2004考研数学二真题及答案解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+ , 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰ ,20tan x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）22lim (1)n n→∞+等于（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰[]（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >. []（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y xy y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰. （B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.。
2004年数学二试题分析、详解和评注 数一至数四真题+详解
2004年考硕数学（二）真题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.【评注】本题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21【例1.36】（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令220d ydx < ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。
2004考研数学二真题及答案
2004考研数学二真题及答案一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x =.(2) 设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为.(3)1+∞=⎰.(4) 设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂.(5) 微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为.(6) 设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵,E是单位矩阵, 则B =.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 2x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ( )(A),,.αβγ (B),,.αγβ(C),,.βαγ (D),,.βγα (8) 设()(1)f x x x =-, 则 ( )(A) 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B) 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.(C) 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (D) 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.(9) lim ln(1)n n→∞+ ( )(A)221ln xdx ⎰. (B)212ln xdx ⎰.(C)212ln(1)x dx +⎰. (D)221ln (1)x dx +⎰(10) 设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 ( )(A)()f x 在(0,)δ内单调增加. (B)()f x 在(,0)δ-内单调减小. (C)对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. (D)对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.(11) 微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 ( )(A)2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. (B)2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. (C)2sin y ax bx c A x *=+++. (D)2cos y ax bx c A x *=+++(12) 设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于 ( )(A)11()dx f xy dy -⎰⎰. (B)22()dy f xy dx ⎰⎰.(C)2sin 20(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. (D)2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰(13) 设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为 ( )(A)010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B)010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (C)010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (D)011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(14) 设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有 ( )(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(16)(本题满分10分)设函数()f x 在(,-∞+∞)上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(I)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (II)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.(17)(本题满分11分)设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(I)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (II)求()f x 的值域.(18)(本题满分12分)曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(I)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.(19)(本题满分12分)设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-.(20)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注：kg 表示千克,/km h 表示千米/小时)(21)(本题满分10分)设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂.(22)(本题满分9分)设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解(23)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.参考答案一、填空题 (1)0.解:本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点. 对不同的x , 先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.由2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+，显然当0x =时,()0f x =；当0x ≠时, 2(1)()lim 1n n x f x nx →∞-=+22211(1)lim(1)lim 11lim n n n x xx n n x x x n n →∞→∞→∞--===⎛⎫++ ⎪⎝⎭1x =, 所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠，故 0x =为()f x 的间断点.(2)解:判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ 定义的参数方程求出二阶导数22d y dx , 再由 220d ydx<确定x 的取值范围.()323133dy t t t dt '=-+=-，()323133dxt t t dt'=++=+ 所以 2222331331dy dy dt t t dx dx dt t t --===++221111t t +--=+2211t =-+ 222221113(1)d y d dy dt dx dt dx dx t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()222413(1)1t t t =⋅++2343(1)t t =+, 令220d y dx <(或220d y dx≤)，即23403(1)t t <+(或23403(1)tt ≤+) ⇒0t <()0t ≤或 又331x t t =++， 2330x t '=+>，所以()x t 单调增, 当0t =时，1x =，所以当0t <时()()01x t x <=(或当0t ≤时，()()01x t x ≤=)，即(,1)x ∈-∞(或(,1]x ∈-∞)时，曲线凸(3)2π. 解:利用变量代换法可得所求的广义积分值. 方法1：作积分变量变换，令sec x t =，则2221sec 1tan x t t -=-=，sec sec tan dx d t t tdt ==，:02t π→，代入原式：22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰.方法2：令1x t =，则211dx d dt t t ==-，:10t →，代入原式：1120111)arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰.(4)2.