复数解题常见错误探讨
高考数学复习点拨 复数解题中常见的错误
用心 爱心 专心 高考数学复习点拨 复数解题中常见的错误由于同学们以前都是在实数集内考虑问题的，所以在学了复数后往往会不自觉地把实数有关的性质、公式、法则不加分析地用到复数上，这就使得解答复数题时常常出现各种错误．一、忽视复数相等的条件例1 解关于x 的方程256(2)0x x x i -++-=．误：由复数相等的定义得2235602220x x x x x x x ==⎧-+=⎧⇒⇒=⎨⎨=-=⎩⎩或，，，，． 析：a bi c di a c +=+⇔=，且b d =成立的前提条件是a b c d ∈R ，，，，但本题并未告诉x 是否为实数．正：原方程变形为2(5)620x i x i --+-=，2(5)4(62)2(1)i i i i i ∆=-=--=-=-． 由一元二次方程求根公式得1(5)(1)32i i x i -+-==-，2(5)(1)22i i x ---==． ∴原方程的解为1232x i x =-=，．二、忽视使用判别式的条件例2 关于x 的方程2(2)10x a i x ai +--+=有实根，求实数a 的取值范围． 误：∵方程有实根，22(2)4(1)450a i ai a =---=-∴≥．解得aa ≤． 析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2a i -与1ai -并非实数．正：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()0x ax a x i ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，，解得1a =±．三、忽视虚根成对出现的条件例3 已知20x kx i +-=有一个根是i ，求另一个根及k 的值．误：根据一元n 次方程虚根成对出现，i 是其一根，则i 的共轭复数i -必是其另一根，由根与系数的关系有()i i k +-=-，0k =∴．析：虽然根与系数的关系对复系数一元n 次方程仍成立，但只有实系数一元n 次方程的虚根才成对出现，本题系数并非实数.正：因i 是其根，代入原方程为20i ki i +-=，由此得1k i =-，设0x 是另一根，则由根与系数的关系得0x i i =-，从而得01x =-．。
复数运算常见错误
复数运算常见错误在数学的学习中，复数运算对于许多同学来说是一个具有一定难度的知识点，稍不注意就容易出现错误。
下面我们就来详细探讨一下复数运算中常见的一些错误。
一、概念理解不清1、对复数的定义模糊有些同学对复数的定义没有清晰的认识，不知道复数是由实部和虚部组成，形如 a ＋ bi（其中 a，b 均为实数，i 为虚数单位，满足 i²＝－1）。
在运算时，就会出现混淆实部和虚部的情况。
2、虚数单位 i 的性质掌握不牢虚数单位 i 的平方等于－1，即 i²＝－1 。
但不少同学在运算中容易忘记这一性质，导致计算错误。
例如，在计算（2i)²时，错误地得出 4 而不是－4 。
二、四则运算规则错误1、加法和减法运算出错在进行复数的加法和减法运算时，应该分别将实部与实部、虚部与虚部相加或相减。
然而，有些同学会将实部和虚部胡乱相加，例如计算（3 ＋ 2i) ＋（1 4i) 时，得出 4 2i 而不是 4 2i 。
2、乘法运算失误复数的乘法运算规则与多项式乘法类似，但要注意 i²＝－1 。
常见的错误是在展开式子后，忘记替换 i²。
比如计算（1 ＋ i)（1 i) ，应该是 1 i²＝ 2 ，但有的同学会得出 0 。
3、除法运算中的问题复数的除法运算通常需要将分母实数化。
在这个过程中，有些同学没有正确地乘以分母的共轭复数，或者在计算过程中出现粗心大意的错误。
例如，计算（2 ＋ 3i) ／（1 ＋ i) 时，没有将分子分母同时乘以1 i ，或者在乘的过程中计算错误。
三、忽视复数的几何意义复数不仅可以用代数形式表示，还可以用几何形式表示。
在解决一些与复数几何意义相关的问题时，很多同学容易忽略这一点，导致解题思路受阻或者得出错误的答案。
例如，已知复数 z 对应的点在复平面内位于第二象限，求复数 z ＝a ＋ bi 中 a，b 的取值范围。
有些同学没有理解第二象限的坐标特点（负横坐标，正纵坐标），从而得出错误的 a，b 取值范围。
2.复数计算中常见的错误
编号学士学位论文复数计算中常见的错误学生姓名：亚森·努尔学号：20051003043系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006－3班指导教师：阿布拉·热孜克完成日期：2011年4月30日中文摘要全面掌握有关复数的知识后，实数集依然不够完善，由于数域的扩大，读者受思维定势的影响，对问题的思考还局限于实数范围；又由于复数的各种表达形式决定了复数的多面性，复数在高中数学教材中涉及面广，知识跨度大，并且是很重要的内容，可以说是数学的一个精髓内容，复数和代数，几何，三角等有着很密切的联系，使三者在复数中得到牵制，解决问题时要考虑到复数的概念及其性质，复数问题的技巧性和灵活性较强，加之涉及面较广，因此, 解决问题时稍有疏忽就会出现错误，本文将结合实例，指出值得注意的地方.关键词：概念；复数；常见错误；分析；正确解法2目 录中文摘要 ...................................................................................... 1 引言 .............................................................................................. 1 1.基本概念 . (1)1.1 复数的概念 .................................................. 