高中数学-不等式的基本性质(一)练习
高一 不等式知识点+例题+练习 含答案
1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c ⇔可乘性⎭⎬⎫a >bc >0⇒ac >bc 注意c 的符号⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc同向可加性 ⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b ⇔a <b (ab ≠0)．( × ) (3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b <0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________． 答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y .因此①不恒成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by .因此③也不恒成立． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx.因此⑤不恒成立． 由不等式的性质可推出②④恒成立．2．(教材改编)下列四个结论，正确的是________． ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ； ④a >b >0⇒1a 2>1b 2.答案 ①③3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是____________． ①a －b >0 ②a 3＋b 3>0 ③a 2－b 2<0 ④a ＋b <0 答案 ④解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．4．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )>0.5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为____________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是__________．(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为__________．答案 (1)c ≥b >a (2)c <b <a解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为________________________________________________________________________． (2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________________________________________________________________________． 答案 (1)m >n (2)a <b 解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1) ＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立． (2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b .题型二 不等式的性质例2 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列关系式中一定成立的是________． ①ab >ac ②c (b －a )<0 ③cb 2<ab 2 ④ac (a －c )>0 答案 ①解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是________． 答案 3解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确． 方法二 取特殊值．题型三 不等式性质的应用例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为__________． 答案 ①②③解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立．思维升华 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是________．①1a －b >1b②a 2<ab ③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1④a n >b n (2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是________． 答案 (1)③ (2)①②③解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确； ③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立． (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，知①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c ，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．7．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分， 当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． 2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎨⎧ ab >0，a >b⇒1a <1b ；⎩⎨⎧ab >0，a <b ⇒1a >1b . 3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法． [失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立． 2．a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立． 4.ab>1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立． 5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎨⎧a >b ，b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．若x >y >z >1，则xyz ，xy ，yz ，zx 从大到小依次排列为______________． 答案 xyz >xy >zx >yz解析 取特殊值法，由x >y >z >1，可取x ＝4，y ＝3，z ＝2，分别代入得xyz ＝26，xy ＝23，yz ＝6，zx ＝2 2. 故xyz >xy >zx >yz .2．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A ，B 的大小关系是________________________________________________________________________． 答案 A >B解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋a 2－4，显然A 2>B 2，即A >B .3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是________．①1a －b >1a②1a >1b ③|a |>|b | ④a 2>b 2答案 ①解析 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，故①不成立，②③④都成立． 