等比数列基本量运算
等差数列与等比数列的基本量运算
等差数列与等比数列运算知识点：一．等差数列 1．等差数列基本概念⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+． 1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 二．等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．1．等比数列通项公式的推导： 由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=． 由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=．一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）解：1994500a a S S S +=⇒=⇒=.选B.{}18451845184518452.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）答案：B.3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值答案：2,50a k ==7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 答案：B7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A.3B.4C.5D.6 解：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ） A.B.B.C. D.（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97解：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =， 而108a =，因此公差1051105a a d -==- ∴100109098a a d =+=．故选C ．4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8解：45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴.选C3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )BA ．2B ．3C ．2-D ．3-4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．129. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 解：由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-． （2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =________.414．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ．146. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ A ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 解： ⑴设的公差为，，∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，．∴．（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩{}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=解得11=a ，2=d ， 所以12-=n a n .（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ， 当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.③与其他内容结合4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥⎧⎧⇒⇒=+=-+++≤⎨⎨≤+≤⎩⎩解答案为二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）答案：B3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为答案：332n n a -=⋅364714.,36,18,,____2n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中答案：9n =13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：67.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84 答案：B12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =或2x =-。
等差、等比数列及前n项和
第01讲 等差数列及其前n 项和考纲考情本讲为高考命题热点，分值10-12分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻推理能力与运算求解能力。
考点梳理考点一 等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
数学语言表达式 : ()为常数d N n d a a n n ,1*+∈=-()为常数d N n d a a n n ,1*+∈=-。
(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且2ba A +=考点二 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为()d n a a n 11-+=。
(2)前n 项和公式: ()()n d a n d a a n d n n na S n n ⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=-+=222211211。
考点三 等差数列的性质(1)通项公式的推广:()()*∈-+=N m n d m n a a m n ,。
(2)若{}n a 为等差数列，且()*∈+=+N q p m n q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+。
(3)若{}n a 是等差数列，公差为d,则()*++∈N m k a a a m k m k k ,......,,2是公差为md 的等差数列。
(4)若n S 为等差数列{}n a 小的前n 项和，则数列,......,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列。
(5)若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也为等差数列。
考点四 常用结论1.已知数列{}n a 的通项公式是()为常数其中q p q pn a n ,+=，则数列{}n a 一定是等差数列，且公差为p 。
第三节 等比数列及其前n项和
(2)由(1)知 bn＝an＋1－an＝－21n－1， 当 n≥2 时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1 ＋－21＋…＋－12n－2 ＝1＋1－1－－－2121n－1＝1＋231－－12n－1 ＝53－23－21n－1. 当 n＝1 时，53－23－121－1＝1＝a1， 故 an＝53－23－21n－1(n∈N*).
答案：A
4．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若 a1＝12，a4＝4， 则公比 q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________. 解析：a4＝a1q3，得 4＝12q3，解得 q＝2，a1＋a2＋…＋an ＝1211－－22n＝2n－1－12.
答案：2 2n－1－12
5．(2012·新课标全国卷)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＋3S2＝0，则公比 q＝________. 解析：∵S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0， ∴a1(4＋4q＋q2)＝0. ∵a1≠0，∴q＝－2. 答案：－2
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn(c，q 均
是不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
1.已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋2an＋1，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)证明：b1＝a2－a1＝1. 当 n≥2 时，bn＝an＋1－an＝an－12＋an－an＝－12(an－an－1)＝
公式Sn＝a111－－qqn.
针对训练
等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，求 an 及前 n 项和 Sn. 解：当 q＝1 时，a1＝a2＝a3＝32， S3＝3×32＝92，符合题意， 此时 an＝32，Sn＝32n.
等比数列的前n项和数列总结
等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。
等比数列及其前n项和
09—等比数列及其前n 项和突破点(一) 等比数列基本量的计算1．等比数列的有关概念；(1)定义： (2)等比中项.2．等比数列的有关公式：(1)通项公式： (2)前n 项和公式.3．运用方程的思想求解等比数列的基本量[例1] (1)(2017·太原模拟)已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( ) A ．2 B ．4 C. 2 D ．2 2(2)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q ＝4，故选B.(2)根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，消去a 1得1＋q ＋q 2q 2＝3，整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.[答案] (1)B (2)C[例2] (1)n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．(2)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 8＝a 6＋2a 4即为a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(负值舍去)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4.(2)由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝4n －1.[答案] (1)4 (2)4n －1 [方法技巧]求等比数列通项公式的方法与策略求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用a n ＝a 1q n －1求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形a n ＝a m q n －m 可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列设项问题，常用的设项方法为：(1)通项法—设数列的通项公式a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)来求解．(2)对称设元法—与有穷等差数列设项方法类似，有穷等比数列设项也要注意对称设元．一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，x q ，x ，xq ，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，x q 3，x q，xq ，xq 3，…(注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况)．这样既可以减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．[例3] 设数列{a n }n n n(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)，所以a n ＝3a n －1.