离散数学 例题分析共37页
离散数学课后习题及答案
离散数学课后习题及答案离散数学是计算机科学与数学的重要基础课程之一，它涵盖了很多重要的概念和理论。
为了更好地掌握离散数学的知识，课后习题是必不可少的一部分。
本文将介绍一些常见的离散数学课后习题，并提供相应的答案，希望对读者有所帮助。
一、集合论1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}2. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∪B)∩C的结果。
答案：(A∪B)∩C={3,4}二、逻辑与命题1. 判断下列命题的真假：a) 若2+2=5，则地球是平的。
b) 若今天下雨，则我会带伞。
c) 若x>0，则x^2>0。
答案：a)假，b)真，c)真。
2. 用真值表验证下列命题的等价性：a) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)b) p→q ≡ ¬p∨q答案：a)等价，b)等价。
三、关系与函数1. 给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，求R的逆关系R^-1。
答案：R^-1={(2,1),(3,2),(4,3)}2. 设函数f(x)=x^2，g(x)=2x+1，求复合函数f(g(x))的表达式。
答案：f(g(x))=(2x+1)^2=4x^2+4x+1四、图论1. 给定图G，其邻接矩阵为：0 1 11 0 11 1 0求图G的度数序列。
答案：度数序列为(2,2,2)2. 判断下列图是否为连通图：a) G1的邻接矩阵为：0 1 11 0 01 0 0b) G2的邻接矩阵为：0 1 01 0 10 1 0答案：a)不是连通图，b)是连通图。
五、组合数学1. 从10个不同的球中，任选3个，求共有多少种选法。
答案：C(10,3)=120种选法。
2. 求下列排列的循环节：a) (123)(45)(67)b) (12)(34)(56)(78)答案：a)循环节为(123)(45)(67)，b)循环节为(12)(34)(56)(78)。
离散数学习题答案及解析_2
离散数学习题答案习题一1、利用逻辑联结词把下列命题翻译成符号逻辑形式（1）他既是本片的编剧,又是导演--- P∧ Q（2）银行利率一降低,股价随之上扬--- P→ Q（3）尽管银行利率降低,股价却没有上扬--- P∧ Q（4）占据空间的、有质量而且不断变化的对象称为物质--- M ←→<S∧P∧T> （5）他今天不是乘火车去北京,就是随旅行团去了九寨沟 --- P▽ Q（6）小张身体单薄,但是极少生病,并且头脑好使--- P∧ Q ∧ R（7）不识庐山真面目,只缘身在此山中--- P→ Q〔解释：因为身在此山中,所以不识庐山真面目（8）两个三角形相似,当且仅当他们的对应角相等或者对应边成比例--- S ←→<E∨T>（9）如果一个整数能被6整除,那么它就能被2和3整除。
如果一个整数能被3整除,那么它的各位数字之和也能被3整除解：设 P –一个整数能被6整除Q –一个整数能被2整除 R –一个整数能被3整除S –一个整数各位数字之和能被3整除翻译为：〔P→〔Q ∧ R∧〔R→ S2、判别下面各语句是否命题,如果是命题,说出它的真值〔1BASIC语言是最完美的程序设计语言--- Y,T/F〔2这件事大概是小王干的--- N〔3x2 = 64 --- N〔4可导的实函数都是连续函数--- Y,T/F〔5我们要发扬连续作战的作风,再接再厉,争取更大的胜利--- N〔6客观规律是不以人们意志为转移的--- Y,T〔7到2020年,中国的国民生产总值将赶上和超过美国--- Y,N/A〔8凡事都有例外--- Y,F3、构造下列公式的真值表,并由此判别哪些公式是永真式、矛盾式或可满足式〔1〔P∨〔～P∧ Q→ Q〔2~〔4表略：〔2可满足式、〔3永真式、〔4可满足式4、利用真值表方法验证下列各式为永真式〔1~〔8略5、证明下列各等价式〔3P→〔Q∨ R⇔〔P→ Q∨〔P→ R证明：左式⇔～P∨Q∨ R⇔～P∨Q∨～P∨ R⇔〔～P∨Q∨〔～P∨ R⇔〔P→ Q∨〔P→ R⇔右式〔4〔P∧ Q∨〔R∧ Q∨〔R∧ P⇔〔P∨ Q∧〔R∨ Q∧〔R∨ P证明：左式⇔<〔P∨R∧ Q∨〔R∧ P⇔<〔P∨R∨R>>∧<〔P∨R∨P>>∧〔Q∨R∧〔Q∨P⇔〔P∨ Q∧〔R∨ Q∧〔R∨ P⇔右式6、如果P∨ Q ⇔ Q∨R,能否断定 P ⇔ R ？如果P∧ Q ⇔ Q∧R,能否断定 P ⇔ R？如果～P ⇔～R,能否断定 P ⇔ R？解：〔1如果P∨ Q ⇔ Q∨R,不能判断P ⇔ R,因为如果 Q = P∨ R, 那么P∨ Q⇔P ∨P∨ R ⇔ Q∨R,但P可以不等价于R.