1 1.2 复数的运算及其性质 (3)1.2.1 复数运算 (3)1.3 复数的形式 (5)2.例题及分析 (6)2.1 复数概念失误 ................................................ 6 2.2复数平移失误 ................................................. 8 2.3 复数模与辐角失误 . (10)2.3.1 求辐角主值时出现错误 .............................................. 10 2.3.2 模的失误 ......................................................... 10 2.3.3 复数的模的性质应用错误 .. (12)2.4 判解失误 ................................................... 13 2.5表达式失误 .. (14)2.5.1 代数式失误........................................................ 14 2.5.2 三角式失误........................................................ 15 2.5.3复数幂运算失误 . (16)总结 ............................................................................................ 18 参考文献 .................................................................................... 19 致谢 (20)1引言在复数的学习中，由于数域的扩大，读者受思维定势的影响，对问题的思考还局限于实数范围；又由于复数的多种表达形式决定了复数的多面性，很多学生和读者对复数的定义、性质、解题方法理解不够深刻，而复数问题的灵活性和技巧性较强.数集由实数集扩充到复数集后，实数的许多性质依然不够完善，但也有一些性质，对于复数而言却不再成立，并且不少复数题涉及面广.因此，读者在学完实数，再进入复数学习时，稍有疏忽，就会导致错误.下面举例分析复数在计算中值得注意的几类常见错误：复数概念错误、复数平移错误、特殊情况错误、复数模和辐角主值错误、公式成立的条件错误等.1.基本概念1.1 复数的概念形如(,)z a bi a b R =+ 的数叫做复数.其中a 和b 是任意实数，实数a 是复数的实部，实数b 是复数的虚部的系数.复数z 的实部和虚部.常记为Re ,a z =Im b z =.全体复数组成的集合叫做复数集.用字母C 来表示.形式中实数单位为1，i 满足21i -=称为复数单位.虚部不为零的复数称为虚数,实部为零的且虚部不为零的复数称为纯虚数. 若两个复数12(,),(,)z a bi a b R z di c d R c =+?+ 相等，则实部与实部相等,虚部与虚部相等,即(,,,)a c a bi c di abcd R b d =+=+污=ìïïíïïî.2复数的辐角:实轴正向量到非零复数(,)z a bi a b R =+ 所对应向量oz之间的角q 合于tan b aq =称为复数z 的辐角，记为Argz q =通常把满0p q p-＃的辐角值0q 称为Argz 的主值，记为arg z ，于是arg 2(0,1,2,..)Argz z k k q p ==+=北复数的模：向量oz的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+ 的模（或绝对值），记作z，有定义可知(0,)z a bi r rR 显然=+=澄共轭复数: 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫共轭复数，虚部不等于零的两个共轭复数叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数记作z ，即a bi a bi +=- (,)ab R Î复平面: 任何一个复数(,)z a bi a b R =+ 都 可用直角坐标平面内的顶点(,)z a b 表示.如图所示，用以表示复数的直角坐标平面叫做复平面.在复平面直角坐标系中把x轴叫做实轴，其上的点表示实数；把y 轴叫做虚轴，其上的点表示纯虚数.复数集C 和复平面内所有点的集合构成一一对应.31.2 复数的运算及其性质1.2.1 复数运算设: 12(,),(,)z a bi a b R z di c d R c =+?+ 即复数加（减）法：12()()()()z z a bi cdi i ac bd =+?=+北 (,,,)a b c d R Î复数乘法：212()()()()z z a bi c di ac bci adi bd i ac bd bc ad i ?++=+++=-++复数除法:21222()()()()z a bi a bi c di ac cbi adi bdi z c dic di c di cd ++-+--===++-+()22220ac bd bc bd ic di cd c d +-=++ ++复平面上两点间的距离： 12d z z =-复数的加法，乘法满足交换律，结合律以及乘法对加减的分配律，即加法交换律 1221z z z z +=+结合律 ()()123123z z z z z z ++=++ 乘法交换律 1221z z z z ?结合律 ()()123123z z z z z z =乘法对加法的分配律 ()1212z z z zz zz +=+关于共轭还有 1212z z z z +=+ 1212z z z z ?41122z z z z 骣÷ç÷=ç÷ç÷桫实数的正整数幂运算也能推广到复数集中，即*1212,(),()(,)m nm n m n mn n n nz z z z z z z z z m n N +?