模糊等价关系探讨
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模糊数学——第10次课 基于模糊等价关系的聚类分析
故此时{x1, x3, x4, x5}为一类，{x2}为一类。
2014年6月26日
13
选取 = 0.6，则此时R*的截矩阵变为
1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0.3 R* 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
当 当 当 当 当
1时，分类为{ x1 },{ x2 },{ x3 },{ x4 },{ x5 }; 0.8时，分类为{ x1 , x3 },{ x2 },{ x4 },{ x5 }; 0.6时，分类为{ x1 , x3 },{ x2 },{ x4 , x5 }; 0.5时，分类为{ x1 , x3 , x4 , x5 },{ x2 }; 0.4时，分类为{ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }.
2014年6月26日
7
模糊聚类分析
例2：设有模糊相似矩阵
0.1 0.2 1 R 0.1 1 0.3 0.2 0.3 1 0.2 0.2 1 R R 0.2 1 0.3 R 2 0.2 0.3 1 0.2 0.2 1 2 2 R R 0.2 1 0.3 R 2 t ( R ). 0.2 0.3 1
模糊关系及推论
模糊逻辑的运算
模糊逻辑中的运算包括模糊与、模糊或、模糊非 等。
这些运算不同于经典逻辑中的与、或、非运算， 它们在处理模糊信息时具有不同的性质和效果。
例如，模糊与运算可以处理两个模糊集合之间的 关系，并得到一个新的模糊集合。
模糊逻辑的性质
01
模糊逻辑具有连续性，这意味着它能够处理连续的变量和 值域。
03 模糊集合
模糊集合的定义
模糊集合是由普通集 合中引入了程度概念 的集合。
模糊集合用数学符号 表示为A，其中A⊆X， X为论域。
模糊集合的元素不再 是确定的，而是属于 集合的程度在0到1之 间。
模糊集合的运算
并集
设A、B为模糊集合，则A∪B表示A和B中所有元素的集合， 其隶属度为max(A(x), B(x))。
交运算
02
03
补运算
表示两个模糊集合的交集，表示 元素属于这两个集合的程度的最 大值。
表示一个模糊集合的补集，表示 元素不属于这个集合的程度的最 大值。
02 模糊推理
模糊推理的定义
模糊推理是一种基于模糊集合理论的推理方法，用于处理具有模糊性的信 息和数据。
它通过将普通集合论中的确定性概念扩展到模糊集合论中的不确定性概念， 使得推理过程能够更好地处理现实世界中的模糊性和不确定性。
02
它还具有非线性，这意味着它能够处理非线性关系和函数。
03
此外，模糊逻辑还具有自反性和对称性等性质，这些性质 使得它在处理模糊信息时具有更强的灵活性和适应性。
05 模糊系统
模糊系统的定义
01
模糊系统是一种基于模糊集合理论的系统，用于处理具有不确 定性、不完全性和模糊性的信息。
02
它通过模糊化输入信号，将确定的输入转化为模糊集合，然后
模糊等价矩阵与模糊相似矩阵
模糊相似矩阵的应用场景
聚类分析
通过模糊相似矩阵可以对数据进 行聚类分析，将相似的对象归为 一类，从而对数据进行分类。
模式识别
模糊相似矩阵可以用于模式识别， 通过比较不同对象之间的相似度， 可以识别出相似的模式或结构。
决策支持
在决策支持系统中，模糊相似矩 阵可以用于评估不同方案或策略 的相似度，从而为决策者提供参 考依据。
模糊等价矩阵与模糊相似矩阵的定义
模糊等价矩阵
在模糊集理论中，模糊等价矩阵是一 个特殊的模糊矩阵，表示元素之间的 等价关系。它具有特定的性质，如自 反性、对称性和传递性。
模糊相似矩阵
与模糊等价矩阵类似，模糊相似矩阵 也是一个模糊矩阵，表示元素之间的 相似关系。它同样具有自反性和对称 性，但不具备传递性。
适用范围
模糊等价矩阵适用于具有严格传递关系的数据，如评分数据、评价数据等。而 模糊相似矩阵适用于具有非严格传递关系的数据，如文本数据、社交网络数据 等。
05
结论
对模糊等价矩阵与模糊相似矩阵的综合评价
模糊等价矩阵和模糊相似矩阵是模糊 数学中的重要概念，它们在处理不确 定性和模糊性方面具有显著的优势。 通过对模糊等价矩阵和模糊相似矩阵 的综合评价，可以更好地理解它们的 特性和应用价值。