解:此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 方法1：复合函数求偏导，在 232x zz ey -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x z z ze x x-∂∂=-∂∂, 23(3)2x z z z e y y -∂∂=-+∂∂,从而 2323213x z x zz e x e --∂=∂+, 23213x z z y e -∂=∂+ 所以 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+ 方法2：令23(,,)20x zF x y z ey z -=+-=，则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂ 所以2323232322(13)13x z x z x z x z z e e FFx z x e e----∂⋅∂∂=-=-=∂∂∂-++, 232322(13)13x z x zz FFy z y e e --∂∂∂=-=-=∂∂∂-++, 从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e --+=⋅=+方法3：利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x z x z e dx dy e dz --=+-即2323(13)22x zx zedz edx dy --+=+，得232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---=+++所以 2323213x z x z z e x e --∂=∂+, 23213x zz y e -∂=∂+从而 3z zx y ∂∂+∂∂2323232231313x z x z x z e e e ---=⋅+++2323132213x z x ze e--+=⋅=+(5)315y x =解:此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解. 方法1：原方程变形为21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程 102dy y dx x-= 的通解:分离变量：12dy dx y x=两边积分得： 1ln ln ln 2y x c =+ y ⇒=用常数变易法，设(y c x =则((y c x c x ''=，代入21122dy y x dx x -=，得211(((22c x c x c x x x'-=，即321()2c x x '=, 积分得352211()25c x x dx x C ==+⎰,于是非齐次方程的通解为：53211()55y x C x =+=又由于165x y==代入通解，得316155= 1C ⇒=,故所求特解为 315y x =.方法2：原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=通解公式： ()()()()()P x dx P x dx P x dx f x Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰这里()()211,22P x Q x x x =- =，代入上式得：1122212dx dx x xy e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰由于方程0x =处方程无定义，所以解的存在区间内不能含有点0x =.因此解的存在区间要么为0x >的某区间，要么为0x <的某区间. 现在初值给在1x =处，所以0x >，于是11ln ln 22212x x y ex e dx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C ⎤⎤=+=+⎥⎢⎥⎦⎦⎰ 再6(1)15y C =⇒=, 从而特解为315y x =.(6) 91 解:方法1：已知等式两边同时右乘A ，得**2ABA A BA A A =+，由伴随矩阵的运算规律：**A A AA A E ==，有2AB A B A A =+，而210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=，于是有 A B AB +=63，移项、合并有 A B E A =-)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有(36)363A E B A E B A -=-==，而 36A E -21010031206010001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦630600030360060300003006003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 3303(1)(3)(3)3330+=--=-⨯⨯27=，故所求行列式为B 33627A A E ==-19=方法2：由题设条件**2ABA BA E =+，得 **2ABA BA -=*(2)A E BA E -=由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有 **(2)21A E BA A E B A E -=-==其中210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=；由伴随矩阵行列式的公式：若A 是n 阶矩阵，则 1n A A-*=.所以，312A AA -*===9 ； 又 0102100001A E -=1210(1)01+=-=1.故1192B A E A*==-.二、选择题 (7) (B) 解:方法1：202200tan tan 2lim limlim 0cos cos x xx x x x xxt dtβα+++→→→⋅= =⎰⎰洛必达，则β是α的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又233000lim lim lim x x x x x t dtγβ+++→→→= ⎰⎰洛必达201lim 4x x x+→=∞等价无穷小替换， 可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 方法2：用kx (当0x →时)去比较.221000cos cos limlimlim ,xkkk x x x t dt x x x kxα+++-→→→=⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，有22000000lim cos cos lim lim 1lim xx x x t t x x x α++++→→→→===， 所以(当+→0x 时)α与x 同阶.211300000tan tan 222lim limlim lim lim x k k k k k x x x x x tdtx x x x x x kx kx kx β+++++---→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取3k =, 有3320002tan 2tan 2lim lim lim 333x x x x x x x x β+++-→→→===， 所以(当+→0x 时)β与3x 同阶.31313222211100000sin sin lim lim lim lim lim ,222xk k k k k x x x x x t dtx x x x xx x kx kx kxγ+++++-----→→→→→⋅⋅===⎰洛 欲使上式极限存在但不为0，应取2k =, 有221001lim lim 224x x x x x γ++-→→==⋅， 所以(当+→0x 时)γ与2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,,αγβ，选(B).(8)C解:由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.方法1：由于是选择题，可以用图形法解决, 令()(1)x x x ϕ=-，则211()24x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，是以直线12x =为对称轴，顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，开口向上的一条抛物线，与x 轴相交的两点坐标为()()0,0,1,0，()()y f x x ϕ==的图形如图.点0x =是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.方法2：写出()y f x =的分段表达式： ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,从而()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩, ()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,()00lim ()lim 1210x x f x x ++→→'=-=>，所以01x <<时，()f x 单调增，()00lim ()lim 1210x x f x x --→→'=-+=-<，所以10x -<≤时，()f x 单调减， 所以0x =为极小值点.当10x -<<时, ()20f x ''=>，()f x 为凹函数； 当10x >>时,()20f x ''=-<，()f x 为凸函数, 于是(0,0)为拐点.(9) B解:由对数性质，lim ln (1)n n →∞+ 212lim ln (1)(1)(1)nn nn n n →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212limln(1)ln(1)ln(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11lim 2ln(1)nn i i n n →∞==+∑102ln(1)x dx =+⎰2112ln x t tdt +=⎰212ln xdx =⎰(10) (C)解:函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知 0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f .即当)0,(δ-∈x 时，0x <，有()(0)f x f <；而当),0(δ∈x 时，0x >有()(0)f x f >.(11)A解:利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 则特征根为 i λ=±,对2021(1)y y x e x ''+=+=+为()()x m f x e P x λ=型，其中()20,1m P x x λ= =+，因0不是特征根, 从而其特解形式可设为2021()y ax bx c e ax bx c *=++=++对 sin y y x ''+=, 为()()()cos sin xl n f x e P x x P x x λωω=+⎡⎤⎣⎦型，其中0λ=，()()0,1l n P x P x ω=1,= =，因0i i i λω+=+=为特征根, 从而其特解形式可设为2(sin cos )y x A x B x *=+xy由叠加原理，故方程 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++(12)D解:由{}22(,)2D x y x y y =+≤，则积分 区域是以()0,1 为圆心，1为半径的圆及其内部， 积分区域见右图.