人教版数学八年级下册 18.2 特殊的平行四边形正方形同步测试

《正方形》基础练习1．下列命题中的真命题是（ ）．A ．有一组邻边相等的四边形是菱形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．有一组对边平行的四边形是梯形D ．对角线相等的菱形是正方形2．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ）．A ．平行四边形B ．正方形C ．等腰梯形D ．矩形3．正方形的面积为4，则它的对角线长为 ．4．如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE =AC ，则∠BCE 的度数是 度．5．如图，正方形ABCD 的周长为16cm ，顺次连接正方形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长等于 cm ，四边形EFGH 的面积等于 cm 2．参考答案1． D 解析：根据菱形．矩形．梯形．正方形的判定作出判断：A ．假命题，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形；B ．假命题，例如等腰梯形，对角线也相等；C ．假命题，例如平行四边形的一组对边也平行；D ．真命题，符合矩形的判定定理．2． B 解析：平行四边形的对角线互相平分；等腰梯形的对角线相等；矩形的对角线相等且互相平分；正方形的对角线相等且互相垂直平分．故选B ．3． 解析：正方形的面积为4，可得其边长为2，由勾股定理易得其对角线长为4． 22．5 解析：由AC 是正方形ABCD 的对角线，可得∠CAE =∠ACB =45°，又AE =AC ，得()11804567.52ACE ∠=︒-︒=︒， 故67.54522.5BCE ACE ACB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．5．；8 解析：正方形ABCD 的周长为16cm ，则它的边长为4 cm ，对角线是．顺次连接正方形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，所以利用中位线性质可得四边形EFGH 的边长为cm ．∴四边形EFGH 的周长等于cm ．由正方形的定义可知四边形EFGH 是正方形，所以面积等于8 cm 2．《正方形》拓展练习1．点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）．A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°2．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ， 连接EF ．给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形； ④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的序号是 ．3． 以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．（1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°），① 试用含α的代数式表示∠HAE ；② 求证：HE =HG ；③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．4．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h （1h ＞0，2h ＞0，3h ＞0）．（1）求证：1h =3h ；（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S =21221)(h h h ++；（3）若12321=+h h ，当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积S 随1h 的变化情况．参考答案1．C解析：过点E 作EF ⊥AF ，交AB 的延长线于点F ，则∠F =90°，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD =AB ，∠A =∠ABC =90°．∴∠ADP +∠APD =90°． 由旋转可得：PD =PE ，∠DPE =90°，∴∠APD +∠EPF =90°．∴∠ADP =∠EPF ． 在△APD 和△FEP 中，∵∠ADP =∠EPF ，∠A =∠F ，PD =PE ，∴△APD ≌△FEP （AAS ）．∴AP =EF ，AD =PF ．又∵AD =AB ，∴PF =AB ，即AP +PB =PB +BF ．∴AP =BF ．∴BF =EF又∵∠F =90°，∴△BEF 为等腰直角三角形．∴∠EBF =45°．又∵∠CBF =90°，∴∠CBE =45°．故选C ．2．①、②、④、⑤．解析：作PM ⊥AB 于点M ，易证∴△APM ≌△FEP ，∴AP =EF , ∠PFE =∠BAP ．故①、④正确．延长AP 交EF 于点N ．∵∠BAP +∠APM =90°，∠APM =∠FPN ，∴∠PFE +∠FPN =90°．∴∠PNF =90°．即AP ⊥EF ．故②正确．由PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，正方形ABCD ，易得四边形ECFP 是矩形, △DFP 为等腰直角三角形．∴PF =EC , PD = 2PF ．∴PD = 2EC ．故⑤正确．l l l l∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴AD AP AD≤≤，0DP＜．∴不能保证△APD一定是等腰三角形．故③不正确．3．解：（1）四边形EFGH是正方形．(2) ①∠HAE=90°＋a．在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a．∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°．∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AEAB，DGCD．在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG．∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，∴∠DHA=∠CDG= 45°．∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD．∴△HAE≌△HDG．∴HE=HG．③四边形EFGH是正方形．由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE．∴四边形EFGH是菱形．∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE．又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°．∴四边形EFGH是正方形．4．解：（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CG⊥l3交l3于点G，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°．∵l2∥l3，∴∠2 =∠3．∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4．又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC．∴AE=CG，即1h=3h．llll（2）∵∠F AD +∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠F AD =∠4．又∵∠AFD =∠DGC =90°, AD =DC ，∴△AFD ≌△DGC ．∴DF =CG =3h =1h ． ∵AD 2=AF 2+FD 2，∴S =21221)(h h h ++．(3)由题意，得12321h h -=， 所以 5452451452312112121211+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=h h h h h h S 又⎪⎩⎪⎨⎧〉-〉0231011h h ，解得0＜h 1＜32． ∴当0＜h 1＜52时，S 随h 1的增大而减小； 当h 1=52时，S 取得最小值54； 当52＜h 1＜32时，S 随h 1的增大而增大． 《正方形》拔高练习1．下列说法不正确．．．的是（ ）． A ．一组邻边相等的矩形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．如图，从边长为（a +1）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a ﹣1）cm 的正方形 （a ＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是( )．A ．2 cm 2B ．2a cm 2C ．4a cm 2D ．（a 2﹣1）cm 23． 正方形ABCD 的边长为a ,点E 、F 分别是对角线BD 上的两点，过点E 、F 分别作AD 、AB 的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 ．4． 如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点， 1DE =．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ABE '，连接EE '，则EE '的长等于 ．5．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点,∠AEF =90°，EF 交正方形外角平分线CF 于点F ，取边AB 的中点G ，连接EG ．（1）求证：EG =CF ；（2）将△ECF 绕点E 逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF 与EG 的位置关系．参考答案1． D 解析：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D 不正确，选D ．2． C 解析：根据题意得出矩形的面积是()()22114a a a +--=（cm 2）．故选C ． 3．212a 解析：正方形ABCD 是轴对称图形，得阴影部分的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，即212a ．4． 解析：∵△ADE 顺时针旋转90︒得△ABE '，∴1BE DE '==．∵正方形ABCD 的边长为3，∴314CE BC BE ''=+=+=,312CE CD DE =-=-=,90C ∠=︒．∴EE'==5．解：（1）证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，∴AG=BG=EC=EB，∠B=90°．∴△BEG为等腰直角三角形．∴∠AGE=180°﹣45°=135°．又∵CF为正方形外角平分线，∴∠ECF=90°+45°=135°．∴∠AGE=∠ECF．∵∠AEF=90°，∴∠GAE=90°－∠AEB=∠CEF．∴△AGE≌△ECF（ASA）．∴EG=CF．（2）画图如图所示：旋转后CF与EG平行．。