对未来研究的展望
随着模糊数学理论的不断发展，模糊等价矩阵和模糊相似矩阵的研究也将不断深入。未来研究可以进 一步探讨这两种矩阵的性质和关系，及它们在不同领域的应用效果和改进方法。
未来研究可以尝试将模糊等价矩阵和模糊相似矩阵与其他数学工具和方法相结合，以开发更加有效的 算法和模型，解决更加复杂的问题。同时，也需要加强模糊数学在实际问题中的应用研究，以推动模 糊数学的发展和应用。
模糊等价矩阵与模糊相似 矩阵
基于商空间的模糊等价关系在聚类分析中的应用
ｔ ｉ ｏ ｎ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ； ｃ ｌ ｕ ｓ ｔ ｅ ｒ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ
１ 引
Ｉ ＝ ｌ
上世纪 ８ Ｏ 年代期间 ， 商空间的基本思想 由张 钹院士及张铃教授独立地提 出Ｅ ｌ ｉ ； 随后他们 又进
一
步地提 出了模糊 商空间 的理论Ｅ ］ ， 把商空 间
ｔ ｈｅ ｑｕ ｏ ｔ ｉ ｅ ｎｔ ｓ ｐａ ｃ ｅ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｓ ｔ ｅ ｒ ａ ｎａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ
Ｚ ＨＡＮＧ Ｙｕ ａ ｎ ， ＳＨＥＮ Ｑｉ ｎ － ｗｅ ｉ ， Ｚ ＨＡＮＧ Ｌｉ ｎ ｇ
（ １ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ａ ｎ ｄ Ｉ ｎｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ，Ａｎ ｈｕ ｉ Ｉ ｎｓ ｔ ｉ ｔ ｕｔ ｅ ｏ ｆ Ａｒ ｃ ｈ ｉ ｔ ｅ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ，Ｈ ｅ ｆ ｅ ｉ ２ ３ ０ ６ ０ １，Ｃｈｉ ｎ ａ
（ ， ， ） ） 。称 Ｒ 为模 糊等 价 关 系ｌ ２ ； 但是 如 果 在
将样本模糊相似矩阵通过具体的公式进一步转换 为模糊等价矩阵， 从而最终构造 出聚类谱 系图并 对具体的样本数据进行相应的聚类分析 。
同等前提下矩 阵只符合 （ １ ） （ ２ ） 条， 而不符合 （ ３ ） 条， 则称 Ｒ 为模 糊 相 容 或 模 糊 相 似 关 系 ； 实 际 应 用 中往往首先得到的是模糊相容或相似关系 ， 但 这 种关 系不能 很 好地 对 样 本 进行 聚类 ， 所 以我 们 必 须要将 模糊 相 似关 系转 换 为模 糊 等 价 关 系 ， 即 将模 糊相 似矩 阵 转换 为 模 糊 等 价矩 阵 ， 再 进 行 相 应 的聚类 分析 。 从模糊相似矩阵 Ｒ出发 ， 依次求 Ｒ —Ｒ 。 一Ｒ —Ｒ 一， 当第一次 出现 。 Ｒ 一 时， Ｒ 就是所 求的模糊等价矩阵， 其中 Ｒ 一Ｒ 。 Ｒ是一种特殊 的 乘法运算 ， 即ｒ 一ｍ ａ ｘ （ ａｉ ｒ ｎ （ ， ） ） 。以上 为 模
１ 引
Ｉ ＝ ｌ
上世纪 ８ Ｏ 年代期间 ， 商空间的基本思想 由张 钹院士及张铃教授独立地提 出Ｅ ｌ ｉ ； 随后他们 又进
一
步地提 出了模糊 商空间 的理论Ｅ ］ ， 把商空 间
ｔ ｈｅ ｑｕ ｏ ｔ ｉ ｅ ｎｔ ｓ ｐａ ｃ ｅ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｓ ｔ ｅ ｒ ａ ｎａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ
Ｚ ＨＡＮＧ Ｙｕ ａ ｎ ， ＳＨＥＮ Ｑｉ ｎ － ｗｅ ｉ ， Ｚ ＨＡＮＧ Ｌｉ ｎ ｇ
（ １ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ａ ｎ ｄ Ｉ ｎｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ，Ａｎ ｈｕ ｉ Ｉ ｎｓ ｔ ｉ ｔ ｕｔ ｅ ｏ ｆ Ａｒ ｃ ｈ ｉ ｔ ｅ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ，Ｈ ｅ ｆ ｅ ｉ ２ ３ ０ ６ ０ １，Ｃｈｉ ｎ ａ