=?孜i 的乘方性质：4142434*,1,,1()n n n n i i i i i i n N +++==-=-= 共轭复数的性质:(1)2Re()z z z += (2)2Im()z z i z -= 22(3)z z z z ?=1212(4)z z z z ?+ 1212(5)z z z z = 11222(6)(0)z z z z z 骣÷ç÷= ç÷÷ç桫()(7)z z = (8)z z z 为实数= 2(9)z zz =()(10)nn z z = ()*n N Î (11) 两个等价条件： ①0.z R z z 污-=② z 为纯虚数0(0)z z z ?=复数模的性质:(1)0n z ³ (2)z z = *()(3)nnz zn N =1212(4)z zz z = (5)z =1122(6)z z z z = 2(0)z ¹ (7)(,)a bi a b R +=1212(8)nn z z z z z z 鬃?鬃(9)222212121222z z z z z z ++-=+ 1212(10)z z z z +=+51.3 复数的形式复数代数形式：复数表示(,)z a bi a b R =+ 叫做复数(,)a b 的代数形式，i 叫做虚部单位．它满足2(0,1)(0,1)(1,0)1i i i=?=-=-复数的三角形式：复数(,)z a bi a b R =+ 化为三角形()cos sin z r i q q =+,这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算设复数12,z z 的三角形式分别为()111cos sin r i q q +和()222cos sin r i q q +, 则()()12121212cos sin z z r r i q q q q 轾??+-臌若复数z 的三角形式为()cos sin z r i q q =+，那么()cos sin nnz r ni n q q =+，()21,2,3k ink q p +=必须记住 z 的n 次方根是n 个数．复数的指数形式：设cos sin i e i q q q =+，其e 为自然对数的底数.那么()cos sin z r i q q =+=i re q ．这种表达式叫做复数的指数形式.①1212()i i i ee e q q q q +? ②()ni i n e e q q = ③()1122i i i e e eq q qq -=复数的几何形式：复数(,)z a bi a b R =+ 用直角坐标平面上点(),z a b 表示．这种形式使复数的问题可以借助图形来研究，也可以反过来用复数的理论解决一些几何问题．复数的向量形式：设复平面的点z 来表示.复数(,)z a bi a b R =+ 则向量OZ 由点z 惟一确定. 向量OZ就是复数(,)z a bi a b R =+ 的向量表示，这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释．62.例题及分析2.1 复数概念失误例1 已知 12cos y y b +=，求1m m y y+的值()m N Î． 错解 112y y y y +=+ ① 又 12cos 2y y b += ② 12y y\+= 由不等式取“=”的条件，知：1y y=，即 1y = ． 2, y 1;12, y 1 ;2, y 1 .m m y m y m ì=ïïïï\+==-íïïï-=-ïî且为偶数且为奇数错误分析: 此解法错在式①，因为11y y y y+=+成立的条件是：若y R Î或y 为虚数，则y ，1y同向．已知条件中并未指明y 的范围，因此，我们必须在复数范围内考虑，事实上，当cos 1a b 贡时，等式成立的两条件都不满足，因而出现错误.正确解法1: 依题意y ，cos b ，1y成等差数列，所以可设7()()cos 31cos 4y n n yb b ì=-ïïïïíï=+ïïïî ()()34´ 得sin n i b =弊， 12cos m m y yb \+=． 正确解法2: 由m 为偶数， 即2m =时 222111()2m m y y y y y y +=+=+- 1(2cos )y yb += 22(2cos )24cos 2b b =-=- 22(2cos 1)2cos2b b =-=12cos m m y m yb \+=. 例2 已知复数1234,z i z t i =+=+且是实数，则实数 t 的值（ ）3.4A4.3B 4.3C - 3.4D -错解 1212120,z z R z z z z 孜?= 即(34)()(34)()0i t i i t i +-+-+= 解得 43t =- \故答案 选C . 错误分析: ,z R z z 污= z 为纯虚数0(0)z z z ?= 因此，上面解答应用的是z 为纯虚数的充根条件，因而求出的t 是12z z 为纯虚数的结果，显然是错误的.正确解法1: 12(34)()(34)()z z i t i i t i =+-=-+ 12z z 为实数，3430,4t t \-==\故答案 选A .8正确解法2: 12,z z R 1212z z z z \= (34)()(34)()i t i i t i \+-=-+ (34)(43)(34)(34)t t i t t i ++-=++-4334t t -=-34t = \故答案 选A .例3 两个共轭复数的差是（ ）A .实数B .纯虚数C .零D .零或纯虚数错解 设z a bi =+,则z a bi =- (,)a b R Î则 2z z bi -= 或2z z bi -=- . \故答案 选 B .剖析 2z z bi -=是就误选B ，忽略了b 可以为零的情况，造成错解的原因是：（1）认真审题不够，混淆了共轭虚数的区别.