东华大学画法几何及工程制图-第1章-点和直线
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机械制图 第一章点与直线
b c‖b‖=CB实长, 倾斜于投影轴。 c’b’∥OZ轴，cb ∥OYH轴，均小于实长。
YH
投影面平行线的投影特性
1、在所平行的投影面上的投影反映实长， 其与投影轴的夹角反映直线与相应投影 面的倾角。 2、另外两个投影平行相应的投影轴。
3、投影面垂直线
V Z 正 垂 线 a’(c’)
Z
c‖
a‖
V
z
b
B b
W
b′
a′
X
b″
a″
a
A
β
γ
b
a
o
YW
a H
b
a
YH
三个投影都与投影轴倾斜且都不反映实长。 ab=ABcosα a’b’=ABcosβ a‖b‖=ABcosγ
2、投影面平行线
Z V b’ X a’
正平线
a’
X
γ α
b’
Z
b‖
a‖
O YW
0 A a’’ W α γ b’’ H b a Y
定比定理
例1：判断点C是否在线段AB上。
① a c b ②
a
c
●
b b a c b
a
c
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例2：判断点K是否在线段AB上。
a k● b a k● b a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法?
应用定比定理
a′ k’ b′
b c● a k d
a
c
d
k
●
b
先作正面投影
3、两直线交叉
a c c a 1(2 ) 3 4
●
d
YH
投影面平行线的投影特性
1、在所平行的投影面上的投影反映实长， 其与投影轴的夹角反映直线与相应投影 面的倾角。 2、另外两个投影平行相应的投影轴。
3、投影面垂直线
V Z 正 垂 线 a’(c’)
Z
c‖
a‖
V
z
b
B b
W
b′
a′
X
b″
a″
a
A
β
γ
b
a
o
YW
a H
b
a
YH
三个投影都与投影轴倾斜且都不反映实长。 ab=ABcosα a’b’=ABcosβ a‖b‖=ABcosγ
2、投影面平行线
Z V b’ X a’
正平线
a’
X
γ α
b’
Z
b‖
a‖
O YW
0 A a’’ W α γ b’’ H b a Y
定比定理
例1：判断点C是否在线段AB上。
① a c b ②
a
c
●
b b a c b
a
c
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例2：判断点K是否在线段AB上。
a k● b a k● b a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法?
应用定比定理
a′ k’ b′
b c● a k d
a
c
d
k
●
b
先作正面投影
3、两直线交叉
a c c a 1(2 ) 3 4
●
d
12 画法几何总复习
AD
30°
高AD的Z差
b′ d′
CDorDB
e′ c′
cd
f′
X
e c
d b
a
f
三、平面的投影
（习题集P14-16）
1、平面的表示法（几何元素表示、迹线表示） 2、各种位置平面（投影特性、判断） （垂直面：垂直一个投影面，倾斜两个投影面） （平行面：平行一个投影面，垂直两个投影面） （一般面：与三个投影面都倾斜） 3、平面上的直线和点 4、平面的最大斜度线（角度线）
直角三角形的四要素：实长、倾角、投影长、坐标差。 四个要素中只要知道任意两个要素，均可求得另外两个要 素，但须清楚诸要素之间的关系。 注意投影长、坐标差、倾角均对同一投影面
坐标差 △X 坐标差 △Y 坐标差 △Z
实长
倾角 倾角 倾角
投影 W面投影 a〝b〝 投影 V面投影 a′b′ 投影 H面投影 a b
b.完成已知平面上的点和直线的投影； c.完成多边形的投影。
（2）属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线
e k a
b f c 1 g
2 m n 3
b a k
e
f
EF属于ABC
c 1
2
3 n
g
m
K属于ABC
G不属于ⅠⅡⅢ
