数列求和第一课时公开课
高中数学数列求和优秀课件
小结与反思：
1.这节课中我们重点复习了数列求和 的哪两种方法？ 2.应用方法需要注意哪些问题？ 3.研究了哪一类问题？从中你获取的 数学经验是什么？
课后延展：
(2014·新课标全国卷Ⅱ)
已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明：an
+
1
2
是等比数列，并求{an}的通项公式；
+
+
(n
1 + 1)2
<
1
关键环节：
将 （n
1 1）2
放大为
(n
1 1)
2
-1
n
1 (n
2)
变式 5：(2014 年广东高考改编)证明：对一切正整数 n，有：
1+ 1 + 1 ++
1
<1
2×3 4×5 6×7
2n×(2n + 1) 3
提示：当 n≥2 时， 2n21n＋1<2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1，
(2)错位相减以后，要特别注意成等比数列的项的 首项a1是谁，并推敲成等比数列的项数是n还是n1,另外要特别小心错出去的两项相减后的正负;
(3)养成检验的习惯；
(4)最终答案仅有两项。
问题3：什么情况下可用裂项相消法？ 试举出一个简单的例子来说明
变式
1：求和 Sn
=
1 1×3
+
1 2×4
+
1 3×5
问题2.以下两个数列各用什么方法求其前n项和？
(1)
11 ,3 2
1，5 4
1 8
,7 1 ， 16
,(2n
等比数列求和的公开课教案
等比数列的求和公式一、教学重点、难点本节课的重点是公式的推导、错位相减法的推广使用；难点是公式的推导方法的应用。
二、教学目标：1．知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用推导方法解决与之有关的问题．2．过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．3．情感、态度与价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质。
三、教学过程1、创设情境，提出问题引入：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。
西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。
国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊 。
为什么？你能算出麦粒的总数吗？设问：同学们，你们知道国王给出多少小麦吗？引导学生写出麦粒总数为：?2 (22)216332=+++++2、师生互动，探究问题探讨1: 发明者要求的麦粒总数是？ 生：可能会直接利用公式qq a S n n --=1)1(1)1(≠q 求出答案126464-=S （1964108.112⨯≈-，以小麦千粒重为40克计算，麦子质量超过7000亿吨！2010年世界粮食总产量约为22.8亿吨，全世界人民不吃粮食也得300多年才能够生产7000亿吨。
）探讨2：上述的公式qq a S n n --=1)1(1)1(≠q 是怎么产生的？ 生：可能会说到错位相减法，但没有具体书写。
师：要求学生回忆教材，具体写出公式的推导方法。
设n n n a a a a a S +++++=-1321 ①乘以公比q ，n n n n qa a a a a qS +++++=-132 ②①-②：()n n qa a S q -=-11，当1≠q 时：()q q a q aq a q qa a S nn n n --=--=--=1111111 探讨3：还有别的推导方法吗？师：通过学生回忆数列的性质以及等比定理、乘法公式。
数列求和(错位相减法-公开课)
32 3n 3 3 2 (2n 1) 3 n1 6 (2 2n) 3n1 1 3
故Sn 3 (1 n) 3n1
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
Sn a1 a2 a3 an1 an
后一项都比前 一项多乘个q
Sn a1 a1q a1q a1q
2
2 3
n 2
a1q
n1
n1
n
①
②
qSn a1q a1q a1q a1q
①—② ，得
a1q
错 位 相 n 减 a1 an q 法 a1 a1q q 1时 : S n 错位相减法：来自展开，乘公比，错位，相减
即S n 1 2 2 2 2 (n 1) 2 n 1 n 2 n
2Sn 1 2 2 2 2 3 (n - 1) 2 n n 2 n1 ①-②得 Sn 1 2 1 2 2 1 23 1 2 n n 2 n1
公式法
(3)求数列{a n bn }的前n项和
分组求和法
新问题： 求数列{a n bn } 的前n项和
？
情景重现：
银行贷款问题
N年后，如果你自己开了公司，当了 老板，但是由于资金短缺，需向银行贷款 1000万。银行向你推荐了一个新的贷款 方案：
银行一次性借给你1000万元，你可以分30个月 偿还，第一个月还2元，第二个月还4元，第三个月 还8元，第四个月还10元，以此类推，每个月的还 款数是前一个月的两倍。 你能接受这个方案吗？
数列求和(公开课)
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之 差，即数列的每一项都可按此法拆成两 项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和， 这一求和方法称 为裂项相消法.
