棱锥的体积PPT课件

A’ C’
3
B’
2
１
A C
连接B’C,然后 把这个三棱柱 分割成三个三 棱锥。 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’
F B θ E C D
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ S△ABC· ADcosθ
C
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’
3
B’ B’
C’
2 2 1
A
A
B’ B’
2
B’ 2
1 1
A
高
1
C
C C C C C C C
A
三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
B
复习： 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
3、柱体体积公式的ห้องสมุดไป่ตู้导：
柱体体积公式的推导：
等底面积等高的几个柱体 被平行于平面α的平面所截
截面面积始终相等
体 积 相 等
∵V长方体＝abc ∴V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
α
问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？
根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’
C’ C’ C’ C’ C’ C’
B’ B’ B’ B’ B’ B’
3
2 １
A A A A A A
B’ B’ B’ B’ B’ B’ B’
C C C C CC C C C C C C
就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。
B B B B BB B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
A’ A’ A’
3 2
B’ B’
C’
1
A C
B
三棱锥1、2的底 △ABA’、△B’A’B 的面积相等。
2
1
A
C
B’
3
B’
C’
C C
B
B
V1＝V2＝V3＝
V三棱锥
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
定理证明： 已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h. 求证: V三棱锥＝ Sh 证明:把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱 柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三 棱锥1和另两个三棱锥2、3。 A’ C’ 三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等， 3 高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底 B’ 2 △BCB1、△C1B1C 的面积相等，高也相等 １ （顶点都是A1） ∵V1＝V2＝V3＝ V三棱锥。 C A ∵V三棱柱＝ Sh。 ∴V三棱锥＝ Sh。 B
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
取任意两个锥体，它们 的底面积为S，高都是h
＋
平行于平面α 的任一平面去截
S1 h1 S α h
h1 S1
＋
截面面积始终相等
h
S
＝
两个锥体体积相等
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1 S
S1
h1 h
h
S
α
证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。 把这两个锥体 放在同一个平面α 上，这是它们的顶点都在和平面α 平行的同一个平 面内， 截面分别与底面相似， 用平行于平面α 的任一平面去截它们， 设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2， 那么
B
B
B
B
B
B
A’
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
A’
A’ B’
3
B’
C’
2 1
A C
三棱锥2、3的底 △BCB’、△C’B’C 的面积相等。
C
C
B
B
A’
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ S△ABC· ADcosθ
证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E，
A 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。
根据三垂线定理，AE ⊥ BC。 ∴ ∠AED＝θ 。 V三棱锥＝
B θ E C D
S△B ×
CD
· AD
＝
BC · ED · AD BC · AEcosθ · AD
C
＝ × ＝
S△AB
· ADcosθ
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ S△ABC· ADcosθ
A
问题1、ADcosθ 有什么几何意义？ 结论： V三棱锥＝ S△AB C · d
A A A A AA
C C C C CC C C C C C
B B B B BB
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
A’
C’
B’
把三棱锥1以 △ABC为底面、 AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
任意锥体的体积公式：
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ Sh
推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h， 那么它的体积是
V圆锥＝ πr2h
小结： 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh 定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥＝ πr2h
高
3
C’
2 2 1
A C
B’ B’
2 2 2
B’ B’ B’
2
2
B’
22
B’
B’ B’
C
C
C C
C
C
C
C C
B
B
B
B B
B
三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
B
B
B B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
A’
A’ A’