黄金分割(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题27.12 黄金分割（知识讲解）

【学习目标】

1、理解黄金分割的概念；

2、会找一条线段的黄金分割点；

3、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。

【要点梳理】

黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACBCABAC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

特别说明：

512ACAB≈0.618AB(叫做黄金分割值).

作一条线段的黄金分割点：

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：

（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.

（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

特别说明：

一条线段的黄金分割点有两个.

【典型例题】

类型一、黄金分割的作法

1．作出线段AB的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】

作法：（1）延长线段AB至F，使ABBF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BGAB，在BG上取点D，使2ABBD；（2）连接AD，在AD上截取DEDB．（3）在AB上截取ACAE．点C就是线段AB的512 黄金分割点．

解：如图，点C即为所求．

【点拨】本题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解和作图．

【变式】如图，设线段AC＝1.

（1）过点C画CD⊥AC，使CD12＝AC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．

（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？

【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析

【分析】

（1）根据几何语言画出对应的几何图形；

（2）设AC＝1，则DE＝DC12＝，利用勾股定理得到AD52＝，所以AE512＝，则AB512＝，然后利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点．

解：（1）如图，点B为所作；

（2）点B是线段AC的黄金分割点．

理由如下：设AC＝1，则CD12＝，

∴DE＝DC12＝，

∴AD=2215122， ∴AE＝AD﹣DE5151222＝＝，

∴AB512＝，

BC352＝，

355122512BCAB＝

5151212ABAC＝

即BCABABAC＝，

∴点B是线段AC的黄金分割点．

【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键

【变式2】如图，以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD，若矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，则将矩形ABCD称为“黄金矩形”．若AD＝2，求BE的长．

【答案】51

【分析】由正方形的性质得AE＝AD＝2，由“黄金矩形”的定义求出AB得长，即可得出BE的长．

解：∴四边形AEFD是正方形，

∴AE＝AD＝2，

∴矩形ABCD为黄金矩形，

∴AD512AB，

即2512AB， 解得：AB51，

∴BE＝AB﹣AE51﹣251．

【点拨】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为512是解题的关键．

类型二、由黄金分割点求线段长

2．已知线段AB=10cm，点C是AB上的黄金分割点，求AC的长是多少厘米？

【答案】（555）cm或（15−55）cm

【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段；则AC＝51105552或AC＝10−（555）＝15−55．

解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况，

当AC是较长线段时，AC＝51105552；

当AC是较短线段时，则AC＝10−（555）＝15−55．

故答案为：（555）cm或（15−55）cm．

【点拨】本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．

【变式1】如图，线段1AB，点1P是线段AB的黄金分割点（且11APBP，即211PBAPAB），则1PB__________；点2P是线段1AP的黄金分割点（212APPP），点3P是线段2AP的黄金分割点（323APPP），…依此类推，则线段nAP的长度是__________．

【答案】512 352n

【分析】

（1）根据211PBAPAB，设P1B=x,列出方程解出即可；

（2）由BP1=512，得出AP1=1−512=3-52，AP2=(3-52)2，AP3=(3-52)3，…

依此类推，则线段APn的长度是(3-52)n 解：（1）∴211PBAPAB,AP1=AB-P1B, 1AB设P1B=x,

∴x2=1×(1-x)

解得：x1=512,x2=5+12(舍去)，

故答案为512；

（2）根据黄金比的比值，BP1=512，

则AP1=1−512=3-52，

同理可得AP2=(3-52)2，

AP3=(3-52)3，

…

依此类推，则线段APn的长度是(3-52)n

故答案为352n．

【点拨】本题考查了黄金分割的概念，一元二次方程的解法，解题关键是理解黄金分割的概念．

【变式2】已知线段2AB，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为_____．

【答案】51或35．

【分析】根据点C是线段A的黄金分割点，得到比例，再分ACBC和两种情况解答即可.

解：点C是线段AB的黄金分割点，

∴当ACBC时，如图

∴512BCACACAB

∴51AC ∴当ACBC时，如图

∴512ACBCBCAB，

∴352ACAB

∴35AC

综上：AC的长度在51或35．

【点拨】本题考查了主要黄金分割点，掌握黄金比例和分类讨论思想是解答本题的关键．

【变式3】如图，点B是线段AC的黄金分割点，且ABBC，若2AC，求ABBC、的长．

【答案】AB=15，BC=3-5．

【分析】由黄金分割的定义可得AB2=BC·AC，设AB=x，则BC=2-x，代入求解即可

解：∴点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，

∴BCABABAC，

∴AB2=BC·AC．

设AB=x，则BC=2-x，

∴x2=(2-x)×2，

∴x2+2x-4=0，

解得：x1=15，x2=15，

∴x＞0，

∴x=15 即AB=15，

∴BC=3-5，

答：AB=15，BC=3-5．

【点拨】本题考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金比是解答本题的关键．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．

类型三、证明黄金分割点 3．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．

【答案】是，证明见解析

【分析】设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比．

解：M是AB的黄金分割点，理由如下：

∴正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，

∴BE＝1

∴AE225ABBE，

∴EF＝BE＝1，

∴AF＝AE﹣EF51，

∴AM＝AF51，

∴AM：AB＝（51）：2，

∴点M是线段AB的黄金分割点．

【点拨】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（512）叫做黄金比．

【变式1】如图，在矩形ABCD中，51AB，2AD，且四边形ABFE是一个正方形，试问点F是BC的黄金分割点吗？请说明理由.（补全解题过程）

解：点F是BC的黄金分割点.

理由如下：

⊥四边形ABFE是一个正方形，⊥51BFAB.

又⊥在矩形ABCD中，2BCAD，⊥BFBC______.

⊥点F是BC的黄金分割点.

【答案】512

【分析】根据正方形性质，51BFAB，2BCAD，得BFBC512.

解：点F是BC的黄金分割点.

理由如下：

∴四边形ABFE是一个正方形，

∴51BFAB.

又∴在矩形ABCD中，2BCAD，

∴BFBC512.

∴点F是BC的黄金分割点.

【点拨】考核知识点：黄金分割点.理解意义是关键.

【变式2】如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PFPD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．

（1）求AMDM，的长； （2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？