高中数学人教B版必修4 2.2.1平面向量基本定理 学案 Word版缺答案
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.2.1 平面向量基本定理》3
《平面向量基本定理》教学设计
,ABCD AC BD AB a AD b a b MC MA MB MD
==如图，平行四边形的对角线和相交于点， ，试用基底、表示、、和
练习1
１2１１１222设ｅ，ｅ是平面内的一组基底，如果
AB =3ｅ-2ｅ,BC =4ｅ+ｅ,CD =8ｅ-9ｅ,求证：A,B,D 三点共线。
2,,,CD a b A B D k =-设a,b 是两个不共线的向量，
已知AB=2a+kb,CB=a+3b,若三点共线，
求的值。
例题3：设是不共线的非零向量， 且）证明：可以作为一组基底；
）以为基底，求向量的分解式；
1212e ,e a,b a,b c=3e -e 1212a =e -2e ,b =e +3e 当堂检测：
12e e 、若，是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为基底的是
121212*********(2)3246(3)33(4)e e e e e e e e e e e e e e e +---+++和；和；和；
和；
,ABC D BC AB AC AD ∆=
、已知中，是的中点，则用表示向量
，,,,,,.
P Q ABCD AC BD
BC a DA b a b a b PQ ==设分别是四边形的对角线与的中点，并且不是共线向量，试用基底表示向量
课堂小结：知识小结： 应用思想小结。
数学人教B版必修4 2.2.1平面向量基本定理 学案 Word版缺答案
2.2.1平面向量基本定理
一．学习要点：向量基本定理及其简单应用
二．学习过程：
（一）复习：
1 向量的加法运算;
2 向量共线定理；
（二）新课学习：
1．平面向量基本定理：
如果1e ，2e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a ， ，使a = ．其中我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面所有向量的 。
注：
①1e ，2e 均非零向量；
②1e ，2e 不唯一（事先给定）；
③1λ，2λ唯一；
④20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ== 时，0a =．
2．例题：
例 1 已知向量1e ，2e （如图），求作向量122.53e e -+．
例 2 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB a =，AD b =，用a 、b 1e
2e D b C B a A M
表示MA 、MB 、MC 和MD ．
例3 已知向量a 和b 不共线,实数x,y 满足向量等式(2)45(2)x y a b a x y b -+=+-,求实数x,y 的值.
例4如图，OA 、OB 不共线，()AP t AB t R =∈，用OA 、OB 表示OP ．
(三) 巩固练习
教材98页练习
(四) 作业: 见作业（18）。
人教新课标版数学高一B版必修4学案 平面向量基本定理
2.2.1 平面向量基本定理明目标、知重点 1.理解平面向量的基本定理及其意义.2.了解向量一组基底的含义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.掌握直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.4.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.1.平面向量基本定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2. 2.基底的概念把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}.a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式. 3.直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，对直线l 上任意一点P ，存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →，反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应.向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数. 4.线段中点的向量表达式在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，若t ＝12，则点P 是AB 的中点，且OP →＝12(OA →＋OB →)，这是线段AB 的中点的向量表达式.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？ 探究点一 平面向量基本定理的提出思考1 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答 通过观察，可得：AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2， HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.思考2 根据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？答 若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.思考3 上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？平面向量的基底唯一吗？答 同一平面内可以作基底的向量有无数组，不同基底对应向量a 的表示式不相同. 不唯一.只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底. 探究点二 平面向量基本定理的证明 思考1 证明定理中λ1，λ2的存在性.如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系. 答 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a ， 过点C 分别作平行于OB ，OA 的直线，交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，有OM →＝λ1OA →，ON →＝λ2OB →，∵OC →＝OM →＋ON →，∴a ＝λ1e 1＋λ2e 2.思考2 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的.(提示：利用反证法) 答 假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a ＝λ′1e 1＋λ′2e 2成立，则λ′1e 1＋λ′2e 2＝λ1e 1＋λ2e 2. ∴(λ′1－λ1)e 1＋(λ′2－λ2)e 2＝0.∵e 1、e 2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0， ∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a ＝λ1e 1＋λ2e 2成立的实数对λ1，λ2是唯一的.例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c . 解 ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4.解得x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.这有时要利用平面几何知识.要注意将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析解决.跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. 解 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，①AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b ，②由①②得⎩⎨⎧12a ＋b ＝c ，a ＋12b ＝d ，解得⎩⎨⎧a ＝－23c ＋43d ，b ＝43c －23d ，即AB →＝－23c ＋43d ，AD →＝43c －23d .例2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →. 解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.跟踪训练2 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值.解 (1)由题意，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.