第五章 材料力学
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05材料力学第五章
对称弯曲（平面弯曲）
一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通 过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵 向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称 平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个 对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲 变形，简称为平面弯曲。 q
C A b a c D B
RA
RB
P2=P
解
(1)求支座反力
RA RB P 60 kN
(2)计算C 横截面上的剪力QSC和弯矩 MC .
看左侧
QSC P 60kN 1
M C P1 b 6.0kN.m
(3)计算D横截面上的剪力QSD 和弯矩 MD . 看左侧
QSD R A P1 60 60 0
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩, 而向下的外力则引起负值的弯矩. 左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩
右侧梁段
逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
左顺右逆为正
求弯曲内力的法则
任一截面的剪力Q=∑[一侧横向力的代数和]
支座的简化
载荷的简化
对称弯曲
纵向对称面
外力作用在此 纵向对称面内
变形后的轴线仍 在纵向对称面内
简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座
RAx A RAy
m
A
P
B
y
RBy
求内力——截面法 RAx A
RAy
m
P
B
剪力 弯曲构件内力 弯矩 1、弯矩M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 RAy 直于截面的内力偶矩. 2、 剪力QS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.
材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
《材料力学》第五章
按集中力P和自重 共同作用时校核。 和自重q共同作用时校核 (2) 按集中力 和自重 共同作用时校核。 a.内力分析，画内力图，确定危险截面； a.内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 q单独作用时，
1 2 1 M q＝ ql ＝ × 801 × 9.52＝9.04(kNm ) 8 8
危险截面在中间截面
W z=
Iz =
πd 4
64
πd 3
32
对于各种型钢，其惯性矩和抗弯模量可查型钢表
例5.1 螺栓压板夹紧装置如图5.5a所示。已知板长3a=150mm， 压板材料的弯曲许用应力[σ]=140MPa。试计算压板传给工件的最 大允许压紧力F。 解：(1)外力分析，画力学简图； 外力分析，画力学简图； 外力分析 (2)内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 M max = M B = Fa 截面B (3)根据强度条件，进行计算。 根据强度条件，进行计算。 根据强度条件 根据强度条件
FRA = 2.5kN , FRB = 10.5kN ,
(2)内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 最大正弯矩在截面C上，
mC = 2.5kNm
最大负弯矩在截面B上， mB = −4kNm (3)求σmax，根据强度条件，进行校核。 求 根据强度条件，进行校核。 截面B:
σ max
161.5 × 106 = ＝135.7(MPa ) 1190 × 103
考虑自重与不考虑自重梁内应力相差(143.3-135.7)／143.3×100％ =5.3％。因此，计算应力时一般可忽略杆自重的影响。
例5.3 T形截面铸铁梁。已知 [σt]=30MPa， [σc]=160MPa。 Iz=763 cm4，y1 = 52mm 。试校核梁的强度。 外力分析， 解：(1)外力分析，求支座反力 外力分析 求支座反力;
材料力学 第五章
t min t max
结论： 翼缘部分tmax« 腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。
铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin Q 故工字钢最大剪应力 tmax ; Af
②圆截面：
t max
4Q 4 t 3 A 3
Q 2 2t A
③ 薄壁圆环：
t max
M
qL2 8
+ M1 Mmax x
五、梁的正应力强度条件 1、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下 边缘上。
s
2、正应力强度条件：
M
s
s
s max
M max s Wz
17
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算： 校核强度： 、校核强度：
q=3.6kN/m
例３ 矩形(bh=0.12m0.18m）截 B 面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应 力之比,并校核梁的强度。 – 解：画内力图求危面内力
qL 2
A
Q +
L=3m
qL 2
x
M
qL 8
+
2
Qmax
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
y M ( x) dx
矩中性轴等距离处，剪应力
相等。 2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡
M(x)+d M(x)
z
t1 s
t
y
x
s1
图c
X N
2
N1 t1b(dx) 0
M N1 sdA A Iz
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第五章弯曲内力
2、判断各段Q、M图形状：
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