4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的____________条件．答案 充分不必要解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇒/(a －b )·a 2<0，必要性不成立．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是____________．答案 (－π6，π) 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是__________． 答案 M >N解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________．①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若a c >b c，则a >b ； ③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b； ④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b. 答案 ③解析 当c ＝0时，可知①不正确；当c <0时，可知②不正确；对于③，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，③正确； 当a <0且b <0时，可知④不正确．12．若存在实数x ＝x 0，使得不等式ax >a －1不成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)解析 不妨将命题否定，转化为：若对任意的x ，有ax >a －1恒成立，则a (x －1)>－1.当x >1时有a >－1x －1，则a ≥0；当x <1时有a <－1x －1，则a ≤0；当x ＝1时，则a ∈R .因此对任意的x ，a ＝0，再对a 的取值进行否定，可得实数a 的取值范围为a ≠0.13．设[x ]表示不超过x 的最大整数，x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是__________．答案 (93,94)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5化为：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x ]－12＋5，解得[x ]＝20，y ＝73.∵x 不是整数，∴20<x <21.∴93<x ＋y <94.14．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 C >A >B >D解析 －12<a <0，不妨取a ＝－14， 这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45. 由此猜测：C >A >B >D .C －A ＝11＋a－(1＋a 2) ＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a. ∵1＋a >0，－a >0，(a ＋12)2＋34>0，∴C >A . ∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a ＝a (a 2－a －1)1－a＝a [(a －12)2－54]1－a .∵－12<a <0，∴1－a >0. 又∵(a －12)2－54<(－12－12)2－54<0， ∴B >D .综上所述，C >A >B >D .15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。
人教A版数学选修4第一讲一不等式1
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课时提升卷(一)不等式的基本性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是( )A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ac>bdD.ad >b c2.下列不等式成立的是( )A.log32<log25<log23B.log32<log23<log25C.log23<log32<log25D.log23<log25<log323.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是( )A.b-a>0B.a3+b3<0C.a2-b2<0D.b+a>04.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( )A.-2<α-β<0B.-2<α-β<-1C.-1<α-β<0D.-1<α-β<15.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A.1a <1bB.1a >1bC.a>b 2D.a 2>2b6.若b<0<a,d<c<0,则下列不等式中必成立的是( ) A.ac>bd B.a c >bdC.a+c>b+dD.a-c>b-d 二、填空题(每小题8分,共24分)7.已知60<x<84,28<y<33,则x-y 的取值范围是 .8.已知a,b,c 为三角形的三边长,则a 2与ab+ac 的大小关系是 . 9.若a,b,c ∈R,a>b,则下列不等式成立的是 (填上正确的序号). ①1a <1b ;②a 2>b 2;③a c 2+1>bc 2+1;④a|c|>b|c|.三、解答题(10～11题各14分,12题18分)10.已知a,b ∈{正实数}且a ≠b,比较a 2b+b 2a 与a+b 的大小.11.已知-1<a+b<3,且2<a-b<4,求2a+3b 的取值范围.12.(能力挑战题)实数x,y,z 满足x 2-2x+y=z-1且x+y 2+1=0,试比较x,y,z 的大小.答案解析1.【解析】选A.因为a>b,c>d,所以a+c>b+d.2.【解析】选 B.因为log 32<log 33=1,log 23>log 22=1,所以log 32<log 23,又因为log 23<log 25,所以log 32<log 23<log 25.【变式备选】若{a n }是各项为正的等比数列,且公比q ≠1,则a 1+a 4与a 2+a 3的大小关系是 ( )A.a 1+a 4>a 2+a 3B.a 1+a 4<a 2+a 3C.a 1+a 4=a 2+a 3D.不确定 【解析】选A.(a 1+a 4)-(a 2+a 3) =a 1+a 1q 3-a 1q-a 1q 2=a 1(1+q)(1-q)2, 因为a n >0,所以q>0,又q ≠1, 所以a 1(1+q)(1-q)2>0,即a 1+a 4>a 2+a 3.3.【解析】选D.因为a-|b|>0,所以a>|b|≥0. 所以不论b 正或b 负均有a+b>0.4.【解析】选A.因为-1<β<1,所以-1<-β<1,又-1<α<1,所以-2<α-β<2,而α<β,所以α-β<0,所以-2<α-β<0.5.【解析】选C.令a=2,b=-12,验证可得选项A 不正确,令a=2,b=12,则B 不正确,若a=1.1,b=0.9,则D 不正确,对选项C,由-1<b<1得:0≤b 2<1,又a>1,故b 2<a,故C 项正确.6.【解析】选C.因为b<0<a,d<c<0,所以ac<0,bd>0,则ac>bd 恒不成立,故A 不满足要求;同理ac<0,bd>0,则a c >bd恒不成立,故B 不满足要求;由不等式的同向可加性可得a+c>b+d 一定成立,故C 满足要求; a-c>b-d 不一定成立,故D 不满足要求.7.【解题指南】解答本题不能直接用x 的范围去减y 的范围,需先求出-y 的范围,严格利用不等式的基本性质去求得范围. 【解析】因为28<y<33,所以-33<-y<-28. 又因为60<x<84,所以27<x-y<56. 答案:(27,56)【举一反三】若本题中所求的是xy ,结论如何?【解析】因为28<y<33,所以133<1y <128,又因为60<x<84,所以6033<x y <8428,即2011<xy<3.8.【解析】因为a,b,c 为三角形的三边长, 所以a<b+c,又因为a>0,所以a 2<a(b+c),即a 2<ab+ac. 