（2）思维方法错误，缺乏辩证观点，形式地记住了纯虚数bi ，而忽略了,a b 的取值范围.正确解法: 设z a bi =+ z a b i =-(,)a b R Î 则 2z z bi -= 或 2z z bi -=-，当0b ¹时，为纯虚数；当0b =时，为零. \故答案 选 D .2.2复数平移失误我们知道复平面内相同的向量表示相同的复数，因此,当复数对应的向量平移后它所对应的复数不变．但是在平时的学习中学生对此未给予足够的重视而常常犯一些错误，其主要原因是没有弄清楚复数的对应点的平移与复数对应向量的平移之间的区别，下面以题为例．9例4 设向量（O 是坐标原点）对应的复数为z ，将按顺时针方向旋转6π,再沿实轴正方向平移3个单位,向下平移一个单位,若所得的向量对应的i ，求复数z ．错解 因为将按顺时针方向旋转6π得复数1cos sin 6622z i z iz p p 轾骣骣鼢珑犏-+-=-鼢珑鼢珑犏桫桫臌， 再沿实轴正方向平移三个单位，向下平移一个单位，得复数132z iz i ÷÷+--÷÷桫， 再由题意得132z iz i i ÷÷+--=÷÷桫解得1322z i =+. 错误分析: 由于这个例子与别的例子不同,这是向量平移，无论向量平移到什么地方，它所表示的复数都是相同的．正确解法: 因为将按顺时针方向旋转6π的复数 1cos sin 662z i z iz p p 轾骣骣鼢珑犏-+-=-鼢珑鼢珑犏桫桫臌，此复数对应的向量再沿实轴正方向平移3个单位，向下平移1个单位，所得的复数仍然是12z iz -，再由题意得122z iz i -=，解得 2z =．102.3 复数模与辐角失误2.3.1 求辐角主值时出现错误 例5 已知arg z b =．求2arg z ． 错解 arg z b =，()2arg arg 2z z z b \=?．错误分析: 辐角主值取值范围为[)0,2p ．正确解法: 由arg z b =，设()()cos sin 0z r i r b b =+>， 则()22cos2sin 2z r i b b =+，当[)0,b p Î时，[)20,2b p Î2arg 2z b \=．当[),2b p p Î时，[)22,4b p p Î．2arg 22z b p =-．[)2arg 2 0,z b b p \= [)2arg 22,2z b p b p p =-2.3.2 模的失误例6 求复数()1cos sin 02z i b b b p =++＃的模.错解 21cos sin 2cos 2sin cos 222z i b b b b b =++=+ 2cos cos sin 222i b b b 骣÷ç=+÷ç÷ç桫 2cos2z b\=. 错误分析: 由于不正确理解r z =，所以没对cos2进行讨论．11正确解法: 由2cos cos sin 222z i b b b 骣÷ç=+÷ç÷ç桫讨论得： (1)当0,bp ＃即022bp ＃时，cos 0 2cos 22z b b砛=. (2)当2p b p <<，即22pb p <<，cos 0 2b<，故 2cos cos sin 2cos cos sin 222222z i i b b b b b b p p 轾骣骣骣鼢 珑 犏=--=-+++鼢 珑 鼢 珑 犏桫桫桫臌2c o s2z b\=-． 例7 已知29z z i =+，求复数z .错解 将29z z i =+平方得 2243681z z iz =+- 故 9z i =-或3i - .简析: 在实数中有22z z =成立，于是就认为在复数中一般的有22z z ¹，如：211i =- ，而 21i =这实际上是数集扩展到复数集时，将一些运算法则类比来而造成的错误.正确解法: 设z a bi =+(,)a b R Î,2()9a bi i++， 可得92a b==- 故 92z i = .122.3.3 复数的模的性质应用错误例8 关于y 的方程240y y m ++=的两根为1y 和2y ．若122y y -=，求 实数.m错解 由韦达定理得 12124y y y y m ì+=-ïïíï?ïî ()2124y y \-= ()2121244y y y y \+-?错误分析: 当y R Î时，有22y y =成立；而y C Î时，22y y ¹．正确解法: 由韦达定理得 12124y y y y mì+=-ïïíï?ïî 122y y -= \212()4y y -=()2121244y y y y \+-鬃= 1644m \-=\3m =或5m =.例9 若复数Z 满足111z i z -++-=，求1z i ++的最大值. 错解 由111z i z -++-=，知Z 对应的轨迹为一条线段，且1z＃11z i z i z ++?+=+ max 1z i \++=错误分析: 这用模的不等式时，忽视了等号成立的条件，实际上，公式1212z z z z +?，当且仅当12,z z 对应的向量中至少有一个向量或这两个向量方向一致时取等号.正确解法: 由111z i z -++-=表示一条线段，则1z i ++的最大值就是复数1i --与对应点的距离，故 max 1z i ++=132.4 判解失误例10 若方程2(62)960y i y i ++++= 求它的解.错解 整理原方程得269(26)0y y y i ++++=.由复数相等的条件得2690260y y y ++=+=ìïïíïïî 解得 3y =-剖析 当,a b 是实数时才能 由0a bi += 得0,0a b ==. 正确解法: 2(62)4(96)4,i i D =+-+=-(62)22i iy -+ =，即得 13y =- ，232y i =--.例11 若二次方程2(2)20x n i x ni ++++=有实根，求实数n 的值.错解 因为二次方程有实根，则22(2)4(2)120n i ni n D =+-+=- 即2120n -n \?或 n ³剖析 由于此二次方程的系数中含有虚数 ，所以不能用判别式判断有无实根.