计算机软件基础 第3章 非线性数据结构精品PPT课件
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非线性结构课件PPT
案例二：基于图状结构的社交网络分析
总结词
揭示关系、挖掘信息、广泛应用
VS
详细描述
图状结构是一种描述对象之间关系的非线 性结构，广泛应用于社交网络、生物信息 学等领域。社交网络分析基于图状结构， 能够揭示用户之间的联系和社交行为模式 ，挖掘出有价值的信息，如影响力传播、 社区发现等。
案例三：基于网状结构的网络流量预测模型
总结词
实时预测、优化资源、保障网络性能
详细描述
网状结构是一种复杂的非线性结构，用于描 述网络流量等复杂系统的动态变化过程。网 络流量预测模型基于网状结构，能够实时预 测网络流量变化趋势，为网络资源优化配置 提供依据，保障网络性能稳定和高效。
案例四：基于链状结构的图像分割算法
总结词
分割准确、计算效率高、应用广泛
03
非线性结构的设计方法
确定结构的初始状态
确定初始条件
在非线性结构设计中，需要明确结构的初始状态 ，包括位置、速度和加速度等物理量。这些初始 条件是结构演化的基础。
选择合适的模型
根据问题的性质和目标，选择适合的非线性模型 进行结构设计。需要考虑模型的稳定性、收敛性 和计算效率等因素。
设定结构的演化规则
非线性结构课件
目录
• 非线性结构概述 • 常见非线性结构类型 • 非线性结构的设计方法 • 非线性结构的优化策略 • 非线性结构在机器学习中的应用 • 非线性结构课件案例分析
01
非线性结构概述
定义与特点
01
02
定义：非线性结构是指 信息之间不是严格的按 照线性关系进行排列和 组织的一种结构形式， 也称为非顺序结构、网 状结构或链接结构。
优化结构的参数设置
总结词
合理设置参数，提高性能
计算机软件技术基础3-1_数据结构及算法(概述+线性表)
幻灯片1第三章常用数据结构及其运算37 幻灯片23.1.1 数据结构的概念●数值型与非数值型数据●数值型：整型、实型、布尔型等●非数值型：文献检索、金融管理、商业系统等数据处理●数据结构●研究非数值运算的程序设计问题。
●数据结构就是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
●如线性关系、层次关系、网状关系等。
37 幻灯片33.1.1 数据结构的概念3. 基本概念和术语数据(data)——是信息的载体，指所有能输入到计算机中并被计算机程序处理的符号的总称。
如数、字符、符号等的集合。
分为数值型和非数值型数据两类。
数据元素(data element)——是数据的基本单位。
如数据集合N={ 1，2，3，4，5 }中整数1至5均为数据元素。
数据元素不一定是单个的数字或字符，也可能是若干个数据项的组合，如学生信息。
数据元素有时也称结点或记录。
37 幻灯片43.1.1 数据结构的概念数据对象(data object)——性质相同的数据元素的集合。
如大写字母字符的数据对象是集合：C={ ‘A’，’B’，...，’Z’}。
数据类型——程序设计语言中允许的变量类型基本数据类型（原子类型）：变量值不可分，如整型、实型、字符型等结构类型：变量值可分，如数组、结构体等37 幻灯片53.1.1 数据结构的概念数据结构(data structure)——是指同一数据对象中各数据元素间存在的关系。
数据结构与算法——程序＝算法＋数据结构算法指解决特定问题的有限运算序列37 幻灯片63.1.2 数据的逻辑结构和物理结构1.逻辑结构：研究数据元素及其关系的数学特性，即数据元素间的逻辑关系。
二元组 S =（D，R）D－－数据元素的非空有限集合R－－D上关系的非空有限集合。
