离散数学例题整理
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、选择题1. 设A、B、C为三个集合，下列哪个式子是成立的？A) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)B) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)C) \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup (A \cup C)\)答案：B2. 对于一个有n个元素的集合S，S的幂集中包含多少个元素？A) \(n\)B) \(2^n\)C) \(2 \times n\)答案：B二、判断题1. 对于两个关系R和S，若S是自反的，则R ∩ S也是自反的。
答案：错误2. 若一个关系R是反对称的，则R一定是反自反的。
答案：正确三、填空题1. 有一个集合A，其中包含元素1、2、3、4和5，求集合A的幂集的大小。
答案：322. 设a和b是实数，若a \(\neq\) b，则a和b之间的关系是\(\__\_\)关系。
答案：不等四、解答题1. 证明：如果关系R是自反且传递的，则R一定是反自反的。
解答：假设关系R是自反的且传递的，即对于集合A中的任意元素x，都有(x, x) ∈ R，并且当(x, y) ∈ R和(y, z) ∈ R时，(x, z) ∈ R。
反证法：假设R不是反自反的，即存在一个元素a∈A，使得(a, a) ∉ R。
由于R是自反的，所以(a, a) ∈ R，与假设矛盾。
因此，R一定是反自反的。
答案完整证明了该结论。
2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和B的笛卡尔积。
解答：集合A和B的笛卡尔积定义为{(a, b) | a∈A，b∈B}。
所以，集合A和B的笛卡尔积为{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。
(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
【离散数学】知识点及典型例题整理
【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。
【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。
【Abel群/交换群】·适合交换律。
可能不只有两个元素适合x2=1【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。
【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。
单位子群{1}和G称为平凡子群。
【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。
a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。
若G的元数是一个质数，则G必是循环群。
n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。
共有ϕ（n）个。
【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）}【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。
H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。
任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。
求右陪集：H本身是一个；任取a∉H而求aH又得到一个；任取b∉H∪aH而求bH又一个。
G=H∪aH∪bH∪…【正规子群】G中任意g，gH=Hg。
（H=gHg-1对任意g∈G都成立）Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。
1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。
2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。
3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。
证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。
故Ha=aH。
4G的任意多个子群的交集是G的子群。
并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。
5 H是G的子群。
《离散数学》典型例题
《离散数学》典型例题一、选择题1. 图1哈斯图所示的偏序集为格的是（）。
2. 设有无向图如图2，则（）是一条哈密顿回路。
A．gabcdefg B．abcdefg C．cfabcdeg D．efgabcd3. 哪个顶点可成为图3的割点？（）A. aB. bC. cD. d4. 图4中（）是欧拉图。