答案:a 2<ab+ac9.【解析】①,当a 是正数,b 是负数时,不等式1a <1b 不成立,②当a=-1,b=-2时,a>b成立,a 2>b 2不成立;当a=1,b=-2时,a>b 成立,a 2>b 2也不成立,当a,b 是负数时,不等式a 2>b 2不成立.③在a>b 两边同时除以c 2+1,不等号的方向不变,故③正确,④当c=0时,不等式a|c|>b|c|不成立.综上可知③正确. 答案:③10.【解析】因为(a 2b +b 2a)-(a+b)=a 2b-b+b 2a-a=a 2−b 2b +b 2−a 2a=(a 2-b 2)·(1b −1a )=(a 2−b 2)(a−b)ab=(a−b)2(a+b)ab,因为a>0,b>0且a ≠b,所以(a−b)2(a+b)ab>0,故a 2b+b 2a>a+b.11.【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则{x +y =2,x −y =3,解得{x =52,y =−12.所以2a+3b=52(a+b)-12(a-b).因为-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-52<52(a+b)<152,-2<-12(a-b)<-1.所以-52-2<2a+3b<152-1,即-92<2a+3b<132.【拓展提升】不等式性质的应用待定系数法是高中数学中常用的方法,应用十分广泛,其基本步骤为:12.【解析】x 2-2x+y=z-1⇒z-y=(x-1)2≥0⇒z ≥y; x+y 2+1=0⇒y-x=y 2+y+1=(y +12)2+34>0⇒y>x,故z ≥y>x.关闭Word 文档返回原板块。
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
用数学式子表示为:
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺 序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来 就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小， 而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解 不等式的主要依据。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• 例2、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 • 求差比较大小 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
思考？
从上述事实出发，你认为可以用什么方法
比较两个实数的大小？
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
不等式的基本性质--习题精选(一)
不等式的基本性质 习题精选（一）★不等式的基本性质1．不等式的基本性质1：如果a>b ，那么 a+c____b+c ， a －c____b －c ．不等式的基本性质2：如果a>b ，并且c>0，那么ac_____bc ．不等式的基本性质3：如果a>b ，并且c<0，那么ac_____bc ．2．设a<b ，用“<”或“>”填空．（1）a －1____b －1；（2）a+1_____b+1；（3）2a____2b ；（4）－2a_____－2b ； 5）－a 2_____－b 2；（6）a 2____b2．3．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”填空．（1）若a －1>b －1，则a____b ；（2）若a+3>b+3，则a____b ；（3）若2a>2b ，则a____b ；（4）若－2a>－2b ，则a___b ．4．若a>b ，m<0，n>0，用“>”或“<”填空．（1）a+m____b+m ；（2）a+n___b+n ；（3）m －a___m －b ；（4）an____bn ；（5）a m ____b m ；（6）a n _____bn ；5．下列说法不正确的是（ ）A ．若a>b ，则ac 2>bc 2（c 0）B ．若a>b ，则b<aC ．若a>b ，则－a>－bD ．若a>b ，b>c ，则a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a 或x>a 的形式：（1）x －3>1；（2）－32x>－1；（3）3x<1+2x ；（4）2x>4． ［学科综合］7．已知实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（ ）A．bc>ab B．ac>ab C．bc<ab D．c+b>a+b8．已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x<21-a，则1－a是____数．9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（）A．3b<p<3a B．a+2b<p<2a+b C．2b<p<2（a+b）D．2a<p<2（a+b）［创新思维］（一）新型题10．若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件（）A．a>0 B．a<0 C．a=0 D．a≥0（二）课本例题变式题11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是（）A．由4x－1>2，得4x>1 B．由5x>3，得x>35C．由x2>0，得x>2D．由－2x<4，得x<－2（三）易错题12．若a>b，且m为有理数，则am2____bm2．13．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点对？为什么？（四）难题巧解题14．若方程组2x+y=k+1x+2y=-1⎧⎨⎩的解为x，y，且3<k<6，则x+y的取值范围是______．（五）一题多解题15．根据不等式的基本性质，把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］16．如图13－2－2所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？［数学在生产、经济、科技中的应用］17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．（1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲商店中收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式．（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？［自主探究］18．命题：a，b是有理数，若a>b，则a2>b2．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；（2）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？［潜能开发］19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x>4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x>4x不是一回事吗？当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．［信息处理］20．根据不等式的基本性质，把下列不等变为x>a或x<a的形式：（1）1x2>－3；（2）－2x<6．解：（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以1x2>-322⨯⨯，得x>－6．（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变，所以-2x6>-2-2，得x>－3．上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的？