MN不属于ⅠⅡⅢ
关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上
反之，若两直线同一投影面上的投影均平行，则此二直线平行。 平行两线段之比等于其同面投影之比。
（2）相交的两直线
d
d
k
b
B K D X
k a
b
a
X
c
c k d
c
C Ac a
b
30°
高AD的Z差
b′ d′
CDorDB
e′ c′
cd
f′
X
e c
d b
a
f
三、平面的投影
（习题集P14-16）
1、平面的表示法（几何元素表示、迹线表示） 2、各种位置平面（投影特性、判断） （垂直面：垂直一个投影面，倾斜两个投影面） （平行面：平行一个投影面，垂直两个投影面） （一般面：与三个投影面都倾斜） 3、平面上的直线和点 4、平面的最大斜度线（角度线）
直角三角形的四要素：实长、倾角、投影长、坐标差。 四个要素中只要知道任意两个要素，均可求得另外两个要 素，但须清楚诸要素之间的关系。 注意投影长、坐标差、倾角均对同一投影面
坐标差 △X 坐标差 △Y 坐标差 △Z
实长
倾角 倾角 倾角
投影 W面投影 a〝b〝 投影 V面投影 a′b′ 投影 H面投影 a b
b.完成已知平面上的点和直线的投影； c.完成多边形的投影。
（2）属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线
e k a
b f c 1 g
2 m n 3
b a k
e
f
EF属于ABC
c 1
2
3 n
g
m
K属于ABC
G不属于ⅠⅡⅢ
MN不属于ⅠⅡⅢ
关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上
反之，若两直线同一投影面上的投影均平行，则此二直线平行。 平行两线段之比等于其同面投影之比。
（2）相交的两直线
d
d
k
b
B K D X
k a
b
a
X
c
c k d
c
C Ac a
b
画法几何点、直线与平面的投影PPT课件
详细描述
在工程制图中，我们需要一种能够真 实反映物体形状和大小的投影方法。 由于正投影不改变点的形状、大小和 方向，只是改变点的可见性，因此它 成为工程制图中常用的投影方法。通 过正投影，我们可以准确地绘制出物 体的三视图，从而为后续的施工和制 造提供准确的依据。
点的斜投影
总结词
点的斜投影是指光线倾斜于投影面时，点的投影。
详细描述
当光线倾斜于投影面时，点的投影是一个线段，该线段的长度等于点到投影面的 垂直距离，方向与光线方向一致。斜投影会改变点的形状和大小，但不会改变点 的方向。在某些情况下，斜投影可以用来表示物体的轮廓或表面纹理。
点的斜投影
总结词
斜投影可以用于表示物体的轮廓或表面纹理。
详细描述
由于斜投影会改变点的形状和大小，但不会改变点的方向，因此它可以用来表示物体的轮廓或表面纹理。在绘制 建筑物的外观或机械零件的表面细节时，斜投影可以提供更丰富的视觉效果和更准确的表达方式。通过调整光线 的角度和距离，我们可以更好地展示物体的形态和质感。
点的中心投影
总结词
点的中心投影是指光线通过一个固定点投射到投影面上时，点的投影。
详细描述
当光线通过一个固定点投射到投影面上时，点的投影是一个圆或椭圆，其形状取决于点与投影面的距 离以及光线的角度。中心投影可以用来绘制圆形或多边形的物体，例如球体或圆柱体。它也可以用于 绘制具有复杂曲面的物体，如人物或动物的面孔。
点的中心投影
要点一
总结词
中心投影可以用于绘制圆形或多边形的物体以及具有复杂 曲面的物体。
要点二
详细描述
中心投影是一种特殊的投影方法，它通过将光线通过一个 固定点投射到投影面上来形成点的投影。由于其特殊的性 质，中心投影可以用来绘制圆形或多边形的物体，如球体 或圆柱体等。同时，它也可以用于绘制具有复杂曲面的物 体，如人物或动物的面孔等。通过调整光线角度和距离， 我们可以准确地绘制出物体的三维形态和细节特征。
东华大学画法几何及工程制图-第1章-点和直线
判断两直线的相对位置 方法二
c
d b a k c d
方法一
X
a’s’ s’b’ b0 s0
b a s b
c d
X
a k b c
d
a s : s b= as : sb 结论：AB平行CD
