飞机排队模型_数学建模
数学建模排队论模型
可以证明，顾客在系统中逗留时间服从参数为μλ的负指数分布。
(2)顾客在系统中的平均逗留时间
1
则顾客在系统中的平均等待时间
q1 1()
Little公式
L与, Lq 是衡,量q 排队系统质量的很重要的效率度量
上式称为LittleL 公 式。 L qq
表明系统中的顾客数，等于一个顾客在系
统时间L内来到的新的顾客数；
（三）Poisson流与指数分布
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内流 (事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换台 的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时间 内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t）表 示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
p N ( t ) p N 1 ( t ) p N ( t )
即 满Pn (足t) 微分方程
pn (t)pn 1(t)( )pn(t)pn 1(t) p 0 (t) p 0(t)p 1(t) pN (t)pN 1(t)pN (t)
n1 ,2 , ,N 1
在稳态情况下， pn ，pn(t) ，pn则(t)0
服务规则
服 离去 务 机 构
排队系统
在排队论中，我们把要求服务的对象称为“顾 客”，而将从事服务的机构或人称为“服务台”。 在顾客到达服务台时，可能立即得到服务，也可 能要等待到可以利用服务台的时候为止。
排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名词 可以从不同的角度去理解。
排队系统
上、下班的工人乘公共汽车 病人到医院看病 高炮击退敌机
最简单流应 x(t):t具0有以下特征称
(1)流具有平衡性
对任何 a和0 0 t1 t,2 tn x ( a t i) x ( a ) ( 1 i n )
上海虹桥机场的数学建模问题解决
一、问题背景与重述1.1问题背景虹桥国际机场采用的是东西两条跑道分工进行飞机起降的任务，所以大多数飞机的起降都要实现跑道穿越的过程，同时在飞机起降的高峰时期，此时人工指挥进行飞机调度就存在着一定的困难和安全隐患。
1.2问题重述1．设计一个跑道的智能调度模型，内容包括：飞机降落时间及落地后的运动规划，飞机起飞前的运动规划和起飞时间，所有航班的起降（次序、时间、地面滑行路径）。
在保证跑道上飞机安全的基础上，考虑准点率和起降效率的提高；2．对附件2的航班起降时间重新编排，在安全的基础上，计算出所有航班起降完需要的最短时间和调度安排（次序、时间、地面滑行路径）。
二、问题分析进近道对于参数较多，图形结构复杂的虹桥机场使用树状图，将其简化为三条主跑道与多条进近道，在此基础上，由南向北的行进过程中分析可能存在的道路，并考虑单一支路上的冲突情况与交叉冲突情形，并将多条可能的选择路线转化为时间效率，接着分析转弯节点处的约束条件与单一跑道的约束条件，将两者结合。
每次选定不同的覆盖航班数，在覆盖范围内唯一确定已经按计划起飞的航班，在此基础上，再对剩余的航班进行规划即可得到目标函数的最佳效益，通过改变每次覆盖的航班数量与可移动覆盖的航班数量，由此得到不同的目标效益最值。
三、模型假设所有斜进近跑道长度相等；飞机的机头调转不能超过90°；飞机在南北方向跑道上是匀速滑行的。
四、符号说明符号说明J第i架飞机的效益值iR最小尾流间隔i表示转弯角iv表示初始速度't起飞客机滑行时间''t降落客机的滑行时间五、模型建立与求解5.1 动态调度模型的建立与求解5.1.1 对虹桥机场跑道的简化（1）飞机起飞上海虹桥机场的跑道图显示，起飞飞机滑行的终点是指定的起飞跑道，此时飞机需要等待跑道被清空后才能完成飞行过程。
