导数计算公式
高中数学导数16个基本公式
高中数学导数16个基本公式高中数学中关于导数的基本公式共有16个。
这些基本公式是高中数学学习中的重点内容，对于理解和应用导数有着重要的作用。
下面将对这16个基本公式逐个进行介绍。
1.基本导数公式：若f(x)可导，则有f'(x)存在。
其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
2.常数函数导数公式：若f(x)=c，其中c为常数，则有f'(x)=0。
3. 幂函数导数公式：若f(x) = x^n，其中n为正整数，则有f'(x)= nx^(n-1)。
4. 正比例函数导数公式：若f(x) = kx，其中k为常数，则有f'(x) = k。
5. 对数函数导数公式：若f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，则有f'(x) = 1/(xln(a))。
6. 指数函数导数公式：若f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，则有f'(x) = a^xln(a)。
7.反函数导数公式：若f(x)和g(x)互为反函数，则有f'(x)=1/g'(f(x))。
8.和差函数导数公式：若f(x)和g(x)可导，则有[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)。
9.积函数导数公式：若f(x)和g(x)可导，则有[f(x)×g(x)]'=f'(x)×g(x)+f(x)×g'(x)。
10.商函数导数公式：若f(x)和g(x)可导，且g(x)不等于0，则有[f(x)/g(x)]'=[f'(x)×g(x)-f(x)×g'(x)]/[g(x)]^211. 复合函数导数公式：若y = f(u)，u = g(x)且f(u)和g(x)可导，则有dy/dx = f'(u) × g'(x)。
12. 对数求导公式：若y = log_a(u)，且u可导，则有dy/dx =1/(xln(a)) × du/dx。
求函数的导数公式
求函数的导数公式函数的导数公式是描述函数在某一点处斜率的一种数学工具，对于一般的函数f(x)，它的导数可以用下面的公式来表示：1.导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)]/h在这个公式中，f(x + h)表示以点(x + h, f(x + h))为端点的割线斜率，f(x)是函数f(x)在点x处的函数值，h表示x + h与x之差，即点(x + h, f(x + h))与点(x, f(x))之间的距离。
这个公式是导数定义的最基本形式，通常用于求解复杂函数的导数。
2.基本求导公式f'(x) = k，k为常数[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)[f(g(x))]’ = f'(g(x))g'(x)f’(x)/g(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2[f(x)]^n = nf'(x)[f(x)]^(n-1)，n为正整数这里列举了一些常用的求导公式。
对于任何由基本函数组成的函数，都可以使用这些公式求其导数。
3.导数的运算法则导数具有很好的运算性质，常用的运算法则有：（1）线性性质：f(x) ±g(x)的导数为f'(x) ±g'(x)，kf(x)的导数为kf'(x)，k为常数。
（2）乘积法则：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（3）商数法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2。
（4）复合函数的求导法则：如果y = f(g(x)),那么y' = f'(g(x))g'(x)。
以上是函数导数的一些基本公式和运算法则。
求导公式大全24个
求导公式大全24个以下是求导公式的一个较为完整的列表，总共有24个：1. 常数函数的导数：$f(x) = C \Rightarrow f'(x) = 0$，其中$C$是常数。
2. 幂函数的导数：$f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1}$，其中$n$是实数。
3. 指数函数的导数：$f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x$。
4. 对数函数的导数：$f(x) = \ln(x) \Rightarrow f'(x) =\frac{1}{x}$，其中$x>0$。
5. 三角函数的导数：$f(x) = \sin(x) \Rightarrow f'(x) =\cos(x)$。
6. 三角函数的导数：$f(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(x) = -\sin(x)$。
7. 三角函数的导数：$f(x) = \tan(x) \Rightarrow f'(x) =\sec^2(x)$。
8. 反三角函数的导数：$f(x) = \arcsin(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，其中$-1 \leq x \leq 1$。
9. 反三角函数的导数：$f(x) = \arccos(x) \Rightarrow f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，其中$-1 \leq x \leq 1$。
10. 反三角函数的导数：$f(x) = \arctan(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$。
11. 反三角函数的导数：$f(x) = \arccsc(x) \Rightarrow f'(x) = -\frac{1}{，x，\sqrt{x^2-1}}$，其中$，x，>1$。
求导公式大全
求导公式大全1、原函数:y=c(c为常数)导数: y'=0导数:y'=nx^(n-1) 3、原函数:y=tanx 导数: y'=1/cos^2x 4、原函数:y=cotx 导数:y'=-1/sin^2x 5、原函数:y=sinx 导数:y'=cosx6、原函数:y=cosx 导数: y'=-sinx7、原函数:y=a^x 导数:y'=a^xlna 8、原函数:y=e^x 导数: y'=e^x导数:y'=logae/x10、原函数:y=lnx导数:y'=1/x求导公式大全整理y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方) f(x)=sinx f'(x)=cosxf(x)=cosx f'(x)=-sinxf(x)=tanx f'(x)=sec^2xf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 xf(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2)f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2)f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1 x^2)高中数学导数学习方法1、多看求导公式，把几个常用求导公式记清楚，遇到求导的题目，灵活运用公式。
2、在解题时先看好定义域，对函数求导，对结果通分，这么做可以让判断符号变的比较容易。
一般常用求导公式
一般常用求导公式在数学中，求导是一项非常重要的运算，它用于计算函数在某一点的导数。
为了方便计算，数学家们总结出了一系列常用的求导公式，能够帮助我们更快速地求出函数的导数。
本文将介绍一般常用的求导公式，并给出相应的解释和使用示例。