37 幻灯片73.1.2 数据的逻辑结构和物理结构四类基本结构：举例37 幻灯片83.1.2 数据的逻辑结构和物理结构例1：linearity = (D, R)，其中D ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}R = {r}r = {<7,2>, <2,1>, <1,6>, <6,10>, <10,8>, <8,4>, <4,5>, <5,3>, <3,9>}例2：Tree= (D, R)，其中D ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}R = {r}r = {<1,2>, <2,3>, <2,4>, <1,5>, <5,6>, <1,7>, <7,8>, <7,9>, <7,10>}37 幻灯片93.1.2 数据的逻辑结构和物理结构例3：Graph= (D, R)，其中D ＝ {1,2,3,4,5}; R = {r}r = {<1,2>, <1,4>, <1,3>, <3,5>, <2,3>}例4：S = (D, R)，其中D ＝ {1,2,3,4,5,6}R = {r1, r2}r 1= {<3,2>, <3,5>, <2,1>, <5,4>, <5,6>}r2={<1,2>,<2,3>,<3,4>,<4,5>,<5,6>}37 幻灯片103.1.2 数据的逻辑结构和物理结构2.物理结构(存储结构)：是逻辑结构在计算机中的映象，即具体实现。
软件技术基础第三章(2)
交换排序
逆序：在数组A[n]中, 存在i<j,且A[i]>A[j]则 称A[i]和A[j]构成一个 逆序
交换排序的思想是通过交换元素以达到消除逆序的目的
冒泡排序
(1)从表头开始往后扫描线性表，在扫描过程中逐次比较相邻两个 元素的大小。若相邻两个元素中，前面的元素大于后面的元素，则 将它们互换，称之为消去了一个逆序。显然，在扫描过程中，不断 地将两相邻元素中的大者往后移动，最后就将线性表中的最大者换 到了表的最后。 (2)除去最后已经冒出的元素,对剩下的线性表重复上述过程，直到 剩下的线性表变空为止，此时冒出的元素构成的线性表已经变为有 序。
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界点
14
e.g: 将序列 49、38、65、97、76、13、27、49 用 快速排序的方法进行排序。
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e.g: 将序列 49、38、65、97、76、13、27、49 用 快速排序的方法进行排序。
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计算机软件基础第3章
法）
data child brother 节点结构
树，T’为T所对应的二叉树，则有： Ø T中结点与T’中的结点一一对应； Ø 若在T中d1是其父结点d 的第一个子结 点，则在T’中d1是d 的左子结点； Ø 若在T中di是其父结点d 的第i个子结点 (i>1)， di-1是d 的第i-1个子结点，则在T’ 中di是di-1的右子结点。
二叉树的遍历示例
•
前序遍历的递归算法
A B E F G H I J C D
前序遍历序列为： ABEFCGDHIJ 中序遍历序列为： EFBGCHIJDA 后序遍历序列为： FEGJIHDCBA
•
•
void preorder(TNODE *bt) { if (bt != NULL) { printf("%d ", bt->data); preorder(bt->lchild); preorder(bt->rchild); } }
3-6
第3章 非线性数据结构 —————————————————————————————
Huffman树的构造过程 Huffman树节点定义
typedef struct { char data; int weight; int lchild; int rchild; } huffnode; //字符值 //权重 //左子结点 //右子结点
二叉树称为满二叉树。 q 定义：若一棵深度为k的二叉树，每层结 点个数满足： Ø 第i 层（1≤i ≤k-1）上有2i-1个结点； Ø 第k 层只在右边连续缺若干结点； 则称此树为完全二叉树。 q 满二叉树也是完全二叉树。
完全二叉树的性质
q 性质4
完全二叉树的性质
q 性质5'：对一棵含有n个结点的完全二叉树的
data child brother 节点结构