5.下列（）是满2元树。
二、填空题1. 设A={1,2},B={2,3},C={a,b,c}，则|(A∪B)×C|=______________________________。
2．无向完全图Kn的边数为_______________ 。
3. 给定A={1,2,3,4}，A上的关系R={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}满足的性质是_________________________。
4. 设A ={a,b,c }，F 是A 上的二元关系，F ={<a,a >,<b,b >,<c,c >}，则其自反闭包为r (F )=______________________________。
5. 设A 和B 是有穷集合，|A |=m ，|B |=n ，A 到B 有_______多少个不同一对一映射。
三、判断题1．每个正整数都可以唯一地表示为素数的乘积。
（ ）2．集合X 上的关系R 如果是自反的、反对称的、传递的则称此关系为相容关系。
（ ）3．一条基本回路一定是简单回路，但一条简单回路不一定是基本回路。
（ ）4．树是不包含回路的连通图，在（n ，m ）树中必有m=n+1（ ）5．一个有限群<G ，*>的阶n 一定被它的任一个子群的阶m 所等分。
（ ）四 、综合题1． 求公式(～P →Q) →(Q →～P)的主析取范式和主合取范式。
2. 6个人一起吃饭，围绕圆桌就餐，有多少种就座方式？如果要从4种不同的菜系中点足6道菜，问有多少种点法？3. 一个面包店里有5种不同口味的面包，要挑选8个面包，并且至少有2个奶油味面包和不超过2个咸味面包。
离散数学试题总汇及答案
离散数学试题总汇及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合{1, 2, 3, 4}中，子集{1, 2}的补集是（）。
A. {3, 4}B. {1, 3, 4}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：A2. 命题“若x > 0，则x² > 0”的逆否命题是（）。
A. 若x² ≤ 0，则x ≤ 0B. 若x² > 0，则x > 0C. 若x ≤ 0，则x² ≤ 0D. 若x² ≤ 0，则x < 0答案：C3. 函数f(x) = x² + 2x + 1的值域是（）。
A. {x | x ≥ 0}B. {x | x ≥ 1}C. {x | x ≥ 2}D. {x | x ≥ -1}答案：B4. 以下哪个图是无向图（）。
A. 有向图B. 无向图C. 有向树D. 无向树答案：B5. 以下哪个图是二分图（）。
A. 完全图B. 非完全图C. 任意两个顶点都相连的图D. 任意两个顶点都不相连的图答案：C6. 以下哪个是哈密顿回路（）。
A. 经过每个顶点恰好一次的回路B. 经过每个顶点至少一次的回路C. 经过每个顶点恰好两次的回路D. 经过每个顶点至少两次的回路答案：A7. 以下哪个是欧拉回路（）。
A. 经过每条边恰好一次的回路B. 经过每条边至少一次的回路C. 经过每条边恰好两次的回路D. 经过每条边至少两次的回路答案：A8. 以下哪个是二进制数（）。
A. 1010B. 1020C. 1102D. 1120答案：A9. 以下哪个是格雷码（）。
A. 0101B. 1010C. 1100D. 1110答案：B10. 以下哪个是素数（）。
A. 4B. 6C. 7D. 8答案：C二、填空题（每题2分，共20分）11. 集合{1, 2, 3}与{2, 3, 4}的交集是______。
答案：{2, 3}12. 命题“若x > 0，则x² > 0”的逆命题是：若x² > 0，则______。
离散数学——精选推荐
1.设G有16条边，有三个四度顶点，四个三度顶点，其余顶点的度数都小于3，问G中至少有几个顶点？答：总度数=16*2=323*4+4*3=24（32-24）/2=4 至少有3+4+4=11至少有11个顶点2．设9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就是6，证明G中至少有5个六度定点或者至少有6个5度顶点证明，因为：4*6+5*5=24+25=49不可能，所以当n6<4 时，n5>=6 满足条件当n6>=5时，满足条件得证3.空间不可能存在奇数个面而且每个面均有奇数条棱的多面体答：假如有奇数个面n 每个面都有奇数个棱mi(I=1,2,…n)，那么m1+m2+…+mn= D mi为奇数，n奇数，所以D为奇数但对于上式来说，每条棱都记了两次，那么D=2*(总棱数) 为偶数矛盾所以空间不可能存在奇数个面而且每个面均有奇数条棱的多面体4.在一次象旗比赛中，任意两个选手之间至多只下一盘棋，又每个人至少下一盘，证明总能找到两名选手，他们下过的盘数是相同的证明：建一个图的模型：每个选手相当于图的顶点，选手下的盘数相当于顶点得度数，两个选手的对局相当于两个顶点的边，已知顶点的度数是1----n-1, 选手有n个，根据鸽巢原理可知，比存在两个顶点的度数相同，也就是总能找到两名选手，他们下过的盘数是相同的。
5.设n阶无向简单图G为3次图(3-正则图)，边数m和n满足以下关系2n-3=m问G有几种非同构的情况？并证明你的结论解：3n=2m 2n-3=m => n=6 m=9所以G是6阶3正则图.设G1，G2均为无向简单图，G1同构于G2 等价于G1的补图同构于G2的补图。