11:14:59 东华大学机械工程学院
AB、CD同面
36
§1.5 点、直线的相对位置－两直线的相对位置－相交 C K B Z b b c A D c k k d d a a c a b k O H X c b
Y
X
O a
B
b
b
东华大学机械工程学院
11:14:59
17
§1.3 直线的投影-各类直线的投影特性－特殊位置直线－正平线
b
Z
B
Z b b
a
a
b
a
X
O
a
YW
A
X
a
O
b
a
b YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ 2． a b=AB 3． 反映、的真实大小
东华大学机械工程学院
10
第1章 点和直线
§1.1 点的投影
§1.2 两点的相对位置
§1.3 直线的投影
§1.4 直线段的实长和对投影面的倾角
§1.5 点、直线与直线的相对位置
机械工程学院
§1.2 两点的相对位置-相对位置的确定
b
a
A
B
b a
前后－左右－上下
XA > XB , B点在A点右 YA < YB , B点在A点前 ZA < ZB , B点在A点上
画法几何及工程制图解题指导
29.07.2021
.
61
P40-2
29.07.2021
.
62
P415-13（1） 作出圆柱与圆 环偏交的相贯 线的投影。
29.07.2021
.
63
P41 5-13 （2）作出 圆锥与球面 偏交的相贯 线的投影。
29.07.2021
.
64
P42 514（1） 作出圆 锥与圆 柱斜交 的相贯 线的投 影。
分析：到A、B两点距离相等 的点的轨迹是中垂面。
a’ a
b’ m’
m b
29.07.2021
.
15
2-8（4）已知ΔABC垂直ΔDEF，作出ΔABC的水平投影。
l’
e’
b’ m’
分析：1、两平面
k’ 垂直，过其中一
c’ 个平面内一点向
d’ f’ a’
另一平面所作垂
a e
线一定在该平面 内；
2、用面上求点的
ΔZ
a’
1’
d’
b
m
ΔZ
a
α
c 1
29.07.2021
.d
8
2—3（4）已知ΔABC平面对V面的倾角β1=300，作出该三角形的水平投 影（bc//X轴）。
b’ m’
a’ 300
1’ c’
bm
c
29.07.2021
a
解不唯一
.
9
分析：ΔABC是铅 垂面，与ΔABC平
2-4（4）已知平面ABC平行于平面DEF，且相距20mm , 求平面DEF的水平投影。
d
.
此时无解
30
H V1
c’ a’
a a1’ b1’
画法几何第一章课件
3.投影面垂直线：垂直于一个投影面且与其他两个投影面 平行。
正垂线 铅垂线 侧垂线
直线的投影
a
A X
Z
b
a
B O
a b
投影面倾斜线
•a b、 ab、a b
均小于实长；
•a b、ab、a b均
b 倾斜于投影轴；
•投影a b、 ab、 a b不能反映 、 、 实际大小；
Y
直线的投影
正平线
b
Z
Z
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
X
a
b
a
b
YH
投影特性：
1．
ab
∥
Y
OX ;
a
b∥
OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
直线的投影
Z
水平线
a
Z
b
a
b
a
b
A
a
X
O
B
YW
b
X
a
a
b b YH
Y
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
直线的投影
a
A
侧平线
Z
a
第一节 点的投影 第二节 两点的相对位置
第三节 直线的投影 第四节 直线段的实长和对投影面的倾角 第五节 点、直线与直线的相对位置
点的投影
第一节 点的投影
一、点的三面投影图
az
a YA A XA
ZA
ax
a
V — 正投影面 H — 水平投影面
正垂线 铅垂线 侧垂线
直线的投影
a
A X
Z
b
a
B O
a b
投影面倾斜线
•a b、 ab、a b
均小于实长；
•a b、ab、a b均
b 倾斜于投影轴；
•投影a b、 ab、 a b不能反映 、 、 实际大小；
Y
直线的投影