在直角坐标系下, 先x后y ，x ≤≤02y ≤≤则应是20()()Df xy dxdy dy f xy dx =⎰⎰⎰⎰先y 后x ，由()2211x y +-≤1111y x ⇒≤≤≤，则应是1111()()Df xy dxdy dx f xy dy -=⎰⎰⎰⎰故应排除[],[]A B .在极坐标系下, cos ,sin x r y r θθ== ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰, 故应选D.或直接根据极坐标下，其面积元素为rdrd θ，则可排除C(13)(D)解:由题设，将A 的第1列与第2列交换，即12010100001AE A B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将B 的第2列加到第3列，即100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故011100001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，应选(D).(14)(A)解:方法1：由矩阵秩的重要公式：若A 为n m ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，由0AB =知，()()r A r B n +≤，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数因A 为非零矩阵，故()1r A ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r B n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B 的行向量组线性相关.因B 为非零矩阵，故()1r B ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r A n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A 的列向量组线性相关.故应选(A). 方法2：设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，将B 按列分块，由0AB =得，[]12,,,0,0,1,2,,.s i AB A A i s ββββ====因B 是非零矩阵，故存在0i β≠，使得0i A β=. 即齐次线性方程组0Ax =有非零解. 由齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件()r A n <, 知()r A n <. 所以A 的列向量组线性相关.又()0T T TAB B A ==，将TA 按列分块，得12[,,,]0,0,1,2,,.T T T T TTT T m i B A B B i m αααα====因A 是非零矩阵，故存在0T i α≠，使得0T Ti B α=，即齐次线性方程组0Bx =有非零解. 由齐次线性方程组0Bx =有非零解的充要条件，知TB 的列向量组线性相关，由TB 是由B 行列互换得到的，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A). 方法3：设 (),i j m n A a ⨯=()i j n s B b ⨯=, 将A 按列分块，记 ()12n A A A A =由0AB =⇒()11121212221212s s n n n ns b b b b b b A A A b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎝⎭()111111,,0n n s ns n b A b A b A b A =++++= (1)由于0B ≠, 所以至少有一个 0i j b ≠(1,1i n j s ≤≤≤≤), 又由(1)知,11220j j i j i nj n b A b A b A b A +++++=, 所以12,,,m A A A 线性相关. 即A 的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m 个向量12,,,n m R ααα∈，有m 个不全为零的数12,,,m k k k R ∈，使11220m m k k k ααα++=成立，则称12,,,m ααα线性相关.)又将B 按行分块，记 12n B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 同样，0AB =⇒11121121222212n n m m mn n a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭111122121122221122n n n n m m mn n a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭0= 由于0A ≠,则至少存在一个0i j a ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 使11220i i i j j in n a B a B a B a B ++++=,由向量组线性相关的定义知，12,,,m B B B 线性相关, 即B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法4：用排除法.取满足题设条件的,A B .取001000,10010001A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有00100100,10001AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 的行向量组，列向量组均线性相关，但B 的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.又取110100,00000100A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有1101000000100AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).三、解答题.(15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16- 解:此极限属于型未定式.可利用洛必达法则,并结合无穷小代换求解. 方法1： 2cos 2cos ln ln 332cos 3xxx x x x ee++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫== ⎪⎝⎭原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=1x e x -302cos ln 3limx x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭202cos ln 3lim x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20ln 2cos ln 3lim x x x →+-=（）20(ln 2cos ln 3)lim()x x x →'+-'（）洛01sin 2cos lim2x x x x→⋅-+（）=011sin lim 22cos x x x x →=-⋅+ 0011sin 11lim lim 122cos 23x x x x x →→=-⋅=-⋅⋅+16=-方法2：原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫⎪⎝⎭→-=1x e x -202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫⎪⎝⎭20cos 1ln 3limx x x→-+=（1）()ln 1x x +2200cos 11cos limlim33x x x xx x →→--=- 222021cos lim 23x x x xx → - -16=-.(16)解:(I)当20x -≤<,则022x ≤+<,由题设：区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-知,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4]k x x =++-2(2)(4)k x x x =++(2)(4)kx x x =++.(II) 由(I)知：[][)2(4),0,2()(2)(4),2,0x x x f x kx x x x ⎧- ∈⎪=⎨++ ∈-⎪⎩，所以2(0)0(04)0f =⋅-=，按函数在某点可导的充要条件：在这点的左右导数存在且相等. 所以根据导数的定义求()f x 在0x =的左右导数，使其相等，求出参数k .200()(0)(4)0(0)lim lim 40x x f x f x x f x x+++→→---'===--00()(0)(2)(4)0(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++-'===-.令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导.(17)解:利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.(I) 要证()f x 是以π为周期的周期函数，即证：()()f x f x π=+因为2()sin x xf x t dt π+=⎰，所以()f x π+()()2sin x x t dt πππ+++=⎰32sin x x t dt ππ++=⎰利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性，设t u π=+, 因为3:2t x x ππ+→+，所以:2u x x π→+，则有()f x π+=2sin()()x xu d u πππ+++⎰()sin sin u uπ+=-2sin x xu du π+⎰()f x =,故()f x 是以π为周期的周期函数.(II) 因为()f x 是以π为周期的周期函数, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 又因()f x 为积分函数，则一定连续，根据有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值，所以()f x 的值域就是区间[min (),max ()]f x f x .令 ()sin()sin cos sin 02f x x x x x π'=+-=-=, 在区间[0,]π内求得驻点，14x π=, 234x π=, 且334444()sin sin 0sin 4f t dt t t dt πππππ= > =⎰⎰, 554433443()sin sin sin 24f t dt t dt t dt πππππππ==-=⎰⎰⎰又 2200(0)sin sin 1f t dt t dt ππ===⎰⎰, 3322()sin (sin )1f t dt t dt πππππ==-=⎰⎰,比较极值点与两个端点处的值，知()f x的最小值是2, 故()f x的值域是[2.