［开放实践］21．比较a+b与a－b的大小．［经典名题，提升自我］［中考链接］22．（2004·山东淄博）如果m<n<0，那么下列结论中错误的是（）A．m－9<n－9 B．－m>－n C．11>n m D．mn>123．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（）A．a>b B．ab>0 C．ab>0 D．－a>－b［奥赛赏析］24．要使不等式…<753246a<a<a<a<a<a<a<…成立，有理数a的取值范围是（）A．0<a<1 B．a<－1 C．－1<a<0 D．a>1［趣味数学］25．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重．（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．答案1．> > > <2．（1）<（2）<（3）<（4）>（5）>（6）<3．（1）>（2）>（3）>（4）<4．（1）>（2）>（3）<（4）>（5）<（6）>5．C 点拨：a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．6．解：（1）x－3>1，x－3+3>1+3，（根据不等式的基本性质1）x>4；（2）－23x>－1，－23x·（－32）<－1·（－32），（根据不等式的基本性质3）x<32；（3）3x<1+2x，3x－2x<1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1）x<1；（4）2x>4，2x4>22，（根据不等式的基本性质2）x>2．7．A 8．负9．D 10．B 11．B 12．错解：am2>bm2错因分析：m2应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况正解：：am2≥bm213．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．错解2：乙对，因为a为负数或零时，原不等式不成立．错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数，有三种情况：a为负数，a为正数，a为0，应全面考察各种．正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a>6a，②当a<0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．14．1<x+y<2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k．3<k<6，即3<3（x+y）<6，∴1<x+y<2．15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5，2x<4x－6，2x－4x<4x－6－4x，－2x<－6，-2x-6>-2-2，x>3．解法2：2x+5<4x－1，2x+5－2x<4x－1－2x，5+1<2x－1+1，6<2x，62x<22，3<x，即x>3．16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式，两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c>b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．17．解：（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1⨯70%⨯10=17（元），到乙商店购买20本，共需1⨯0．85⨯220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．（2）甲商店中，收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x －10），即y=0．7x+3（其中x>10）．（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3，解得x=30（本）．若到乙商店购买，则可买24÷（1 0．85）≈28（本）．30>28，故小明最多哥买30本．a>b18．解：（1）a，b是有理数，若a>b>0，则22（2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．19．解：乙同学的回答不正确，5a不一定大于4a．当a>0时，5a>4a>0；当a=0时，5a=4a=0；当a<0时，5a<4a<0．20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1”相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．21．解：a+b－（a－b）=2b，当b>0时，a+b>a－b；当b=0时，a+b=a－b；当b<0时，a+b<a－b．22．C 23．Da<a<a<0…，则24．B 点拨：a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且246这个负数一定小于－1，故应选B．25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．（2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．。
高中数学不等式典型例题解析
1不等式基本性质和不等式的解法一．不等式的性质：1．实数比较大小的方法：作差比较的步骤：2. 不等式的基本性质：（1） （5）（2） （6）（3） （7）（4） （8）例题1已知d c b a <>,，求证：d b c a ->-．例题2 已知a>b>0，c>d>0，求证：c bd a >。
二．简单的一元高次不等式的解法：标根法：例题3解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
例题4不等式(0x -≥的解集是____三．分式不等式的解法：例题5解不等式25123xx x -<---练习：解不等式（1）0)3)(2()1(2<---x x x（2）0)3()2()1(32≥---x x x（3）)10(33212322≠>>+-+-a a a a x x x x 且（4） 13242>-+x x x小结：（1）（2）（3）2绝对值不等式的解法 一、c b ax ≤+和c b ax ≥+型不等式的解法。
⇔≤+c b ax⇔≥+c b ax例题1解不等式132)1(≤-x （2）512>+-x例题2（1）解不等式213+<-x x 。
（2）解不等式x x ->-213。
二、c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法。
解这累含绝对值不等式的一般步骤是：（1）（2）（3）（4）例3、解不等式52312≥-++x x 。
例4、解不等式512≥-+-x x 。
例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。
练习：1解不等式|21|2|432|+-≥-x x2解不等式|||1|3x x +->3若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。
小结：（1） （2）作业：已知函数52)(---=x x x f（1）证明：3)(3≤≤-x f ；（2）求不等式158)(2+-≥x x x f 3基本不等式回顾：定理1定理2（基本不等式）说明：例题1：.,,222ac bc ab c b a c b a ++>++求证：为两两不相等的实数例题2：已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd定理3：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。
不等式的基本性质1
学习目标：
1.结合等式的性质类比学习不等式的 性质。 2.会运用不等式的性质解不等式。
生活与数学 情景一
2008年北京奥运会金牌榜 中国 美国 英国 51 36 19
英国金牌数比美国少,
美国金牌数比中国少, 英国金牌数比中国少.