正平线
b
Z
Z
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
X
a
b
a
b
YH
投影特性：
1．
ab
∥
Y
OX ;
a
b∥
OZ
2． a b=AB
3． 反映、角的真实大小
直线的投影
Z
水平线
a
Z
b
a
b
a
b
A
a
X
O
B
YW
b
X
a
a
b b YH
Y
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
直线的投影
a
A
侧平线
Z
a
第一节 点的投影 第二节 两点的相对位置
第三节 直线的投影 第四节 直线段的实长和对投影面的倾角 第五节 点、直线与直线的相对位置
点的投影
第一节 点的投影
一、点的三面投影图
az
a YA A XA
ZA
ax
a
V — 正投影面 H — 水平投影面
画法几何与工程制图第一章(点、线)
10
07
四、平行投影特性
5) 同类性 点的投影仍是点;直线的投影在一般情况下仍是直线;平面 的投影一般情况下是原图形的类似性。
11
07
四、平行投影特性
6) 从属性 点在直线上,则点的投影在该直线的投影上。
12
07
视图
投 影
• 正投影法 能正确 表达空间物体的形 状和大小，作图方 便，因此在工程制 图中广泛应用
教材： 教材：第一章
6
04
二、中心投影法
灭点 投影面
中心投影法
投影 中心
• 投射线汇交于一点的投影法称为中心投影法 • 采用中心投影法原理画出的图称透视投影图 • 其投影不反映物体真实大小和形状，机械图样不采用
7
05
平行投影法
斜 投 影 法
投射线相互平行的投影方法 投射线 投影
投影方向
正 投 影 法
29 教材 P.12
34
水平线
二、直线对投影面的相对位置及其投影特性
3）投影面垂直线
根据直线对投影面的相对位置，可把直线分为三类： 1）投影面倾斜线（一般位置直线） 2）投影面平行线 ）
2）投影面平行线 ）
b) 水平线（AB ‖H 面） 水平线（ 1. ab =AB 2. a’b’‖ OX， a’b’<AB， OX， <AB， 3. H 面投影反映β 、γ
教材 P. 14
19
第一节 点的投影
二、点在三投影面体系中的投影3 点在三投影面体系中的投影
2、点的投影规律 、 (1) 点的正面投影和水平投影的连线垂直 轴 a’a⊥OX 点的正面投影和水平投影的连线垂直X轴 ⊥ (2) 点的正面投影和侧面投影的连线垂直 轴 a’a”⊥OZ 点的正面投影和侧面投影的连线垂直Z轴 ⊥ (3) 点的水平投影到 轴的距离等于侧面投影到 轴的距离， 点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到 轴的距离， 轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离 20 即 aaX= a”aZ 教材 P. 15
画法几何及工程制图-第1章-点和直线详解
b
Y
YH
投影特性： 1． a b 积聚 成一点
2． ab OX ;
a b OZ
2015-11-13
ab a 3． 东华大学机械工程学院
=
b
21
§1.3 直线的投影-各类直线的投影特性－特殊位置直线－铅垂线
a
Z
a
Z a
A
a
b
b
b
X
O
X
O
YW
b
B
a(b)
a(b)
YH
Y
投影特性：1． ab 积聚 成一点
机械工程学院
§1.1 点的投影-点的三面投影图
正投影面
Z投az侧影立轴投影面
a
a
A
O
aY
aX X投影轴
a
Y投影轴
水平投影面
2015-11-13
东华大学机械工程学院
3
§1.1 点的投影-点的三面投影图
az
a
a
A
aY ax
a
V — 正投影面 H — 水平投影面 W — 侧立投影面
点A的水平投影 — a 点A的正面投影 — a 点A的侧面投影 — a
Z
e
e
c(d ) d c
X
O
YW
d
e(c)
YH
C点和D点：XC＝XD，ZC ＝ZD， YC＞YD C点和E点：XC＝XE，YC ＝YE， ZE＞ZC
2015-11-13
东华大学机械工程学院
14