正确解法: 设二次方程的实根为a ，则有 2(2)20n i ni a a ++++=由复数相等的条件得 22020n n a a a ìï++=ïíï+=ïîn \=14例12 若23i -是方程2690x xi -+=的一个根，求p 的值.错解 由于23i -是方程2690x xi -+=的一个根，那么另一个根(23)i --，由韦达定理得(23)(23)13p i i =---=错误分析: 对于一元二次方程，只有当系数都是实数时，纯根才会成对出现，本题的系数显然不全是实数，因此，虚根不是成对出现的.正确解法: 设一根为1.x 由韦达定理得1123634(23)9176i x i x i i x p i ìì-+==+ïï镲Þ眄镲-==--ï镱î176p i \=--2.5表达式失误2.5.1 代数式失误例13 在复数集中解方程4242070y y y +-+=. 错解 原方程变形为 222(4)(2)0y y -++=, 2242)0,(0y y =\-+= 解得 1.22y = .剖析 产生错误的原因是：在实数集中，220a b +=Û 0a b ==；但在复数集中，此结论不成立.正确解法: 原方程变形为()22(2)210y y 轾+-+=犏臌，152(2)0y \+=或2(2)10y -+=解得 1,22,y =- 3422,y i y i =+=-.例14 关于x 的方程2(2)10x a i x ai +--+=有实根，求实数的取值范围. 错解 因为方程有实根 2(2)4(1)450a i ai a \D =---=- 解得2a ³或2a ? 错误分析:判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++= 根的情况而该方程中2a i -与1ai -并非实数.正确解法: 设0x 是其实根，代入原方程变形200021()0x ax a x i ++-+=由复数相等的定义，得20002100x ax x a ìï++=ïíï+=ïî解得 1a =2.5.2 三角式失误在教材中，复数的三角形式定义为：形如()cos sin z r i q q =+的形式叫做复数的三角形式．其中r 为模，θ是复数的辐角．学生在学习的时候，错误地认为只要有三角函数的出现就是三角形式．因此，我们必须强调：0r ³，复数的实部为θcos r ，虚部为θsin r ，且θ一般用主值表示，并且要认清楚复数在复平面内的位置，只有这要才不致出现错误.16例15 把 1cos sin i a a ++ 化成三角形式，(),2a p p Î． 错解 1cos sin i a a ++22cos sin cos 222i a a a =+2cos cos sin 222i a a a 骣÷ç=+÷ç÷ç桫 1cos sin i a a \++的三角形式为 2coscos sin .222i a a a 骣÷ç+÷ç÷ç桫 错误分析: 复数三角形式有三个要求是 1)模大于零; 2)括号内的实部和虚部是同一个辐角值α的余弦与正弦; 3) cos α与sin i α之间用加号连结．正确解法: ()0,2a p Î ，\,22p p p 骣÷çÎ÷ç÷ç桫，cos 02a <， 1cos sin i a a \++22cos sin cos 222i a a a=+ 2cos cos sin 222i a a a 骣÷ç=+÷ç÷ç桫2cos cos sin 222i a a a p p 轾骣骣鼢珑犏=-+++鼢珑鼢珑犏桫桫臌1cos sin i a a \++的三角形式为2coscos sin 222i a a a p p 轾骣骣鼢珑犏-+++鼢珑鼢珑犏桫桫臌．2.5.3复数幂运算失误 例16 计算()141232i -+错解 ()141232i -+ 1433122×骣÷ç÷=-+ç÷ç÷ç桫1431==．错误分析: 若,,z C m n Î不全是整数时，()nm mnz z ¹．正确解法:14122i 骣÷ç÷-+ç÷ç÷ç桫342112222i ´骣骣鼢珑鼢=-+?+珑鼢珑鼢珑桫桫 4112骣÷ç÷=?-ç÷ç÷ç桫12=--.17例17 化简511i i骣-÷ç÷ç÷ç桫+ 错解1 555252222211(1)111(1)i i i i i i 轾轾骣骣---犏鼢珑犏===-鼢珑犏鼢珑犏桫桫+++犏臌臌（） 无意义.错解2 5555454244444211(1)(2)1111(1)(2)i i i i i i i i 轾轾轾骣骣----犏鼢珑犏犏=====鼢珑犏鼢珑犏犏桫桫+++犏臌臌臌.错误分析: 上述两种错解根源相同，就是将实数中的指数运算法则推广到了复数之中.正确解法: 5444111(1)(1)(1)111(1)(1)(1)i i i i i i i i i i i i 骣骣骣------鼢珑 =? 鼢 珑 鼢珑 桫桫桫+++++- 22(2)2(2)2i ii --= i =-.18总结复数是在高中教学课程里面是最重要的内容之一，在数域里面也是很重要的概念，复数问题涉及面广、综合性强、知识跨度大、解法灵活多样，解题时很容易出错．所以要深刻理解复数的定义及其性质，综合应用方程、函数等基础知识．由于实数集是复数的真子集，所以复数具有的性质实数都有，而实数的性质与其遵循的运算律，法则，复数却不一定具有，这就会造成实数的性质运算律和法则按部就班地运用到复数域上出现错误，读者长期在实数集上解决问题受定势思维的影响，往往不自觉地将实数集中不能推广到复数的性质、运算律、法则也运用到复数域中，然而造成了解题上的错误，本文主要讨论了复数计算中常见的错误，复数的模和辐角错误，共轭复数的运算性质，从而通过复数问题和它的重要性质解决复数计算中常见错误．本文列出几类常见错误， 仅供参考.19参考文献[1] 杜志建.高考复习讲义[M].新疆青少年出版社，2009．2 (258－260页).[2] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，1979(1－37页).