2006-2007(A36卷及答案)

武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第二学期《线性代数》（A 卷）
学院 专业 学号 姓名
注：1.本试题供线性代数（工科36学时）使用；
2.所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。

一、（10分）记12312
341
1233
4512122221
(,,,)n n n n n D n n n n
n n n n ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
++⋅⋅⋅--，求12 3()n D D D n ++≥。

二、（10分）计算向量组1234,,,αααα的秩，并求出该向量组的一个极大无关组，同时将其余向量表示成极大
无关组的线性组合。

其中：
112312α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，221223α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，350754α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，431531α⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。

三、（15分）设132254211,422121141-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B ，
（1）求22
422--+A B BA AB ；
（2）求*A ，这儿*
A 是A 的伴随阵。

四、（15分）已知112120110, 102101⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A B a b c ，
（1）问,,a b c 为何值时，(,)()R A B R A =？
（2）求矩阵方程X =A B 的全部解。

五、（15分）设齐次线性方程组123123123
2202030+-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩x x x x x x x x x λ的系数阵为A ，若3阶非零阵B 满足=AB O ，试求λ及
B 的值。

六、（15分）设A 为3阶实对称阵，满足条件220+=A A 且A 的秩()2=R A ，
（1）求A 的全部特征值及2A 的二次型的标准形； （2）当k 为何值时，A kE +为正定矩阵？
七、（10分）设A 、B 均是同阶方阵, B 是可逆矩阵, 且满足O B AB A =++22, 证明A 、B A +以及11--+A B 都
是可逆矩阵。

八、（10分）设A 为m n ⨯矩阵，证明：方程组X o T =A A 与方程组X o =A 同解。

参考答案：
一、解：121 1D D ＝，＝－，1
2
3
1
11111
0 3111111
1
1
1
1
()n n n
D n ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅
=≥⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
＝，则120 3()n D D D n ++≥＝。

二、解：设123412532101(,,,)327512532341αααα⎛⎫ ⎪-- ⎪
⎪== ⎪---- ⎪ ⎪---⎝⎭
A ，先对A 施行行初等变换化为行阶梯形矩阵
12530121000000000000⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
A ，知向量组的秩1234(,,,)()2αααα==R R A ，易知1、2两列即12,αα为1234,,,αααα的
一个极大无关组。

继续把A 变成行最简形矩阵10110121000000000000⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
A ，即得 3122ααα=+，412ααα=+.
三、解：（1）2222
422(42)(2)(2)2(2)--+=-+-=-+-A B BA AB A BA AB B A B A A B B
(2)(2)=-+A B A B 01104180
00844000442460.10338152511--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
=--=--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）0*
A =。

四、解： AX B =有解，须()()=R A R A B , 对矩阵()A B 作初等行变换：
112120()110102101⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪⎝⎭A B a b c 112
120011011000111⎛⎫ ⎪→→- ⎪
⎪---⎝⎭
a b c
由此看出 ()2,R A =欲()2R A B = 须1,1,1a b c ===. 所以 当1,1,1a b c ===时AX B =有解。

当1a b c === 时，将上面最后一个矩阵进一步化为行简化阵
11212
0101111()01
1011011011000000000000⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A
B
由 101101
100000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭ 得 11121113111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x k x k k x k （为任意常数） 由 101101
110000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
得 1222232211-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x k x k k x k 22（为任意常数）
由 101101110000⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
得
1333333311-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
x k x k k x k 23（为任意常数）
故所求矩阵方程的通解为
12
312
312311111---⎛⎫
⎪=---- ⎪ ⎪⎝⎭
k k k X k k k k k k （23,,k k k 为任意常数）．
五、解：由=AB O 知，矩阵B 的各个列向量均为齐次线性方程组X o =A 的解向量，而≠B O ，所以B 至少 有一个列向量为非零向量，从而X o =A 有非零解，故0=A ，又
122120
12
21211(1)5(1)31
311310
-=-=--=--=--A λλλλ，所以1=λ.
又由,A B 均为3阶方阵，且=AB O ，得T T =B A O ，所以T A 的各列均为X o T =B 的解，而T A 为非零矩阵，所以X o T =B 有非零解，从而知0T ==B B .（或可由=AB O 判断0=B 。

事实上若0≠B ，则B 可逆。

于是由11--=ABB OB 得=A O ，显然不对，故可知0=B .）
六、解：（1）设λ是A 的特征值，则λ必满足2
202λλλ+=⇒=-或0λ=。

即A 的特征值只可能是2-和0。

（或由(2)0+=A A E ，两边取行列式得：2020A A E A E +=⇒+=或0A =
由20+=A E 知2-是A 的特征值；由0=A 知0是A 的特征值。

从而，A 的特征值只可能是2-和0，） 又因为A 为实对称阵，故A 可经正交变换化为对角阵Λ，而()2R A =，故()2R Λ=。

于是Λ的对角元素中恰有两个2-，一个0。

由此知A 的特征值为1232,0λλλ==-=。

2A 的二次型的一个标准形为
2212312
22(,,)f x x x x x =-- （2）易知A kE +也对称，由（1）知A 的特征值为2-，2-，0⇒A kE +的特征值为2,2,-+-+k k k ，由此可得，当2k >时，A kE +的特征值全为正；即A kE +为正定矩阵。

（或因A 为实对称阵，故必正交相似于对角阵，即存在正交阵Q ，使1(2,2,0)-=Λ=--⇒Q AQ diag
11()()-T -T =Λ=Λ⇒+=Λ+=Λ+A Q Q Q Q A kE Q kE Q Q kE Q ⇒+A kE 与Λ+kE 合同⇒二者的二
次型合同。

当2k >时，A kE +的二次型标准形系数全为正，从而它是正定二次型，即A kE +正定。

）
七、证 因为22)(B B A A AB A -=+=+, 则0||)1(|||||||)(|2
2≠-=-=+=+B B B A A B A A n
所以0A ≠, 且0A B +≠因而A 和A B +均可逆。

注意1
1
111111()()--------+=+=+A B
A A A
B BB A A B B ，1111()----+=+A B A A B B
因为A 、B 、B A +均可逆, 故0||1≠-A ，0||1≠-B ，0||≠+B A 所以有0||11≠+--B A ，即11
--+A B 可逆。

八、证明：显然A =x o 的解均是x o T =A A 的解，下面证x o T =A A 的解也为x o =A 的解。

事实上，设0x 为x o T =A A 的任一解，即0x o T =A A ，两端左乘0x T 得00x x 0T T
=A A 即00()()x x o T =A A ，
即向量0x A 的长度的平方为零，所以0x o =A ，于是0x 为x =o A 的解。

由0x 的任意性知x o T =A A 的解均是
x o =A 的解。

故齐次线性方程组x o T =A A 与x o =A 同解。