ü§1.1 点的投影 ü§1.2 两点的相对位置 ü§1.3 直线的投影 ü§1.4 直线段的实长和对投影面的倾角 ü§1.5 点、直线与直线的相对位置
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Z
e
c (d ) X d d
e
c YW
O
e (c)
YH
C点和D点：XC＝XD，ZC ＝ZD， YC＞YD C点和E点：XC＝XE，YC ＝YE， ZE＞ZC
11:14:59 东华大学机械工程学院 14
第1章 点和直线
§1.1 点的投影
§1.2 两点的相对位置
§1.3 直线的投影
§1.4 直线段的实长和对投影面的倾角
Aa = aaY = aaZ = OaX =XA Aa = aaX = aaZ = OaY = YA Aa= aaX =aaY = OaZ =ZA
11:14:59 东华大学机械工程学院 8
§1.1 点的投影-三投影面体系中点的投影规律
Z V
正面投影 a
ZA
W 侧面投影 a az
aa X轴 aaZ = aaYH = XA aa Z轴 aaX =aaYW =ZA aaX =aaZ =YA
a X a c
11:14:59
c
b b d a c X
d
d
d
a O
c YW
d a b d b c YH
38
东华大学机械工程学院
§1.5 点、直线的相对位置－两直线的相对位置－交叉-例子
a
1’(2)
c
X
b a
2
d
d
c
1
b
结论：AB、CD交叉
11:14:59
东华大学机械工程学院
11Hale Waihona Puke 14:59 东华大学机械工程学院 18
Y
§1.3 直线的投影-各类直线的投影特性－特殊位置直线－水平线 Z Z a b a b a
A
b
a
B
X
O
X
a
O
b a
YW
b Y
b
YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW 2． ab=AB 3．反映、 角的真实大小
实长
a X a
ab
b
实长
|zA-zB|
怎么求？
28
11:14:59
东华大学机械工程学院
§1.4 直线段的实长和对投影面的倾角－作图方法－例子
[例]
已知直线AB的实长L和a b 及a ，求水平投影ab 。
A B
L
b
a
X
b2 a b1
b0
a b
A0
11:14:59
东华大学机械工程学院
判断两直线的相对位置 方法二
c
d b a k c d
方法一
X
a’s’ s’b’ b0 s0
b a s b
c d
X
a k b c
d
a s : s b= as : sb 结论：AB平行CD
11:14:59 东华大学机械工程学院
AB、CD同面
36
§1.5 点、直线的相对位置－两直线的相对位置－相交 C K B Z b b c A D c k k d d a a c a b k O H X c b
aY
ax
点A的水平投影 — a 点A的正面投影 — a 点A的侧面投影 — a
a
11:14:59
东华大学机械工程学院
4
§1.1 点的投影-点的三面投影图
11:14:59
东华大学机械工程学院
5
§1.1 点的投影-点的三面投影图
Z V
正面投影 a
ZA
az
侧面投影 a
W
X
aX
YA
XA
O
aYW
YW
11:14:59 东华大学机械工程学院 31
§1.5 点、直线的相对位置－直线上点-点分割线段成定比 b b
Z
b
c
a
C
B
b c” a a X
c
O b c a YH
c
a YW
A c a
b
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 点分割线段成定比，则分割两线段的各个同面投影之 比等于其两线段之比—定比性。
11:14:59 东华大学机械工程学院 22
§1.3 直线的投影-各类直线的投影特性－特殊位置直线－侧垂线
Z
a b a(b) A X O B X
a
b
Z
a(b)
O
YW
a
a
b YH
b
Y
投影特性： 1． ab 积聚 成一点 2． ab OYH ; ab OZ 3． ab = ab =AB
11:14:59 东华大学机械工程学院 19
§1.3 直线的投影-各类直线的投影特性－特殊位置直线－侧平线 Z Z a a