所以可知有两种同构的情况6．下面给出的两个整数列，哪个是可图化的，对于可图化的请至少给出三个非同构的图1）d=(1,2,2,4,4,5) 可图化2）d=(1,1,2,2,3,3,5) 不可图化非同构的图，赫赫在BBS上没法画！7.判断下列三个整数列中哪些是可以简单图化的？对于可简单图化的试给出两个非同构的图.1)(6,6,5,5,3,3,2)(6,6,5,5,3,3,2)<=>(5,4,4,2,2,1)<=><3,3,1,1,0)<=>,<2,0,0,0> 显然不可以简单图化2）（5，3，3，2，2，1）<=>(2,2,1,1,0)<=>(1,0,1,0) 显然可以简单图化(赫赫，图在BBS没法画)3）（3，3，2，2，2，2）<=>(2,1,1,2,2)（不符合定理的条件,可先调整顶点次序）<=>(2,2,2,1,1)(根据课本例题）<=>(1,1,1,1)显然（1，1，1，1）是可简单图化的8.9题（略）大家一定要画呀，挺好的一道题呀！！！10,现有5个4阶的无向简单图，他们均有3条边，证明这5个图中至少有两个是同构的证明:可以得知，这样的非同构的图有3个，所以得证(图省略)11.设G为n阶自补图，证明n=4k或者n=4k+1其中k为正整数。
离散数学习题整合
离散数学习题整合CH01复习题§1.21. 命题判断（每空1分，共4分）1.1~1.3P32-A ⼩李和⼩王是同班同学B ⼩猪不是鲜花C 3-2n<0D 若2+2=4，则太阳从西⽅升起。
上述语句中，是简单命题，不是命题，是符合命题且真值为假，是符合命题且真值为真。
（参考答案：ACDB ）2. 命题符号化（每空2分，共4分）习题1.5(7)(3) P32-p ：天下⼤⾬，q ：他乘公共汽车去上班，命题“除⾮天下⼤⾬，否则他不乘公共汽车去上班”可符号化为。
（参考答案：q →p 必要条件为后件）r ：天很冷，s ：⽼李来了，命题“虽然天很冷，⽼李还是来了” 可符号化为。
（参考答案r ∧s ）3. 五个真值表（每空2分，共4分）习题1.6(2)(4) P32-设p 的真值为0，r 的真值为1，q 、s 都是命题，则命题公式（)()（s q r p ∨?∧?的真值为，命题公式)()))((（s r p r q p ?∨→?∧→∨?的真值为。
（参考答案：0,1）4. ⽤符号p 、q 填空。
（每空1分，共4分）基本概念设p ：x>0（其中x 是整数），q ：太阳从西⽅升起，则是命题，是命题变项，是命题常项，不是命题。
（参考答案：q ，p ，q ，p ）5. 命题符号化，相容或与排斥或设r ：现在⼩李在图书馆，s ：现在⼩李在学⽣宿舍，则“现在⼩李在图书馆或学⽣宿舍”可符号化为。
（参考答案：B ）A r ∨sB (r ∧?s)∨(?r ∧s)C r ∧sD (r ∧?s)或(?r ∧s)§1.2 命题公式及分类已知：A 是含三个命题变项的命题公式，且A(001)=0，A(100)=1，则A 是。
（D ）A ⽭盾是B 可满⾜式C 重⾔式D ⾮重⾔式的可满⾜式§1.3 等值演算⽤等值演算法证明等值式：(p ∧q)→rp →(q →r). (演算的每⼀步都要写依据)§1.4 范式6. A(p,q)的真值表求A 的永主析取范式、主合取范式、成真赋值和成假赋值。
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第一章定律证明:(1) A⋃B=B⋃A (交换律)证∀x x∈A⋃B⇒ x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A⇒ x∈B⋃A得证A⋃B⊆B⋃A.同理可证B⋃A⊆A⋃B.(2) A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C) (分配律)证∀x x∈A⋃(B⋂C)⇒ x∈A或(x∈B且x∈C )⇒(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C)⇒x∈(A⋃B)⋂(A⋃C)得证A⋃(B⋂C)⊆(A⋃B)⋂(A⋃C).类似可证(A⋃B)⋂(A⋃C)⊆A⋃(B⋂C).(3) A⋃E=E (零律)证根据并的定义, 有E⊆A⋃E.根据全集的定义, 又有A⋃ E⊆E.(4) A⋂E=A (同一律)证根据交的定义, 有A⋂E⊆A.又, ∀x x∈A,根据全集E的定义,x∈E, 从而x∈A且x∈E,⇒x∈A⋂E得证A⊆A⋂E.