[3] 刘根喜.复数问题错解举隅[J].高中数学教与学, 2000．5(53－55页).[4] 任志鸿.高考总复习导学大课堂[M].华文出版社, 2007．10(84－87页).[5] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M]. 北京教育出版社,2004．6 (456－468页).[6] 李长明，周焕山.初等数学研究[M]. 北京：高等教育出版社,2008．12 (52－60页).[7] 阿布拉 阿布杜瓦克 . 初等代数[M].喀什师院出版社,2008(85－100页)．[8] 高中数学(选修Ⅱ)[M].人民教育出版社. 2003．12(162－175页).[9] 王卫华，刘玉芳.剖析复数运算的常见错误[J]. 数学通讯，2007年第1期(14页)．[10] 贾俊森，威兴存.复数问题中的几类典型错误剖析[J].中学数学月刊，2001年第4期(38页)．[11] 王芹．复数运算中常见错解例析[J].语数外学习；高考数学，2007年第期(16页).20致谢在喀什师范学院五年的学习过程中，使我在研究数学逻辑思维能力等方面得到了很大的提高.在阿布拉·热孜克老师细心的指导下我所写的以“复数计算中常见的错误” 为题目的毕业论文顺利地通过，老师帮我批改了很多次，并且提供了各方面的资料和很多宝贵意见，在此对阿布拉·热孜克老师的帮助表示衷心的感谢，在他耐心的指导下，我学会了写论文的三步骤：怎么样开头，怎样继续，怎样结束.非常感谢阿布拉·热孜克老师，也非常感谢数学系的各位老师，在他们的精心教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后工作和学习打下了良好的基础.此致敬 礼亚森·努尔2011年4月 30日。
复数知识点总结做题软件
复数知识点总结做题软件复数是指表示两个以上的数量或者数量概念的形式。
在语法上，大部分英语名词的复数形式是通过在单数形式后面加上-s或-es来表示的。
但是也有一些特殊的规则和例外情况需要注意。
本文将对复数的形成规则、特殊情况和常见错误进行总结和分析。
一、复数的形成规则1. 在大多数情况下，名词的复数形式是通过在单数形式后面加上-s来表示的，比如：book-books, cat-cats, dog-dogs等。
2. 当名词以s, x, ch, sh结尾时，需要在单数形式后面加上-es来表示复数，比如：bus-buses, box-boxes, watch-watches, dish-dishes等。
3. 当名词以辅音字母+y结尾时，需要把y变成i再加上-es来表示复数，比如：baby-babies, city-cities, party-parties等。
4. 当名词以-o结尾时，一般情况下需要在单数形式后面加上-es来表示复数，比如：potato-potatoes, tomato-tomatoes, hero-heroes等。
但是也有一些例外情况，比如photo-photos, piano-pianos等。
二、特殊情况1. 不规则复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要记住它们的特殊形式。
比如：man-men, woman-women, child-children, foot-feet, tooth-teeth等。
2. 单复数同形有一些名词的单数和复数形式是一样的，需要根据上下文来确定它们所表示的意义。
比如：sheep-sheep, deer-deer, fish-fish, series-series等。
3. 复数形式变化有一些名词的复数形式和单数形式的拼写不同，需要注意它们的变化规律。
比如：man-mans, woman-womans, child-children, goose-geese, mouse-mice等。
复数(两个及两个以上的可数名词)
引言概述：一、复数形式的基本规则1.在大部分情况下，英语名词的复数形式是通过在单数形式后面加上“s”来表示的，例如：book（书）→books（书籍）。
2.以s,x,ch,sh结尾的名词在复数形式中加上“es”，例如：bus （公共汽车）→buses（公共汽车）；box（盒子）→boxes（盒子）。
3.以辅音字母+y结尾的名词，将y变为i，再加“es”，例如：ba（婴儿）→babies（婴儿们）。
4.以f或fe结尾的名词，通常将f或fe变为v，再加“es”，例如：leaf（叶子）→leaves（叶子）。
5.有些名词的复数形式是不规则的，需要记忆，例如：man（男人）→men（男人们）。
二、复数形式的特殊情况1.名词的复数形式与意义相关有些名词的复数形式与其单数形式在意义上是有所区别的，例如：child（孩子）→children（儿童）；foot（脚）→feet （尺）。
2.名词的复数形式相同有些名词的复数形式与其单数形式完全相同，没有任何变化，例如：sheep（绵羊）；deer（鹿）。
3.名词的双复数形式有些名词的复数形式有两种，一种是普通的复数形式，另一种是指多个的特定意义，例如：brother（兄弟）→brothers（兄弟们）；brethren（弟兄们）。
三、复数形式在句子中的用法1.主语与谓语动词的一致性主语与谓语动词在人称和数上需要保持一致，当主语是可数名词的复数形式时，谓语动词也需要使用复数形式，例如：Theyareplayingfootball.（他们正在踢足球。
）2.限定词的选择当使用可数名词的复数形式时，需要选择适当的限定词来修饰，如：many,several,afew等，例如：Therearemanybooksontheshelf.（书架上有很多书。
）3.复数形式的所有格当可数名词的复数形式需要使用所有格时，在名词的后面加上“’”，例如：Thestudents’booksareonthedesk.（学生们的书放在桌子上。