探究点三 直线的向量参数方程式思考1 阅读教材97页下半页到98页上半页，你能说出什么是直线的向量参数方程吗？ 答 若P 在直线AB 上(或P 、A 、B 共线)，则一定存在实数t ，使得OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. 思考2 直线的向量参数方程式有什么用途？ 答 利用直线的向量参数方向可证明三点共线.小结 若点A 、B 、P 满足此方程式且OA →与OB →系数之和为1，则A 、B 、P 三点共线.反过来也成立，即若A 、B 、P 共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n ＝1.例如，如图，设一直线上三点A 、B 、P 满足AP →＝λPB →(λ≠－1)，O 是平面上任一点，则OP →＝OA →＋λOB →1＋λ.1.已知O 、A 、B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，且P 为靠近A 点的线段AB 的一个三等分点，则OP →等于( ) A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.14a ＋34b D.34a ＋14b 答案 B解析 ∵AP →＝13AB →，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b .2.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______.(写出所有满足条件的序号) 答案 ①②④解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2＝－2(e 1－2e 2)， ∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底.3.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________. 答案 43解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.4.已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →. 解 连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23×⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝23AB →＋13BC → ＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .1.对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.一、基础过关1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e 1－e 2，e 2－e 1 B.2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C.2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2 答案 D2.下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③答案 B3.若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A.a ＝0，b ＝0 B.λ＝μ＝0 C.λ＝0，b ＝0 D.a ＝0，μ＝0 答案 B4.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( ) A.a >0，b >0 B.a >0，b <0 C.a <0，b >0 D.a <0，b <0答案 C解析 当点P 落在第Ⅰ部分时，OP →按向量OP 1→与OP 2→分解时，一个与OP 1→反向，一个与OP 2→同向，故a <0，b >0.5.设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 答案 －74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.6.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________. 答案 23b ＋13c解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c . 7.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN →与CM →相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →. 解 ∵AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知存在实数λ满足AE →＝λAN →＋(1－λ)AB →＝13λb ＋(1－λ)a .由C ，E ，M 三点共线知存在实数μ满足 AE →＝μAM →＋(1－μ)AC →＝μ2a ＋(1－μ)b .∴⎩⎨⎧1－λ＝μ2，1－μ＝λ3，解得⎩⎨⎧λ＝35，μ＝45.∴AE →＝25a ＋15b .二、能力提升8.M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( )A.6ME →B.－6MF →C.0D.6MD → 答案 C解析 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0.9.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为______. 答案 6解析 如图，以OA 、OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →. 在Rt △OCD 中，∵|OC →|＝23， ∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →， OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.10.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 答案 12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝12.11.在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →. 解 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .12.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1. 证明 设AB →＝b ，AC →＝c ， 则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →， 又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →， ∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b .又∵b 与c 不共线.∴⎩⎨⎧ 12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧ λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1. 三、探究与拓展13.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE 的值.解 设AGGD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →).又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AGGD ＝4，BGGE ＝32.。
高中数学人教B版必修4学案2.2.1 平面向量基本定理 Word版含解析
向量的分解与向量的坐标运算平面向量基本定理.了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示.(重点).理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.(难点)[基础·初探]教材整理平面向量基本定理阅读教材～“例”以上内容，完成下列问题..平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，，使＝＋..基底：把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{，}＋叫做向量关于基底{，}的分解式.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.( )()若，是同一平面内两个不共线向量，则λ＋λ(λ，λ为实数)可以表示该平面内所有向量.( )()若＋＝＋(，，，∈)，则＝，＝.( )【解析】()错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.()正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量，线性表示.()错误.当与共线时，结论不一定成立.【答案】()×()√()×教材整理直线的向量参数方程式阅读教材“例”～以上内容，完成下列问题..向量参数方程式：已知，是直线上任意两点，是外一点(如图--所示)，对直线上任意一点，一定存在唯一的实数满足向量等式＝(－)＋；反之，对每一个实数，在直线上都有唯一的一个点与之对应.向量等式＝(－)＋叫做直线的向量参数方程式，其中实数叫做参变数，简称参数.图--.线段中点的向量表达式：在向量等式＝(－)＋中，令＝，点是的中点，则＝(＋).这是线段的中点的向量表达式.已知为△的边上的中线，则等于( )＋－－＋【解析】根据线段的中点向量表达式可知＝(＋)＝＋，故选.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：。
