北师大七年级数学培优题

七年级培优题
1、如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于 度。

2.。

.
221x x x ++-+-的最小值是_______
3、已知0132
=+-x x , 则
=++1
3242
x x x 。

4,一个长方体的长、宽、高分别为9cm, 6cm, 5cm ，先从这个长方体上尽可能大的切下一个正方体，再从剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体，那么经过三次切割后剩余部分的体积为 cm 3.
5、如图，三角形ABC 的面积为1，BD ∶DC=2∶1，E 为AC 的中点，AD 与BE 相交于P ，那四边形PDCE 的面积为 。

6、如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠B+∠C=90°，EF=10，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则BC －AD ＝________
7、如图，正方形ABCD 的边长为1，P 为AB 上的点， Q 为AD 上的点，且△APQ 的周长为2， 则∠PCQ=_______
8、在长方形内画一些直线，已知边上
有三块面积分别为13，35，49，图中的数据表示所在的小块面积，则图中的阴影部分的
面积为 。

9、如图，设O 是等边三角形ABC 内一点，
已知∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以 OA ，OB ，OC 为边所构成的三角形的各内 角的度数分别为 。

10、已知a 、b 、c 都不等于零，且c c b b a a m
||||||++=
，|
|abc abc
n =，那么n m +=_______ 11如果a 、b 、c 满足a +2b +3c =12，且a 2+b 2+c 2=ab +ac +bc ，则代数式a +b 2+c 3=_______
12.如图，在长方形ABCD 中，已知AD=12、AB=5、BD=AC=13，P 是AD 上任意一点，PE ⊥BD 、PF ⊥AC ，那么PE+PF=_______ 【提示 长方形的对角线相等且互相平分】
13.在⊿ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB+BD=DC ，求证 ∠B=2∠C
14、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．
（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；
（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？
A
D
E
G
图1
F
A
D
C
E
G
图2
F
A
E
图3
D
15、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．
90AEF ∠=o
，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证
AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
16、已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF
∠=°， EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1
2
DEF CEF ABC S S S +=△△△．
当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
17、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，
将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交
AC BC 、于D F 、两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由；
A
D B
E
C
F
A
D B
E
C
F A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F C
G
E B
图2
A
D
F
C G
E B
图3
A
E
C
F B
D 图1
图3
A D
F
E
C B A
D B C E
图2
F
（3）在（2）的情况下，求ED 的长． 18、点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点E ，BM,CN 交于
点F 。

求证： （1）AN=MB.
（2）△CEF 为等边三角形。

（3）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？(只回答不证明)，
（4）AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化，（只回答不证明)。

19、直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=o
o
，则EF
AF -（填“>”，
“<”或“=”号）； ②如图2，若0180BCA <∠<o
o
，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是 ；
（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数
量关系，并给予证明．
B
A
B
A
B
C
E F
D
D
A
B
C
E F
A
D F C
E
B
图1
图2
图3。