19 < 36
36 < 51
19 < 51
情景初探 情景二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c; <
(3)若a<b,b<2a-1,则a
2a-1.
情景再探
合作互学
假设数学,语文两位老师 的年龄分别为a,b
数学老师比 语文老师年龄小.
①10年后谁的年龄大?
②20年之后呢? ③5年之前呢?
a < b
则a+10 < b+10
a+20 < b+20 a-5 < b-5
不等式的性质1:
不等式两边都加(或减去) 同一个数,不等式 .
不等式两边都加(或减去)同一个数,不等号的方向不变。
+4
(3)若a-4>0, > 则a
+4
> 4;
(4)∵0<1, ∴a
<
先 前 后 比 较 0.
再 定 不 等 号
a+1;
>
(5)若a＞-b,则a+b
大胆猜想
不等式的性质1：
不等式两边都加(或减去)同一个数（或式子）, 不等号的方向不变。
不等式两边都乘(或除以)同一个数(不为零), 不等号方向呢？
精讲导学
探索与发现 已知4<6,则
Ⅰ组:
不等式的基本性质-习题精选(一)
不等式的基本性质 习题精选（一）★不等式的基本性质1．不等式的基本性质1：如果a>b ，那么 a+c____b+c ， a －c____b －c ．不等式的基本性质2：如果a>b ，并且c>0，那么ac_____bc ．不等式的基本性质3：如果a>b ，并且c<0，那么ac_____bc ．2．设a<b ，用“<”或“>”填空．（1）a －1____b －1；（2）a+1_____b+1；（3）2a____2b ；（4）－2a_____－2b ；5）－a 2_____－b 2；（6）a 2____b2．3．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”填空．（1）若a －1>b －1，则a____b ；（2）若a+3>b+3，则a____b ；（3）若2a>2b ，则a____b ；（4）若－2a>－2b ，则a___b ．4．若a>b ，m<0，n>0，用“>”或“<”填空．（1）a+m____b+m ；（2）a+n___b+n ；（3）m －a___m －b ；（4）an____bn ；（5）a m ____b m ；（6）a n _____bn ；5．下列说法不正确的是（ ）A ．若a>b ，则ac 2>bc 2（c 0）B ．若a>b ，则b<aC ．若a>b ，则－a>－bD ．若a>b ，b>c ，则a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a 或x>a 的形式：（1）x －3>1；（2）－32x>－1；（3）3x<1+2x ；（4）2x>4． ［学科综合］7．已知实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（ ）A．bc>ab B．ac>ab C．bc<ab D．c+b>a+b8．已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x<21-a，则1－a是____数．9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（）A．3b<p<3a B．a+2b<p<2a+b C．2b<p<2（a+b） D．2a<p<2（a+b）［创新思维］（一）新型题10．若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件（）A．a>0 B．a<0 C．a=0 D．a≥0（二）课本例题变式题11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是（）A．由4x－1>2，得4x>1 B．由5x>3，得x>35 C．由x2>0，得x>2D．由－2x<4，得x<－2（三）易错题12．若a>b，且m为有理数，则am2____bm2．13．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点对？为什么？（四）难题巧解题14．若方程组2x+y=k+1x+2y=-1⎧⎨⎩的解为x，y，且3<k<6，则x+y的取值范围是______．（五）一题多解题15．根据不等式的基本性质，把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］16．如图13－2－2所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？［数学在生产、经济、科技中的应用］17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．（1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲商店中收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式．（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？［自主探究］18．命题：a，b是有理数，若a>b，则a2>b2．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；（2）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？［潜能开发］19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x>4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x>4x不是一回事吗？当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．［信息处理］20．根据不等式的基本性质，把下列不等变为x>a或x<a的形式：（1）1x2>－3；（2）－2x<6．