常见病句类型之名词单复数不一致如何修复名词单复数的错误
常见病句类型之名词单复数不一致如何修复名词单复数的错误名词单复数的错误是英语写作中常见的病句类型之一。
当我们在表达时，名词的单复数不一致会给读者带来困惑，甚至影响文章的读取和理解。
因此，正确修复名词单复数错误是提高写作质量的一项重要技能。
本文将介绍名词单复数不一致的几种常见情况，并探讨如何修复这些错误。
1. 名词复数形式的一致性在英语写作中，名词的复数形式需要与其所属的动词、代词等形式保持一致。
例如，主语是复数形式的名词，则其所属的动词也应该是复数形式的。
举个例子：例句1：The students is studying in the library.（错误）例句2：The students are studying in the library.（正确）在例句1中，名词"students"是复数形式的，但是动词"is"却是单数形式的，导致名词单复数不一致的错误。
在例句2中，动词"are"与名词复数形式"students"保持一致，修复了名词单复数不一致的错误。
2. 名词单复数的正确用法在使用名词时，我们需要确保其单复数形式的正确。
以下是一些常见的名词单复数形式的修复方法。
2.1. 一般名词的单复数大多数情况下，名词的复数形式可以通过在词尾加-s或-es来表示。
例如：例句3：I have two dog.（错误）例句4：I have two dogs.（正确）在例句3中，名词"dog"是单数形式，但是由于缺少复数形式的标识，导致名词单复数不一致的错误。
在例句4中，名词"dogs"是复数形式，修复了名词单复数不一致的错误。
2.2. 不规则名词的单复数有些名词的单复数形式并不遵循一般的规则，需要我们记忆和熟练运用。
例如：例句5：I saw two mices in the kitchen.（错误）例句6：I saw two mice in the kitchen.（正确）在例句5中，名词"mices"是错误的复数形式，正确的复数形式是"mice"。
中文写作中常见的名词复数错误校正方法
中文写作中常见的名词复数错误校正方法1. 引言在中文写作中，名词复数错误是一个常见的问题，特别是对于非汉语为母语的学习者来说。
正确使用名词的复数形式对于准确表达意思和提高文章的质量至关重要。
本文将介绍一些常见的中文名词复数错误以及相应的校正方法。
2. 名词复数的基本规则在中文中，一般情况下，名词的复数形式是通过在词尾加上「们」或者「们的」来表示的。
例如「老师」变成「老师们」，「问题」变成「问题们的」。
然而，这并不是所有名词复数的形式。
下面将介绍一些常见的名词复数形式的规则。
3. 以「们」结尾的复数形式大多数以人类为概念的名词，如「学生」、「家长」、「研究人员」等，在复数形式中会加上「们」。
例如「学生们」、「家长们」、「研究人员们」。
注意，在使用这种复数形式时，一定要确保它们前面有数量修饰词，如「一些」、「许多」。
校正方法：•需要确保名词前有数量修饰词，如「一些学生们」、「许多家长们」。
•避免误将非人类名词加上「们」作为复数形式。
4. 不变复数名词有一些名词的复数形式与单数形式相同，这些名词通常是原本就没有复数形式的，如「友谊」、「快乐」、「信心」等。
这些名词在表达复数概念时，并不对词进行变化。
校正方法：•需要确认名词是否属于不变复数名词，如果是，应使用单数形式表达复数概念。
5. 以「的」结尾的复数形式有一些名词在复数形式中会在词尾加上「的」，例如「问题」、「挑战」等。
这种情况下，复数形式与单数形式并没有明显的变化。
校正方法：•需要注意名词是否属于以「的」结尾的复数形式，如果是，应使用单数形式表达复数概念。
6. 特殊名词复数形式除了以上介绍的情况外，还有一些特殊的名词复数形式需要注意。
6.1 以「子」结尾的复数形式有一些名词以「子」结尾，如「孩子」、「宝贝」。
在复数形式中，「子」变成「们」。
例如「孩子们」、「宝贝们」。
校正方法：•需要确保名词以「子」结尾，并在复数形式中将「子」替换为「们」。
6.2 双音节名词的复数形式双音节名词的复数形式通常是在词尾加上「儿」。
语法常见错误
语法常见错误语法是语言的基础，正确运用语法规则可以使我们的表达更加清晰准确。
然而，在日常写作中，很多人都会犯一些常见的语法错误。
本文将列举一些常见的语法错误，并给出相应的纠正方式，希望能帮助大家提高语法水平。
一、主谓一致错误主谓一致是指主语和谓语在人称和数上要保持一致。
很多人在使用复数主语时容易犯主谓一致的错误。
例如：1. The team are going to play tomorrow.应改为：The team is going to play tomorrow.2. The students were upset because their exams was difficult.应改为：The students were upset because their exams were difficult.二、单复数错误在英语中，名词的单复数形式是要严格对应的。
但是，很多人在使用名词时常常会忽略这个规则，导致单复数的错误。
例如：1. I have many informations to share with you.应改为：I have much information to share with you.2. There is two cats in the garden.应改为：There are two cats in the garden.三、时态错误时态是指动词在时间上所表示的状态。
在句子中，时态的使用要与上下文保持一致，否则会产生误解。