树，T’为T所对应的二叉树，则有： Ø T中结点与T’中的结点一一对应； Ø 若在T中d1是其父结点d 的第一个子结 点，则在T’中d1是d 的左子结点； Ø 若在T中di是其父结点d 的第i个子结点 (i>1)， di-1是d 的第i-1个子结点，则在T’ 中di是di-1的右子结点。
二叉树的遍历示例
•
前序遍历的递归算法
A B E F G H I J C D
前序遍历序列为： ABEFCGDHIJ 中序遍历序列为： EFBGCHIJDA 后序遍历序列为： FEGJIHDCBA
•
•
void preorder(TNODE *bt) { if (bt != NULL) { printf("%d ", bt->data); preorder(bt->lchild); preorder(bt->rchild); } }
3-6
第3章 非线性数据结构 —————————————————————————————
Huffman树的构造过程 Huffman树节点定义
typedef struct { char data; int weight; int lchild; int rchild; } huffnode; //字符值 //权重 //左子结点 //右子结点
二叉树称为满二叉树。 q 定义：若一棵深度为k的二叉树，每层结 点个数满足： Ø 第i 层（1≤i ≤k-1）上有2i-1个结点； Ø 第k 层只在右边连续缺若干结点； 则称此树为完全二叉树。 q 满二叉树也是完全二叉树。
完全二叉树的性质
q 性质4
完全二叉树的性质
q 性质5'：对一棵含有n个结点的完全二叉树的
全国计算机等级考试二级_公共基础知识精品PPT课件
4.数据的运算：检索、排序、插入、删除、修改等。
14
三、线性表 线性表是最简单的、最常用的一种线性结构。 1.线性表的定义:线性表是n个元素的有限序列，它们
之间的关系可以排成一个线性序列：a1，a2，…… ，ai，…… ，an ，其中n称作表的长度，当n=0 时，称作空表。 线性表（非空线性表）必须同时满足以下3个条件： （1）有且只有一个根结点a1，它无前件。 （2）有且只有一个终端结点an，它无后件。 （3）除根结点与终端结点外，其他所有结点有且只 有一个前件，也有且只有一个后件。
线性表的定义、线性表的顺序存储结构及其插入与删除运算。
栈和队列的定义、栈和队列的顺序存储结构及其基本运算。
线性单链表、双向链表与循环链表的结构及其基本运算。
树的基本概念，二叉树的定义及其存储结构，二叉树的前序、 中序和后序遍历。
顺序查找与二分法查找算法、基本排序算法（交换类排序、选 择类排序与插入类）。
8
A.二元关系表示方法：一个数据结构可以表示为B=（ D、R），其中R用二元组来表示(a、b)。 a表示前 件， b表示后件。 例如，一年四季的数据结构可以表示成: B=（D、R） D={春，夏，秋，冬} R={（春，夏），（夏，秋），（秋，冬）}
B.在图形表示方法中，用中间标有元素值的方框来表示 数据元素，称为数据结点，简称为结点；用一条有 向线段从前件结点指向后件结点（注意：有时可以 省略箭头）来表示元素之间的前后关系。
16
例：正确表示线性表(A1，A2，A3，A4)的顺序结 构是( )
二级公共基础知识
二级公共基础知识
第一章 算法与数据结构 第二章 程序设计基础 第三章 软件工程基础 第四章 数据库设计基础
2
本章要求
14
三、线性表 线性表是最简单的、最常用的一种线性结构。 1.线性表的定义:线性表是n个元素的有限序列，它们
之间的关系可以排成一个线性序列：a1，a2，…… ，ai，…… ，an ，其中n称作表的长度，当n=0 时，称作空表。 线性表（非空线性表）必须同时满足以下3个条件： （1）有且只有一个根结点a1，它无前件。 （2）有且只有一个终端结点an，它无后件。 （3）除根结点与终端结点外，其他所有结点有且只 有一个前件，也有且只有一个后件。
线性表的定义、线性表的顺序存储结构及其插入与删除运算。
栈和队列的定义、栈和队列的顺序存储结构及其基本运算。
线性单链表、双向链表与循环链表的结构及其基本运算。
树的基本概念，二叉树的定义及其存储结构，二叉树的前序、 中序和后序遍历。
顺序查找与二分法查找算法、基本排序算法（交换类排序、选 择类排序与插入类）。
8
