结构力学结构位移计算04
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结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
结构位移计算
1
第七章 结构位移计算
§7—1 概述
§7—2 变形体系的虚功原理
§7—3 位移计算的一般公式
A′
§7—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§7—5 图乘法
§7—6 静定结构温度变化时的位移计算
§7—7 静定结构支座移动时的位移计算
§7—8 线弹性结构的互等定理 2
§7—1 概 述
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
y1=
y2=
y3=
△Cy=
A
MP图
L
qL2 8
B
L
C
2
qL2
8
1
M图
2
+
qL2 3
8
L
2
y3 y2
y1
1
24
返回
§7—6 静定结构温度变化时的位移计算
当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生
变形和位移。设结构(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点
的竖向位移△Kt 。此时由式（7—5）可得
式(7—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功 Wi——内力虚功
（7—1）
返8回
微段dS上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+QdS+Md
整个结构内力的变形虚功为
Wi=
（7—2)
虚功方程为
W=
（7—3)
AP
M
RA
q
Q
N
q B
dS
RB
N+dN
力状态
Q+dQ
ds
A
B
dS
（1）功的第互一等状定态理的：外力在第二状态的位移上所作
第七章 结构位移计算
§7—1 概述
§7—2 变形体系的虚功原理
§7—3 位移计算的一般公式
A′
§7—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§7—5 图乘法
§7—6 静定结构温度变化时的位移计算
§7—7 静定结构支座移动时的位移计算
§7—8 线弹性结构的互等定理 2
§7—1 概 述
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
y1=
y2=
y3=
△Cy=
A
MP图
L
qL2 8
B
L
C
2
qL2
8
1
M图
2
+
qL2 3
8
L
2
y3 y2
y1
1
24
返回
§7—6 静定结构温度变化时的位移计算
当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生
变形和位移。设结构(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点
的竖向位移△Kt 。此时由式（7—5）可得
式(7—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功 Wi——内力虚功
（7—1）
返8回
微段dS上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+QdS+Md
整个结构内力的变形虚功为
Wi=
（7—2)
虚功方程为
W=
（7—3)
AP
M
RA
q
Q
N
q B
dS
RB
N+dN
力状态
Q+dQ
ds
A
B
dS
（1）功的第互一等状定态理的：外力在第二状态的位移上所作
结构力学 第4章 静定结构的位移计算
YA = − b / a
1 ⋅ ∆ + YA ⋅ c = 0
∆ = b⋅c / a
这是单位荷载法 这是单位荷载法 。
求多跨静定梁在C点的支座反力F 例2. 求多跨静定梁在C点的支座反力 C。
F E F D C B A (a)
a
2a
a
2a
a
F E
F D C FC B A (b)
E δ2
δ1
D
δC=1 C
一、公式的进一步推导
∆ KH N P N KQP Q M P M = ∑ ∫ ( N dλ + Qdη + M dϕ ) = ∑ ∫ EA + GA + EI
dϕ
ds
ds
dλ
dη
dλ σ NP ε= ⇒ dλ = εds = ds = ds ds E EA QP dη = γds = k ds GA MP 1 dϕ = ds = ds ρ EI
3.虚功原理的应用 3.虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 虚设位移求未知力（虚位移原理） 虚设单位位移法:已知一个力状态， 虚设单位位移法:已知一个力状态，虚设一个单位位移 状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时， 状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时，虚功原 理也称为虚位移原理。 理也称为虚位移原理。 2）虚设力系求位移（虚力原理） 虚设力系求位移（虚力原理） 虚设单位荷载法:已知一个位移状态， 虚设单位荷载法:已知一个位移状态，虚设一个单位力 状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时， 状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时，虚 功原理也称为虚力原理。 功原理也称为虚力原理。