例4 证明A⋃(A⋂B)=A（吸收律）证利用例3证明的4条等式证明A⋃(A⋂B)= (A⋂E)⋃(A⋂B) (同一律)= A⋂(E⋃B) (分配律)= A⋂(B⋃E) (交换律)= A⋂E (零律)= A (同一律)例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证(A-C)-(B-C)= (A ⋂~C) ⋂ ~(B ⋂ ~C) (补交转换律)= (A ⋂~C) ⋂ (~B ⋃ ~~C) (德摩根律)= (A ⋂~C) ⋂ (~B ⋃ C) (双重否定律)= (A ⋂~C⋂ ~B)⋃(A ⋂~C⋂ C) (分配律)= (A ⋂~C⋂ ~B)⋃(A ⋂∅) (矛盾律)= A ⋂~C⋂ ~B (零律,同一律)= (A ⋂~B) ⋂ ~C (交换律,结合律)= (A – B) –C (补交转换律)例6 证明(A⋃B)⊕(A⋃C)= (B⊕C) - A证(A⋃B)⊕(A⋃C)=((A⋃B) - (A⋃C))⋃((A⋃C) - (A⋃B))=((A⋃B)⋂~A⋂~C)⋃((A⋃C)⋂~A⋂~B)= (B⋂~A⋂~C)⋃(C⋂~A⋂~B)=((B⋂~C)⋃(C⋂~B))⋂~A=((B-C)⋃(C-B))⋂~A= (B⊕C) - A例7 设A,B为任意集合, 证明:若A⊆B, 则P(A)⊆P(B)证∀x x∈P(A) ⇔x⊆A⇒x⊆B (已知A⊆B)⇔x∈P(B)例8 证明A⊕B=A⋃B-A⋂B.A⊕B=(A⋂~B)⋃(~A⋂B)=(A⋃~A)⋂(A⋃B)⋂(~B⋃~A)⋂(~B⋃B)=(A⋃B)⋂(~B⋃~A)=(A⋃B)⋂~(A⋂B)=A⋃B-A⋂B直接法若n是奇数, 则n2也是奇数.假设n是奇数, 则存在k∈N, n=2k+1.于是n2 = (2k+1)2 = 2(2k2+2k)+1得证n2是奇数.间接法若n2是奇数, 则n也是奇数.只证:若n是偶数, 则n2也是偶数.假设n是偶数, 则存在k∈N, n=2k.于是n2 = (2k)2= 2(2k2)得证n2是偶数.归谬法若A-B=A, 则A⋂B=∅证用归谬法, 假设A⋂B≠∅, 则存在x,使得x∈A⋂B ⇔x∈A且x∈B⇒x∈A-B且x∈B(A-B=A)⇔ (x∈A且x∉B)且x∈B⇒x∉B且x∈B, 矛盾构造性对每正整数n, 存n个连的正合数. 证令x=(n+1)! +1考虑如下n个连续正整数：x+1, x+2,…, x+n，对于i（i=1,2,3,…,n），x+i=(n+1)! +(1+i),此式含有因子1+i，而1+i不等于1也不等于x+i，因此x+i是合数。
所以x+1, x+2,…,x+n是n个连续的正合数。
非构造性对每个正整数n, 存在大于n的素数.令x等于所有小于等于n的素数的乘积加1,则x不能被所有小于等于n的素数整除.于是, x或者是素数, 或者能被大于n的素数整除.因此,存在大于n的素数.数学归：对所有n≥1, 1+3+5+ … +(2n-1)=n2归纳基础. 当n=1时, 1=12, 结论成立.归纳步骤. 假设对n(n≥1)结论成立,则考虑n+1的情况有1+3+5+ … +(2n-1)+(2n+1)=n2 +(2n+1) = (n+1)2得证当n+1时结论也成立.第二数学归任>=2的整数均可表成素数的乘积证归纳基础. 对于2, 结论显然成立.归纳步骤. 假设对所有的k(2≤k≤n)结论成立, 要证结论对n+1也成立. 若n+1是素数, 则结论成立; 否则n+1=ab, 2≤a,b<n. 由归纳假设, a,b均可表成素数的乘积, 从而n+1 也可表成素数的乘积. 得证结论对n+1成立.命题为假的证明——举反例例11 证明下述命题不成立:若A⋂B=A⋂C, 则B=C.证明反例: 取A={a,b}, B={a,b,c}, C={a,b,d},有A⋂B=A⋂C = {a,b}但B≠C, 故命题不成立.第二章例3 证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨⌝q)∨r（结合律）⇔⌝(p∧q)∨r（德摩根律）⇔ (p∧q) →r（蕴涵等值式）(1) q∧⌝(p→q)解q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔q∧(p∧⌝q) （德摩根律）⇔p∧(q∧⌝q) （交换律，结合律）⇔p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）该式为矛盾式.(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)解(p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) （交换律）⇔ 1该式为重言式.⌝(p→q)∨⌝r 的析取范式与合取范式解⌝(p→q)∨⌝r⇔⌝(⌝p∨q)∨⌝r⇔ (p∧⌝q)∨⌝r析取范式⇔ (p∨⌝r)∧(⌝q∨⌝r) 合取范式⌝(p→q)∨⌝r 的主析取范式主合取范式解(1) ⌝(p→q)∨⌝r⇔ (p∧⌝q)∨⌝rp∧⌝q⇔ (p∧⌝q)∧1 同一律⇔ (p∧⌝q)∧(⌝r∨r) 排中律⇔ (p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r) 分配律⇔m4∨m5⌝r ⇔ (⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧⌝r 同一律, 排中律⇔ (⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧q∧⌝r) ⇔m0∨m2∨m4∨m6 分配律得⌝(p→q)∨⌝r⇔m0∨m2∨m4 ∨m5 ∨m6可记作⇔∑(0,2,4,5,6)(2) ⌝(p→q)∨⌝r⇔ (p∨⌝r)∧(⌝q∨⌝r)p∨⌝r⇔p∨0∨⌝r 同一律⇔p∨(q∧⌝q)∨⌝r 矛盾律⇔ (p∨q∨⌝r)∧(p∨⌝q∨⌝r)分配律⇔M1∧M3⌝q∨⌝r⇔ (p∧⌝p)∨⌝q∨⌝r 同一律, 矛盾律⇔ (p∨⌝q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨⌝r) 