A.二元关系表示方法：一个数据结构可以表示为B=（ D、R），其中R用二元组来表示(a、b)。 a表示前 件， b表示后件。 例如，一年四季的数据结构可以表示成: B=（D、R） D={春，夏，秋，冬} R={（春，夏），（夏，秋），（秋，冬）}
B.在图形表示方法中，用中间标有元素值的方框来表示 数据元素，称为数据结点，简称为结点；用一条有 向线段从前件结点指向后件结点（注意：有时可以 省略箭头）来表示元素之间的前后关系。
16
例：正确表示线性表(A1，A2，A3，A4)的顺序结 构是( )
二级公共基础知识
二级公共基础知识
第一章 算法与数据结构 第二章 程序设计基础 第三章 软件工程基础 第四章 数据库设计基础
2
本章要求
计算机软件技术基础-第三章算法与数据结构
返回
类C、类Pascal、类VB之类的伪代码，也不尽相同，但 程序员必须记住“用伪代码写算法，编程语言写程序” 还是应该遵循的！ 本书约定的算法描述语言是VC语言的变体，称为类VC 语言。 这里还需要说一说流程图(Flow Chart)。因为它在历史上 有过巨大的影响，在20世纪50—70年代结构化编程语 言尚未风行时，流程图一直是表达算法的设计工具。 美国国家标准协会(ANSI)还把它定为标准。为了帮助 读者阅读历史的软件文档，这里做一点简单说明。
返回
图3.1 常用流程图符号
返回
如图3.1所示，其中： • 带圆弧的框是起止框，表示算法的起始、终止。框内填写文字。 • 圆圈一般是连接框，连接多个流向箭头。大圈中写文字标号，无文字 时是句号大小的圈。 • 平行四边形的输入输出框表示输入数据和输出计算结果。框内应填写 需要输入或输出的量。有的标准将输出画成打印纸形状。 • 菱形的判断框根据条件判断执行的走向。框内应填上条件。 • 矩形的处理框表示执行计算表达式和赋值操作。框内用文字或符号表 明具体实现的操作。 • 双立边矩形框是调用/引用框。框内写函数/过程名。 • 注释框表示对操作或数据做必要的说明, 框内用文字说明注释信息。 • 流向线表示算法中控制的流向，向下向右可不画箭头，其他方向必画。 画流程图时，主流程必须在一条垂直的轴线上，特别是起止框要对齐， 切勿因有多次分支而将主流程画成台阶形或横宽大于纵长。
返回
计算机容许的动作是： • 为变量赋值(包括初值)； • 计算表达式(在变量上做四则或逻辑运算)； • 计算过程的选择、循环、转移控制； • 调用函数/子程序。 再看如何写出计算机的辗转相除法。 令变量x为被除数，y为除数，z为余数。计算机中有求余函数mod，则： z = x mod y 然后x←y, y←z就换过来了，x依然是被除数，y是除数。于是写出GCD(Greatest Common Divisor最大公约数)算法： 1．设定x, y, z 2．输入x, y 3．if y>x then z←y; y←x; x←z fi 4．while y< >0 do A．z←y B．y←x mod y; C．x←z od 5．输出z，即最大公约数□
计算机软件基础课件-2017-第3章-2-图
回路或环：在一个路径中，第一个顶点和最后一个顶点相同。
简单路径：表示路径的顶点序列中的顶点各不相同。 简单回路：除了第一个和最后一个顶点外，其余各顶点均不重复 出现的回路。
2
4
5
1
3
6
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5 简单路径：1，2，3，5 回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：3，5，6，3
最后一个邻接点，则返回“空”。
(8) Insertvex(&G, v)：在G中增加的顶点v。
初始条件：图G存在，v和G中顶点有相同特征。 操作结果：在G中增添新顶点v。
(9)DeleteVex(&G,v)：删除G中的顶点v。
初始条件：图G存在，v是G中的某个顶点。 操作结果：删除G中顶点v及相关的边。
初始条件：V是图的顶点集，E是图中边的集合。 操作结果：按V和VR的定义创建图G。
(2)DestoryGraph(&G)：销毁图G。
初始条件：图G存在。 操作结果：销毁图G。
(3)LocateVex(G,v)：确定v在图G中的位置。