（ ， ， ） ） 。称 Ｒ 为模 糊等 价 关 系ｌ ２ ； 但是 如 果 在
将样本模糊相似矩阵通过具体的公式进一步转换 为模糊等价矩阵， 从而最终构造 出聚类谱 系图并 对具体的样本数据进行相应的聚类分析 。
同等前提下矩 阵只符合 （ １ ） （ ２ ） 条， 而不符合 （ ３ ） 条， 则称 Ｒ 为模 糊 相 容 或 模 糊 相 似 关 系 ； 实 际 应 用 中往往首先得到的是模糊相容或相似关系 ， 但 这 种关 系不能 很 好地 对 样 本 进行 聚类 ， 所 以我 们 必 须要将 模糊 相 似关 系转 换 为模 糊 等 价 关 系 ， 即 将模 糊相 似矩 阵 转换 为 模 糊 等 价矩 阵 ， 再 进 行 相 应 的聚类 分析 。 从模糊相似矩阵 Ｒ出发 ， 依次求 Ｒ —Ｒ 。 一Ｒ —Ｒ 一， 当第一次 出现 。 Ｒ 一 时， Ｒ 就是所 求的模糊等价矩阵， 其中 Ｒ 一Ｒ 。 Ｒ是一种特殊 的 乘法运算 ， 即ｒ 一ｍ ａ ｘ （ ａｉ ｒ ｎ （ ， ） ） 。以上 为 模
第3章模糊8-9
4．绝对值指数法
ri j exp( uik u jk )
k 1
m
5．绝对值减数法
ri j 1 c uik u jk
k 1
m
其中c 为适当选取的常数，使 rij 在 [0,1] 中且分散开。
6．绝对值倒数法
1 M ri j = m u u jk k 1 ik
U被分成二类： { u1 , u3, u4, u5}, {u2}。
(t(R))0.4 =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
U 被分成一类： { u1 , u2, u3, u4, u5}。
随着α的减小,分类越来越粗，形成一个动态聚类图，见图:
(t(R))0.6 =
1 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
U 被分成三类： { u1 , u3}, {u2}, {u5, u4}。
(t(R))0.5
1 0 = 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
由定理8，t (R) 是 F 等价关系。然后求 a 截集
[t (R)]a 由定理9，[t (R)]a 有普通等价性具有分类职能。
例2 按污染状况对环境单元分类。 每个环境单元包括空气，水分，土壤，作物四 个要素。环境单元的污染状况由污染物在四要素 中的含量指数来描述。
设有五个环境单元：u1, u2, u3, u4, u5。它们的污
要证定理9 成立，需证：R 有F自反性（对称性，传递性），当且 仅当每个截集R 有普通自反性（对称性，传递性）。下面我们只 证传递性，其余留给读者。
模糊关系及推论
R P Q ( x, z ),max t R1 ( x, y ), R2 ( y , z ) x X , y Y , z Z y
的兩個
其 中 t(. , .) 是 的 運 算 子 。 那 麼 用 “ 最 大 - 最 小 合 成 (max-min operation)”的運算子可將 P 及 Q 合成為
R X 1
x1
0.8
x2
1
x3
R Y 0.9
y1
0.5
y2
0.8
y3
1
y4
1
y5
1 1 1 1 1 ( R X ) ( X Y ) 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1 1 1 1 1 0.9 0.5 0.8 1 1 ( R Y ) ( X Y ) 0.9 0.5 0.8 1 1 0.9 0.5 0.8 1 1
模糊集合與模糊關係的合成
• 令 A 是定義在 X 上的一個模糊集合，R 是定義在 X Y 上的一個 模糊關係，則我們以符號 B A R 代表模糊集合 A 與模糊關係 R 的合成，定義為：
B ( y ) maxmin A ( x ), R ( x, y )
xX
max(0.9,0.4,1,0) = 1 max(0,0,0.7,0.8) = 0.8
• 令R12*為將 R12 柱狀擴充至 ( X1 X 2 X 3 ) 所形成的關係，R*3 為 將 R3 柱狀擴充至 ( X1 X 2 X 3 ) 所形成的關係，亦即：