根据以上对飞机起飞过程的描述，可得到起飞图5-2 起飞飞机状态图为了简化问题，本文规定由T2机场起飞的飞机只能由H6与H7进近跑道进入滑行跑道，而由T1机场起飞的飞机只能由H7进近跑道进入滑行跑道，并且此时的飞机始终保持匀速滑行。
上海虹桥机场的数学建模问题解决
一、问题背景与重述1.1问题背景虹桥国际机场采用的是东西两条跑道分工进行飞机起降的任务，所以大多数飞机的起降都要实现跑道穿越的过程，同时在飞机起降的高峰时期，此时人工指挥进行飞机调度就存在着一定的困难和安全隐患。
1.2问题重述1．设计一个跑道的智能调度模型，内容包括：飞机降落时间及落地后的运动规划，飞机起飞前的运动规划和起飞时间，所有航班的起降（次序、时间、地面滑行路径）。
在保证跑道上飞机安全的基础上，考虑准点率和起降效率的提高；2．对附件2的航班起降时间重新编排，在安全的基础上，计算出所有航班起降完需要的最短时间和调度安排（次序、时间、地面滑行路径）。
二、问题分析进近道对于参数较多，图形结构复杂的虹桥机场使用树状图，将其简化为三条主跑道与多条进近道，在此基础上，由南向北的行进过程中分析可能存在的道路，并考虑单一支路上的冲突情况与交叉冲突情形，并将多条可能的选择路线转化为时间效率，接着分析转弯节点处的约束条件与单一跑道的约束条件，将两者结合。
每次选定不同的覆盖航班数，在覆盖范围内唯一确定已经按计划起飞的航班，在此基础上，再对剩余的航班进行规划即可得到目标函数的最佳效益，通过改变每次覆盖的航班数量与可移动覆盖的航班数量，由此得到不同的目标效益最值。
三、模型假设所有斜进近跑道长度相等；飞机的机头调转不能超过90°；飞机在南北方向跑道上是匀速滑行的。
四、符号说明符号说明J第i架飞机的效益值iR最小尾流间隔i表示转弯角iv表示初始速度't起飞客机滑行时间''t降落客机的滑行时间五、模型建立与求解5.1 动态调度模型的建立与求解5.1.1 对虹桥机场跑道的简化（1）飞机起飞上海虹桥机场的跑道图显示，起飞飞机滑行的终点是指定的起飞跑道，此时飞机需要等待跑道被清空后才能完成飞行过程。
根据以上对飞机起飞过程的描述，可得到起飞图5-2 起飞飞机状态图为了简化问题，本文规定由T2机场起飞的飞机只能由H6与H7进近跑道进入滑行跑道，而由T1机场起飞的飞机只能由H7进近跑道进入滑行跑道，并且此时的飞机始终保持匀速滑行。
美国数学建模竞赛题目(1985--2009年)
美国数学建模竞赛题目1985年：A题：动物群体的管理B题：战略物资储备的管理问题1986年：A题：海底地型测量问题B题：应急设施的优化选址问题1987年：A题：堆盐问题（盐堆稳定性问题）B题：停车场安排问题1988年：A题：确定毒品走私船位置B题：平板列车车厢的优化装载1989年：A题：蠓虫识别问题；最佳分类与隔离B题：飞机排队模型1990年：A题：脑中多巴胺的分布B题：铲雪车的路径与效率问题1991年：A题：估计水塔的水流量B题：通信网络费用问题1992年：A题：雷达系统的功率与设计式样B题：紧急修复系统的研制1993年：A题：堆肥问题B题：煤炭装卸场的最优操作1994年：A题：保温房屋设计问题B题：计算机网络的最小接通时间1996年：A题：大型水下物体的探测B题：快速遴选优胜者问题1997年：A题：恐龙捕食问题B题：会议混合安排问题1998年：A题：MRI图象处理问题B题：分数贬值问题1999年：A题：小星体撞击地球问题B题：公用设施的合法容量问题C题：确定环境污染的物质、位置、数量和时间的问题2000年：A题：空间交通管制B题：无线电信道分配C题：大象群落的兴衰2001年：A题：选择自行车车轮B题：逃避飓风怒吼C题：我们的水系-不确定的前景2002年：A题：风和喷水池B题：航空公司超员订票C题：如果我们过分扫荡自己的土地，将会失去各种各样的蜥蜴。
