高中数学 第三节弧度制教案 北师大版必修4
数学北师大版必修4教学教案-1.3-弧度制-(5)-含答案
《弧度制》教学设计一：教材分析：本节课的教学内容是北师大版数学必修四第一章：三角函数§1.3弧度制，本节课是新概念引入课，也是学习三角函数的基础，因此本节课在三角函数的学习中起到至关重要的作用，本节课主要借助生活情境体会学习弧度制的必要性，借助问题串及小组探究形式，让学生体会类比，以旧知为基础学习新知的迁移转化等重要数学思想的应用。
二：学情分析：从学生知识水平看（1）在学习本节前，学生已经学习了角的概念的推广，认识角分为正角，负角，零角，因此在本节课的教学中在引进弧度数之后，明确了角可以用一个实数来表示，从而顺利得到任何一个角都可以和一个实数一一对应。
（2）初中学生已经学习了用角度制表示一个角，角度制下扇形的弧长与面积公式，因此在本节课教学可以借助这些已有的知识，通过观察，分析，类比，归纳，帮助学生理解弧度制的概念，角度制与弧度制的转化，弧度制下扇形的弧长公式与面积公式；从能力的角度看，学生已经具备了一定的分析问题的能力，思考的能力，探究的能力，计算的能力，数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供问题串及合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组探讨，合作交流，部分投影展示等活动培养学生的自主学习，合作学习及数学表达能力。
三：设计思想：《弧度制》是角的的一种新的表示，是角问题的延续与拓展。
本节课我的设计理念是：从生活实际出发，以问题串为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放，民主，和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与及积极性，让学生经历“自主，探究，合作”的过程中，体验从生活中感受数学，并通过分析，类比，归纳，探究，展示，交流等一系列思维活动，在教师的适当引导，组织下主动的建构数学知识的过程。
同时渗透“类比”“转化与化归”等重要数学思想方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如授之以渔”四：教学目标：（1）知识与能力：a:理解1弧度的角、弧度制的定义，体会弧度是一种度量角的单位b:掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数，c：体会弧度制定义的合理性，并能初步运用弧度制表示弧长公式，解决相关问题。
(北师大版)高中数学必修四：1.3《弧度制》教案(1)
§3 弧度制一、教学目标：1、知识与技能：（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
2、过程与方法：通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
3、情感态度与价值观：通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
三、学法与教法在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
教法:探究讨论法。
四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的3601规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。
下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad ，读作弧度．（二）、探究新知1．1弧度的角的定义．(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—12(见教材)，弧AB 的长等于半径r ，则弧AB 所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad 。
高中数学必修4北师大版1.3弧度制教案
2.7 平面向量的应用1．阅读回答下列问题：①.直线的方向向量方程是怎么来的？是否唯一？为什么？②.什么是直线的法向量？是否唯一？为什么？③.直线方程与方向向量和法向量之间的转换关系？④.点到直线的距离公式怎么推出来的？结论是什么？2．应用分析例1．求点(1,2)P 到直线:210l x y ++=的距离。
分析：直线:210l x y ++=法向量（ ） 直线:210l x y ++=任取一点A （ ） ||||PA n d n ⋅=u u u r u u r u u r 例2．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
分析：三线共点，两线相交于一点0,0,AH BC BH AC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 需证0CH BA ⋅=u u u r u u u r例3．△ABC 顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ∠BAC 平分线交BC例4．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