* * R12 R12 ( X 1 X 2 X 3 ) R3 R3 ( X 1 X 2 X 3 ) R* ( x1 , x2 , x3 ) R* ( x1 , x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 )
的兩個
其 中 t(. , .) 是 的 運 算 子 。 那 麼 用 “ 最 大 - 最 小 合 成 (max-min operation)”的運算子可將 P 及 Q 合成為
R X 1
x1
0.8
x2
1
x3
R Y 0.9
y1
0.5
y2
0.8
y3
1
y4
1
y5
1 1 1 1 1 ( R X ) ( X Y ) 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1 1 1 1 1 0.9 0.5 0.8 1 1 ( R Y ) ( X Y ) 0.9 0.5 0.8 1 1 0.9 0.5 0.8 1 1
模糊集合與模糊關係的合成
• 令 A 是定義在 X 上的一個模糊集合，R 是定義在 X Y 上的一個 模糊關係，則我們以符號 B A R 代表模糊集合 A 與模糊關係 R 的合成，定義為：
B ( y ) maxmin A ( x ), R ( x, y )
xX
max(0.9,0.4,1,0) = 1 max(0,0,0.7,0.8) = 0.8
• 令R12*為將 R12 柱狀擴充至 ( X1 X 2 X 3 ) 所形成的關係，R*3 為 將 R3 柱狀擴充至 ( X1 X 2 X 3 ) 所形成的關係，亦即：
* * R12 R12 ( X 1 X 2 X 3 ) R3 R3 ( X 1 X 2 X 3 ) R* ( x1 , x2 , x3 ) R* ( x1 , x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 )
模糊聚类中的模糊等价矩阵
结论:
Y 假设 R ∈ n, R# 为 R 的最优 模糊等价矩阵, 把 R# 中除 aii = 1 外的元素按是否 相等划分为 k 类( k n A A A A A - 1) , 把相等的元素划分为一类, 记这 k 类为 1, 2 , 3, … , k. i 类中元素取值 记为 ti. 把 与上述
B B B B B 各类元素对应的 R 中的元素也分为 k 类, 记作 1, 2, 3, … , k. 设 i的元素记为 bi1, bi2, bi3, … , bimi,
∞X
n=
X . 由极限保号性定理, X
的参数系与
X
n的参数系相似,
故
X
∈C(
～ ～
X
)
,
从而
C(
～ ～
X
)
为
闭集, 易见 C( X～ ～) 为X～ ～的闭包. 由泛函分析中 结论: 凸集的闭包是凸集, 可知 C( X～ ～) 为凸集, 从而 C( X～ ～) 为有界
闭凸集.
证毕
Y 定理 2. 4 R∈ n,
定理113的证明我们注意到infx以上证明过程不仅证明了最优模糊等价阵的存在性而且还证明了在平移等价类的闭包中与给定的模糊相似矩阵r距离最近的模糊等价阵的存在性与唯一性以后我们称此模糊等价阵为局部最优模糊等说明局部最优模糊等价阵具有唯一性
1999 年 4 月
系统工程理论与实践
第 4 期
模糊聚类中的模糊等价矩阵
bi2, bi3, …
, bimi, 则 ti=
bi1+
bi2+
bi3+ mi
…
+
bimi ( i =
1, 2, …
, n-
第三章 模糊关系
ui
140 150 160 170 180
vi
40 1.0 0.8 0.2 0.1 0.0
50 0.8 1.0 0.8 0.2 0.1
60 0.2 0.8 1.0 0.8 0.2
70 0.1 0.2 0.8 1.0 0.8
80 0.0 0.1 0.2 0.8 1.0
• 例：用矩阵表示模糊关系 R U，V有限论域，~用矩阵R来表示： R (rij ), rij R ( i , v j ) ，显然 0 rij 1 (1 i, j n) ~ R叫模糊矩阵： 1 0.8 0.2 0.1 0 0.8 1 0.8 0.2 0.1 R 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0.1 0.2 0.8 1 0.8 0 0.1 0.2 0.8 1
第三章 模糊关系
§1 模糊关系的定义与性质
• 设U，V是两个论域，在普通集合论中，记