钢筋混凝土结构G≈0.4E 钢筋混凝土结构 矩形截面, 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
结构力学位移法
M=1 C
M=1
若求结构两个截面的相对角位移 在两个截面上加两个方向相反单 位力偶
1 d
1 d
A
求结构两个截面的相对角位移 B
d
C 求AB杆的角位移 杆的角位移
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力偶 的两个集中力取 1/d，垂直作 用于杆端
1 d1
1 d1
A
B 求AB、AC杆的角位移 、 杆的角位移
式中k—考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 式中k 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数 与截面形状有关
∆ = ∑∫
FQ FQP FN FNP MMP ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ k ds EI EA GA
式中 F N FQ M ——虚设单位荷载引起的内力 虚设单位荷载引起的内力
l
q
A B
L
∆Q ∆M
∆Q ∆M
EI = 4.8 GAl 2
= 4.8
E 8 = 2(1 + µ ) = G 3
I h2 = A 12
EI h = 1.067( ) 2 GAl 2 l
∆Q ∆M h = 1.067( ) 2 = 1.067% l
当 h= 1 时 l 10 h 1 当 = 时 l 2
FN FQ FQ
ds ds
M
M
ds dθ=κds
γ0 dη= γ0 ds dλ=εds
ds微段 微段 整根杆 变形体系
dwi12=FN εds+FQ γ0ds +M κds w’i12= ∫ (FN εds+FQ γ0ds +M κds) wi12= ∑∫(FN εds+FQ γ0ds +M κds)
结构力学-第四章-结构位移计算-2
M ( x) x (0 x a )
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
结构力学4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题 是非判定题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 关于静定结构，有变形就必然有内力。
（ ） (6) 关于静定结构，有位移就必然有变形。
（ ）(7) 习题(7)图所示体系中各杆EA 相同，那么两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题(8)图所示，EI =常数。
以下图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题(9)图所示，以下图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题(10)图所示结构的两个平稳状态中，有一个为温度转变，现在功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 (7)图图(b)M图(a)M P 81qM 图(b)P M 图(a)习题 (8)图 习题 (9)图(a)P习题 (10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度转变作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题 填空题(1) 习题(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引发D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
结构位移计算(第四章)
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
l
P B
l
Mi
1
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
2 A1 lh 3
1 A2 lh 3
二次抛物线
2 A lh 3
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
1 2 ql 8 1 2
B
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
)
用单位荷载法计算支座移动引起的位移计算 步骤如下：
（1）沿拟求△方向虚设相应的单位荷载； （2）求RK,根据静力平衡条件求单位荷载作用下 相应于支座移动cK的支座反力RK； （3）求△
ic Ri Ci
注意：当R与c方向一致时，乘积为正；反之为负。
§4-7 线弹性结构的互等定理
1. 功的互等定理: 方法一
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx
第4章 结构位移计算
1
第四章 静定结构位移的计算
§4—1 计算结构位移的目的
§4—2 功 广义力和广义位移 A′ §4—3 计算结构位移的一般公式 §4—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§4—5 图乘法
§4—6 静定结构由于支座位移和温度变化时 的位移计算 §4—7 互等定理
2
§4—1 计算结构位移的目的
4.1.1 结构的位移
在实际计算时，根据结构的具体情况
讨
论
1. 梁和刚架:轴向变形和剪切变形影响较小，可 以忽略 △KP= 2.桁架：只有轴力的作用 △KP= 3. 组合结构：