证：设−→−AC = b，−→−CB = a ，则−→−AD =−→−AC +−→−CD = b +21a , −→−−→−−→−+=CB EC EB =a +21b ∵A, G, D 共线，B, G, E 共线∴可设−→−AG =λ−→−AD ，−→−EG = μ−→−EB , 则−→−AG =λ−→−AD =λ(b +21a )=λb +21λa , −→−EG = μ−→−EB= μ(21b +a )=21μb +μa , ∵−→−−→−−→−=+AG EG AE 即：21b + (21μb +μa ) =λb +21λa C C :()||||(35,93)336,(0,)5541(1,)5AB AC AD AB AC AD AB BC AD D λλμμμμ=+==+=-+-∴=∴=∴u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 分析利用等腰三角形的中线,角平分线重合表示 C∴(μ-21λ)a + (21μ-λ+21)b = 0 ∵a , b 不平行， ∴⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-313202121021μλλμλμ −→−AG =32−→−AD5.(sin 2,cos 2)()1)()0tan .2)().a b x x f x a bf x x f x ===⋅=r r r r r r 例已知向量函数若求的值求函数的单调增区间以及函数取得最大值时向量a 与b 夹角3．巩固训练 1．求证：过点00(,)A x y 并且垂直于向量(,)n a b =r 的直线方程是00ax by ax by +=+ 2．已知两直线12:(23)10,:(25)(6)70l mx m y l m x m y ---=+++-=如果12//l l m =则若12l l m ⊥=则。
高中数学必修四《弧度制》名师教学设计
课题：1.1.2 弧度制教学设计一、教学目标知识与技能1.理解1弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数；2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算；3.了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系；4.掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.过程与方法1.经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.2.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力.情感态度与价值观1.使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美.2.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点1.教学重点：理解弧度制意义,能进行角度制与弧度制的互化.2.教学难点：弧度制的概念及弧度与角度的换算.三、教学方法与教学手段1.教学方法：问题教学法、合作学习法.2.教学手段：多媒图片、几何画板、PPT课件.四、教学过程（一）创设情境1.师提出问题：2019年10月1日中华人民共和国成立70周年，同学们有没有看阅兵式?【设计意图】以时政热点为话题导入新课，极大地调动了学生的学习热情，而且能提高学生的参与度，对培养学生的综合能力和提升课堂效率都很有帮助.2.问题情境1：中国国土面积960万平方千米，故宫面积约1080亩；中国领海宽度12海里；中国高铁运营里程达到3万公里，位居世界第一；中国黄金储备6245盎司；中国钢铁产量超过10亿吨，连续16年位居世界第一.【设计意图】以祖国的成就设为问题情境，调动学生的学习积极性，同学们都能够感受到祖国的强大，激起同学们浓烈的爱国思想；类比研究面积、长度、质量可以选择不同的单位，不同的单位制能为我们解决问题带来方便，引出度量角的另一种单位制.3.问题情境2：回忆初中学习的锐角三角函数定义，教师引出其他版本教材有不一样的定义.提出问题：为什么有的教材将锐角的正弦、余弦、正切定义成三角比呢？请你结合高中函数的定义进行分析.【设计意图】通过引出其他版本教材有不一样的定义，利用新旧知识所蕴含的矛盾引发认知冲突一方面引出本节课的主题，另一方面学生发现问题、提出问题的能力在潜移默化中得到培养，这个问题是本节知识的切入点是引发学生思考，培养学生素养的关键.（二）探究新知，得到概念1.教师提出问题：在半径为r 的圆O 中，当B 点在圆周上运动时，你发现了什么？（教师几何画板演示）学生活动1：学生讨论后总结，弧长变大，圆心角变大，因为我们要用实数度量圆心角，所以由180r n l π=，变形得r l n ⋅π=180. 师继续追问：当半径发生变化时，你发现了什么？能不能仅用弧长或者半径来度量圆心角？（教师几何画板演示）学生活动2：学生讨论后总结，不能仅用弧长或者半径来度量圆心角的大小. 教师再总结：仅用半径和弧长中的一个量不能度量圆心角的大小，但它又与半径r 和弧长l 相关.AA 教师继续追问：同学们觉得圆心角可能会由谁的值控制？ 学生得出与rl 有关后，继续追问这个猜想合理吗？教师几何画板演示. 学生活动3：从理论上证明猜想的正确性,由弧长公式180r n l π=，稍作变形得r l n ⋅π=180，这说明当圆心角确定时，rl 就确定；r l 是随着圆心角的确定而唯一角确定.【设计意图】通过设置问题启发，发展发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力.