(18)解:(I) 旋转体体积：2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰旋转体的侧面积：0()2tS t π=⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰022x x t e eπ-⎛+= ⎝⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰022x x t e e π-⎛+= ⎝⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰2022x x t e e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 所以 ()()S t V t 2020222x x tx x t e e dx e e dx ππ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰2=. (Ⅱ) 在x t =处旋转体的底面积为2()x tF t y π==22x x x te e π-=⎛⎫+= ⎪⎝⎭22t t e e π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以20222()lim lim ()2xxt t t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰20222=lim 2x x t t t t e e dx e e -→+∞-'⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰222lim 222t t t t t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=lim t t t t t e e e e --→+∞+=-221=lim 1t t t e e --→+∞+-1=(19) 解:根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1：因为函数()2ln f x x =在()2[,],a b e e⊂上连续，且在(),a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数()2ln f x x =在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得()()()22222ln ln ln ln ,b a b a b a e a b e ξξξξ'-=-=- <<<<下证：22ln 4e ξξ>. 设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(t t t -='ϕ，当t e >时，1ln 1ln 0t e -<-= ，即,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，又因为2e ξ<，所以)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，得22ln 4e ξξ> 故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 方法2：利用单调性， 设x ex x 224ln )(-=ϕ，证()x ϕ在区间()2,e e 内严格单调增即可. 24ln 2)(e x x x -='ϕ，(222222ln 444()20e e e e e e ϕ'=-=-=，)2ln 12)(xx x -=''ϕ, 当x e >时，1ln 1ln 0x e -<-=，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，2()()0x e ϕϕ''>=，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即a e a b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 方法3：设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=-，21ln ()2x x x ϕ-''=, ⇒x e >时, 1ln 1ln 0x e -<-=，得()0x ϕ''<，⇒()x ϕ'在2(,)e e 上单调减少, 从而当2e x e <<时, 22244()()0x e e eϕϕ''>=-=，⇒()x ϕ在2(,)e e 上单调增加. 从而当2e a x b e <<≤<时, ()()0x a ϕϕ>=. ⇒()0b ϕ>，即2224ln ln ()b a b a e ->-.(20) 解: 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.方法1：由题设，飞机质量9000m kg =，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ，速度为()v t ，则 0)0(,)0(0==x v v .根据牛顿第二定律，得kv dt dv m -=. 又dxdvv dt dx dx dv dt dv =⋅=. 由以上两式得dv k m dx -=，积分得.)(C v kmt x +-=由于0)0(,)0(0==x v v ，所以0(0)0.m x v C k =-+= 故得0v kmC =，从而)).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时，).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 方法2：根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm-=, 分离变量：dv k dt v m =-，两端积分得：1ln kv t C m=-+， 通解：t mk Cev -=，代入初始条件00v vt ==，解得0v C =，故.)(0t mk ev t v -=飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v →，对应地t →+∞. 于是由dx vdt =，有00() 1.05().k k t t mmmv mv x v t dt v edt e km kk+∞--+∞+∞===-==⎰⎰或由()0kt m dxv t v e dt-==，知)1()(000--==--⎰t m kt t m k e m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→方法3：由kv dtdv m -= ，dxv dt =，化为x 对t 的求导，得dt dx k dt x d m -=22, 变形为 022=+dt dxm k dtx d ，0(0)(0),(0)0v x v x '=== 其特征方程为 02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ，故.21t m ke C C x -+=由 2000000,kt m t t t t kC dxx v e v dt m -=======-=，得,021kmv C C =-= 于是 ).1()(0t m ke k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→ 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km .(21)解:利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.令 22,xyu x y v e =-=，则22(,)(,)xyz f x y e f u v =-=， 所以2,2u u x y x y ∂∂==-∂∂，,xy xy v v ye xe x y∂∂= =∂∂ 所以z x ∂=∂f u f vu x v x∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy x f ye f ''=+，z y ∂=∂f u f v u y v y ∂∂∂∂+∂∂∂∂122xy y f xe f ''=-+ 2zx y ∂=∂∂()122xy z y f xe f x y x⎛⎫∂∂∂''=-+ ⎪∂∂∂⎝⎭11122221222xy xy xy u v u v y f f e f xye f xe f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()1112222122222xyxy xy xyxyy xf ye f e f xye f xe xf yef ''''''''''=-+++++ 2221112222=42()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''-+-++++(22) 解:方法1：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1()(2,)i i i n ⨯-+=行行11112000a a a B naa +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对||B 是否为零进行讨论：当0a =时，()1r A n =<，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是m n ⨯矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是()r A n <. 故此方程组有非零解，把0a =代入原方程组，得其同解方程组为,021=+++n x x x ()*此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量. 选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式，得基础解系,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有1111210001aB n+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)12,3i i n ⨯-+=行()(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，由齐次方程组有非零解的判别定理, 知方程组也有非零解，把2)1(+-=n n a 代入原方程组，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.