U V {(u , v) u U , v V }
做Ｕ与Ｖ的笛卡尔乘积。可能状态集是由 Ｕ与Ｖ中任意搭配所构成，笛卡儿乘积集 是两集合元素之间的约束搭配。若给搭配 以约束便体现了一种特殊关系。是笛卡儿 集中的一个子集。
~
2） R nn 叫作自反矩阵，如果 R I
3）包含R而有被任何包含R的自反矩阵 所包含的自反矩阵，叫做R的自反闭包。 记 r (R ) 由自反闭包的定义可知： a) r ( R) I ； b) r ( R) R ； c) 任意包含R的自反矩阵Q都满足 Q r (R)
；
• 性质21
c c
r
c
ij
s
c
ij
R S
C
C
对任意 [0,1] ，记 R ( r ij ) 其中
140 150 160 170 180
vi
40 1.0 0.8 0.2 0.1 0.0
50 0.8 1.0 0.8 0.2 0.1
60 0.2 0.8 1.0 0.8 0.2
70 0.1 0.2 0.8 1.0 0.8
80 0.0 0.1 0.2 0.8 1.0
• 例：用矩阵表示模糊关系 R U，V有限论域，~用矩阵R来表示： R (rij ), rij R ( i , v j ) ，显然 0 rij 1 (1 i, j n) ~ R叫模糊矩阵： 1 0.8 0.2 0.1 0 0.8 1 0.8 0.2 0.1 R 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0.1 0.2 0.8 1 0.8 0 0.1 0.2 0.8 1
第三章 模糊关系
§1 模糊关系的定义与性质
• 设U，V是两个论域，在普通集合论中，记
U V {(u , v) u U , v V }
做Ｕ与Ｖ的笛卡尔乘积。可能状态集是由 Ｕ与Ｖ中任意搭配所构成，笛卡儿乘积集 是两集合元素之间的约束搭配。若给搭配 以约束便体现了一种特殊关系。是笛卡儿 集中的一个子集。
~
2） R nn 叫作自反矩阵，如果 R I
3）包含R而有被任何包含R的自反矩阵 所包含的自反矩阵，叫做R的自反闭包。 记 r (R ) 由自反闭包的定义可知： a) r ( R) I ； b) r ( R) R ； c) 任意包含R的自反矩阵Q都满足 Q r (R)
；
• 性质21
c c
r
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s
c
ij
R S
C
C
对任意 [0,1] ，记 R ( r ij ) 其中
模糊控制的数学基础-2(3-1至3-15)模糊关系、逻辑及运算
举例eg 1 y=sinx, x ∈(-∞,+∞)，y ∈[-1,+1]，由于［－1,＋1］是y 轴的一个子集，故这个映射是x 到y 内的映射，是属于“非全射”。
eg 2 y=x 2, x ∈(-∞,+∞), y ∈(0,+∞)。
这是由x 到y 内的映射，也属于“非全射”。
eg 3 y=x 3, x ∈(-∞,+∞), y ∈(-∞,+∞)。
这个映射是由x 射到y 轴上的映射，属于“全射”。
并且也是“单射”，同时也是“一一映射”。
Ch 3 Fuzzy 控制理论的预备知识§3－1 Fuzzy 关系与Fuzzy 关系图一 Fuzzy 关系~R 第二章讲过，所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。
现在把它扩展到Fuzzy 集合中来，可定义如下：所谓A 和B 两集合的直积A ×B ＝﹛(a ，b)|a ∈A ，b ∈B ﹜中的一个模糊关系~R ，是指以A ×B 为论域的一个Fuzzy 子集，其序偶(a ，b)的隶属度为 ~R μ (a ，b)，可见~R 是二元Fuzzy 关系。
3-1Nose ：当A=B 时，我们称之为“A 面上的Fuzzy 关系”R 。
eg ． 要求列出集合A=﹛1，5，7，9，20﹜“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系~R 。
解：直积空间R ＝A ×A 中有25个“序偶”，其中R 1=﹛(20,1)，(20,9)，(20,7)，(20,5)，(9,7)，(9,5)，(9,1)，(7,5)，(7,1)，(5,1)﹜ 是满足“前元比后元大”的子集。