〔2如果P∧ Q ⇔ Q∧R,不能判断P ⇔ R,因为如果 Q = P∧ R, 那么P∧ Q⇔P ∧P∧ R ⇔ Q∧R,但P可以不等价于R.〔3如果～P ⇔～R,那么有P ⇔ R,因为～P ⇔～R,则～P <-> ～R为永真式,及有P <-> R为永真式,所以P ⇔ R.8、把下列各式用↑等价表示出来〔1<P∧Q>∨～P解：原式⇔ <<P↑Q>↑<P↑Q>>∨<P↑P>⇔ <<<P↑Q>↑<P↑Q>>↑<<P↑Q>↑<P↑Q>>>↑<<P↑P>↑<P↑P>>9、证明：{ ～→}是最小功能完备集合证明: 因为{～,∨}是最小功能完备集合,所以,如果{ ～→}能表示出∨,则其是功能完备集合。
离散数学 习题问题详解
离散数学 习题 参考答案1、构造公式(p ∧q)∨ (¬p ∧¬q)、p↔q 的真值表。
2、构造公式¬(p ∨q)与¬p ∧¬q 的真值表。
3、构造公式 p 、p ∧p 、p ∨p 的真值表。
4、构造公式 p ∨(q ∧r)、(p ∨q)∧(p ∨r)的真值表。
5、构造公式 p ∨(p ∧r)、p 的真值表。
6、构造公式 p ∧(p ∨r)、p 的真值表。
7、构造公式 p↔q 、¬q↔¬p 的真值表。
8、构造公式(p→q)∧(p→¬q)、¬p 的真值表。
9、构造公式 p 、¬¬p 的真值表。
10、构造公式 p ∨¬p 、p ∧¬p 的真值表 略一、分别用等算演算与真值表法，判断下列公式是否存在主析取式或主合取式，若有，请写出来。
(1)(¬p→q)→(¬q ∨p) (2)(¬p→q)→(q ∧r)(3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r) (4) ¬(q→¬p)∧¬p (5)(p ∧q)∨(¬p ∨r) (6)(p→(p ∨q))∨r (7)(p ∧q)∨r(8) (p→q)∧(q→r) (9) (p ∧q)→q (10) ¬(r↔p)∧p ∧q存在主析取式=成真赋值对应的小项的析取 =m 00∨m 10∨m 11=(¬p ∧¬q)∨(p ∧¬q)∨(p ∧q)主析取式=成假赋值对应的大项的合取 =M 01=p ∨¬q等值演算：(¬p→q)→(¬q ∨p) ⇔¬ (¬¬p ∨q)∨(p ∨¬q) ⇔¬ (p ∨q)∨(p ∨¬q) ⇔ (¬p ∧¬q)∨(p ∨¬q) ⇔ (¬p ∨(p ∨¬q))∧(¬q ∨(p ∨¬q)) ⇔ (¬p ∨p ∨¬q)∧(¬q ∨p ∨¬q) ⇔ (1∨¬q)∧(p ∨¬q) ⇔ (p ∨¬q)这是大项，故为大项的合取，称为主合取式(¬p→q)→(¬q ∨p) ⇔ (p ∨¬q) ⇔ (p)∨(¬q) ⇔ (p ∧1)∨( 1∧¬q)⇔ (p ∧(q ∨¬q))∨( (p ∨¬p)∧¬q) ⇔ (p ∧q)∨ (p ∧¬q)∨(p ∧¬q)∨(¬p ∧¬q) ⇔ (p ∧q)∨ (p ∧¬q)∨(¬p ∧¬q)因为一个公式的值不是真，就是假，因此当我们得到一个公的取值为真的情况时，剩下的组合是取值为假， 因此当得到小项的析取组成的主析取式后，可以针对剩下的组合写出主合取式。
离散数学应用题总结分类及经典例题
离散数学应用题总结分类及经典例题一、命题逻辑1. 命题逻辑基本概念和运算规则- 命题、命题公式、真值表- 与、或、非、异或运算- 逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑等值、逻辑与式、逻辑析式等概念2. 命题公式的简化和合取范式- 联结词的法则与性质- 逻辑表达式的简化- 布尔函数的合取范式3. 命题逻辑的演绎推理- 推理规则：假言推理、析取引入、逆否命题引入等- 短路原理和证明方法二、谓词逻辑1. 一阶逻辑的基本概念- 常量、变量、函数、谓词、连接词- 全称量词、存在量词- 函数与数学归纳法2. 谓词公式的形式化定义和语义解释- 语义解释和真值表- 等值逻辑、矢列逻辑3. 谓词逻辑的演绎推理和运算规则- 等效变换和替换规则- 归结演算和合一术- 基本规则和证明方法三、图论与树1. 图的基本概念和性质- 顶点、边、路径、圈- 连通图、欧拉图、哈密顿图- 对偶图、平面图、可平面图2. 图的数据结构和遍历算法- 图的表示方法与存储结构- 广度优先搜索、深度优先搜索- 最小生成树和最短路径算法3. 树的基本概念和性质- 根节点、叶节点、子树、森林- 二叉树、平衡二叉树、哈夫曼树- B树、B+树4. 树的应用- 排序算法：二叉排序树、AVL树、红黑树- 堆、优先队列四、组合数学1. 排列与组合的基本概念- 排列、组合、幂集、二项式系数- 齐次线性递推关系2. 容斥原理和抽屉原理- 容斥原理的应用- 抽屉原理的应用3. 连通图的计数- 生成函数的定义和使用- 应用实例分析五、图的着色与平面分区1. 图的着色问题- 四色定理和五色定理- 补图和可着色图- 哈密顿图和Hamilton回路2. 平面分区问题- 固定多边形的划分- 平面图的着色问题六、离散数学在计算机科学中的应用1. 逻辑电路设计- 逻辑门电路- 布尔代数和真值表2. 算法设计与分析- 递归算法、回溯算法、动态规划等- 时间复杂度和空间复杂度这份文档总结了离散数学的应用题，并对每个分类进行了简要介绍和例题演示。