5.倒序相加法：如果一个数列 an ，与首末 两项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写与倒着写的两个和式相加， 有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来， 这一求和的方法称为倒序相加法。
课堂诊断
1 1 1 1 ． 数 列 ， ， ， „ ， 2· 5 5· 8 8· 11 1 ，„的前 n 项和为( B ) (3n－1)· (3n＋2) n n A. B. 3n＋2 6n＋4 n＋1 3n C. D. 6n＋4 n＋2
2 －1 2．已知数列{an}的通项公式是 an＝ n ， 2 321 其前 n 项和 Sn＝ ，则项数 n 等于( D ) 64 A．13 B．10 C．9 D．6
1 2 n 变式、求和： S n 2 n a a a
【解析】 (1)a＝1 时，Sn＝1＋2＋„＋n＝ n(n＋1) ； 2 1 2 3 n (2)a≠1 时，Sn＝ ＋ 2＋ 3＋„＋ n① a a a a n－1 1 1 2 n S n ＋ n＋1② n＝ 2＋ 3＋„＋ a a a a a 由①－②得
1 1 1－ n 2 2 1 ＝2 n－ ＝2n－1－ + 1 2n 1－2 1 ＝2n－2＋ n－1. 2
思维升华：要求和，先弄清通项（长什么 样用什么样的方法）！
错位相减法
例3、数列 {an }中a1 3,已知点（an , an 1）在 直线y x 2上， （ 1 ）求数列 {an }的通项公式； （2）若bn an 3 , 求数列 {bn }的前n项的和Tn .
数列求和公开课教案(1)
数列求和公开课教案(1)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《数列求和复习》教学设计开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。
本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。
二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。
采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。
先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。
在教学过程中采取如下方法：（1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；（2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
三、教学设计：1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。
化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。
2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。
教学难点：解题过程中方法的正确选择。
3、教学目标：(1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。
数列求和【公开课教学PPT课件】
1 2
Tn
1 2
3 22
5 23
2n 3 2n 1
2n1
2n
(1
1 2
)Tn
2
1 2
1 22
1 23
Tn
6
2n 3 2n1
1 2n2
2n 1 2n
3
2n 3 2n
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(2)Sn
a1(1 qn ) 1 q
2n 1, bn
an1 Sn Sn1
Sn1 Sn Sn Sn1
1 Sn
1 Sn1
Tn b1 b2 b3 bn
( 1 1 )( 1 1 ) ( 1 1 )
S1 S2
S2 S3
Sn
1 S1
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
考点二 分组、并项求和法
例2. 设等比数列{an}的通项公式为an＝3n ，等差数列{bn}的通项 公式为bn＝2n＋1.
(1)记cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn. (2)记dn＝(-1)nbn ，求数列{dn}的前n项和Tn.
解：(1)
cn an bn，an,bn分别为等差、等比数列。
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
考点一 倒序相加法
例1. 若数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．求
S Cn0a1 Cn1a2 Cn2a3 + Cnnan1
第讲数列的求和精选课件
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
高中阶段最全的数列求和(10种)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
4．处理非等差、等比数列旳求和，主要有两种思绪
(1)转化旳思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想措施往往经过通项分解或错位相减来完 毕．
(2)不能转化为等差或等比数列旳数列，往往经过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
5．“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最主要 旳措施．是高考要点考察旳内容，应熟练掌握．
(其中d＝an＋1－an)．
常见旳拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5.
1
1[ 1
1
]
即数列an的周期是 4,
a4=-1 又 a3 2 ,
故 a1+a2 +a3 +a4 =2 , a2009 a45021 a1 ,
a1+a2 +a3 +a4 +.......+a2009 502(a1+a2 +a3 +a4 ) a2009 1003
练习：
已知在数列 an
中，
a1
2
，
an1
(3)求数列1,3＋4,5＋6＋7,7＋8＋9＋10， …，前n项和Sn.