一、基本导数法则1. 常数函数导数公式若y = C（C为常数），则y' = 0。
解释：常数函数的导数恒为0，因为其图像是一条水平线，斜率为0。
例如：如果y = 5，那么y' = 0。
2. 幂函数导数公式若y = x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
解释：幂函数的导数可以通过将指数降低1并作为新的指数乘以原指数，得到幂函数的导数。
例如：如果y = x^3，那么y' = 3x^2。
3. 指数函数导数公式若y = a^x（a>0且a≠1），则y' = a^x * ln(a)。
解释：指数函数的导数等于函数的值乘以底数的自然对数。
例如：如果y = 2^x，那么y' = 2^x * ln(2)。
4. 对数函数导数公式若y = lo gₐ(x)（a>0且a≠1），则y' = 1 / (x * ln(a))。
解释：对数函数的导数等于1除以自变量乘以底数的自然对数。
例如：如果y = log₂(x)，那么y' = 1 / (x * ln(2))。
5. 指数对数函数导数公式若y = a^(bx + c)（a>0且a≠1，b和c为常数），则y' = (b * ln(a)) * a^(bx + c)。
解释：指数对数函数的导数等于指数项的系数乘以底数的自然对数，再乘以函数本身。
例如：如果y = 3^(2x + 1)，那么y' = (2 * ln(3)) * 3^(2x + 1)。
二、常用三角函数导数公式1. 正弦函数导数公式若y = sin(x)，则y' = cos(x)。
2. 余弦函数导数公式若y = cos(x)，则y' = -sin(x)。
导数的基本公式表
导数的基本公式表导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点处的变化率。
导数的基本公式是求导的重要工具，下面是导数的基本公式表及其相关参考内容。
1. 基本导数公式：(1) 常数函数导数公式：f(x) = c ，其中 c 为常数，导数为 f'(x) = 0 。
(2) 幂函数导数公式：f(x) = x^n ，其中 n 为常数，导数为 f'(x) = nx^(n-1) 。
(3) 指数函数导数公式：f(x) = a^x ，其中 a 为常数，导数为f'(x) = ln(a)·a^x 。
(4) 对数函数导数公式：f(x) = log_a(x) ，其中 a 为常数，导数为 f'(x) = 1/(ln(a)·x) 。
(5) 三角函数导数公式：正弦函数导数公式：f(x) = sin(x) ，导数为 f'(x) = cos(x) 。
余弦函数导数公式：f(x) = cos(x) ，导数为 f'(x) = -sin(x) 。
正切函数导数公式：f(x) = tan(x) ，导数为 f'(x) = sec^2(x) 。
2. 基本导数法则：(1) 基本求导法则：常数倍法则：[c·f(x)]' = c·f'(x) ，其中 c 为常数。
和差法则：[f(x)±g(x)]' = f'(x)±g'(x) 。
乘法法则：[f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x) 。
除法法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)]/g^2(x) ，其中g(x) ≠ 0 。
(2) 链式法则：若 y = f(g(x)) ，则 y' = f'(g(x))·g'(x) 。
求导公式总结
求导公式总结
求导公式是微积分中非常重要的一部分，它们可以用于计算函数的导数，帮助我们解决各种问题。
以下是一些常用的求导公式：
1. 常数函数的导数为0
2. 幂函数的导数为其指数乘以系数，即f(x)=ax^n，则
f'(x)=anx^(n-1)
3. 指数函数的导数为其自身乘以常数，即f(x)=a^x，则
f'(x)=a^x * ln(a)
4. 对数函数的导数为其自变量的倒数，即f(x)=ln(x)，则
f'(x)=1/x
5. 三角函数的导数为其导数的周期性函数，即f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)，f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)
6. 反三角函数的导数为其导函数的形式，即f(x)=arcsin(x)，则f'(x)=1/√(1-x^2)
这些公式只是求导公式中的一小部分，但它们是最基本和最常用的公式之一。
理解和熟练掌握这些公式可以帮助我们更好地解决各种求导问题。
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高等数学常用导数公式大全
高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。
导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。
本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。
常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。
2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。
3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。
4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。
5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。
6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。
高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。
隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。
常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。
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导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1x ；(5)y ＝f (x )＝x .问题：上述函数的导数是什么？提示：（1）∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝0.2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x. 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x 12)′＝12x112－＝12x，∴(x α)′＝αx α－1.基本初等函数的导数公式二、导数运算法则已知f (x )＝x ，g (x )＝1x .问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x 的导数． 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )，∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1x 2.问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？ 