2018版高中数学第三章导数及其应用3.3.3最大值与最小值学案苏教版选修1_120180309421

3．3.3 最大值与最小值学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点函数的最大值与最小值如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？思考4 怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________________的曲线，那么它必有最大值与最小值．(2)求函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的________；②将函数y ＝f (x )的____________与________处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是____________，最小的一个是____________．类型一 求函数的最值命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 求下列函数的最值： (1)f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－2,3]； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．跟踪训练1 求函数f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]的最值．命题角度2 含参数的函数求最值例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0,2]上的最大值．反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． 跟踪训练2 在例2中，将区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？类型二 由函数的最值求参数例3 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3 设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．类型三 函数最值的综合应用例4 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪训练4 已知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，求a 的取值范围．1．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)，则下列说法正确的是________．(填序号) ①有最大值，但无最小值；②有最大值，也有最小值； ③无最大值，但有最小值；④既无最大值，也无最小值．2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是________．3．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋t 在区间[0,2]上的最小值为3，则函数在[0,2]上的最大值为________．4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.5．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是______________．1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．提醒：完成作业第3章§3.3 3.3.3答案精析问题导学 知识点思考1 极大值为f (x 1)，f (x 3)，极小值为f (x 2)，f (x 4)． 思考2 存在，f (x )min ＝f (a )，f (x )max ＝f (x 3)．思考3 不一定，也可能是区间端点的函数值．思考4 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值． 梳理 (1)连续不断 (2)①极值 ②各极值 端点 最大值 最小值 题型探究例1 解 (1)f (x )＝2x 3－12x ，所以f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝ 2. 因为f (－2)＝8，f (3)＝18，f (2)＝－82， f (－2)＝82；所以当x ＝2时，f (x )取得最小值－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值18. (2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0,2π]， 解得x ＝23π或x ＝43π.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (23π)＝π3＋32， f (43π)＝23π－32. 所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π. 跟踪训练1 解 ∵f (x )＝3e x －e x x 2， ∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x(x 2＋2x －3)＝－e x(x ＋3)(x －1)． ∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0，∴函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴当x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2； 当x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 例2 解 令f ′(x )＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0<a ≤2，0， 2<a <3，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0， a >2.跟踪训练2 解 令f ′(x )＝0， 解得x 1＝0，x 2＝23a .①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0上单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－427a 3. 综上所述，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.例3 解 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)． ①当a >0时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也是函数f (x )在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)，∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2. ②当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.跟踪训练3 解 f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ， 令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a2. 当x ∈(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)，所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，故a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.例4 解 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1. (2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m ) ＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0，得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t 变化时g ′(t )、g (t )的变化情况如下表：∴对t ∈(0,2)，当t ＝1时，g (t )max ＝1－m ，h (t )<－2t －m 对t ∈(0,2)恒成立，也就是g (t )<0对t ∈(0,2)恒成立， 只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. 故实数m 的取值范围是(1，＋∞)． 跟踪训练4 解 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x .设h (x )＝2ln x ＋3x＋x (x >0)． 则h ′(x )＝ x ＋3 x －1x2，令h ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤h (x )min ＝4.∴a 的取值范围是(－∞，4]． 当堂训练1．④ 2.π 3.6 4.－125.(7，＋∞)。