~0.50.70.810.10.30.950.10.90.85(5,1)(7,1)(9,1)(20,1)(7,5)(9,5)(20,5)(9,7)(20,7)(20,9)R =+++++++++ 上式中分子的值即是按人的判断结果给出的相应满足“前元比后元大得多”的程度，还有一种求法是利用适当的隶属函数来确定。
模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法
❖ （1）单层次模糊综合评判模型 设X={x1,x2…xn}是综合评判因素所组成集合，
Y={y1,y2…yn}是评语所组成的集合。
R：X→Y rij=µR(xi,yj) 元素rij表示xi符合yj标准的程度。
A=(a1,a2…an)是各评判因素的权重分配，
则评判结果 B=A◦R.
例
我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因 素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：
0.38 0.8 0.67
0.49 1375 931源自0.380.80.67
0.93
0.95 0.67 0.94
0.9
0.94 0.67 0.95
1
0.99
0.99 0.45 0.55
0.99
1
0.99 0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
1
0.45 0.55
0.45 1
0.49137 5931
0.93
0.9
1 0.67 0.94 0.38
0.38
0.38 0.95 0.94
0.67 1 0.67
0.94 0.67 1
0.8 0.67
0.8 0.67
0.8 0.67
0.67 0.94 0.67 0.95
0.49137 5931
0.38 0.8 0.67
0.49137 5931
较好
40% 30% 10%
可以
10% 20% 30%
不好
0 10% 60%
0.2 R ~
0.7
0.1
0
上表就构成模糊矩阵 R= 0
0.4 0.5 0.1
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２１１证 自反 性 ： ．．
由 旦 是 上 的一个 模糊 等价关 系 ： 垦 （、） １ ： Ｖ ∈［ ｌ ０】 ， 都有 Ｒ （ － ≥ 入 Ｘ， ）
＝ 融
（ ） １ 、 ＝
２１ ．． 对称性 ： ２证
由 垦 是 上 的一个 模糊 等价关 系
Ｖ ，∈ ｘ Ｘ都有点 （、） 曼 （ ） ｙ ＝ Ｖ入∈［ ｌ 当垦 （ 、） 旦 （、） ， ０】 ，， ｙ＝ ） ≥ 必有 ｍ ） ＝Ｘ （ 、）ｌ ， （、） 烈 ｙ ＝ ， 当垦 （ 、） 曼 （ ） ， ｙ＝ ≤ 必有 Ｘ Ａ 、） 肌 ）０ Ｒ Ｘ） （ ＝ （ ，
（ ｎ ｍ，（ ） 如果 是等价阵 ， 尺ｎＱ也是模糊等价 阵。 当 ＞ ｒＲ） 则
收稿 日期 ：０ ０ ０ — ５ ２ １ － ３ ２
作者简介 ： 吉（ ９ ０ ） 女 ， 德 １ ８ － ， 藏族 ， 西藏拉萨人 ， 拉萨师范高等专科学校助教 ， 主要研究方 向为高等数学教学。
考 虑 的性 质 ， 不去 管 它 到 底 是 什 么 意义 ， 就 是 数 学 的抽 象 性 ， 实 际上 很 多 关 系 难 以用 “ ” “ 而 这 而 有 、 没 有 ” 衡 量 的 ， 须考 虑 有这 种关 系 的程 度 ， 种关 系 就是 模糊 关 系 ， 来 必 这 常用 记号 Ｒ 表示 ， 这 种模 糊关 系也 对
摘要 ： 实际 问题 中构 造一 个模 糊 等价 关 系是 比较 困难 的 ， 这是 传 递 性 不 易满足 的缘 故 ， 而且 由 于“ 模
糊 学” 成 的历 史较 短 ， 以在模 糊 等 价 关 系性 质 方 面的研 究 ， 形 所 具有 局 限性 。文章 借 助普 通 等 价 关 系的性
质， 来讨 论模 糊 等价 关 系的 性质 。 关键 词 ： 糊 等价 阵 ； 模 自反 性 ； 称性 ； 递性 对 传 中图分类 号 ： ５ 文 献标 识码 ： ０１ ９ Ａ
即 ∈【， ， ０１ 都有 ９Ａ 、 ） Ｒ ） ） １ ｇ （ ） ＝ＸＡ ， Ｒ ， （、 ２１ ．． 传递性 ： ３证
Ｖ ∈【，】及 ｘ ，∈ 女 果 融（ ｙ ＝ｌ 冠（ 、 ） １ ０ １， ， ｚ Ｘ， 日 ｙ 、） ， ＾ｙ ＝ ， 往证 （ 、口 口 亭 烈（ ｚ ＝ ， 女 果 （ ） ＝ ， 且 、 ） ｌ且 ｍ ，ｚ ＝ ， ， （， ） １ 、 恒有 （ 、 ） １ ｚ ＝
