专题21转化与化归思想(押题专练)2017年高考二轮复习文数(附解析)

专题21 转化与化归思想（押题专练）
-2017年高考文数二轮复习
1．在平面直角坐标系中，与点A(1,1)的距离为1，且与点B(－2，－3)的距离为6的直线的条数为________．
【答案】 1
2．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．
【答案】 a ＝b >c
【解析】 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，
b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b .
又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，
∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，
∴a ＝b >c .
3．对实数a 和b ，定义运算：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－x －1)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．
【答案】 (－2，－1]∪(1,2]
【解析】 依题意可得
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2， 作出其示意图如图所示．
由数形结合知，实数c 需有1<c ≤2或－2<c ≤－1满足题意．
4．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ →的值为________．
【答案】 a 2
【解析】 当直线RQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a .
5.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦
⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．
【答案】 ⎣
⎡⎦⎤－1，－12 【解析】 设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，0≤tan α≤1，f (x )＝x 2＋2x ＋3，f ′(x )＝2x ＋2,0≤2x 0＋2≤1，
－1≤x 0≤－12
. 6．P 为双曲线x 29－y 216
＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和圆(x －5)2＋y 2＝1上的点，则PM －PN 的最大值为________．
【答案】 9
7．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－1)
8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心
的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14
，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
【答案】 1316
【解析】 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝34
，
去打篮球的概率P 2＝π×⎝⎛⎭⎫142π×12＝116
， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316
. 9．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10
的值是________． 【答案】 1316
【解析】 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316
. 10．一束光线从点A (－1,1)发出，并经过x 轴反射，到达圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是________．
【答案】 4
11．f (x )＝13x 3－x ，x 1，x 2∈[－1,1]时，求证：|f (x 1)－f (x 2) |≤43
. 【解析】证明 ∵f ′(x )＝x 2－1，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0，
∴f (x )在[－1,1]上递减．
故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝23
， 最小值为f (1)＝－23
， 即f (x )在[－1,1]上的值域为[－23，23
]． 所以x 1，x 2∈[－1,1]时，|f (x 1)|≤23，|f (x 2)|≤23
，
即有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x 1)|＋|f (x 2)|≤23＋23＝43
. 即|f (x 1)－f (x 2)|≤43
. 12．已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e
f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数
g (x )的极大值；
(2)求证：1＋12＋13＋ (1)
>ln(n ＋1)(n ∈N *)．
13.已知集合A ＝{x ∈R|x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R|x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．
【解析】 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，
即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32
}． 若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，
x 1x 2＝2m ＋6≥0
所以，使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |≤－1}．
14.设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，O 为坐标原点，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为________．
【答案】 3＋1
【解析】 如图，取F 2P 的中点M ，
则OP →＋OF 2→＝2OM →.
又由已知得OM →·F 2P →＝0，
∴OM →⊥F 2P →.
又OM 为△F 2F 1P 的中位线，∴F 1P →⊥PF 2→.
在△PF 1F 2中，2a ＝|PF 1→|－|PF 2→|＝(3－1)|PF 2→|，
2c ＝2|PF 2→|.
∴e ＝23－1
＝3＋1. 15.已知函数f (x )＝13
x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (0<a <1，x ∈R)．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围．
16.是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π2
]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，则说明理由．。