在探索的过程中,让学生总结归纳出当角确定时，r l 是随着圆心角的确定而唯一角确定.学生体会用r l 度量角的合理性，从而比较顺利的引出1弧度角的概念.2.教师总结：rl 来度量圆心角的大小就是今天要学习的度量角的另一种单位制——弧度制.3.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，单位也可以省略不写.用弧度作为角的单位制来度量角的单位制称为弧度制.（三）深入探究，理解概念1.度量角的弧度数通过度量使学生进一步感受到r l 2=时，2=α；r l 3-=时，3-=α； rl π=时，π=α；r l π=2时，π=α2；动点从点A 逆时针经过的弧长为l 则这段弧所对的圆心角为多少弧度？学生活动：得出 r l =α 教师追问：这个等式能否推广为求解任意角弧度数的一般公式呢？【设计意图】通过不断追问，引导学生得出任意角弧度数的一般公式，rl =α,并加以强调l 为动点经过的弧长.2.引入弧度制数学史，向学生介绍角度制到弧度制的跨越有千年，我们就是引用数学家的思想方法进行探究的.【设计意图】数学史的引入，将弧度制的由来置于丰富的数学文化内涵之中，进一步表明引入弧度制解决了进位制统一的问题，让学生真正感受到现实世界需要这种文化内涵以及引入弧度制的可能性.让学生感知数学家探求知识的艰难，培养学生探索科学的精神.3.推导出任意角的弧度数公式后，再去度量一个角，既可以用原有的角度制，也可以用弧度制，教师抛出问题：构建起角度与弧度互化的等式是什么呢？ 学生活动：rad 2360π=︒，rad 180π=︒师追问：用类似的方法，你能够求出特殊角的弧度数吗？rad 290π=︒，rad 360π=︒，rad 445π=︒，rad 630π=︒， rad 00=︒ 从而很顺利得出角度与弧度互化的关系式.d ra 1801π=︒rad 017450.≈； rad 1︒≈︒π=30.57)180( 用弧度制表示角时，“弧度”可略去不写.如2=α表示2弧度的角，3π就表示3π弧度的角；角度表示角时，单位“度”不能省略.【设计意图】抛出问题让学生尝试不同方法求出相应的弧度数，实现角度与弧度的换算，让学生经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.（四）巩固新知，应用概念1.练习1：把下列角从角度化为弧度：（1）︒-210 （2）0367'︒练习2：把下列角从弧度化为角度： (1) 54π （2）5.3- 结论：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.这样就在任意角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.这也是引入弧度制的意义.【设计意图】使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系，相互统一的，更容易看清楚与实数的一一对应关系.2.教师追问：在弧度制下，你能推导出弧长公式和扇形面积公式吗？（用r 表示半径，l 表示弧长，S 表示扇形面积，α表示圆心角的弧度数）（π≤α2）（师生共同回忆初中扇形的弧长与面积公式，学生尝试推导弧度制下的公式过程） 解：弧长公式：由公式rl =||α可得：r l α=. 扇形面积公式：22212r r S α=π⋅πα=（用弧长表示扇形面积） 又因为r l α=，所以有lr S 21=（用圆心角的弧度数表示扇形面积） 【设计意图】通过对比让学生发现：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式简单了，这也是引入弧度制的好处.3.师生总结：回过头来再去看问题情境2：通过弧度制的学习，可以将角转化成实数，它不再是三角比，它就是真正意义上的三角函数.追问学生：我们后面将要研究什么？【设计意图】前后呼应，再一次让学生体会到引入弧度制的必要性，为我们今后学习三角函数奠定了基础.五、课堂小结：(1)1弧度的角，弧度制定义，任意角的弧度数公式rl =||α； (2)弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系；(3)角度制与弧度制是度量角的两种单位制，它们之间可以进行换算；(4)掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.六、课后作业：课本第9页练习1到6题七、板书设计：八、教学设计说明通过通过时政话题创设教学情境，极大地调动了学生的关注度，积极性，拉近与学生的距离，运用几何画板课件动态演示作图过程，实施信息技术与学科课程整合教学设计，引发学生学习兴趣，从而较好地完成教学任务.几何画板动态效果的展示形成对视觉的强刺激，把通常惯用的语言描述生动形象地刻画出来，促进学生对重点难点知识的理解掌握．建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授获得的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的．本课教学设计重点是学习环境的设计，强调学生自主学习．关注学生的学习兴趣和经验，引导学生主动参与、乐于探究、培养学生处理信息的能力．本节课的设计思想中体现着由特殊到一般，由具体到抽象的化归思想．本节本人遵循由浅入深，循序渐进的原则，从学生熟悉的基本单位入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便引导学生去思考，寻找另一种度量角的单位制. 经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力 . 使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.同时，本课的教材也是培养学生逻辑思维能力、观察、分析、归纳等数学能力的重要素材．。