2003年：A题：特技演员B题：Gamma刀治疗方案C题：航空行李的扫描对策2004年：A题：指纹是独一无二的吗？B题：更快的快通系统C题：安全与否？2005年：A题：flood planningB题：tollboothsC题: Nonrenewable Resources2006年：A题：Positioning and Moving SprinklerSystems for IrrigationB题：Wheel Chair Access at AirportsC题：Trade-offs in the fight againstHIV/AIDS2007年：A题：GerrymanderingB题：The Airplane Seating ProblemC题：Organ Transplant: The Kidney Exchange Problem2008年：A题：Take a BathB题：Creating Sudoku PuzzlesC题：Finding the Good in Health Care Systems2009年：A题：Designing a Traffic CircleB题：Energy and the Cell PhoneC题：Creating Food Systems: Re-Balancing Human-Influenced Ecosystems。
数学建模 飞机的登机顺序安排问题
飞机的登机顺序安排问题摘要美国航空机场服务规划副总裁马克.都彭的话来说：“登机就好比是跟在一辆慢吞吞的卡车后行驶，又不能超车。
”长期以来，航空公司为了使飞机按时出发费尽了心思。
有的公司安排从后排开始登机，有的公司从靠窗座位开始，还有些公司设计出两者的组合方案。
但实际情况却没有如航空公司所愿。
近年来随着民用航空业飞速发展,无论是航空公司还是旅客都希望缩短登机时间,这样航空公司可以赢得更多时间用于飞行获得丰厚利润,旅客也可以缩短旅途时间。
然而随着乘坐飞机的旅客越来越多以及飞机的容量不断增加,使得登机时间却在不断加长。
如何缩短登机时间这一问题亟待解决。
针对客机登机顺序问题，文章将登机过程类比于总线型局域网的数据传输过程，建立了总线状态模型，在此基础上建立了蒙特卡洛随机模拟模型。
总线状态模型的主要思想是：利用总线型局域网拓扑结构的原理，将客机登机所需时间转化为拓扑结构中总线从空载状态到负载状态再到空载状态所经过的时间。
通过查阅相关资料文献，我们筛选出六种比较具有代表性的登机方案---Back to Front、Rotating Zone、Random、Reverse Pyramid、Outside in、block。
对选择的不同机型进行模型求解，对模拟结果进行分析，得出不同飞机设计登机方案的原则。
在此原则的基础上，提出新的方案，并对新方案进行模拟求解，最后从已有方案的六种方案和新提出的方案中提出适合各型飞机最优的登机方案。
关键词：客机、登机、总线状态模型、蒙特卡洛随机模拟模型一.问题重述航空公司可以自由的安排等待登机的旅客的登机顺序，首先安排有特殊需要的乘客登机就座已经成为惯例. 按照常规有特殊需要的轮椅旅客首先登机，紧跟着是头等舱的乘客(他们坐在飞机的前部). 然后是安排经济舱和商务舱的乘客按行排队登机，从飞机后排的乘客依次往前安排登机。
从航空公司的角度来看,除了考虑到乘客的等待时间外,时间就是金钱,所以登机时间最好应该减小到最少. 只有飞机载客飞行，航空公司才能赚钱,而过长的登机时间将会限制飞机在一天内的飞行次数.发展大型飞机，诸如空客A380-800客机(载客800人) 这样的最小化登机（离机）时间的问题就更显得重要了。
数学建模.排队论讲解
P1
(m 1)
(m n 1) (m n)
P2
Pn 1
Pn
Pn 1
2
由状态转移图，可以建立系统概率平衡方程如下： P 1 mP 0, Pn 1 (m n 1)Pn 1 [(m n) ]Pn , 1 n m 1 Pm Pm 1 ,
E (T ) 1
n!