解：（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以1x2>-322⨯⨯，得x>－6．（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变，所以-2x6>-2-2，得x>－3．上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的？［开放实践］21．比较a+b与a－b的大小．［经典名题，提升自我］［中考链接］22．（2004·山东淄博）如果m<n<0，那么下列结论中错误的是（）A．m－9<n－9 B．－m>－n C．11>n m D．mn>123．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（）A．a>b B．ab>0 C．ab>0 D．－a>－b［奥赛赏析］24．要使不等式…<753246a<a<a<a<a<a<a<…成立，有理数a的取值范围是（）A．0<a<1 B．a<－1 C．－1<a<0 D．a>1［趣味数学］25．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重．（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．答案1．> > > <2．（1）<（2）<（3）<（4）>（5）>（6）<3．（1）>（2）>（3）>（4）<4．（1）>（2）>（3）<（4）>（5）<（6）>5．C 点拨：a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．6．解：（1）x－3>1，x－3+3>1+3，（根据不等式的基本性质1）x>4；（2）－23x>－1，－23x·（－32）<－1·（－32），（根据不等式的基本性质3）x<32；（3）3x<1+2x，3x－2x<1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1）x<1；（4）2x>4，2x4>22，（根据不等式的基本性质2）x>2．7．A 8．负 9．D 10．B 11．B 12．错解：am2>bm2错因分析：m2应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况正解：：am2≥bm213．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．错解2：乙对，因为a为负数或零时，原不等式不成立．错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数，有三种情况：a为负数，a为正数，a为0，应全面考察各种．正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a>6a，②当a<0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．14．1<x+y<2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k．3<k<6，即3<3（x+y）<6，∴1<x+y<2．15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5，2x<4x－6，2x－4x<4x－6－4x，－2x<－6，-2x-6>-2-2，x>3．解法2：2x+5<4x－1，2x+5－2x<4x－1－2x，5+1<2x－1+1，6<2x，62x<22，3<x，即x>3．16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式，两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c>b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．17．解：（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1⨯70%⨯10=17（元），到乙商店购买20本，共需1⨯0．85⨯220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．（2）甲商店中，收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x－10），即y=0．7x+3（其中x>10）．（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3，解得x=30（本）．若到乙商店购买，则可买24÷（1 0．85）≈28（本）．30>28，故小明最多哥买30本．a>b18．解：（1）a，b是有理数，若a>b>0，则22（2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．19．解：乙同学的回答不正确，5a不一定大于4a．当a>0时，5a>4a>0；当a=0时，5a=4a=0；当a<0时，5a<4a<0．20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1”相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．21．解：a+b－（a－b）=2b，当b>0时，a+b>a－b；当b=0时，a+b=a－b；当b<0时，a+b<a －b．22．C 23．Da<a<a<0…，则24．B 点拨：a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且246这个负数一定小于－1，故应选B．25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．（2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