由 ｍ ｙ ＝ ， （ 、 ） ｌ且 ｍ（ ｚ ＝ ）１
Ｖ入∈［ １， ０］ ， 都有 点 （，） ， （ 、 ≥Ａ ｘｙ ≥Ａ 旦 ｙＸ）
由垦 是 上 的模 糊等 价关 系 曼 ｃ垦
点 （ 、） 【 ≥ 曼 、 ］ Ｒ （ ）≥垦 （，） ＾ Ｒ （ ） 八 】 ｘｙ 】 ｚ ｊ点 （、） ， ∈［ １ ≥ Ｖ Ｏ］ ，
要建 立 隶属 函数 ， 出隶 属 函数 的表 格就 是 模糊 矩 阵 ， 便 于分 析 和讨 论 模糊 关 系 带来 了方 便 ， 应用 中 列 它 在
通过 模 糊矩 阵来 讨论 模 糊关 系 的 ， 而模 糊关 系 在模 糊分 类 中起 了重 要 作用 。
１ 讨 论模糊 等 价 关 系的性 质
刖 吾
文章 编 号 ： ０ ５ ５ ３ （ ０ ０ Ｏ — ２ — ４ １ ０ — ７ ８ ２ １ ）１ １ １ ０
客 观 的各 事 物之 间 ， 在 不 同 的相 互 联 系 ， 数 学 上 就用 “ 系 ” 为一 种 模 型来 描 写 事 物 之 间 的联 存 在 关 作
系 ， 学 上所 谓关 系讨 论 的 内容 往 往是 抽象 的 。在讨 论模 糊 关 系 之前 ， 数 我们 先从 普 通 关 系说 起 ， 系常 用 关 记号 表 示 ， 如果 没 有关 系 ， 常用 记 号 或 示 。 设有 凡个学 生所 组成 的集 合 ＝ 、 …， ｘ、 ｝ 表 假 ｛ １… 如 果 “ 识 ”则 用 ｘ ｘ表示 ， 种关 系可 以是 “ 识 ” 可 以是其 他 ， 认 ， ｉｊ Ｒ 这 认 也 比如 “ 年 龄 ” “ 同 、同学 ” 等 ， 我 们 只 等 而
第２ ５卷 第 １ 期
２１ ０ ０年 ６月
西藏 大学 学报（ 自然科学版 ）
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｔ Ｂ Ｔ ＵＮＩ ＩＥ ＶＥＲＳ Ｔ ＩＹ
Ｖｏ ．５ Ｎ ． １ ｏ１ ２
Ｊｎ ２ １ ｕ ．００
模 糊 等 价 关 系探 讨
德 吉
（ 萨师范高等专科 学校 西藏拉 萨 ８ ０ ０ ） 拉 ５ ０ ０
— —
１ ２１ — —
德吉 ： 模糊等价关系探讨
２ 证 明 以上性质
２１首先定 义普 通等价 关 系 ： ． 如果 ｉ Ｖｘ ， （ ） １即 Ｒ 有 自反性 。 ） ∈Ｘ 、 ＝ ． Ｖ Ｙ ， 融 ＝Ｘ ）即 Ｒ 有 对称 性 。 ，∈Ｘ Ｘ 、 融（ ， Ｖｘ ￣∈Ｘ如果 冗 、）ｌＸ ｚ＝ ， ，ｚ ， ｙ ＾ ） ＝ ，融（ ）１恒有 融 、） ｌ （ ， （ ＝ 即 有 传递性 。 所 以要 证 明命 题成 立 ， 只需证 明 风 满 足 以上三 性 。
１ 毽是 上 的一个模糊等价关系 ， Ｒ 具有普通等价关系性。 ． １ 则
１ 垦 是等 价 的模 糊矩 阵 ， Ｖ ∈［， ， 等 价 的布 尔 阵 。 ． ２ 则 Ｏ１ Ｒ 是 １ １ ． 是一 个 等 价 矩 阵 ，则 ） （ ３毽 雹ｒ） 毽 ） （雹 ） （ 毽 ＝ ｉ） ～ ） （毽 ） ｉ）毽 ） （ ） ｉ （Ｒ ｉ ｖ （ 毽
由 旦 是 上 的一个 模糊 等价关 系 ： 垦 （、） １ ： Ｖ ∈［ ｌ ０】 ， 都有 Ｒ （ － ≥ 入 Ｘ， ）
＝ 融
（ ） １ 、 ＝
２１ ．． 对称性 ： ２证
由 垦 是 上 的一个 模糊 等价关 系
Ｖ ，∈ ｘ Ｘ都有点 （、） 曼 （ ） ｙ ＝ Ｖ入∈［ ｌ 当垦 （ 、） 旦 （、） ， ０】 ，， ｙ＝ ） ≥ 必有 ｍ ） ＝Ｘ （ 、）ｌ ， （、） 烈 ｙ ＝ ， 当垦 （ 、） 曼 （ ） ， ｙ＝ ≤ 必有 Ｘ Ａ 、） 肌 ）０ Ｒ Ｘ） （ ＝ （ ，
（ ｎ ｍ，（ ） 如果 是等价阵 ， 尺ｎＱ也是模糊等价 阵。 当 ＞ ｒＲ） 则
收稿 日期 ：０ ０ ０ — ５ ２ １ － ３ ２
作者简介 ： 吉（ ９ ０ ） 女 ， 德 １ ８ － ， 藏族 ， 西藏拉萨人 ， 拉萨师范高等专科学校助教 ， 主要研究方 向为高等数学教学。
考 虑 的性 质 ， 不去 管 它 到 底 是 什 么 意义 ， 就 是 数 学 的抽 象 性 ， 实 际上 很 多 关 系 难 以用 “ ” “ 而 这 而 有 、 没 有 ” 衡 量 的 ， 须考 虑 有这 种关 系 的程 度 ， 种关 系 就是 模糊 关 系 ， 来 必 这 常用 记号 Ｒ 表示 ， 这 种模 糊关 系也 对