初始条件：图G存在，v和G中顶点有相同特征。 操作结果：若顶点v在G中，则返回v在G中的位置；
4
B 7
C (a)
A1 B2 C3
2 43 1 34
37
(b)
邻接表
#define VTXUNM n #define ETXUNM e typedef char vextype; struct arcnode {
int adjvex; float data; struct arcnode *nextarc; }; typedef struct arcnode ARCNODE; struct headnode { vextype vexdata; ARCNODE *firstarc; }adjlist[VTXUNM];
简单路径：表示路径的顶点序列中的顶点各不相同。 简单回路：除了第一个和最后一个顶点外，其余各顶点均不重复 出现的回路。
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路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5 简单路径：1，2，3，5 回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：3，5，6，3
最后一个邻接点，则返回“空”。
(8) Insertvex(&G, v)：在G中增加的顶点v。
初始条件：图G存在，v和G中顶点有相同特征。 操作结果：在G中增添新顶点v。
(9)DeleteVex(&G,v)：删除G中的顶点v。
初始条件：图G存在，v是G中的某个顶点。 操作结果：删除G中顶点v及相关的边。
初始条件：V是图的顶点集，E是图中边的集合。 操作结果：按V和VR的定义创建图G。
(2)DestoryGraph(&G)：销毁图G。
初始条件：图G存在。 操作结果：销毁图G。
(3)LocateVex(G,v)：确定v在图G中的位置。
初始条件：图G存在，v和G中顶点有相同特征。 操作结果：若顶点v在G中，则返回v在G中的位置；
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B 7
C (a)
A1 B2 C3
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(b)
邻接表
#define VTXUNM n #define ETXUNM e typedef char vextype; struct arcnode {
int adjvex; float data; struct arcnode *nextarc; }; typedef struct arcnode ARCNODE; struct headnode { vextype vexdata; ARCNODE *firstarc; }adjlist[VTXUNM];
软件技术基础第3章 算法与数据结构(一)精品PPT课件
13
3.1.2 基本概念和术语
• 数据
➢ 是对客观事物的符号表示。在计算机科学中其含义是指所 有能够输入到计算机中并被计算机程序处理的符号集合
• 数据元素
➢ 是数据集合中的一个实体，是计算机程序中加工处理的基 本单位（记录、结构体）
• 数据项
➢ 组成数据元素的有特定意义的最小的不可分割的单位。
《软件技术基础》电子教案
• 数据结构的形式定
义
数据结构是一个二元组:Data_Structures = (D, R)
其中:D是数据元素的有限集，R是D上关系的有限集。
• 数据结构分为四大类:
➢ 表:元素是线性关系(连接)
➢ 图:元素间是非线性关系(连接)
➢ 树:元素间是非线性关系，连接不得有回路
➢ 文件:记录的序列
《软件技术基础》电子教案
（字符、表格、图像） • 对非数值数据的处理：分析数据的逻辑特征
→抽象出合适的数学模型→合理地存储到计 算机→设计出算法→编写出程序
《软件技术基础》电子教案
5
例1 学生信息查询系统
首先要构造学生信息表，表3-1表达出学生数据的逻辑关系，
它就是一个数学模型，这张表如何构造、在计算机内如何 存储将直接影响查找算法的设计以及算法的效率
......