例1：求和：
1. 4 6 8 ……+（2n+2）
2.
11 1 1 2 22 23
1 2n
3. x x2 xn
10看通项，是什么数列，用哪个公式； 20注意项数
例2、已知lg(xy) 2
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1) 4
(1 4
1) 5
(1 1 ) n
2 n 2 2(n 2)
(
n
1 1
n
1
2
)
变式1
求11121213121341231n,(nN*)。
解：由题知
··· ···
··· 2[ 1 1 1 1 ]
1 2 2 3 3 4 n(n 1) ···
2n n 1
变式２：已知 an
Sn
na1
2
an
na1
nn 1
2
d
2.等比数列前n项和:
na1
q 1
Sn
a1
1
qn
q 1
1 q
基础训练
1． S n 为数列an 的前n项和an n(n 1)，则
S5 _______
2. 2 4 6 ... 2n _________
11 1
3.
1 ... _________
1 n n1
，若 an 前n项和
为10，则项数n为____1_2_0____.
即时小结
在什么情况下，用裂项求和？
点评：如果数列的通项公式可转化为 f n 1 f (n) 形式，常采用裂项求和的方法．特别地，
当数列形如
an
1 an
1
，其中
a
n
是等差数列，可尝试采用此法．
小结:
1.公式法:直接利用等差等比数列的求和公式
2.倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项 之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，有公因式可提，并且剩余的 项的和可求出来，这一求和的方法称为倒序相加法
3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个 等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
4.分组转化法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这 类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和， 再将其合并即可.
5.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此 法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首 尾若干少数项之和，这一求和方法称 为裂项相消法.
巩固练习
1、求和：1 1 2 1 3 1 [n (1)n ]
2 48
2
1 2
n(n 1)
1 2n
1
1 2、求和：1 3
基础训练:
1． S n 为数列an 的前n项和an n(n 1)，则
S5 __7__0___
2. 2 4 6 ... 2n __n__2___n__
11
1
2 1
3. 1 2 4 ... 2n ______2_n__
复习:
数列{a }的前n项和 n
S n
a1
a2
an
1.等差数列前n项和:
化简数列 an
f (0)
f (1) n
f (2) n
f (n 1) n
f (1)
分析:
数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和。 根据数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和 的目的。（联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小
时候巧解算术题）。
倒序相加法
（2）求数列前n项的和2 224 Nhomakorabea2n
公式求和
变式1
···
=(2+4+···+2n)
··· ···
变式2：求和 ···
解：由题知
···
···
(2 1) (22 1) (2n 1)
···
想一想
···
分组求和
❖ 即时总结： 求前n项和关键的第一步：
例1
(1) 函数 f (x) 对任意 x R 都有 f (x) f (1 x) 1 2
1 3
5
(2n
1 1)(2n
1)
n 2n 1
3． f (x) 1 ，则 f (5) f (4) f (0) f (6) 3 2
2x 2
4．502 492 482 472 ... 22 12 _1__2__7__5
设 Sn
2 4 2 22
6 23
2n 2n
①
1
246
2n
2 Sn
22
23
24
2 n1
②（设制错位）
①－②得(1
1 2
)S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
22nn（1 错位相减）
∴
1
2n
2
n2
2 n1
2 n1
Sn 4 2n1
例2
裂项相
消
求和
Sn
1 23
1 3 4
1 45
,
4 22
,
6 23
, ,
2n 2n
,
分析
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
错位相减法
求数列前n项的和.
2, 2
4 22
,
6 23
, ,
2n 2n
,
解：由题可知，{
2n
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
1
}的通项之积
2n
2n
(n
1 1)(n
2)
分析：此 数列为特殊数列，其 通项的 分母是两个因式之积，且两数 相差1
若把通项作适当变形为 1 1 1 ，
(n 1)(n 2) n 1 n 2
求和
Sn
1 23
1 3 4
1 45
(n
1 1)(n
2)
解:
1
11
an
(n
1)(n
2)
n
1
n
2
Sn
(
1 2
1) 3
(1 3