离散数学习题解答)
离散数学习题解答-（)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ第七章图7.1 图的基本知识定义８.8设图G＝<V，Ｅ，Ψ >(１）Ｇ－e表示对G作删除边e的运算，Ｇ－e =<Ｖ,E’，Ψ’>，其中E’＝Ｅ-｛ｅ｝,Ψ’= Ψ↑E’。
（2）G-v表示对G作删除顶点v的运算，G－ｖ= <V’,Ｅ’,Ψ’>，其中V’= V-{v}，E’＝E-{e |e以v为端点}，Ψ’＝Ψ↑E’。
（３）边e切割运算。
设Ｇ中Ψ (e) =(u,v)，对G作边ｅ切割得G’＝<Ｖ’，E’，Ψ’>，其中，Ｖ’＝V⋃{v’｝,E’= (E-｛e}）⋃{e１,ｅ2}，Ψ’= （Ψ-{<e,(u,ｖ)>})⋃{<e1, (u,ｖ’）＞,<e2,(v’,v）>}(４)顶点v贯通运算。
设Ｇ中顶点ｖ恰为边e1,ｅ２的端点,且Ψ (e1) ＝(u,v)，Ψ（e2) =（ｗ，v)。
对G作顶点ｖ贯通得G’=<V’，E’，Ψ’>,其中V’=V-｛ｖ},Ｅ’＝(E－｛e1,ｅ2｝)⋃{e}, Ψ’=( Ψ－{<ｅ1,(u,v)>，<e2，(w，v）＞})⋃{＜e, (u,ｗ)>}。
切割与贯通是互逆的,两者常被称为同胚运算。
定义8.９设G1＝<V１，E1,Ψ1>,Ｇ2=<V2，E2，Ψ2>为两个图，称Ｇ1与G２同构(isomorphic),如果存在双射ｆ:Ｖ1→V2,双射g：E1→Ｅ２，使得对每一边ｅ∈Ｅ1, Ψ1(ｅ)＝(u,ｖ）（或<u,ｖ>)当且仅当Ψ2（g(e)) = (f(u），f(v))(或＜f（u)，ｆ(v)>) 当限于讨论简单图时,可以用顶点的偶对表示边,即当Ψ(e)＝(ｕ,v)时，边e用(u,v)来表示。
离散数学答案解析
离散数学1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( B ) 种不同的关系。
[A] 3[B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ D ）。
[A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,83、若X 是Y 的子集，则一定有（D ）。
[A]X 不属于Y [B]X ∈Y[C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X4、下列关系中是等价关系的是（ C ）。
[A]不等关系 [B]空关系[C]全关系 [D]偏序关系5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ C ）。
[A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象[C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ C ）。
[A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ B ）。
[A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个8、一个连通图G 具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过图中每边仅一次回到该结点（ A ）。
[A] G 没有奇数度结点[B] G 有1个奇数度结点 [C] G 有2个奇数度结点[D] G 没有或有2个奇数度结点 9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是（ B ）。
[A] G 中有幺元 [B] G 中么元是唯一的[C] G 中任一元素有逆元 [D] G 中除了幺元外无其他幂等元10、令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）[A] p →┐q [B] p ∨┐q[C] p ∧q [D] p ∧┐q11、设图G=<V,E>的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={<v1,v2>,<v1,v3>}.则G 的割（点）集是（ A ）。