表3-1
《软件技术基础》电子教案
6
学生信息表的特点
• 每个学生的信息占据一行，所有学生的信息 按学号顺序依次排列构成一张表格
• 表中每个学生的信息依据学号的大小存在着 一种前后关系，这就是我们所说的线性结构， 现实中这类关系的数据有很多。
• 通常的操作
➢ 插入某个学生的信息 ➢ 删除某个学生的信息 ➢ 更新某个学生的信息 ➢ 按条件查找某个学生的信息
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第3章 非线性数据结构
第3章 非线性数据结构
3.1 树及其基本概念 3.2 二叉树
3.2.1 二叉树的定义及其性质 3.2.2 二叉树的存储结构
3.3 二叉树的遍历 3.4 树的存储结构和遍历
第3章 非线性数据结构
3.1 树及其基本概念
树型结构是一种应用十分广泛的非线性数据结构， 它很类似自然界中的树，直观地讲，树型结构是以分 支关系定义的层次结构。
第3章 非线性数据结构 A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
图3-1 树型结构
第3章 非线性数据结构
下面结合图3-1，给出树型结构中的一些基本术语。 结点的度：一个结点拥有的子树数目。如A结点的 度为3，它有三个子树T1、T2和T3。E、F结点的度为0， 它们没有子树。 叶子：度为零的结点称叶子或终端结点。 树的度：一棵树上所有结点的度的最大值就是这 棵树的度。
第3章 非线性数据结构
3.2 二 叉 树
3.2.1 二叉树的定义及其性质 1．二叉树的定义 一个二叉树是一个有限结点的集合，该集合或者
为空，或由一个根结点和两棵互不相交的被称为该根 的左子树和右子树的二叉树组成。二叉树中每个结点 最多只能有两棵子树，并且有左右之分，即有序。 二叉树有下面两个主要特点：
第3章 非线性数据结构 A
B
C
D
E
F
G
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J
图3-1 树型结构
第3章 非线性数据结构
结点的层次：根结点的层数为1，其它任何结点的 层数等于它的父结点的层数加1。
树的深度：一棵树中，结点的最大层次值就是树 的深度。图3-1中树的深度为4。
森林：森林是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。 孩子(child)：某结点子树的根称为该结点的孩子结 点。 如B、C、D是A的孩子。
性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为
⌊log2n⌋+1 。
第3章 非线性数据结构
性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按 层序编号(从第1层到第⌊log2n⌋+1层，每层从左到右)，则 对任一结点i(1≤i≤n)，有
(1) 如果i=1，则i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则 其双亲是结点i/2。
第3章 非线性数据结构
双亲(parent)：一个结点是它的那些子树的根的双 亲结点。如A是B、C、D的双亲。
兄弟(sibling)：同一个双亲的孩子之间互为兄弟。B、 C、D是A的孩子；B、C、D互为兄弟。
堂兄弟(cousins)：其双亲在同一层的结点互为堂兄 弟。如G与E、F、H、I互为堂兄弟。
k
2 i 1 = 2k−1
i1
第3章 非线性数据结构
下面介绍两种特殊形态的二叉树，满二叉树和完全二叉树。 如果一棵二叉树的深度为k，并且含有2k–1个结点，则称此
二叉树为满二叉树。图3-6是一棵深度为4的满二叉树。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K L MN O
图3-6 深度为4的满二叉树
第3章 非线性数据结构
(2) 如果2i>n，则结点i无左孩子；否则其左孩子是2i。 (3) 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结 点2i+1。 证明从略。
第3章 非线性数据结构 A
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图3-1 树型结构
第3章 非线性数据结构
这是一个递归定义，即在树的定义中又用到了树， 即一棵树是由若干棵子树构成的，而子树又可由若干 棵更小的子树构成。树中的每一个结点都是该树中某 一棵子树的根。
如图3-1所示的树中，A为根结点，其余的结点分 为三个互不相交的有限集合：T1={B，E，F}，T2={C， G，J}，T3={D，H，I}。T1、T2和T3都是A的子树，而 它们本身也是一棵树。例如，T1是一棵以B为根的树， 其余结点分为互不相交的两个集合{E}和{F}，而{E}和 {F}本身又是仅有一个根结点的树。
2．二叉树的性质
二叉树具有下列重要特性。