数学人教b版必修4教案：2.2.1 平面向量基本定理 含答案
学生学情分析：1.平面向量基本定理的学习是在学生系统学习了向量的概念及线性运算的基础上进行的，是对向量加法和数乘运算的进一步应用.此前，学生已在物理中初步掌握了力、速度、位移等的分解，为理解平面向量基本定理奠定了一定基础. 2．学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆。
3．对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。
教材分析：1.教材中给出了一个实际例子(火箭升空的某一时刻速度的分解)，已经让学生感受到向量分解的实际背景，但这个背景对于学生来说有些陈旧，且图片有些偏离实际(火箭与地面形成了45度的夹角，与实际上火箭发射方向一般开始时垂直于地面不符).因此需要设计一个更具时代气息的问题，通过类比来激发学生学习新知的兴趣和欲望.2本节课主要内容是平面向量基本定理及其应用,学生在前面已经掌握了向量的基本概念、向量的加减运算法、实数与向量的积、向量共线充要条件,这些都是学习本节内容的基础知识,本节课内容是教材第5章中最重要的内容之一.向量具有数和形的两种特征,是数学中解决几何问题的工具,可以使复杂问题简单化、直观化,使代数问题几何化、几何问题代数化,解决起来更加简捷;而平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论基础,这一定理说明了同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合.定理本身蕴涵着严谨、条理的数学思维方式,通过合理引导,可以培养学生良好的个性心理品质和较高的数学素养.3.本节课的重点是平面向量基本定理,也是本节课的难点.突破难点的关键是在充分理解向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件的基础上,多方位、多角度设计有关训练题,从而加深对该定理的理解.4.本课之后要研究向量的坐标表示及运算.本课要从向量的线性运算中得出平面向量基本定理，为下一课定义向量的坐标提供理论基础，从而彻底实现“向量运算的代数化”.所以本课具有承前启后的作用.课标分析向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。
高中数学必修四导学案：2.2.1平面向量基本定理
2.2.1平面向量基本定理
课型
合作课
学习目标
（一）知识与技能：
（1）了解平面向量基本定理及其意义，并利用其进行正交分解；
（2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量表达式。
（二）过程与方法：
通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
（三）情感、态度与价值观：
通过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ节课的教学，培养学生积极探索的良好学习品质．
学习重点
平面向量基本定理的应用
学习难点
平面向量在给定基向量上分解的唯一性
☆合作探究
探究一：如图（教材96页），设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量 , , .
探究二：设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，请作出该平面内给定的向量a在e1、e2两个方向上分解得到的向量。
试用基底{ }表示 ， ， 和
☆基础练习
1.试在基底{ }下，分解下列向量：（图在教材98页，练习A第一题）
， ， ，
2.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，设 ， ，选择基底
，试写出下列向量在此基底下的分解式：
， ， ，
☆我的收获与困惑
师生反思：
思考（1）向量a是否可以用含有e1、e2的式子来表示呢？怎样表示？
思考（2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？
探究三：平面向量基本定理
说明：①e1、e2是两个不共线的向量
②a是平面内的任一向量
③实数 ， 唯一确定
探究四：什么叫做基底？什么叫分解式？
☆典例精析
例1．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设 ， ，
高中数学：2.2.1 平面向量基本定理 二 教案 新人教B版必修4
第二单元教学设计方案
第五学时～第六学时
（一）学习目标
11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.
14.了解平面向量的基本定理及其意义.
22.通过探究学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观
察,类比联想等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学
习兴趣和钻研精神.
（二）重点难点
1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用
2.难点是平面向量的基本定理及其意义.
（三）教学过程。
高中数学人教B版必修4 2.1.1向量的概念 学案 Word版缺答案
2．1．1向量的概念一．学习要点：向量的有关概念二．学习过程：一、复习：在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.二、新课学习：1.向量的概念：。
2.向量的表示方法：1．用表示；2．用：AB；3．向量的模：向量AB的，也是向量AB的长度称为向量的模，记作4.零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.5.平行向量定义：①非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量记作 .6.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量a与b相等，记作a=b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．.7.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.8．位置向量：=，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，任给一定点O和向量a，过点O作OA a这时向量OA，叫做点A相对于点O的位置向量。
三、例题：例1．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC 相等的向量想一想：向量OA FE 与相等吗？向量OB AF 与相等吗？例2 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC 。
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2.2.1平面向量基本定理一．学习要点：向量基本定理及其简单应用
二．学习过程：
（一）复习：
1 向量的加法运算;
2 向量共线定理；
（二）新课学习：
1．平面向量基本定理：
如果1e，2e
是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量a，
，使a=．其中我们把不共线的向量1e，2e叫做表示这一平面所有向量的。
注：
①1e，2e均非零向量；
②1e，2e不唯一（事先给定）；
③
1
λ，
2
λ唯一；
④
2
λ=时，a与1e共线；
1
λ=时，a与2e共线；
12
λλ
==时，0
a=．
2．例题：
例1 已知向量1e，2e（如图），求作向量
12
2.53
e e
-+．
例2 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB a
=，AD b
=，用a、b
表示MA 、MB 、MC 和MD ．
例3 已知向量a 和b 不共线,实数x,y 满足向量等式(2)45(2)x y a b a x y b -+=+-,求实数x,y 的值.
例4如图，OA 、OB 不共线，()AP t AB t R =∈，用OA 、OB 表示OP ．
(三) 巩固练习
教材98页练习
(四) 作业: 见作业（18）。