方法2：计算方程组的系数行列式：11112222aa A nn nn a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦000111100022220aa a nnnn ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵加法 aE =+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111aE Q ∆ +， 下面求矩阵Q 的特征值：11112222E Q nnn n λλλλ---------=----111121(-)(2,3,,)00i i i n n λλλλλ-----⨯+=-行行(1)1112()1000(2,3,,)n n i i i n λλλ+----⨯+=列列1(1)2n n n λλ-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则Q 的特征值2)1(,0,,0+n n ，由性质：若Ax x λ=，则()(),m mkA x k x A x x λλ==，因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故，A 的特征值为(1),,,2n n a a a ++, 由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得 A 行列式.)2)1((1-++=n a n n a A 由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是n 阶矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是0=A . 可知，当0=A ，即0a =或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11112222A nnnn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1)(2,)i i i n ⨯-+=行（行1111000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，. 故方程组的同解方程组为,021=+++n x x x此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)分别代入()*式， 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时， 11112100001a B n +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1)1(2,3)i i n ⨯-+=行(1)0002210001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 即 0000210001n⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量. 选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.(23) 解:A 的特征多项式为12314315E A aλλλλ---=----2(2)021114315aλλλλ---⨯-+----行（）行111(2)14315a λλλ------提出行公因数111(1)2(2)03315a λλλ-⨯-+-----行行 11012(2)033015a λλλ-+-----行行33(2)15a λλλ-=----(2)[(3)(5)3(1)]a λλλ=---++2(2)(8183).a λλλ=--++已知A 有一个二重特征值，有两种情况，(1)2=λ就是二重特征值，(2)若2=λ不是二重根，则28183a λλ-++是一个完全平方(1) 若2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得2a =-. 由E A λ-2(2)(8183(2))λλλ=--++⨯-2(2)(812)λλλ=--+2(2)(6)0λλ=--=求得A 的特征值为2,2,6, 由1232123123E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1231(-1)2,000113000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行倍加到行行的倍加到行，知()21E A -=秩，故2=λ对应的线性无关的特征向量的个数为312n r -=-=，等于2=λ的重数. 由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 从而A 可相似对角化.(2) 若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得 .32-=a 当32-=a 时，由E A λ-=22(2)(8183())3λλλ=--++⨯-2(2)(816)λλλ=--+2(2)(4)0λλ=--=知A 的特征值为2，4，4，由32341032113E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1133⨯+行行323103000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦知()42E A -=秩，故4=λ对应的线性无关的特征向量有321n r -=-=, 不等于4=λ的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数, 知A 不可相似对角化.。
2004年考研数学二真题
♦♠ ♥< 2004 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析一. 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上. ）（1） 设 f (x ) = lim(n -1)x, 则 f (x ) 的间断点为 x =.n →∞ nx 2+1【答】 0【详解】显然当 x = 0 时, f (x ) = 0 ;(1- 1 )x当 x ≠ 0 时, f (x ) = lim (n -1)x = lim n = x= 1 ,♣0, 所以 f (x ) = ♠1 , ♥ xn →∞ nx 2 +1x = 0, x ≠ 0 n →∞ x 2 + 1 n x 2 x 因为 lim f (x ) = lim 1= ∞ ≠ f (0)x →0 x →0 x 故x = 0 为 f (x ) 的间断点.（2） 设函数 y (x ) 由参数方程的 x 取值范围为.♣♠x = t 3 + 3t +1♦♠ y = t 3 - 3t +1确定, 则曲线 y = y (x ) 向上凸【答】 （- ∞，1）（或（-∞，1] ）【详解】 由题意得：dydy dt3t 2 - 3t 2 -12dx = dx dt= = 3t 2+ 3 t 2 +1 = 1- t 2 +1 , d 2 y = d dy dt = - 2 ' ⋅ 1 = 4tdx 2 dt dx dx 1 t 2+ 13(t 2 + 1) 3(t 2 + 1)3 ,d 2 y 令dx2t < 0 .又 x = t 3 + 3t +1 单调增, 在 t < 0 时, x ∈(-∞ , 1) 。
(∵ t = 0 时， x = 1 ⇒ x ∈ (-∞ , 1] 时，曲线凸.)⇒1 0 0 （3） ⎰+∞ dx= 1 x 【答】 π2【详解】 方法一：+∞ dxπ sec t ⋅ tan t π π ⎰ ⎰ 2sec t ⋅ tan t dt = ⎰ 2 dt = 2 . 【详解】 方法二：⎰ +∞ dx x = 1 ⎰ t - 1 )dt = ⎰ 1 1 dt = arcsin t 1 = π 1 t 1 t 2 0 2（4）设函数 z = z (x , y ) 由方程 z = e 2x -3z + 2 y 确定, 则3 ∂z + ∂z=.∂x ∂y【答】 2【详解】 方法一：在 z = e 2 x -3 z + 2 y 的两边分别对 x , y 求偏导, z 为 x , y 的函数.∂z = e 2 x -3z (2 - 3 ∂z) ,∂x ∂x ∂z = e 2 x -3z (-3 ∂z) + 2 ,∂y ∂y∂z 2e 2 x -3z从 而 ∂x = 1 + 3e 2 x -3z,∂z =∂y 2 1 + 3e 2 x -3z∂z ∂z 1+ e 2 x -3z 所以方法二：3 ∂x + ∂y = 2 ⋅ 1+ 3e 2x -3z = 2令 F (x , y , z ) = e 2 x -3z + 2 y - z = 0则 ∂F = e 2 x -3z ⋅ 2 , ∂F = 2 , ∂F= e 2 x -3z (-3) -1∂x ∂y ∂z∂z e 2 x -3z ⋅ 2 2e2 x -3 z∴ ∂x =-=- (1+ 3e 2 x -3z ) = 1+ 3e 2 x -3 z ,0 -∂F ∂yF2 x∂z =- =- 2 = 2,∂y-(1+ 3e 2 x -3 z ) 1+ 3e 2 x -3z∂z ∂z 3e 2 x -3z1从而 3 ∂x + ∂y = 2 1+ 3e 2 x -3z + 1+ 3e 2 x -3z = 2方法三：利用全微分公式,得dz = e 2 x -3z (2dx - 3dz ) + 2dy= 2e 2 x -3z dx + 2dy - 3e 2 x -3z dz(1+ 3e 2 x -3 z )dz = 2e 2 x -3z dx + 2dy2e 2 x -3z 2∴ dz = 1+ 3e 2 x -3z dx + 1+ 3e 2 x -3 zdy即 ∂z = ∂x 2e 2 x -3z ∂z 1+ 3e2 x -3z , ∂y = 2 1+ 3e 2 x -3z从而 3 ∂z + ∂z= 2∂x ∂y（5）微分方程( y + x 3)dx - 2xdy = 0 满足 yx =1= 6 的特解为 .5【答】y = 1 x 3 + 5【详解】 方法一： 原方程变形为 dy - 1dx 2xy = 1 x 2 ,2 先求齐次方程 dy - 1dx 2xdy = 1 y 2xy = 0 的通解:dx 积 分 得 ln y = 1ln x + ln c ⇒2y = c 设 y = c (x ) 为非齐次方程的通解,代入方程得c '(x ) + c (x ) 1 - 1c (x )2x= 1 x 2 2从而 c '(x ) = 1 3 x 2,2x xx x xx x x x x ⎰ ⎰3 5 62积 分 得 c (x ) = ⎰ 1x 2 dx + C = 1x 2 + C ,2 5于是非齐次方程的通解为y = x (1 5 x 2 + C ) = C + 1 x 35 5y x =1 = 5 ⇒ C = 1,故所求通解为 y = + 1x 3 .5方法二： 原方程变形为 dy - 1dx 2xy = 1 x 2 ,2 由一阶线性方程通解公式得= ⎰1 dx ϒ 1-⎰ 1dx / y e 2 x ' x 2e ≤ 2 x dx + C ∞ƒ=1ln xϒ 1- 1 ln x/e 2' ≤ 2 ϒ 1 x 2e 23 dx + C ∞ƒ/ ϒ 1 5 /= '⎰ x 2 dx + C ∞ = ' x 2 + C ∞≤ 2y (1) = 6 ⇒ 5ƒ ≤ 5 ƒ C = 1 ,从而所求的解为 y = + 1x 3 .5 2 1 0（6）设矩阵 A = 1 2 0 , 矩阵 B 满足 ABA * = 2BA * + E , 其中 A * 为 A 的伴0 0 1 随矩阵, E 是单位矩阵, 则 B = .