性质1：在二叉树中，第i层的结点数最多有2i-1(i≥1)个。
例如：层次i
第i层最多结点数
1
20=1
2
21=2
22=4
k
2k−1
此性质可以用数学归纳法证明。
第3章 非线性数据结构
性质2：在深度为k的二叉树中结点总数最多有2k–1个。 由性质1可见，深度为k的二叉树的最大结点数为：
第3章 非线性数据结构
(1) 每个结点最多只能有两个孩子，即二叉树中不 存在度大于2的结点。
(2) 二叉树的子树有左、右之分，其次序不能任意 颠倒。二叉树可以有五种基本形态，如图3-2所示。
第3章 非线性数据结构
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
图3-2 二叉树的五种基本形态
第3章 非线性数据结构
第3章 非线性数据结构
有序树：若将树中每个结点的各子树看成是从左 到右有次序的(即不能互换的)，则称该树为有序树，否 则为无序树。作为有序树，图6.26中的两棵树是不同的， 因为结点A的两个孩子在两棵树中的左右次序不同。以 后若不特别指明，所讨论的树都是有序树。
A
A
B
CC
B
图6.26 两棵不同的有序树
树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集合。在树形图中， 结点常用圆圈表示，结点的名字一般写在圆圈旁边， 有时亦可写在圆圈内。当n=0时称为空树，否则在任一 非空树中：
第3章 非线性数据结构
(1) 有且仅有一个称为该树之根的结点； (2) 除根结点之外的其余结点可分为m(m≥0)个互不 相交的集合T1，T2，…，Tm，且其中每一个集合本身 又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。
结点都与深度为k的满二叉树中的编号从1到n的结点一
一对应时，称之为完全二叉树。如图3-8所示是一棵深
度为4的完全二叉树。
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10 11 12
图3-8 深度为4的完全二叉树
第3章 非线性数据结构
完全二叉树是一个十分重要的概念，在许多算法和算 法分析中，都明显或隐含地用到了完全二叉树的概念。 下面介绍完全二叉树的两个重要特性。
可以看出这种树的特点是每一层的结点数都是最大 结点数。
对满二叉树的结点进行连续编号：从根结点起，自 上而下逐层从左到右给每个结点编一个从1开始的顺序 号。图3-6就成为图3-7。
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图3-7 深度为4的满二叉树
第3章 非线性数据结构
深度为k，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个
第3章 非线性数据结构
3.1 树及其基本概念 3.2 二叉树
3.2.1 二叉树的定义及其性质 3.2.2 二叉树的存储结构
3.3 二叉树的遍历 3.4 树的存储结构和遍历
第3章 非线性数据结构
3.1 树及其基本概念
树型结构是一种应用十分广泛的非线性数据结构， 它很类似自然界中的树，直观地讲，树型结构是以分 支关系定义的层次结构。
第3章 非线性数据结构 A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
图3-1 树型结构
第3章 非线性数据结构
下面结合图3-1，给出树型结构中的一些基本术语。 结点的度：一个结点拥有的子树数目。如A结点的 度为3，它有三个子树T1、T2和T3。E、F结点的度为0， 它们没有子树。 叶子：度为零的结点称叶子或终端结点。 树的度：一棵树上所有结点的度的最大值就是这 棵树的度。
第3章 非线性数据结构
3.2 二 叉 树
3.2.1 二叉树的定义及其性质 1．二叉树的定义 一个二叉树是一个有限结点的集合，该集合或者
为空，或由一个根结点和两棵互不相交的被称为该根 的左子树和右子树的二叉树组成。二叉树中每个结点 最多只能有两棵子树，并且有左右之分，即有序。 二叉树有下面两个主要特点：
第3章 非线性数据结构 A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
图3-1 树型结构
第3章 非线性数据结构
结点的层次：根结点的层数为1，其它任何结点的 层数等于它的父结点的层数加1。
树的深度：一棵树中，结点的最大层次值就是树 的深度。图3-1中树的深度为4。
森林：森林是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。 孩子(child)：某结点子树的根称为该结点的孩子结 点。 如B、C、D是A的孩子。
性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为
⌊log2n⌋+1 。
第3章 非线性数据结构