△KP=
28
(4)拱结构：一般的实体拱中，其位移计算只考虑弯曲变 形一项的影响；但在扁平拱中有时尚须考虑轴向变形对 位移的影响，故位移公式：
MMP D= 邋 蝌 EI dx + F N FNP dx EA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL4 k qL2 弯曲变形：DM = 剪切变形： D Q = 384EI 8GA 2 骣 D EI h Q = 11.52 = 2.56 琪 两者的比值： 琪 2 DM GAL L 桫
t
6
4.1.2 计算结构位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；
高层建筑的最大位移< 1/1000 高度； 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
Fp=1 A
求C点转角位移
B
Fp=1
B Fp=1 求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
第四章 静定结构位移的计算
§4—1 计算结构位移的目的
§4—2 功 广义力和广义位移 A′ §4—3 计算结构位移的一般公式 §4—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§4—5 图乘法
§4—6 静定结构由于支座位移和温度变化时 的位移计算 §4—7 互等定理
2
§4—1 计算结构位移的目的
4.1.1 结构的位移
在实际计算时，根据结构的具体情况
讨
论
1. 梁和刚架:轴向变形和剪切变形影响较小，可 以忽略 △KP= 2.桁架：只有轴力的作用 △KP= 3. 组合结构：
△KP=
28
(4)拱结构：一般的实体拱中，其位移计算只考虑弯曲变 形一项的影响；但在扁平拱中有时尚须考虑轴向变形对 位移的影响，故位移公式：
MMP D= 邋 蝌 EI dx + F N FNP dx EA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL4 k qL2 弯曲变形：DM = 剪切变形： D Q = 384EI 8GA 2 骣 D EI h Q = 11.52 = 2.56 琪 两者的比值： 琪 2 DM GAL L 桫
t
6
4.1.2 计算结构位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；
高层建筑的最大位移< 1/1000 高度； 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
Fp=1 A
求C点转角位移
B
Fp=1
B Fp=1 求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
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其难易程度不同。 MP 当两FP个l/4图形均为直
1 l 1 1 FPl ) FPl 2 2 2 2 3 4 16 EI
线A 图形时，取那个B 图形的面积均可。
M
1
B
1 EI
(1 l 2
FPl 4
1) 2
FPl 2 16 EI
1M
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6 / 70
M1 M
直段考虑成简支梁多荷载情况
直段考虑成悬臂梁多荷载情况
4 / 70
第三章 结构位移计算
当图形的面积或形心位置不便确定时，可把它们 分解为几个简单图形的叠加（分段 + 分块）
竖标叠加计算。
b
c
y1
2 3
d
1 3
c
y2
1 3
d
2 3
c
2
l
y2
1 a
b
1
1 2
al
2
1 2
bl
d
y1
c
2
l
y2
i，yi是代数量
1 a
d
y1
y1
2 3
d
1 3
c
y2
1 3
d
2 3
c
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第三章 结构位移计算
例. 已知 EI 为常数，求B点的转角位移
取A yc的图形F必P 须是B 直或线折l/，线2 不。EI能是l/2曲线
不同的图乘方式，
B
1 EI
(
1 2
l 1 22
2 3
FPl 4
l l 1 FPl 2 22 4
第三章 结构位移计算
注意事项
方法使用条件
1、等刚直杆 2、至少有一直线图
3、yc 应取自直线图中
yc 为代数量，居轴同侧取正，居轴异
侧取负；
应用图乘法首先熟练掌握常用标准图形面 积及形心位置。这也是图乘法的亮点
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第三章 结构位移计算
常见图形面积和形心
矩形 a 三角形 a
a
抛物形 a a
al
l
1 2
al
l
1 3
al
l
2 3
al
l
2 3
al
l
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xc
1 2
l
xc
1 3
l
xc
1 4
l
xc
3 8
l
xc
1 2
l
通式
2 / 70
第三章 结构位移计算
当图形的面积或形心位置不便确定时，可把它们 分解为几个简单图形的叠加（分段 + 分块）
对折线段要分成直线段做。
AB
CD
MP
Δ
1 EI
(1 y1
2 y2
3 y3 )
M1
对刚度不同区段要分段做。
AB
CD
MP Δ 1 y1 2 y2
EI1 EI2
M1
3 / 70
第三章 结构位移计算
当图形的面积或形心位置不便确定时，可把它们 分解为几个简单图形的叠加（分段 + 分块）
对非标准图形分块做。
AB
CD M MP