高中必修四数学弧度制教案
高中必修四数学弧度制教案教学内容：弧度制的概念和应用
教学目标：
1. 理解弧度制的概念，掌握弧度和角度的相互转换关系；
2. 能够应用弧度制解决与圆相关的问题；
3. 能够灵活运用弧度制解决实际问题。
教学重点：
1. 弧度和角度的互相转换；
2. 弧度制在三角函数中的应用；
3. 弧度和圆角之间的关系。
教学难点：
1. 弧度和角度的互相转换；
2. 如何应用弧度制解决实际问题。
教学准备：
1. 一块黑板或白板；
2. 教室中心的圆；
3. 教学PPT或相关教学资源。
教学步骤：
第一步：导入（5分钟）
1. 引入圆的概念，介绍角度的度量单位；
2. 引导学生思考：是否有其他方法来度量圆的角度？
第二步：讲解弧度制的概念（15分钟）
1. 介绍弧度的概念，解释为何需要引入弧度制；
2. 讲解弧度与角度的转换公式；
3. 通过示例讲解弧度制在三角函数中的应用。
第三步：练习与讨论（20分钟）
1. 给学生几个练习题让他们转换弧度和角度；
2. 学生相互讨论解题思路，老师进行点评和指导。
第四步：实际应用（15分钟）
1. 老师设计一个实际问题，并引导学生用弧度制解决；
2. 学生展示解题思路和方法，老师进行指导和讨论。
第五步：总结与作业布置（5分钟）
1. 总结本节课的内容，强调弧度制的重要性；
2. 布置作业：完成课后习题，并思考如何应用弧度制解决更多问题。
教学反思：
1. 教师要注意引导学生理解弧度制的概念和方法，帮助他们建立相关知识的联系；
2. 鼓励学生在实际问题中灵活运用弧度制，提高解决问题的能力。
北师大版高中必修43弧度制课程设计
北师大版高中必修43弧度制课程设计课程概述本课程是北师大版高中必修数学课程，主要介绍弧度制及其在三角函数中的应用。
本课程旨在帮助学生深入理解弧度制的概念，掌握弧度制与角度制的转换，了解弧度制在三角函数中的重要应用，并能够运用弧度制解决实际问题。
教学目标•理解弧度制的概念，掌握弧度的换算和计算方法；•掌握弧度制与角度制的转换；•掌握三角函数中弧度的重要应用；•运用弧度制解决实际问题。
教学内容弧度的概念和计算概念弧度是用弧长与半径的比值表示角度大小的单位，记作 rad。
即$1\\text{ rad} = \\frac{l}{r}$。
换算1.角度制与弧度制的换算公式为：$\\theta =\\frac{\\pi}{180^{\\circ}}\\alpha$，其中 $\\theta$ 表示角度制角度，$\\alpha$ 表示弧度制角度。
2.弧度制角度与数值的换算：$\\alpha = \\theta\\text{ rad}$。
计算1.通过半径和圆心角大小求弧长：$l = r\\alpha$。
2.通过弧长和半径求圆心角大小：$\\alpha = \\frac{l}{r}$。
弧度制与角度制的转换1.弧度制角度与角度制角度的转换公式：$\\alpha =\\frac{\\pi}{180}\\theta$。
2.角度制角度与弧度制角度的转换公式：$\\theta =\\frac{180}{\\pi}\\alpha$。
弧度制在三角函数中的应用正弦函数引入正弦函数的公式：$\\sin{\\alpha} = \\frac{l}{r}$，其中$\\alpha$ 表示圆心角的大小，l表示弧长，r表示半径。
余弦函数引入余弦函数的公式：$\\cos{\\alpha} = \\frac{h}{r}$，其中ℎ表示弦长，r表示半径。
正切函数引入正切函数的公式：$\\tan{\\alpha} = \\frac{h}{l} =\\frac{\\sin{\\alpha}}{\\cos{\\alpha}}$，其中ℎ表示弦长，l表示弧长，$\\alpha$ 表示圆心角的大小。
高中数学必修4弧度值教案
高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。
二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。
2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。
三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。
2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。
四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。
五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。
板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。
同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。
最新-2018高中数学 1.3弧度制教学案 北师大版必修4 精
120°
弧度
角度
135°
150°
180°
210°
225°
240°
弧度
角度
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
5.扇形面积公式：．
二师生互动
例1把 化成弧度.