例如：1. He is a great writer. He writes several books last year.应改为：He is a great writer. He wrote several books last year.2. I have never been to Paris, but I will be there next month.应改为：I have never been to Paris, but I will go there next month.四、冠词错误冠词在句子中的使用也是有规则可循的，但是很多人在使用冠词时经常出错。
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个根， 所 以， 根 与 系数 的实 际关 系是 ｚ 。 ｉ 一 一ｉ ， 所以
考虑 问题 的 角度 是 实 数 范 围 ， 但 是 在 学 习复 数 之 后 ， 不 自觉地 将实数 的性 质 、 公 式 以及 实 数 的法 则 应 用 到
复数 的 问题 中 ， 导 致 在解 答 复 数 问题 时 ， 经 常会 出 现 各类错 误 ．
相等 的定 义得 ｛ ｆ ｚ ｊ ＋２ ａ ｘ ｎ ＋１ —０ ，
．
解得 ｎ 一 ±１ ．
（ Ｘｏ 十口 ０・
３ 忽 视 虚 根 成 对 出 现
例 ３ 已知 方程 ｚ 十ｋ ｘ —ｉ 一０中一个 根 为 ｉ ， 求
另 外一 个根 以及 ｋ的值 ． 复 数 是可 以写成 ｎ ＋ｂ ｉ 形 式 的数 ， 其中ｎ 、 ｂ是 实 数， ｉ 是 虚数 单位 ． 复数 的概 念是 由意 大利 著 名 学者 在
正 解 由题 意 可 得 （ － ｚ 一２ ） （ ２ ｘ一 １ ） ＋（ 一 ２ ） ・
｛ ｘ ｚ ２ 一 － ２ ５ ： ： ｘ ＝ ＋ 。 。 ６ 一 。 ’ 解 得 一 ２ ．
分析 ｎ ＋ｂ ｉ —Ｃ ＋ｄ ｉ 中， ｎ —ｃ且 ｂ —ｄ成 立 的条
件 是 ｎ、 ｂ 、 Ｃ 、 ｄ∈ Ｒ， 但是 ， 本 题 没 有 说 明 ｚ是 否 是
次方 程 的 口 ｚ － ＋ｂ ｘ ＋ｃ 一０（ ｎ ≠Ｏ ） 的根 的情 况 ， 但是 ，
这个 方程 中的 ２ ａ —ｉ 与 １ －ａ ｉ 并 不是 实数． 正解 设 Ｘ 。是 原 方 程 的实 根 ， 将 其 代 入 原 方 程
中， 并 且 变形为 ＋ ２ ａ ｘ 。 ＋１ 一（ ｎ ＋ａ Ｔ ． 。 ） ｉ 一０ ， 由复 数
的实 际虚根 才 能 成 对 的 出 现 ， 所以 ， 本 题 的系 数 不 是
实数 ．
正解 因为 ｉ 是 方 程 的一 个 根 ， 将 其代 入 原 方 程 得 ｉ ＋愚 ｉ —ｉ 一０ ， 根据方 程 得 出 忌 一１ 一ｉ ， 设 Ｘ 。 是 另 外
一
１ 忽视 复数条 件相等 的情 况 许多 的高 中学生 在解 复数 问题 时 ， 由于学 生 之前
错解 依据 一 元 次 方 程 的 虚 根 成 对 出现 的情
况， ｉ 是 其 中一个 根 ， 则 一ｉ 必是另外一个根 ， 所以 ｉ ＋
（ 一ｉ ） 一一是 ， 所 以 一０ ．
１ ６ 世 纪末 期提 出 ， 是 解 析数 论 和 流 体力 学 、 复 数 函数
论 和相 对 论 等 基 础 学 科 的研 究 对 象 和 使 用 工 具 ． 因
例２ 已知关 于 的方 程 ｚ ＋（ ２ ａ —ｉ ） ｚ—ａ ｉ ＋
不 当等 ， 这 些 因素 的存 在使 得 很 多学 生 在 复数 解 题 时
面 临不 同的 困难 ， 基 于此 ， 本 文将 复 数 解 题 中 的 几 类
１ —０ 有 实 根存在 ， 求 实数 ｎ的取 值范 围． 错解 因为方 程是 有 实 根 的 ， 故 △一 （ ２ ａ —ｉ ） 。 一
Ｘ ～ ｚ一 ２ — ０， ⑦
错 解
根 据 复 数 的 基 本 定 义 可 以 得 出
由①得 ｚ 一÷或 ｚ 一２ ；由② 得 ． ｚ 一２或 ｚ 一一 １ ．
综上 可得 一２ ． 分析 此题中， 未说 － ｚ是 否 是实 数 ， 但是， 上 面 的 解 答方 法把 ｚ当成 实 数 来处 理 ， 并 没 有 考 虑 ｚ∈Ｃ 的 情 况． 具 体来 说 ， 方 程是 复数 系 的一元 二次方 程 ．
分析
利用 判 别 式 只可 以来 判 断 实 系 数 一 元 二
匕
∞ ，
－
ｚ 一 一 １．
４ 忽 略 已 知 条 件
例 ４ 求方程（ ２ ｘ 一５ ｘ＋２ ） ＋（ ｚ 。 一ｚ一２ ） ｉ 一０
的根 ．
例 ｚ一 ２ ） ｉ 一０ ．
错解
根 据 已知条件 可得 ２ ｘ 一５ ｘ ＋２ —０ ， ①
常见错 误 进行 了分析 和归 纳 ， 以期 能够 加 深 学生 对 基
础知 识 的理解 和掌 握 ， 促 进 学 生 解 题 思 维 的形 成 ， 提 高解题 的效率． （ 作 者单位 ： 河北省 石 家庄 市第二 十七 中学）
４ （ １ －口 ｉ ） 一４ ｎ ｚ 一５ ≥ｏ ， 解得 ｎ ≥ 或 口 ≤ 一 ．
此， 学 生在 学 习复 数 时 ， 要 注 意 在 各 种 题 型 中 出现 的 复数类 型． 本 文针 对复数 教 学 中学 生 常见 的错 误进 行
剖 析 和 阐述 ． 。
分析
在复 系数一 元 次 方 程 中 ， 根与 系 数 的关
系使方 程成 立 ， 但是 ， 仅 仅 是 实 系 数 的 一 元 次 方 程
实 数． 正解 将原 方程 化 为 ｚ 。 一（ ５ 一ｉ ） ｚ＋６ —２ ｉ ＝ ＝ ＝ ｏ ，
通 过求 一元 二次方 程 的求 根公 式可 得
１ 一 — — — — — 一 一 ５一 ３— １ ， ’ ２ 。 一 — — —— — 一 ： ： ： ２， ，
（ ｚ ＋１ ） ｉ 一０ ， 所以（ ｚ 一２ ） ［ （ ２ ＋ｉ ） ｚ一 （ １ 一ｉ ） ］ 一０ ，所
以ｚ 一 ２或 － ｚ 一 ．
所 以原 方程 的解 为 一３ 一ｉ ， ｚ 一２ ．
２ 忽 视 利 用 判 别 式 条 件
＃ ，
综 上所 述 ， 在 进行 复数 解 题 时产 生错 误 的原 因是 多种 多样 的 ， 有 的 由于 学 生 对 基 础 知 识 掌 握 不 牢 ， 有 的 由于学 生思维 受 限 ， 有 的 由于 学生 选 择 的解 题 方 法