e
1.5 排队系统的常用分布
同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布， 概率密度为： t
f (t ) e
(t 0)
其中 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率． 3）爱尔朗分布：
(k ) k t k 1 kt 分布密度函数： f k (t ) (k 1)! e (t 0, k , 0)
N k k
模型的各数量指标参数如下： 1）系统里没有顾客的概率 1 1 N 1 P
0
1 1
1 1 N
2.2 系统容量有限的 M / M / 1/N / 模型
n P P0，n N 2）系统里有n个顾客的概率 n
3）在系统里的平均顾客数
3）服务时间的分布——在多数情况下，对每一个顾客的服务 时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 爱尔朗分布等.
1.3 排队系统的符号表示（Kendall符号）
根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成 不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符 号形式：
X /Y / Z / A/ B /C
式中 表示平均到达率与平均服务率 之比，称为服务强度.
2.1 标准的 M / M / 1 模型
数学建模之排队论模型
【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数 服从泊松分布。 修理一台机器平均花费 20 元。 现有技术水平不同的修理工人 A 和 B， A 种修理工平均每天能修理 1.2 台机器， 每天工资 3 元； B 种修理工平均每天能修理 1.5 台机器，每天工资 5 元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。问工厂录用 哪种工人较合算？
Ls = ∑ np n = ∑ n(1 − ρ )ρ n = ρ /(1 − ρ ) = λ /( µ Nhomakorabea− λ ).
n =0 n =1
∞
∞
(2) 排队长： （等待的平均顾客数）
4
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Lq = ∑ (n − 1) p n = ∑ (n − 1) ρ n (1 − ρ )
本讲主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 排队论的基本概念 单服务台的排队模型 多服务台的排队模型 排队系统的最优化问题 数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题
5.1 排队论的基本概念
5.1.1 什么是排队系统
排队论也称随机服务系统理论，它是 20 世纪初由丹麦数学家 Erlang 应用数学方法在研 究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科， 在实际中有广泛的应用。 它涉及的是建立一 些数学模型， 藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。 现实世界中排队的现象比 比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同， 但有如下共同特征： （1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为 “顾客” 。 （2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员” 。由顾 客和服务员就组成服务系统。 （3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间 不一定是确定的， 服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队， 而某些时候服务员又空 闲无事。 为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 1.输入过程 即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到 达的规律、 作出经验分布， 然后按照统计学的方法 （如卡方检验法） 确定服从哪种理论分布， 并估计它的参数值。 我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布， 且顾客的达到 是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的 影响。 2.排队规则 即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即 时制就是服务台被占用时顾客便随即离去； 等待制就是服务台被占用时， 顾客便排队等候服 务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论 先到先服务的系统。 3.服务机构 服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单