分配律⇔M3∧M7得⌝(p→q)∨⌝r⇔M1∧M3∧M7可记作⇔∏(1,3,7)快速求A ⇔ (⌝p∧q)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨r的主析取范式(1) ⌝p∧q⇔ (⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r) ⇔m2∨m3⌝p∧⌝q∧r⇔m1r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m7得A⇔m1∨m2∨m3∨m5∨m7 ⇔∑(1,2,3,5,7)(2) 求B⇔⌝p∧(p∨q∨⌝r)的主合取范式解⌝p⇔ (⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(⌝p∨⌝q∨⌝r)⇔M4∧M5∧M6∧M7p∨q∨⌝r⇔M1得B⇔M1∧M4∧M5∧M6∧M7 ⇔∏(1,4,5,6,7)例3 用主析取范式判断公式的类型:(1) A⇔⌝(p→q)∧q (3) C⇔ (p∨q)→rA⇔⌝(⌝p∨q)∧q ⇔ ( p∧⌝q)∧q ⇔ 0 矛盾式(2) B⇔p→(p∨q)B⇔⌝p∨(p∨q) ⇔ 1 ⇔m0∨m1∨m2∨m3重言式(3) C⇔ (p∨q)→rC ⇔⌝(p∨q)∨r ⇔ (⌝p∧⌝q)∨r⇔ (⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔ m0∨m1∨m3∨m5∨m7非重言式的可满足式用主析取范式判断下面2组公式是否等值:(1) p与(⌝p∨q)→(p∧q)解p ⇔p∧(⌝q∨q) ⇔ (p∧⌝q)∨(p∧q) ⇔m2∨m3(⌝p∨q)→(p∧q) ⇔⌝(⌝p∨q)∨(p∧q)⇔ (p∧⌝q)∨(p∧q) ⇔m2∨m3故p ⇔ (⌝p∨q)→(p∧q)(2) (p∧q)∨r 与p∧(q∨r)解(p∧q)∨r⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r) ∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔ m1∨m3∨m5∨m6∨m7p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔ m5∨m6∨m7故(p∧q)∨r 不等于p∧(q∨r)例5 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下述条件:(1) 若A去, 则C必须去;(2) 若B去, 则C不能去;(3) A和B必须去一人且只能去一人.问有几种可能的选派方案?解记p:派A去, q:派B去, r:派C去(1) p→r, (2) q→⌝r, (3) (p∧⌝q)∨(⌝p∧q)求下式的成真赋值A=(p→r)∧(q→⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))求A的主析取范式A=(p→r)∧(q→⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔ (⌝p∨r)∧(⌝q∨⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔ ((⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧⌝r)∨(r∧⌝q)∨(r∧⌝r))∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔ ((⌝p∧⌝q)∧(p∧⌝q))∨((⌝p∧⌝r)∧(p∧⌝q))∨((r∧⌝q)∧(p∧⌝q))∨((⌝p∧⌝q)∧(⌝p∧q))∨((⌝p∧⌝r)∧(⌝p∧q))∨((r∧⌝q)∧(⌝p∧q))⇔ (p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)成真赋值:101,010结论: 方案1 派A与C去方案2派B去A=(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)的主合取范式解 A ⇔m1∨m3∨m7⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6第二章判断若今天是1号, 则明天是5号.今天是1号. 所以, 明天是5号.解设p: 今天是1号, q: 明天是5号推理的形式结构为(p→q)∧p→q证明用等值演算法(p→q)∧p→q⇔⌝((⌝p∨q)∧p)∨q⇔ ((p∧⌝q)∨⌝p)∨q⇔⌝p∨⌝q∨q⇔ 1得证推理正确判断若下午气温超过30度, 则小燕必去游泳，若她去游泳她就不去看电影了. 所以若小燕没去看电影, 下午气温必定超过了30度. m1解设p: 下午气温超过30度, q: 小燕去游泳，r: 小燕去看电影.推理的形式结构为((p→q)∧(q→⌝ r) )→(⌝ r→p)证明主析取范式法((p→q)∧(q→⌝ r) )→(⌝ r→p)⇔p∨ r⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m6 ∨m7主析取范式中缺少m0，m2，不是重言式，不正确。