离散数学习题及解答
离散数学习题及解答作业题与解答第⼀章19 (2)、(4) 、(6)21 (1)、(2) 、(3)19、(2)解答: (p→┐p)→┐q 真值表如下:所以公式(p→┐q)→┐q 为可满⾜式19、(4)解答: (p→q)→(┐q→┐p) 真值表如下:所以公式(p→q)→(┐q→┐p)为永真式19、(6)解答: ((p→q)∧(q→r))→(p→r) 真值表如下:所以公式((p→q)∧(q→r))→(p→r)为永真式21、(1)解答: ┐(┐p∧q)∨┐r 真值表如下:所以成假赋值为:01121、(2)解答: (┐q∨r)∧(p→q)真值表如下:所以成假赋值为:010,100,101,11021、(3)解答: (p→q)∧(┐(p∧r)∨p)真值表如下:所以成假赋值为:100,101第⼆章5、(1) (2) (3) 6、(1) (2) (3) 7、(1) (2) 8、(1) (2) (3) 5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值(1) (┐p→q)→(┐q∨p)┐(┐p→q) ∨(┐q∨p)┐(┐(┐p) ∨q) ∨(┐q∨p)(┐p ∧┐q) ∨(┐q∨p)(┐p ∧┐q) ∨(p ∧┐q)∨(p ∧q)所以00，10，11 为成真赋值。
(2) (┐p→q)∧(q∧r)(┐┐p∨q)∧(q∧r)(p∨q)∧(q∧r)(p∧q∧r)∨(q∧r)(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)m3∨m 7，所以011，111 为成真赋值。
(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)┐(p∨(q∧r))∨(p∨q∨r)(┐p∧(┐q∨┐r))∨(p∨q∨r)(┐p∧┐q)∨(┐p∧┐r)∨(p∨q∨r)(┐p∧┐q)∨((┐p∧┐r)∨(p∨q∨r))(┐p∧┐q)∨((┐p∨p∨q∨r)∧(┐r∨p∨q∨r) )(┐p∧┐q)∨(1∧1)(┐p∧┐q)∨11m0∨m1∨m 2∨m3∨m4∨m5∨m 6 ∨m 7，所以000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 为成真赋值。
《离散数学1-7习题解答
p q r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
¬p ∧ ¬q ∨ p∧r 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
2.4. 用等值演算法证明下面等值式: (1) p⇔ (p∧q) ∨ (p∧¬q) (3) ¬ (p↔q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) (4) (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) (1) (p∧q) ∨ (p∧¬q) ⇔ p ∧ (q¬∨q) ⇔ p ∧ 1 ⇔ p. (3) ¬ (p↔q)
4
(1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→¬q) →¬q (3) ¬ (q→r) ∧r (4)(p→q) → (¬q→¬p) (5)(p∧r) ↔ ( ¬p∧¬q) (6)((p→q) ∧ (q→r)) → (p→r) (7)(p→q) ↔ (r↔s)
离散数学习题解 (1), (4), (6)为重言式. (3)为矛盾式. (2), (5), (7)为可满足式. 1.20． 1.21． 1.22． 1.23． 1.24． 1.25． 1.26． 1.27． 1.28． 1.29． 1.30． 1.31． 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 将下列 命题符号化, 并给出各命题的 真值:
5
(1)若 3+＝4, 则地球是静止不动的. (2)若 3+2＝4, 则地球是运动不止的. (3)若地球上没有树木, 则人类不能生存. (4)若地球上没有水, 则 3 是无理数. (1)p→q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球静止不动, 真值为 0. (2)p→q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球运动不止, 真值为 1. (3) ¬p→¬q, 其中, p: 地球上有树木, q: 人类能生存, 真值为 1. (4) ¬p→q, 其中, p: 地球上有水, q: 3 是无理数, 真值为 1.