变式：把 化成度.
小结：在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可省略，如：3表示3rad，sin表示rad角的正弦.
例2用弧度制表示：
3下午正2点时，时针和分针的夹角为（）.
A. B. C. D.
4.半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 .
5. 化为度表示是.
6．在 中，若 ，求A，B，C弧度数。
四课后反思
五课后巩固练习
1.用弧度制表示终边在下列位置的角的集合：
（1）直线y=x；（2）第二象限.
2.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，求其圆心角的弧度数，并化为度表示.
年级高一
学科数学
课题
弧度制
授课时间
撰写人
学习重点
了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算
学习难点
弧度的概念及其与角度的关系.
学习目标
①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
②认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
（1）终边在 轴上的角的集合；
（2）终边在 轴上的角的集合.
变式：终边在坐标轴上的角的集合.
例3、知扇形的周长为8 ，圆心角 为2rad，，求该扇形的面积。
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2014高中数学 第三节弧度制教案 北师大版必修4
一、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
2、 过程与方法
通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
3、 情感态度与价值观
通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点
重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
三、学法与教学用具
在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
教学用具:多媒体、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的3601规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。
下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad ，读作弧度．
【探究新知】
1．1弧度的角的定义．
(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—14(见教材)，弧AB 的长等于半径r ，则弧AB 所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad 。
在图1（课件）中，圆心角∠AOC 所对的弧长l ＝2r ，那么∠AOC 的弧度数就是2rad ；圆心角∠AOD 所对的弧长l ＝21r ，那么∠AOC 的弧度数就是2
1rad ；圆心角∠AOE 所对的弧长为l ，那么∠AOE 的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制的定义．
2．弧度制的定义：
一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数 是o ；角α的弧度数的绝对值|α|＝r
l ，其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆
的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的．为什么可以用这个比值来度量角的大小呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?请同学们自主学习课本P12—P13，从课本中我们可以看出，这个比值与所取的半径大小无关，只与角的大小有关。
有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明：
(论证)如图1—13（见教材），设∠α为n °(n °＞0)的角，圆弧AB 和A l B l 的长分别为l 和l 1，点A 和A l 到点O 的距离(即圆的半径)分别为r(r ＞0)和r l (r l ＞0)，由初中所学的弧长公式有l ＝180πn r ，l 1＝180πn r 1，所以r l ＝11r l ＝180
πn ，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．
3．角度制与弧度制的换算．
现在我们知道：1个周角＝360°＝
r π2r ，所以，(板书)360°＝2πra d ，由此可以得到180°＝πrad ，1°＝180π≈0．01745rad ，1rad ＝（π180
）°≈57.30°＝57°18’。
说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad 这一关系式．
今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad ”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad 的角，sin 3π就表示3
πrad 的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝
4πrad ，不必写成45°＝0．785弧度．
前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角(连同角α在内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．把45°化成弧度。
解：45°＝
180π×45rad＝4πrad. 例2．把5
3πrad 化成度。
解：53πrad ＝5
3×180°＝108°. 例3．利用弧度制证明扇形面积公式S ＝2
1lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是圆的半径。
证：∵圆心角为1的扇形的面积为π
21·πr 2，又∵弧长为l 的扇形的圆心角的大小为r l
，∴扇形的面积S ＝r l ·π21
·πr 2＝21
lr.
2．学生课堂练习
（1）填表
（2）用弧度制写出终边落在y 轴上和x 轴上的角集合。
五、归纳整理，整体认识
（1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业：习题1—3中的1、2、6.
七、课后反思。