【答】19【详解】 方法一：ABA * = 2BA * + E⇔ ABA * - 2BA * = E ,⇔ ( A - 2E )BA * = E ,∴ A - 2E B A * = E = 1,A - 2E A* 010 1 00 00 -1A 22 xx 3B =1=1=1(-1) ⋅(-1)32=1.9【详解】方法二：由A*=A A-1 ,得ABA*= 2BA*+E ⇒AB A A-1= 2B A A-1+AA-1⇒ A AB = 2 A B +A⇒ A ( A- 2E)B =A ⇒ A 3A - 2E B =A∴B =1=1 A2 A - 2E 9二. 选择题（本题共8 小题，每小题 4 分，满分32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）+x 2 x2x 3（7）把x→0时的无穷小量α=⎰0 cos t dt , β=⎰0 tan t dt , γ=⎰0 sin t dt 排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A）α, β, γ.（C）β, α, γ.【答】应选（B）γ（B）α, γ, β.（D）β, γ, α.【】⎰x sin t3dt【详解】∵limx→0+α = limx→0+xcos t 2dtsin x 2 ⋅13= lim 2 x = lim x 2= limx= 0 ,即 γ=o(α) .x→0+ cos x2x→0+2 x x→0+2又 lim β= lim2⎰0tan tdt = lim tan x ⋅ 2x3= lim 2x2= 0 ,x→0+γ x→0+ sin t3dt0x→0+sin x 2 ⋅1x→0+1 x2即 β=o(γ) .⎰x⎰♦ ♥♥从而按要求排列的顺序为α 、γ 、β , 故选（B ）.（8）设 f (x ) = x (1- x ) , 则（A ） x = 0 是 f (x ) 的极值点, 但(0 , 0) 不是曲线 y = f (x ) 的拐点.（B ） x = 0 不是 f (x ) 的极值点, 但(0 , 0) 是曲线 y = f (x ) 的拐点.（C ） x = 0 是 f (x ) 的极值点, 且(0 , 0) 是曲线 y = f (x ) 的拐点.（D ） x = 0 不是 f (x ) 的极值点, (0 , 0) 也不是曲线 y =【答】 应选（C ）f (x ) 的拐点.【 】♣-x (1 - x ), - 1 < x ≤ 0【详解】 f (x ) = ♦x (1 - x ), 0 < x < 1 ,f '(x ) = ♣-1 + 2x , - 1 < x < 0 ,♥1 - 2x , 0 < x < 1f ''(x ) = ♣ 2,- 1 < x < 0 ,从而-1 < x < 0 时, ♦-2, 0 < x < 1f (x ) 凹, 1 > x > 0 时, f (x ) 凸, 于是(0 , 0) 为拐点.又 f (0) = 0 , x ≠ 0、1时, f (x ) > 0 , 从而 x = 0 为极小值点.所以, x = 0 是极值点, (0 , 0) 是曲线 y = f (x ) 的拐点, 故选（C ）.（9） 等于n →∞（A ） ⎰ 2ln 2 xdx .（B ） 2⎰ 2ln xdx . 1 1（C ） 2⎰ 2ln(1+ x )dx .（D ） ⎰ 2ln 2(1+ x )dx11 【 】【答】 应选（B ）【详解】 lim lnn →∞2 = lim ln ϒ(1 + 1 )(1 + 2)…(1 + n )/ nn →∞ '≤ n n n ∞ƒ⎰ 2⎰= lim 2 ϒln(1+ 1 ) + ln(1+ 2) +… + (1+ n )/n →∞ n '≤= lim 2∑ n nn ∞ƒln(1+ i ) 1 n →∞ i =1 n n= 2 1ln(1+ x )dx故选（B ）.1+ x = t 2⎰1ln tdt = 2 2ln xdx1（10）设函数 f (x ) 连续, 且 f '(0) > 0 , 则存在δ > 0 , 使得（A ） f (x ) 在(0, δ ) 内单调增加.（B ） f (x ) 在(-δ , 0) 内单调减小.（C ）对任意的 x ∈(0, δ ) 有 f (x ) > f (0) .（D ）对任意的 x ∈(-δ , 0) 有 f (x ) >【答】 应选（C ）【详解】由导数的定义知f (0) .【 】f '(0) = lim x →0 f (x ) - f (0) > 0 ,x - 0 由极限的性质, ∃δ > 0 , 使 x < δ 时, 有f (x ) - f (0) > 0x即δ > x > 0 时, f (x ) > f (0) ，-δ < x < 0 时, 故选（C ）.f (x ) < f (0) , （11）微分方程 y '' + y = x 2 +1+ sin x 的特解形式可设为（A ） y *= ax 2 + bx + c + x ( A sin x + B cos x ) .（B ） y *= x (ax 2 + bx + c + A sin x + B cos x ) .（C ） y *= ax 2 + bx + c + A sin x .（D ） y *= ax 2 + bx + c + A c os xn1 2 ⎰ ⎰ ⎰ θ ⎰ ⎰ θ ⎰ ♥2【答】 应选（A ）【详解】对应齐次方程 y '' + y = 0 【 】的特征方程为特征根为 λ 2 +1 = 0 ,λ =± i ,对 y '' + y = x 2 +1 = e 0(x 2 +1) 而言, 因 0 不是特征根, 从而其特解形式可设为y * = ax 2 + bx + c对 y '' + y = sin x = I m (e ix ) , 因i 为特征根, 从而其特解形式可设为y * = x ( A sin x + B cos x )从而 y '' + y = x 2 +1+ sin x 的特解形式可设为y * = ax 2 + bx + c + x ( A sin x + B cos x )（12）设函数 f (u ) 连续, 区域 D = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ 2 y }, 则⎰⎰ f (xy )dxdy 等于D1 （A ） -1dx- f (xy )dy . 2（B ） 2 0dy 0f (xy )dx .π 2sin θ（C ） 0d 0π2sin θ （D ） 0d 0【答】 应选（D ） f (r 2 sin θ cos θ )dr .f (r 2 sin θ cos θ ) rdr【 】【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下,⎰⎰ f (xy )dxdy = ⎰0 dy ⎰-Df (xy )dx= ⎰ 11+ 1- x 2dx -1故应排除（A ）、（B ）.1- 1- x 2f (xy )dy♣x = r cos θ 在极坐标系下, ♦ y = r sin θ,⎰⎰⎰ ⎰ θ ⎰π 2sin θf (xy )dxdy = 0d 0f (r 2 sin θ cos θ )rdr ,D故应选（D ）.y（13）设 A 是 3 阶x 方阵, 将 A 的第 1 列与第 2列交换得 B , 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得C , 则满足 AQ = C 的可逆矩阵Q 为0 1 0 0 1 0 （A ）1 0 0 .（B ）1 0 1 .1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 （C ） 1 0 0 .（D ）1 0 0 .0 1 1【答】 应选（D ）0 1 0 0 0 1 【 】1 0 0 【详解】由题意 B = A 1 0 0 , C = B 0 1 1,0 0 1 0 0 10 1 0 1 0 0 0 1 1 ∴ C = A 1 0 0 0 1 1 = A 1 0 0= AQ ,0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 从而 Q = 1 0 0 ,故选（D ）.0 0 1 （14）设 A , B 为满足 AB = 0 的任意两个非零矩阵, 则必有（A ） A 的列向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. （B ） A 的列向量组线性相关, B 的列向量组线性相关. （C ） A 的行向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. （D ） A 的行向量组线性相关, B 的列向量组线性相关.【 】【答】 应选（A ）【详解】 方法一：设 A = (a ij )l ⨯m , B = (b ij )m ⨯n , 记A = ( A 1 A 2 …A m )b 11 b 12… b 1n b b… bAB = 0 ⇒( A A … A ) 21 222n 1 2 m⋅ ⋅ … ⋅ b b … bm 1 m 2mn= (b 11 A 1 +… + b m 1A m … b 1n A 1 +… + b mn A m ) = 0（1）由于 B ≠ 0 , 所以至少有一 b ij ≠ 0 (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ),从而由（1）知, b 1 j A 1 + b 2 j A 2 +…+ b i j A i +… + b m 1A m = 0 ,于是 A 1 , A 2 ,… , A m 线性相关. B 1B 又 记 B = 2 , 则 # B m a 11 a 12… a 1m B 1a 11B 1 + a 12 B 2 +… + a 1m B m a a… a Ba B + a B +… + a B AB = 0 ⇒ 21 222m 2 = 21 1 22 2 2m m = 0⋅ ⋅ … ⋅ # …a a … a Ba B + a B +… + a B l 1 l 2l m m l 1 1l 2 2 l m m 由于 A ≠ 0 ,则至少存在一 a ij ≠ 0 (1 ≤ i ≤ l , 1 ≤ j ≤ m ),使a i 1B 1 + a i 2B 2 + a i j B j +… + a im B m = 0 ,从而 B 1 , B 2 ,… , B m 线性相关,故应选（A ）.方法二：设A 为 m ×n 矩阵，B 为n ×s 矩阵，则由 AB ＝0 知，r (A)+r (B) < n.又A 、B 为非零矩阵，所以 r (A) > 0, r (B) > 0, 从而 r (A ) < n, r (B ) < n,即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选（A ）.三. 解答题（本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分 10 分）1 ϒ2 + cos x x/求极限lim 3 ' -1∞ .x →0 x '≤ 3 ∞ƒ【详解】 方法一：x ln 2+cos x 1 ϒ 2 + c os x x / e 3 -1lim 3 '-1∞ = lim 3x →0 x '≤3 ƒ∞ x →0 x ln 2 + c os x3= limx →0 x 2= limln （2 + cos x ）- ln 3 x →0 x 21（⋅ - si n x ）= lim 2 + cos xx →0 = - 1lim 2x 1 ⋅ sin x = - 1【详解】 方法二：2 x →0 2 + cos x x 6x ln 2+cos x1 ϒ2 + c os x x / e3 -1lim 3 '-1∞ = lim 3x →0 x '≤3 ƒ∞ x →0 x ln 2 + c os x3= lim x →0x 2ln （1 + cos x -1 ）= lim 3x →0 x 2= lim cos x -1 =-1 x →0 3x2 6（16）（本题满分 10 分）设函数 f (x ) 在（ -∞ , + ∞ ）上有定义, 在区间[0 , 2] 上,任意的 x 都满足 f (x ) = k f (x + 2) , 其中k 为常数.