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A2b228.52146 m .22m 0 A 146201.59
A 9210
例5-2 已知等截面简支梁 l = 2m，受均布载荷 q = 15 kN m 作用如图所示,[σ] =
160 MPa. 求：按正应力强度条件选择下列截面的尺寸并比较其面积。
q
A
BM
7.5kNm
l
x
解：1.作弯矩图 2.求截面尺寸
A1 48cm2 A2 37.6cm2 A3 34cm2 A4 14cm2
49cm3
A1:A2:A3:A43 . .4:3 2.6:9 2.4:3 1
例5-3 半径为 R 的圆环，弹性模量为 E，截面的直径为 d，R = 10 d，在 A, B 截面处有一微小缺口∆θ（图a），若将其焊接成如图（b）所示的圆环，求圆 环中最大正应力。
Mmaxq8l2
1522 8
7.5kNm
圆形
Wz
D3 32
D3 7.51063278.2mm
160
3.比较面积
圆环 矩形 工字钢
Wz
D3(14)
32
D3 176.50(11060.3542) 79.9mm
Wz
bh2 6
2b3 3
b3 37.5106 41.3mm 2160
WzM [m]ax7.51166004.69cm 3 选10号工字钢 Wz
例5-1 钢制等截面简支梁受均布载荷 q 作用如图( a ) 所示，横截面为 h = 2b
的矩形。已知材料许用应力[σ] = 120 MPa，l = 2 m，q = 50 kN/m。求：梁分
别按图 ( b ) 和图 ( c ) 放置时的截面尺寸并比较其面积大小。
q (a) A
l
解：1. 作弯矩图
(b)
=15 mm，梁与杆的许用正应力[ ] =160 MPa。试按正应力强度条件求许可
分布载荷集度 [q]。
D
解：1. 确定内力 FA = 3q/4 , FC = 9q/4
q A
2m C
B 1m
AB 梁的弯矩如图 所示
M q/2 max
2. 强度计算
查表得 10 工字钢 Wz = 49cm3 ，梁的最大应力
解：1. 确定弯矩
设圆环焊接后的半径为R1 ，由 于R1< R，曲率发生了变化，焊接 后圆环的截上会产生弯矩。
1 1M R1 R EI
两圆的周长相等
(2 )R2R 1
R1 (1 2)R
MR(2EI)E 2IR
2. 计算应力
max M I d2E 4. dR E 40
例5-4 梁杆组合结构受力如图 ( a ) 所示。AB 为10工字钢，拉杆 CD 直径 d
ql2
max l
max h
3. 综合比较
maxMmax lht max Wz 4Wz
m
ax
Mm Wz
ax4ql2
D3
一般实心截面梁，跨度 l 远远大于横向尺寸 h ,
D, ma.x max,
max max
空心截面
(
包括工字形，槽形)，
例5-8 由三根木梁胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图 所示，跨度 l = 1m。( 1 ) 若胶合面上的许用切应力[τ] = 3.4 MPa，试根据胶合面的切应力强度条件求 许可载荷 F ;( 2 ) 求在该许可载荷作用下的最大弯曲正应力;( 3 ) 若木条间可 相对自由滑动，这时各木条截面上的弯曲正应力如何分布？最大正应力为多
m a xM IzCy134.0 6 0 116 0 6 0140 10M 7
由于 A. , C 截面的最大拉应力都超过许用应力，
σ-A
σ+C
梁的抗拉强度不够。
例5-6 图示简支梁 l = 2m,承受均布载荷q = 2 kN/m 作用，若分别采用面积相
等的实心和空心圆截面，实心截面 D = 40 mm，空心截面 = 0.6，( 1 ) 分别
计算它们的最大正应力；( 2 ) 若许用应力同为 [σ]，空心截面的许可载荷是实 心截面的几倍？
解：1. 确定弯矩 2. 计算应力
实心截面
危险截面在梁的中央 C 截面
Mmax
ql2 8
1kNm
Wz
D3 32
maxW M z 32143016015M 9 Pa
空心截面
AD2(12)AD2
4
4
D50mm
y (c)
y
B
h
b z
z
b
h
Mmaxq8l2
5022 8
25kNm
M
2. 求图（b）截面尺寸
ql2/ 8
x
Wz
bh2 6
2b3 3
b3 3Mma x 3 3251606.79mm
2[]
2120
A2b226.7 9292m 102m
3. 求图（c）截面尺寸
Wz
hb2 6
b3 3
b3 3M [m ] a x3 3215 210608.55mm
例5-7 已知等截面简支梁，受均布载荷 q 作用如图( a ) 所示, 试比较下列各 截面的最大正应力和最大切应力。
解：1. 确定内力
Qm a x
1 2
ql
2. 计算应力
Mmax 圆形
1 8
矩m 形m maaaxxx4M 3W Q Q 32mA m zm Aaaaxxx43343qb8qblhq2l2hDl2工字m 钢maaxxmmaaxxQ M AW 腹 mmza板 2ax3xDl 82qqW hll2zt
例5-5 铸铁制成的槽形截面梁，c 为截面形心，Iz = 40×106 mm4，y1 = 140 mm，y2 = 60 mm，l = 4 m，q = 20 kN/m，m ＝20 kNm，[σ+] = 40 MPa，[ σ -] = 150 MPa。( 1 ) 作出危险截面的应力分布图；( 2 ) 校核梁的强度。
M 9q/32 A
C q/2
M m ax ຫໍສະໝຸດ q[]BWz 2Wz
q1≤2Wz [ ] =2×49×103×160 =15.68 kN/m
杆的最大应力 N 9q/4 [] A d2 /4
d2[] 125160
q2 9 9 1.2 56 kN
3. 综合分析
q m q i1 ,. q n 2 1.5 2k 6N/m
Wz
D3
32
(14)
m axW M z5 33 0 2(11 10.66 02)9.37MPa
3. 计算载荷
许用应力相同，则最大应力应相同
max
ql 2 8W z
m ax
ql 2 8W z
q q.W W z zD 3(D 1 34)530 (1 43 0 0 .64)1.7
空心截面的许可载荷是实心截面的 1.7 倍。
m
q
y
解：1. 作弯矩图
A
M A 20 kNm
σ+A
B
l 30.6 kNm
C
B
σ-C
y1 c
y2
危险截面在 A , C
z
MA = -20 kNm
MC = 30.6 kNm
2. 危险截面的应力分布
3. 强度校核
A 截面 m a xM IzAy14 2 0 01 16 60 01407M 0 P
C 截面 m a xM IzCy234.0 6 0 116 0 6 060 4.5 9M