(完整版)《不等式的基本性质》练习题
2．2 《不等式的基本性质》练习题一、选择题（每题4分，共32分）1、如果m ＜n ＜0,那么下列结论中错误的是（ ）A 、m －9＜n －9B 、－m ＞－nC 、11n m > D 、1mn >2、若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、0ab < D 、－a ＞－b3、由不等式ax ＞b 可以推出x ＜ba ，那么a 的取值范围是（ ）A 、a≤0B 、a ＜0C 、a≥0D 、a ＞04、如果t ＞0,那么a ＋t 与a 的大小关系是（ ）A 、a ＋t ＞aB 、a ＋t ＜aC 、a ＋t≥aD 、不能确定5、如果34a a<--，则a 必须满足（ ）A 、a≠0B 、a ＜0C 、a ＞0D 、a 为任意数6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（） a 0b cA 、cb ＞abB 、ac ＞abC 、cb ＜abD 、c ＋b ＞a ＋b7、有下列说法：（1）若a ＜b ，则－a ＞－b ； （2）若xy ＜0，则x ＜0，y ＜0；（3）若x ＜0，y ＜0，则xy ＜0； （4）若a ＜b ，则2a ＜a ＋b ；（5）若a ＜b ，则11a b >； （6）若1122x y--<， 则x ＞y 。
其中正确的说法有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8、2a 与3a 的大小关系（ ）A 、2a ＜3aB 、2a ＞3aC 、2a ＝3aD 、不能确定二、填空题（每题4分，共32分）9、若m ＜n ，比较下列各式的大小：（1）m －3______n －3（2）－5m______－5n（3）3m -______3n - （4）3－m______2－n(5)0_____m －n（6）324m --_____324n -- 10、用“＞”或“＜”填空：（1）如果x －2＜3，那么x______5； （2）如果23-x ＜－1，那么x______32； （3）如果15x ＞－2，那么x______－10；（4）如果－x ＞1，那么x______－1； （5）若ax b >，20ac <，则x______b a. 11、x ＜y 得到ax ＞ay 的条件应是____________。
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高中数学-不等式的基本性质（一）练习
课后导练
基础达标
1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( )
A.-2<α-β<0
B.-2<α-β<-1
C.-1<α-β<0
D.-1<α-β<1
解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1.
∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0,
∴-2<α-β<0.
答案:A
2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( )
A.a>c,或b>c
B.a>c 且b<c
C.a>c 且b>c
D.a>c,或b<c
解析:∵a>c 且b>c ,∴a+b>c+c,即a+b>2c.
答案:C
3若x>1>y,下列不等式中不成立的是( )
A.x-1>1-y
B.x-1>y-1
C.x-y>1-y
D.1-x>y-x
解析:∵x>1>y,
∴x+(-1)>y+(-1),即B 正确;
x+(-y)>1+(-y),即C 正确;
1+(-x)>y+(-x),即D 正确.
故选A.
答案:A
4若m<0,n>0,且m+n<0,则下列不等式中成立的是( )
A.-n<m<n<-m
B.-n<m<-m<n
C.m<-n<n<-m
D.m<-n<-m<n
解析:∵n>0,m+n<0,
∴m<-n<0,-m>n,即n<-m.
∴m<-n<n<-m.故选C.
答案:C
5若0<a<b<1,m=log a b,n=log b a,p=a
1log b,则( )
A.p<m<n
B.p<n<m
C.m<n<p
D.n<m<p
解析:m>0,m,n 互为倒数,易得m<1<n,而p=-m<0.
答案:A
综合运用
6已知a<b<c,且a+b+c=0,则b 2-4ac 与0的大小关系是__________.
解析:由已知得a<0,c>0,∴4ac<0.∴b 2-4ac>0.
答案:b 2-4ac>0
7下列命题中真命题的个数为( )
①若a>b,且a,b 同号,则
a 1<
b 1 ②若a 1>1,则a<1 ③a≥b,且ac≥b
c ⇒c≥0 ④若a>b,n∈N *⇒a 2n+1>b 2n+1
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①∵a,b 同号,∴
ab 1>0.由a>b,两边同乘ab 1得ab b ab a >,即b 1>a 1,亦即a 1<b 1,因此①是真命题. ②由a 1>1可知a>0,给a
1>1两边同乘a 得1>a,综合得0<a<1,故②是假命题. ③ac≥bc,即c·(a -b)≥0,当a-b=0时,c 可取任意实数,特别地,当a=b=0时,c 可取负数,因此③是假命题.
④由a>b 可知a,b,0之间有三种可能性,即a>b≥0,a≥0>b,0>a>b.
若a>b≥0,则由性质(5)知a 2n+1>b 2n+1;
若a≥0>b,则a 2n+1≥0>b 2n+1;
若0>a>b,则(-b)>(-a)>0,
可得(-b)2n+1>(-a)2n+1,
即-b 2n+1>-a 2n+1,
即是a 2n+1>b 2n+1,
因此④是真命题.
答案:B
8设A=1+2x 4,B=2x 3+x 2,x∈R ,则A,B 的大小关系是____________.