(Ⅰ)写出 f (x ) 在[-2 , 0] 上的表达式;f (x ) = x (x 2 - 4) , 若对(Ⅱ)问k 为何值时, f (x ) 在 x = 0 处可导.【详解】(Ⅰ)当-2 ≤ x < 0 ,即0 ≤ x + 2 < 2 时,f (x ) = k f (x + 2) = k (x + 2)[(x + 2)2 - 4] = kx (x + 2)(x + 4) .2 + ⎰ ⎰(Ⅱ)由题设知 f (0) = 0 .f '(0) = lim x →0+ f (x ) - f (0) x - 0= lim x →0+x (x 2- 4) x= -4 f '(0) = lim f (x ) - f (0) = lim kx (x + 2)(x + 4) = 8k . -x →0- x - 0 x →0- x 令 f '(0) = f '(0) , 得k =- 1.- +即当k =- 1时, 22 f (x ) 在 x = 0 处可导.（17）（本题满分 11 分） x +π设 f (x ) = ⎰x s in t dt ,2(Ⅰ)证明 f (x ) 是以π 为周期的周期函数; (Ⅱ)求 f (x ) 的值域.【详解】 (Ⅰ) 设t = u + π , 则有f (x + π ) = ⎰f (x + π ) = ⎰x + 3π2 x +πx +π2sin t dt ,sin(u + π ) du = ⎰x +π2sin u du =f (x ) ,xx故 f (x ) 是以π 为周期的周期函数.(Ⅱ)因为 sin x 在(-∞ , + ∞) 上连续且周期为π , 故只需在[0, π ] 上讨论其值域.因为f '(x ) = sin(x + π) - sin x 2= cos x - sin x ,令 f '(x ) =0 , 得 x = π , x = 3π, 且1 4 24π 3πf ( )=43π 4 sin t dt = ,45π π5π4⎰3π⎰ ⎰πf ( ) =π4 sin t dt = 43π3π sin t dt - 44 sin t dt = 2 -,又 f (0) = 2 sin t dt = 1 , 0f (π ) = 2 (-sin t ) dt = 1,π2 ⎰π2 1+ y '2 e 2 x - 2 + e -2 x 1+ 4 t∴ f (x ) 的最小值是2 - , 最大值是 , 故 f (x ) 的值域是[2 - 2 , 2].（18）（本题满分 12 分）e x + e - x 曲线 y = 与直线 x = 0, x = t (t > 0) 及 y = 0 围成一曲边梯形. 该曲边梯形2绕 x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为V (t ) , 侧面积为S (t ) , 在 x = t 处的底面积为F (t ) .S (t )的值; V (t )(Ⅱ)计算极限 limS (t ).t →+∞ F (t )【详解】 (Ⅰ) S (t ) = ⎰02π y dx= t e x + e - x2π ⎰0 2 dxt e x + e - x 2= 2π ⎰0dx , 2t t e x + e - x2V (t ) = π ⎰ y 2dx =π ⎰dx ,∴ S (t ) = 2 . V (t ) 0 02e t + e -t 2(Ⅱ) F (t ) = π y 2= π ,x =t2te x + e - x 2S (t ) 2π ⎰0 2 dx lim = lim t →+∞ F (t ) t →+∞ e t + e -t 2π 2e t + e -t 22 2 = limt →+∞e t+ e -t e t- e -t22 2 2 (Ⅰ)求= lim e t + e -t1 t →+∞ e t - e -t（19）（本题满分 12 分） 设e < a < b < e 2, 证明ln 2b - ln 2a > 【详证】 方法一：4(b - a ) .e2设ϕ (x ) = ln 2 x - 4e 2x , 则ϕ'(x ) = 2 ln x - 4所以当 x > e 时, x e 2 ϕ''(x ) = 21- l n x,x2 ϕ '(x ) < 0 , 故ϕ'(x ) 单调减小, 从而当e < x < e 2时,即当e < x < e 2 时, ϕ'(x ) > ϕ'(e 2 ) =ϕ (x ) 单调增加.4 - 4e 2 e2= 0 ,因此, 当e < a < b < e 2 时, ϕ (b ) > ϕ (a ) , 即 ln 2b -4 b > ln 2 a - 4 a e 2 e2故方法二：设ϕ (x ) = ln 2 x - ln 2a - ln 2b - ln 2 a >4 (x - a ) , 则e2 4(b - a ) . e2 ϕ'(x ) = 2 ln x - 4∴ x > e 时,ϕ''(x ) < 0 x e 2 ϕ''(x ) = 21- l n x, x2⇒ ϕ '(x ) 5, 从而当e < x < e 2 时, ⇒ e < x < e 2 时, ϕ'(x ) > ϕ'(e 2 ) =ϕ (x ) 单调增加.4 - 4e 2 e2 = 0 ,⇒ e < a < b < e 2 时, ϕ (x ) > ϕ (a ) = 0 。
2004年数二试题解析
2004年数学（二）试题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。
(0t =时，1x =⇒x ∈(,1]-∞时，曲线凸.)（3）1+∞=⎰2π.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰.【详解2】1120111)arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰.（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z z x y∂∂+=∂∂2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 232x z z e y -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数. 23(23)x z z z e x x-∂∂=-∂∂,23(3)2x z z ze y y-∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x zx zz e x e --∂=∂+,23213x zz y e -∂=∂+ 所以 2323132213x zx zz z e x y e--∂∂++=⋅=∂∂+ 【详解2】令 23(,,)20x z F x y z e y z -=+-= 则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂ 2323232322(13)13x z x zx z x z Fz e e x F x e ez----∂∂⋅∂∴=-=-=∂∂-++∂, 232322(13)13x z x z F z y F y e ez--∂∂∂=-=-=∂∂-++∂,从而 232323313221313x z x zx z z z e x y ee ---⎛⎫∂∂+=+= ⎪∂∂++⎝⎭【详解3】利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x z x z e dx dy e dz --=+- 2323(13)22x z x z e dz e dx dy --+=+232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---∴=+++ 即 2323213x z x z z e x e--∂=∂+, 23213x z z y e -∂=∂+ 从而 32z zx y∂∂+=∂∂（5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为315y x =.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程 102dy y dx x-= 的通解:12dy dx y x=积分得 1ln ln ln 2y x c =+ y ⇒=设(y c x =,代入方程得211(((22c x c x c x x x '= 从而 321()2c x x '=,积分得 352211()25c x x dx C x C =+=+⎰,于是非齐次方程的通解为53211()55y x C x =+=1615x yC ==⇒=, 故所求通解为315y x =.【详解2】原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性方程通解公式得1122212dx dx x xy e x edx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 11ln ln 22212x x ex e dx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C ⎤⎤=+=+⎥⎢⎥⎦⎦⎰6(1)15y C =⇒=, 从而所求的解为315y x =.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵,则B =19.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值. 【详解1】 2ABA BA E **=+ 2ABA BA E **⇔-=,(2)A E BA E *⇔-=, 21A E B A E *∴-==, 221111010(1)(1)392100001B A E AA *====-⋅---. 【详解2】由1A A A *-=,得11122ABA BA E AB A A B A A AA **---=+⇒=+2A AB A B A ⇒=+ (2)A A E B A ⇒-= 32A A E B A ⇒-=21192B A A E∴==-二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 20x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα[]B【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】3020lim lim cos x x x t dttdt γα++→→=⎰⎰30lim x +→= 320lim lim 02x x x x++→→===, 即o ()γα=.又 2000tan lim limxx x βγ++→→=23002tan 22lim lim 01sin 2x x x x x x x ++→→⋅===, 即 o ()βγ=.从而按要求排列的顺序为αγβ、、, 故选（B ）. （8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点.（B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]C【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论0x =两方()f x ', ()f x ''的符号.【详解】 ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩,()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,从而10x -<<时, ()f x 凹, 10x >>时, ()f x 凸, 于是(0,0)为拐点. 又(0)0f =, 01x ≠、时, ()0f x >, 从而0x =为极小值点. 所以, 0x =是极值点, (0,0)是曲线()y f x =的拐点, 故选（C ）.（9）lim (1)n n→∞+等于（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰[]B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。