摘要 ： 实际 问题 中构 造一 个模 糊 等价 关 系是 比较 困难 的 ， 这是 传 递 性 不 易满足 的缘 故 ， 而且 由 于“ 模
糊 学” 成 的历 史较 短 ， 以在模 糊 等 价 关 系性 质 方 面的研 究 ， 形 所 具有 局 限性 。文章 借 助普 通 等 价 关 系的性
质， 来讨 论模 糊 等价 关 系的 性质 。 关键 词 ： 糊 等价 阵 ； 模 自反 性 ； 称性 ； 递性 对 传 中图分类 号 ： ５ 文 献标 识码 ： ０１ ９ Ａ
即 ∈【， ， ０１ 都有 ９Ａ 、 ） Ｒ ） ） １ ｇ （ ） ＝ＸＡ ， Ｒ ， （、 ２１ ．． 传递性 ： ３证
Ｖ ∈【，】及 ｘ ，∈ 女 果 融（ ｙ ＝ｌ 冠（ 、 ） １ ０ １， ， ｚ Ｘ， 日 ｙ 、） ， ＾ｙ ＝ ， 往证 （ 、口 口 亭 烈（ ｚ ＝ ， 女 果 （ ） ＝ ， 且 、 ） ｌ且 ｍ ，ｚ ＝ ， ， （， ） １ 、 恒有 （ 、 ） １ ｚ ＝
由 ｍ ｙ ＝ ， （ 、 ） ｌ且 ｍ（ ｚ ＝ ）１
Ｖ入∈［ １， ０］ ， 都有 点 （，） ， （ 、 ≥Ａ ｘｙ ≥Ａ 旦 ｙＸ）
由垦 是 上 的模 糊等 价关 系 曼 ｃ垦
点 （ 、） 【 ≥ 曼 、 ］ Ｒ （ ）≥垦 （，） ＾ Ｒ （ ） 八 】 ｘｙ 】 ｚ ｊ点 （、） ， ∈［ １ ≥ Ｖ Ｏ］ ，
要建 立 隶属 函数 ， 出隶 属 函数 的表 格就 是 模糊 矩 阵 ， 便 于分 析 和讨 论 模糊 关 系 带来 了方 便 ， 应用 中 列 它 在
通过 模 糊矩 阵来 讨论 模 糊关 系 的 ， 而模 糊关 系 在模 糊分 类 中起 了重 要 作用 。
１ 讨 论模糊 等 价 关 系的性 质
刖 吾
文章 编 号 ： ０ ５ ５ ３ （ ０ ０ Ｏ — ２ — ４ １ ０ — ７ ８ ２ １ ）１ １ １ ０
客 观 的各 事 物之 间 ， 在 不 同 的相 互 联 系 ， 数 学 上 就用 “ 系 ” 为一 种 模 型来 描 写 事 物 之 间 的联 存 在 关 作
系 ， 学 上所 谓关 系讨 论 的 内容 往 往是 抽象 的 。在讨 论模 糊 关 系 之前 ， 数 我们 先从 普 通 关 系说 起 ， 系常 用 关 记号 表 示 ， 如果 没 有关 系 ， 常用 记 号 或 示 。 设有 凡个学 生所 组成 的集 合 ＝ 、 …， ｘ、 ｝ 表 假 ｛ １… 如 果 “ 识 ”则 用 ｘ ｘ表示 ， 种关 系可 以是 “ 识 ” 可 以是其 他 ， 认 ， ｉｊ Ｒ 这 认 也 比如 “ 年 龄 ” “ 同 、同学 ” 等 ， 我 们 只 等 而
第２ ５卷 第 １ 期
２１ ０ ０年 ６月
西藏 大学 学报（ 自然科学版 ）
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｔ Ｂ Ｔ ＵＮＩ ＩＥ ＶＥＲＳ Ｔ ＩＹ
Ｖｏ ．５ Ｎ ． １ ｏ１ ２
Ｊｎ ２ １ ｕ ．００
模 糊 等 价 关 系探 讨
德 吉
（ 萨师范高等专科 学校 西藏拉 萨 ８ ０ ０ ） 拉 ５ ０ ０
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１ ２１ — —
德吉 ： 模糊等价关系探讨
２ 证 明 以上性质
２１首先定 义普 通等价 关 系 ： ． 如果 ｉ Ｖｘ ， （ ） １即 Ｒ 有 自反性 。 ） ∈Ｘ 、 ＝ ． Ｖ Ｙ ， 融 ＝Ｘ ）即 Ｒ 有 对称 性 。 ，∈Ｘ Ｘ 、 融（ ， Ｖｘ ￣∈Ｘ如果 冗 、）ｌＸ ｚ＝ ， ，ｚ ， ｙ ＾ ） ＝ ，融（ ）１恒有 融 、） ｌ （ ， （ ＝ 即 有 传递性 。 所 以要 证 明命 题成 立 ， 只需证 明 风 满 足 以上三 性 。
１ 毽是 上 的一个模糊等价关系 ， Ｒ 具有普通等价关系性。 ． １ 则
１ 垦 是等 价 的模 糊矩 阵 ， Ｖ ∈［， ， 等 价 的布 尔 阵 。 ． ２ 则 Ｏ１ Ｒ 是 １ １ ． 是一 个 等 价 矩 阵 ，则 ） （ ３毽 雹ｒ） 毽 ） （雹 ） （ 毽 ＝ ｉ） ～ ） （毽 ） ｉ）毽 ） （ ） ｉ （Ｒ ｉ ｖ （ 毽