数学建模(飞机登记)
飞机就座问题的研究摘要针对客机登机顺序问题，文章将登机过程类比于总线型局域网的数据传输过程，建立了总线状态模型，在此基础上建立了蒙特卡洛随机模拟模型。
总线状态模型的主要思想是：利用总线型局域网拓扑结构的原理，将客机登机所需时间转化为拓扑结构中总线从空载状态到负载状态再到空载状态所经过的时间。
通过查阅相关资料文献，我们筛选出六种比较具有代表性的登机方案---Back to Front、Rotating Zone、Random、Reverse Pyramid、Outside in、block。
对选择的不同机型进行模型求解，对模拟结果进行分析，得出不同飞机设计登机方案的原则。
在此原则的基础上，提出新的方案，并对新方案进行模拟求解，最后从已有方案的六种方案和新提出的方案中提出适合各型飞机最优的登机方案。
关键词：客机、登机、总线状态模型、蒙特卡洛随机模拟模型1.问题重述航空公司允许引领候机乘客以任何次序就座。
按照惯例，有特殊需要的旅客首先就座，紧跟着是头等舱的旅客(他们坐在飞机的前部)，然后是经济舱和商务舱的旅客从飞机后排开始向前排按照排结组就座。
除了考虑到乘客的等待时间,从航空公司的角度来看,时间就是金钱,登机时间应该最小化。
只有载客飞行，飞机才能为航空公司赚钱。
过长的登机时间将会限制飞机在一天内的飞行次数。
大型飞机，如A380-800客机(载客800人) 就更要缩短登机（以及下机）的时间。
现在的问题是：要就乘客人数不同的小型机(85-210)、中型机(210-330)、大型机(450-800)，设计并比较登机和下机时间的步骤。
同时准备一份不超过两页纸的实施概要，以便向相关人员阐明结论。
2.问题分析本问题是研究不同登机方案对不同大小飞机登机时间的影响，从中找到使不同大小飞机登机时间最短的登机方案，从而增加飞机每天的飞行次数。
要研究不同登机方案的登机时间，首要的问题是要明确登机时间是由哪些部分构成，通过对文献的研读以及对登机过程的研究，我们发现登机时间主要由乘客步行时间、放行李的时间、不同排座位乘客之间的干扰时间以及同一排的乘客之间的干扰时间构成，在此基础上就是建立相应的模型计算总的登机时间。
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xij 1 ,i 1 ,2 ,...n
j 1 n
xij 1 ,j 1 ,2 ,...,n
i 1
xij0 或 1
此模型是一个运输问题的特例----指派模型，其中
c =(c11,c12,...,c1n,c21,c22,...c2n,...,cn1,cn2,...,cnn) 为一行向量。
赖于实际航班的花费和顾客的满意程度来确定。
设为Cij第i架飞机从第j个小时间段上起飞时所需一切费用之
和，于是所有可能的排序带来的费用计算有如下的费用距阵表示：
c11 c12 ... c1n
c c21
c22
...
c2n
... ... ... ...
cn1
cn 2
...
cnn
nn
z
cij xij
i1 j1
即 构 成 目 标 函 数 。 （ 由 于 假 设2， cij 独 立 于 xij 的 取 值 ， 故 此 目 标 函 数 是 一 线 性 函 数 ） 。 为 求 得 使c达 最 小 的
xij， 构 造 了 如 下 的 线 性 规 划 模 型 ：
m inc x
x=(x11, x12,..., x1n, x21, x22,...x2n,..., xn1, xn2,..., xnn) 为一列向量， 为转 置符号。
对于分派问题，已有专门为此种特殊结构而设计的有效的解题 算法，它被称为Graver—Thrall primal算法。对于1个随机产生的 具有16个变量的分派问题，最多只须2.9秒即可完成求解，而使用现 代的计算机，对任意适当个变量的指派问题，只须不到一秒钟即可 求得解。
（1）
并设 Xij=0或1，当第i架飞机在第j个时段上起飞时Xij=1，否则Xij=0
于是相应地安排方案距阵为 ：
x11 x12 ... x1n
x
x21
x22
...
x2n
（2）
... ... ... ...
xn1
xn 2
...