2004年数学二试题分析、详解和评注数一至数四真题+详解
2004年数学⼆试题分析、详解和评注数⼀⾄数四真题+详解2004年考硕数学（⼆）真题评注⼀. 填空题（本题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先⽤求极限的⽅法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n→∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =??=?≠??,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.【评注】本题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21【例1.36】（2）设函数()y x 由参数⽅程 333131x t t y t t ?=++??=-+?? 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数⽅程定义的曲线的凹凸性，先⽤由 ()()x x t y y t =??=?定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出⼆阶导数,再由 220d y dx < 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++, 222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '==-?= ? ?+++, 令220d ydx < ? 0t <.⼜ 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。
2004年数二试题解析
2004年数学（二）试题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n →∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d ydx< 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++,222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dx t t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令 220d ydx< ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞。
(0t =时，1x =⇒x ∈(,1]-∞时，曲线凸.)（3）1+∞=⎰2π.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰⎰.【详解2】11201101)arcsin 2dt tt π+∞-===⎰⎰⎰.（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z z x y∂∂+=∂∂2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 232x z z e y -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数. 23(23)x z z z e x x -∂∂=-∂∂,23(3)2x z z ze y y-∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x zx zz e x e--∂=∂+, 所以 2323132213x zx zz z e x y e--∂∂++=⋅=∂∂+ 【详解2】令 23(,,)20x z F x y z e y z -=+-= 则232x z F e x -∂=⋅∂, 2F y ∂=∂, 23(3)1x z Fe z-∂=--∂ 2323232322(13)13x z x zx z x z Fz e e x F x e ez----∂∂⋅∂∴=-=-=∂∂-++∂, 232322(13)13x z x z F z y F y e ez--∂∂∂=-=-=∂∂-++∂, 从而 232323313221313x z x z x zz z e x y e e ---⎛⎫∂∂+=+= ⎪∂∂++⎝⎭【详解3】利用全微分公式,得即 2323213x z x z z e x e --∂=∂+, 23213x z z y e-∂=∂+ 从而 32z zx y∂∂+=∂∂ （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为315y x =.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程102dy y dx x-= 的通解: 积分得 1ln ln ln 2y x c =+y ⇒=设(y c x =,代入方程得从而 321()2c x x '=,积分得 352211()25c x x dx C x C =+=+⎰,于是非齐次方程的通解为1615x yC ==⇒=, 故所求通解为315y x =.【详解2】原方程变形为 21122dy y x dx x -=,由一阶线性方程通解公式得6(1)15y C =⇒=, 从而所求的解为315y x =.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =19.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】 2ABA BA E **=+ 2A B A B A E**⇔-=, (2)A E B A E *⇔-=,21A E B A E *∴-==, 22111110(1)(1)392100001B A E A A *====-⋅---. 【详解2】由1A A A *-=,得二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 20x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα[]B【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】302000lim limcos x x x t dttdtγα++→→=⎰320lim lim 02x x x x++→→===, 即o ()γα=.又 2000tan lim limxx x βγ++→→=23002tan 22lim lim 01sin 2x x x x x x x ++→→⋅===, 即 o ()βγ=.从而按要求排列的顺序为αγβ、、, 故选（B ）. （8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点.（B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]C【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论0x =两方()f x ', ()f x ''的符号.【详解】 ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩,()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,从而10x -<<时, ()f x 凹, 10x >>时, ()f x 凸, 于是(0,0)为拐点. 又(0)0f =, 01x ≠、时, ()0f x >, 从而0x =为极小值点. 所以, 0x =是极值点, (0,0)是曲线()y f x =的拐点, 故选（C ）.（9）lim ln (1)n n→∞+（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰[]B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。
2004年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案
2004年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题及答案
一、填空题(本题共6小题．每小题4分，满分24分．把答案填在题中横线上)
二、选捧题(本题共8小题，每小题4分，满分32分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．把所选项前的字母填在题后的括号内)
面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）
三、解答题(本题共9小题．满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分10分)
(16)(本题满分10分)
(17)(本题满分11分)
(18)(本题满分l2分)
(19)(本题满分l2分)
(20)(本题满分11分)
某种飞机在机场降落时．为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为)问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少，(注：k表示千克,km／h表示千米／小时)
(21)(本题满分l0分)
(22)(本题满分9分)设有齐次线性方程组
试问。
取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。
(23)(本题满分9分)
参考答案一、填空题1．
2．
3．
4．
5．【分析】这是一阶线性方程，写成标准形式
6．
二、选择题
7．
8．
9．
10．
11．
12．
13．
14．
三、解答题15．
16．
17．
18．
19．
20．
21．
22．
23．。