解析:A-B=(x-1)2(2x 2+2x+1)≥0.
答案:A≥B
9若a,b,x,y∈R ,则⎩⎨⎧>--+>+0))((,b y a x b a y x 是⎩⎨⎧>>b
y a x ,成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(1)若⎩⎨⎧>--+>+,
0))((,b y a x b a y x ①②
由式②知(x-a)与(y-b)同号;
又由式①得(x-a)+(y-b)>0.
∴x -a>0,y-b>0,即x>a,y>b.
故充分性成立.
(2)若⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧>>.
0,0,,b y a x b y a x 则 ∴⎩
⎨⎧>--+>+,0))((,b y a x b a y x .故必要性成立. 综合(1)(2)知,应选C.
答案:C
拓展探究
10某顾客第一次在商店买x 件商品花去y(y≥1)元,第二次再买这种商品时,发现该商品已降价,且120件恰好降价8元,第二次比第一次多买10件,共花去2元,那么他第一次至少买这种商品几件?
解析:依题意
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+≥)2(,21208)(10()1(,1x y x y 由②得y=)
10(15)40()151102(++=-+x x x x x ≥1, ∵x+10>0,∴x(x+40)≥15(x+10).
∴x 2+25x-150≥0.
∴(x+30)(x -5)≥0.
∵x+30>0,∴x -5≥0,即x≥5.
答:第一次至少买5件商品.
备选习题
11若x<y<0,试比较(x 2+y 2)(x-y)与(x 2-y 2)(x+y)的大小.
解析:(用作差法比较)
(x 2+y 2)(x-y)-(x 2-y 2)(x+y)
=(x-y)［(x 2+y 2)-(x+y)2］=-2xy(x-y).
∵x<y<0,∴xy>0,x -y<0.
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x 2+y 2)(x-y)>(x 2-y 2)(x+y).
12令0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是( ) A.
2
1 B.a C.2ab D.a 2+b
2 解析:由题意,0<a<21<b<1,则a<2ab. 又由2ab≤2
)(2
b a +≤a 2+b 2, 得a<2ab<
21<a 2+b 2. 答案:D
13给出函数f(x)=x 2,对任意x 1,x 2∈R +,且x 1≠x 2,试比较
21［f(x 1)+f(x 2)］与f(221x x +)的大小关系.
解析:∵2
1［f(x 1)+f(x 2)］-f(221x x +) =
21 (x 12+x 22)-(221x x +)2
=21
x 12+21x 22-41x 12-41x 22-21
x 1x 2 =41
x 12+41x 22-21
x 1x 2 =41
(x 1-x 2)2
>0, ∴21［f(x 1)+f(x 2)］>f(22
1x
x +).
14若a<b<0,则下列不等式中,不能成立的是( ) A.a 1>b 1
B.|a|>|b|
C.a 2>b 2
D.b a -1>a 1
解析:∵b a -1-a 1=)()()
(b a a b
b a a b a a -=---<0,∴应选择D.
答案:D
15设a>0,且a≠1,试比较21log a t 与log a 21
+t 的大小.
解析: 21
log a t-log a 21
+t =log a t -log a 21+t =log a 12+t t
.
∵t+1-t 2=(t -1)2≥0, ∴t+1≥t 2.∴0<12+t t
≤1.
(1)当0<a<1时,log a 12+t t
≥0, ∴有21
log a t≥log a 21
+t (当且仅当t=1时取“=”).
(2)当a>1时,log a 12+t t
≤0, ∴有21
log a t≤log a 21
+t (当且仅当t=1时取“=”).
16若a,b,m,n 均为正数,且m+n=1,试比较nb ma +与b n a m +的大小. 解析:由已知nb ma +>0,b n a m +>0, (nb ma +)2-(b n a m +)2=ma+nb-m 2a-n 2b-ab mn 2
=m(1-m)a+n(1-n)b-ab mn 2=mna+mnb-ab mn 2 =mn(a+b-ab 2)=mn(b a -)2
. 因为m,n,a,b 均为正数，所以（nb ma +）2≥(b n a m +)2, 所以nb ma +≥b n a m +.。