a A b
a b X O a b B b b YH
b
a
X
O
YW
Y
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH 2． ab =AB 3．反映 、 的真实大小
d
YW
空 间两相 交直线 的投影 a 必 定相交 ，且两 直线交 点 的投影 必定为 两直线 投影的交点。
k
d YH
11:14:59
东华大学机械工程学院
37
§1.5 点、直线的相对位置－两直线的相对位置－交叉 C 若空间存在既不平行也不相交的直线， B 则两直线交叉。 D A Z b b
a H c
29
第1章 点和直线
§1.1 点的投影
§1.2 两点的相对位置
§1.3 直线的投影
§1.4 直线段的实长和对投影面的倾角
§1.5 点、直线与直线的相对位置
机械工程学院
§1.5 点、直线的相对位置－直线上点-直线上点的投影 a
c
A
Z
b
a c
C
X a
c
B
O
b
b
Y
点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上； 反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一 定在直线上—从属性。
画法几何及工程制图
Descriptive Geometry and Engineering Drawing
国家十一五规划教材配套课件
机械工程学院
第1章 点和直线
§1.1 点的投影
§1.2 两点的相对位置
§1.3 直线的投影
§1.4 直线段的实长和对投影面的倾角
§1.5 点、直线与直线的相对位置
机械工程学院
正垂线
侧垂线
16
东华大学机械工程学院
§1.3 直线的投影-一般位置直线的投影图 Z a
b
A
a
一般位置直线，与三个 投影面都倾斜的直线—— 投影面倾斜线。
•a b、 ab、a b 均小于实长； •a b、ab、a b均 倾斜于投影轴； •投影a b、 ab、 a b不能反映 、 、 实际大小。
C
a c b d X
b
Z d
b
d
a c
O b
a
c YW
空间两平行直线的投影 必定互相平行；反之若 a 两直线的各组同面投影 都互相平行，则两直线 c 在空间必互相平行。
11:14:59 东华大学机械工程学院
d
YH
35
§1.5 点、直线的相对位置－两直线的相对位置－平行-例子
[例]
a s
东华大学机械工程学院
方法二
33
§1.5 点、直线的相对位置－两直线的相对位置
平行
A C a c H
B
D
相交
A
C
K
B D d
a b
d
H
c
k B
b
交叉
A a
C
垂直
B c
c D C b b d
东华大学机械工程学院
A
a
34
H
11:14:59
H
§1.5 点、直线的相对位置－两直线的相对位置－平行 B D A
O
a
b
11:14:59
东华大学机械工程学院
12
§1.2 两点的相对位置-重影点的投影
可见性
e c （d） e
E D
d
c
C
d e （c ）
当两点的某两个坐标相同，处于同一投射线上，对某一投 影面具有重合的投影，这两点称为对该投影面的重影点。
11:14:59 东华大学机械工程学院 13
§1.2 两点的相对位置-重影点的投影
§1.5 点、直线与直线的相对位置
机械工程学院
§1.3 直线的投影-各类直线的投影特性
一般位置直线：
★投影面倾斜线：和三个投影面都倾斜。
特殊位置直线:
★投影面平行线：平行于一个投影面且与其
它两个投影面倾斜。
正平线 水平线 侧平线
★投影面垂直线：垂直于一个投影面且与其
它两个投影面平行。
铅垂线
11:14:59
11:14:59 东华大学机械工程学院 32
§1.5 点、直线的相对位置－直线上点的投影－点分割线段成定比
[例题]已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s， 求水平投影s。
Z
a s a s〃 a s
b
b
b
X
a
YW s
X
a s b a’s’ a’b’
b
方法一
11:14:59
YH
X
aX
YA
XA
O
aYW
YW
a H 水平投影
aYH
YH