ过程中作的功为: W=Mθ 广义力P：作功的可以是一个集中力、一个力偶、一组集中 力、一组集中力偶，统称为广义力P 广义力P由于相应广结义构力位学移第四△章位作移计功算： W=P△
力在其它因素引起位移上作的功叫虚功
W12=P△ ①称虚功是为了强调作功的力与产生位移的原因无关这一
特点 ②实功恒为正值，虚功可为正也可为负值
③虚功中的力、位移两个要素互不相关，它们分别属于同 一体系的两种独立无关的状态
+t1
+t2
+t1 +t2 结构△力学第四章位移计算
力状态 位移状态
二 刚体体系的虚功原理
任意平衡力系作用下的刚体体系，设体系发生任一符合约束 条件的无限小的刚体位移，则体系上所有外力在位移上作的 虚功总和恒等于零
+t1 K +t2
△
K′ C
i
i FP=1 K
i
① 在Ｋ点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷
载作用下的支座反力 F RK 及结构内力F N 、F Q 、M
② 虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按变形体虚功原理
1 • F R C K K ( F N F Q 0 M ) ds ( F N F Q 0 M ) d sF R C K K
A
B
1.5cm
1A
B
6m
1
1cm
解 一 求△CX
二 求△Cy
1 取虚力状态如图，求支座反力 F RK
２求△CX
2 求△Cy
FP=1
C
D
C XF R C K K ( 1 1 1 1 . 5 ) 0 . 5 c ( m )
c yF R C K K ( 1 1 .5 ) 1 .5 c( ) m
B′ B
求结构上两点水平(竖向 或连线方向)相对线位移
FP=1
A
FP=1
B
FP=1 FP=1
AB
求结构上两点水平(竖向或连线方向)相对线位移，在两点 沿水平(竖向或连线方向)加上两个方向相反的单位力
结构力学第四章位移计算
M=1 M=1 C
若求结构两个截面的相对角位移 在两个截面上加两个方向相反单 位力偶
1
d
1
d
d
A
求结构两个截面的相对角位移
B C
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力偶 的两个集中力取 1/d，垂直作 用于杆端
求AB杆的角位移
结构力学第四章位移计算
§4.４ 荷载作用下的位移计算
一 计算公式 荷载作用下，微段变形由内力 F NP FQP M P 引起，当材料
处于弹性工作阶段，其拉伸、剪切应变和弯曲曲率：
FN
FN FQ
M
FQ
ds
ds
M
ds dθ=κds
γ0
ds微段 整根杆 变形体系
dλ=εds
dη= γ0 ds
dwi12=FN ds+FQ 0ds +M ds
w’i12= ∫ (FN ds+FQ 0ds +M ds)
wi12=结∑构∫力(F学N第四d章s位+移F计Q算0ds +M ds)
二 位移计算的一般公i 式
W12=０
1 虚设位移状态，求未知力
FP
FX·1-FP ·b/a =０
FX
a
b力状态
δP=b/a
FX= b/aFP
δX=1
位移状态
应用于实际力状态与虚设位移状态间的虚功原理，称虚位
移原理
结构力学第四章位移计算
２虚设力状态，求未知位移
C
1·Δ- b/a ·C =０
位移状态
△
a
b1
Δ=b/aC
FR b a
可用结构原尺寸计算力的作用与位移 ３体系所有约束为理想约束，即位移过程中体系约束力不
作功 即本章讨论的是线性变形体系的位移计算问题，体系位移与 荷载呈线性关系，位移计算可以应用叠加原理
结构力学第四章位移计算
§4.2 刚体体系虚功原理及应用
一 实功与虚功
1 实功 力在其本身引起位移中作的功(real work)
力状态
应用于实际位移状态与虚设力状态间的虚功原理，称虚力
原理
二 支座移动时静定结构的位移计算
1 单位荷载法 用虚设单位荷载求结构位移的方法 单位荷载应与拟求位移对应
结构力学第四章位移计算
２ 计算步骤
i
K
i FP=1
K
△
K′
C3
i
F R1
i
C1
C2 位移状态
F R3
力状态
F R2
① 在Ｋ点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位
荷载作用下的支座反力 F RK ②虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按刚体体系虚功原理
1• FRC KK0
FRK CK
式中
F RKCK
为支座反力
F RK
在相应支座位移
C
上所作虚功，
K
当两者方向一致时为结正构力学第四章位移计算
例4-1 图示刚架支座发生图示位移，求Ｃ点位移
C
D
FP=1 C
D
6m
二 位移计算的目的
1 验算结构的刚度 结构变形不得超过容许值
2 结构设计、制作、养护过程中，常需预先知道结构变形后 的位置，以便采取相应的施工措施
3 位移计算是超静定结构计算的基础 超静定结构计算要同时满足平衡条件和变形连续条件
结构力学第四章位移计算
三 位移计算中的基本假定
１材料处于弹性阶段，应力与应变之间成正比（物理线性） ２结构变形微小，不影响力的作用（几何线性）
第四章 结构位移计算
结构力学第四章位移计算
§4.1 概述
一 结构的位移
在荷载、温度改变、支座移动等外因作用下，结构上各点 各截面发生移动、转动，这些移动和转动统称为结构位移
A △Ay
A △A
A′ A′
△Ax
θA
△A A A′
θA
△B
θB B′ B θAB
以上位移统称位移△， △为广义位移
结构力学第四章位移计算
该式即为结构位移计结算构力的学第一四般章位公移计式算
1 适用范围： ① 静定结构和超静定结构； ② 弹性体系和非弹性体系； ③ 各种因素产生的位移计算
2 单位荷载
A
△ A′
θ
FP=1
A
求某点线位移
A M=1
若求结构上某截面角位移 求某截面角位移 在截面处加一单位力偶
结构力学第四章位移计算Leabharlann A A′三 求△C
A
B
C 2 c x 2 cy 0 .5 2 1 结.5 构2 力 学1 第.5 四章c 位8 ( 移m 计算) 1
§4.3 变形体系虚功原理
一 变形体虚功原理
任意平衡力系作用下的变形体系，给其以几何可能的变形和 位移，则体系上外力所作虚功恒等于体系内力虚功
+t1 +t2
C
外力虚功 W12=Wi12 结构内力学力第四虚章功位移计算