提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)题型一 利用导数公式直接求导[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 21log =；(4)y ＝4x 3；(5)12cos 2sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y .[解](1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10；(3)y ′＝1x ln 12＝－1x ln 2；(4)y ′＝(4x 3)′＝344x ；(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .练习 求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x ；(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln 1010x ＝－10－x ln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0； (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10；(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二 利用导数的运算法则求函数的导数 [例2] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sinx 2cos x 2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.练习 求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x 2.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2.(2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x .(3)∵y ＝(1＋x )21－x＋(1－x )21－x＝2＋2x1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3.题型三 导数几何意义的应用[例3] (1)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．[解析] (1)y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．(1)5x ＋y ＋2＝0 (2)(2,1)练习 若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，∵曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：11.切线方程的求法[典例]已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．[解]由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.故所求切线方程为y－1＝(3a－3)(x－1)，即3(a－1)x－y＋4－3a＝0.一、已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x＋4y＋1＝0垂直的曲线f(x)＝2x2－1的切线方程．解：所求切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝4x0＝4，即x0＝1.所以切点坐标为(1,1)．故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.二、已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝3x2－2，所以f′(x0)＝3x20－2，且y0＝f(x0)＝x30－2x0.所以切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．因为切线过点(1，－1)，故－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)·(1－x 0) 即2x 30－3x 20＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12，故所求切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. 三、已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程．解：由题意知点A (0,16)不在曲线f (x )＝x 3－3x 上，设切点坐标为M (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝3x 20－3，故切线方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)． 又点A (0,16)在切线上，所以16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2，即切点为M (－2，－2)， 故切线方程为9x －y ＋16＝0.课后练习1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ； ②⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3； ③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： (cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x4＝－2x －3，所以③错误； ⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x12－x＝12x32－＝12x x， 所以④正确．答案：B2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2xB ．y ′＝cos 2x －sin 2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析： y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x .3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.答案：14．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.解析：y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案：－6 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝1＋cos xx 2； (3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．解：(1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (2)y ′＝(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4＝－x sin x －2cos x －2x 3.(3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ，∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.。