性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按 层序编号(从第1层到第⌊log2n⌋+1层，每层从左到右)，则 对任一结点i(1≤i≤n)，有
(1) 如果i=1，则i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则 其双亲是结点i/2。
第3章 非线性数据结构
双亲(parent)：一个结点是它的那些子树的根的双 亲结点。如A是B、C、D的双亲。
兄弟(sibling)：同一个双亲的孩子之间互为兄弟。B、 C、D是A的孩子；B、C、D互为兄弟。
堂兄弟(cousins)：其双亲在同一层的结点互为堂兄 弟。如G与E、F、H、I互为堂兄弟。
k
2 i 1 = 2k−1
i1
第3章 非线性数据结构
下面介绍两种特殊形态的二叉树，满二叉树和完全二叉树。 如果一棵二叉树的深度为k，并且含有2k–1个结点，则称此
二叉树为满二叉树。图3-6是一棵深度为4的满二叉树。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K L MN O
图3-6 深度为4的满二叉树
第3章 非线性数据结构
(2) 如果2i>n，则结点i无左孩子；否则其左孩子是2i。 (3) 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结 点2i+1。 证明从略。
第3章 非线性数据结构 A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
图3-1 树型结构
第3章 非线性数据结构
这是一个递归定义，即在树的定义中又用到了树， 即一棵树是由若干棵子树构成的，而子树又可由若干 棵更小的子树构成。树中的每一个结点都是该树中某 一棵子树的根。
如图3-1所示的树中，A为根结点，其余的结点分 为三个互不相交的有限集合：T1={B，E，F}，T2={C， G，J}，T3={D，H，I}。T1、T2和T3都是A的子树，而 它们本身也是一棵树。例如，T1是一棵以B为根的树， 其余结点分为互不相交的两个集合{E}和{F}，而{E}和 {F}本身又是仅有一个根结点的树。
2．二叉树的性质
二叉树具有下列重要特性。
性质1：在二叉树中，第i层的结点数最多有2i-1(i≥1)个。
例如：层次i
第i层最多结点数
1
20=1
2
21=2
22=4
k
2k−1
此性质可以用数学归纳法证明。
第3章 非线性数据结构
性质2：在深度为k的二叉树中结点总数最多有2k–1个。 由性质1可见，深度为k的二叉树的最大结点数为：
第3章 非线性数据结构
(1) 每个结点最多只能有两个孩子，即二叉树中不 存在度大于2的结点。
(2) 二叉树的子树有左、右之分，其次序不能任意 颠倒。二叉树可以有五种基本形态，如图3-2所示。
第3章 非线性数据结构
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
图3-2 二叉树的五种基本形态
第3章 非线性数据结构
第3章 非线性数据结构
有序树：若将树中每个结点的各子树看成是从左 到右有次序的(即不能互换的)，则称该树为有序树，否 则为无序树。作为有序树，图6.26中的两棵树是不同的， 因为结点A的两个孩子在两棵树中的左右次序不同。以 后若不特别指明，所讨论的树都是有序树。
A
A
B
CC
B
图6.26 两棵不同的有序树
树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集合。在树形图中， 结点常用圆圈表示，结点的名字一般写在圆圈旁边， 有时亦可写在圆圈内。当n=0时称为空树，否则在任一 非空树中：
第3章 非线性数据结构
(1) 有且仅有一个称为该树之根的结点； (2) 除根结点之外的其余结点可分为m(m≥0)个互不 相交的集合T1，T2，…，Tm，且其中每一个集合本身 又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。
结点都与深度为k的满二叉树中的编号从1到n的结点一
一对应时，称之为完全二叉树。如图3-8所示是一棵深
度为4的完全二叉树。
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图3-8 深度为4的完全二叉树
第3章 非线性数据结构
完全二叉树是一个十分重要的概念，在许多算法和算 法分析中，都明显或隐含地用到了完全二叉树的概念。 下面介绍完全二叉树的两个重要特性。
可以看出这种树的特点是每一层的结点数都是最大 结点数。
对满二叉树的结点进行连续编号：从根结点起，自 上而下逐层从左到右给每个结点编一个从1开始的顺序 号。图3-6就成为图3-7。
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图3-7 深度为4的满二叉树
第3章 非线性数据结构
深度为k，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个