xnn
由于xij 只取 0，1 值，故如下的一个距阵（2）即对应一个排序方案：
4.设是 一 架 飞 机 要 按 时 到 达 目 的 地 所 必 须 起 飞 的 最
晚 时 限 ， 并 假 设 如 果 一 架 飞 机 在 时 限 以 后 才 起 飞 ，
则 它 必 须 以 最 大 安 全 速 度 飞 完 全 程 。 （ 而 在 以 内 起
飞 者 可 着 情 加 速 ） 。
飞机
1
2
3
…
n
窗口
1
0
1
0
…
0
2
1
0
0
…
0
…
…
…
…
…
n
0
0
0
…
1
即第一架飞机排第2个窗口起飞，第2架排第一个窗口起飞…， 最后一架排最后起飞。并由上表的安排结构，知道（2）中的距 阵满足每行中仅有一个元素为1，即每个窗口上仅有一架飞机占 用；该阵每列中也有一个元素为1，即每架飞机占用n个窗口中的
一个。即变量Xij须满足约束：
更重要的是。在设有意外发生的情况下，还可利用机场的原有时间 表，由数据库事先安排好起飞顺序，并让飞机安排起飞顺序起飞， 而唯一需要重新安排的情况仅仅发生在有飞机晚点或紧急的情况， 而这时的运算也会在一秒钟左右解决问题。而且由假设（3），也不 会因改变而产生临时的拥挤情况。
5 .如 果 一 架 飞 机 在 时 限 以 后 起 飞 ， 则 该 机 上 所 有 需
转 机 的 乘 客 都 将 误 下 次 班 机 ， 并 设 给 每 个 乘 客 用 于 赔 偿 重 新 安 排 旅 行 计 划 的 补 偿 费 用 是 一 样 的 。
模型设计与可行性分析
如果在t0时刻仅有一架飞机或没有要求起飞的飞机，则机场就 直接安排其起飞或闲置 。因此设在t0有n架飞机同时要求起飞。 由假设1，可将n架飞机起飞所需要的总时间分成n个等长的小时 间段（如∆长）。下面如何安排哪架飞机在哪个时段上起飞要依
n
xij =1
jj =1
i1
j1,2,...,n
(3)
由于xij 为取0，1值的变量，因此不同的分派安 排对应的仅仅是xij 取1的位置不同而已。
于 是 设 c 1为 安 排 第 一 架 飞 机 的 费 用
c 1 c 1 1 x 1 1 c 1 2 x 1 2 ... c 1 n x 1 n 由 此 全 部 飞 机 安 排 的 总 费 用 为 ：
同时，由于模型中费用系数阵（1）须要经过量化，而他们可由 下一段四中的公式求得。并由数据库中的数据进行计算，这一量化 模型的过程须要另一个不到一秒钟。因此整个模型的建立与求解所 用时间是以秒为数量级的，故当机场控制塔在面临一串连珠炮一样 的起飞请求时都可几乎立即对排序作出响应。而飞机的起飞间隔远 不是以秒为数量级的。一般至少几分钟，因此模型是可行的。
2. 第i架飞机由第j个时间段上起飞时，其所需费用仅与该飞机 和时间位置有关，而与它前面是哪架飞机无关。即费用不是 前面飞机的函数，因此这一假设可把对应于不同排序的总费 用都统一描述为一个线性函数。
3. 任何飞机从离开自己的通道口到达跑道入口处所需要的时间 假定都一样。同时为了避免有一大堆飞机挤在跑道入口处等 待飞机（一般机场也不太可能这样），这时如有另一架飞机 需要紧急起飞，这就须将所有排在前面的飞机挤到一边来腾 地方，因此假设每架飞机都有立即进入跑道口的通道。这样 在须要调整次序时，只须在数据库中的次序上进行调整，而 不必对飞机实地重排。并且飞机须在为其指定的小时间段上 才准许离开自己的通道口。
飞机排队模型_数学建模
在目前的各国机场，一般都使用“先到先 服务”的排队系统，这一系统虽一直延用， 但效率不高，且不能调节意外情况的发生。 在这里将要给出一个利用数据库系统快速排 队的模型，以使机场高效的服务，并使航空 公司在尽量小的花费情况下，达到顾客满意 的目的。
模型的基本假设
1. 机场上所有要起飞的飞机，都必须使相同一条跑道，并且任 何一架飞机在起飞的时候都需要完全地占有整条跑道，每架 飞机占用的时间是一样长的。这一假设可把整个时间分割成 离散的等长的小时间段（也称为起飞窗口宽度），在每个小 时间段上可容纳一架飞机完成起飞操作。