所以数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)因为b n ＝1a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －2，所以{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝921－⎝⎛⎭⎫13n . 突破点(二) 等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .[例1] (1)(2017·n 46，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100 D ．200(2)(2017·石家庄模拟)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.[解析] (1)a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100.(2)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9， 所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝⎛⎭⎫－98＝－53.[答案] (1)C (2)－53[例2] (1)n n 367a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.558(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________. [解析] (1)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，在等比数列中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝1，则S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. (2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠－1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.[答案] (1)A (2)－12突破点(三) 等比数列的判定与证明等比数列的四种常用判定方法[典例] 设数列{}a n 的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． [解] (1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝⎛⎭⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78. (2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1， ∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列． [全国卷5年真题集中演练]1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：选B ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21.∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)．∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19解析：选C 由题知q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故C. 3．(2016·全国乙卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，所以a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n . 记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝⎛⎭⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64.答案：644．(2016·全国丙卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ. 解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1. [检验高考能力]一、选择题1．(2017·河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，a 9＝a 2a 3a 4，则公比q 的值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3解析：选D 由a 9＝a 2a 3a 4得a 1q 8＝a 31q 6，所以q 2＝a 21，因为等比数列{a n }的各项都为正数，所以q ＝a 1＝3.2．(2016·杭州质检)在等比数列{a n }中，a 5a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5＝( ) A ．3 B ．－13 C ．3或13 D ．－3或－13解析：选C 根据等比数列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧(a 3q 5)2＝3，a 3(1＋q 10)＝4，化简得3q 20－10q 10＋3＝0，解得q 10＝3或13，所以a 15a 5＝a 5q 10a 5＝q 10＝3或13.3．(2017·长沙模拟)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 4．(2016·衡阳三模)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( ) A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n －1解析：选C 因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2q n －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，即a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，则a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，即a n (1＋q 2－2q )＝0，所以q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.5．(2017·福州质检)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( )A ．512B ．256C ．81D ．16解析：选A 由题意知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7(a 4q )＝a 3a 7a 5＝a 35＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Ⅱ9＝83＝512.6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．192 里 B ．96 里 C ．48 里 D ．24 里解析：选B 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96 里，故选B. 二、填空题7．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2的值为________． 解析：因为1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.又1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，易知b 2>0，所以b 2＝3，所以b 2a 1＋a 2＝310.答案：310 8．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －19．在等比数列{}a n 中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________. 解析：∵S 99＝30，∴a 1(299－1)＝30.又∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，∴a 3＋a 6＋a 9＋…a 99＝4a 1(1－833)1－8＝4a 1(299－1)7＝47×30＝1207.答案：1207 10．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 016积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________．解析：由题可知a 1a 2a 3·…·a 2 016＝a 2 016，故a 1a 2a 3·…·a 2 015＝1，由于{a n }是各项均为正数的等比数列且a 1＞1，所以a 1 008＝1，公比0＜q ＜1，所以a 1 007＞1且0＜a 1 009＜1，故当数列{a n }的前n 项的乘积取最大值时n 的值为1 007或1 008.答案：1 007或1 008三、解答题11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1.又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －2＝2n －2.当n ＝1时a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2. (2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列，∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13. 12．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．∵a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ，∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n .。
等比数列基本量运算
2018年7月29日高中数学作业1.已知等比数列｛%｝满足a】+ 32=3刁2 + 4 = 6,则a8=（A. 243B. 128 C81 D. 612,已知数列0」是公比为正数的等比数列，若5=1, 则数列心丿的前7项和为（A. 63 B. 64 C 127 D. 128屯53・正项等比数列b丿中，*3 = 2, a4・a6 = 64,则a^ + a?的值是（A. 4B. 8 C 16 D. 644,已知等比数列｛%｝的前n项和为Sn,若5“力6 = 3$3.则a©A. 2B. & C4 D. 15.已知等比数列b丿中，6=16,则a，A.4B. -4C. ±4D.16 6-在等比数列｛%｝中，己知*3 = 3, 33 + % +巧=21，则a5 A. 6 B. 9 C 12 D・ 18 7-数列｛和为等比数列，若S = 3, 34 =弋则％为（A. -24B. 12 C 18 D. 24&已知等比数列｛%｝中，第％ = 54,则％=（A. 54B. -81C. -729 D, 729 9.已知等比数列｛%｝的公比q = ・2,幷前n项的和为SqA. 7B.3 C・ 2 D・ 4若6$3 = 7$2,则公比为（10.已知各项均为正数的等比数列°丿的前n项和为SqA. -2B. 2 c・ 2 D・ 2 11.等比数列厲）的前n项和为Sq已知S3",$6 = 9,则Sg等于（A. 81B. 17C. 24D. 73 12-等比数列中2=3, dii=24r 则as+d；+G=(1A. 33B. 72C. 84D. 18913,数列｛%｝中，5 = 2, = (n e N *),则方円 + a?—+ ••①爪訂44%) 4宀1) -(』門A. 3 B・ 3 C. 3 4 D. 3 414.等比数列冋｝中，*2 = 9, a5 = 243,扫」的前4项和为（）A. 81B. 120C. 168D.⑼15.等比数列冋｝中，3启"1 = 4：则数列｛aj的公比为（）A. 2 或-2B.4C. 2D.卫16,已知｛时为等比数列，*5 + 38=2, 36*^7 = -^则*2 + ^广A. 5B. 7C. TD. -517.等比数列卩」中，= = 则％巧等于（A. 16B. ±4C.-4D.4Sof18-已知等比数列b丿中，5 = 2,督6=16,则弘-%的值为（）A. 2B.4 C・ 8 D. 16 19.在等比数列｛时中，4 +皆4,勺巳则公比q等于（A.・2B. 1 或-2C. 1D. 1或2 20.己知等比数列｛和满足31 + 32=2^24 = 8,则$6的值为A. 21 B. 32 C 42 D. 170已知数列｛qj满足%i=2q「a^+a,=2.则你+厲=<己知数列卯为正项等比数列，且2^2537 = 4则a2 + a6A. 8B. 16C. 32 D・ 64A. 1B.2C. 3D.423.已知等比数列｛%｝的前n项和为Sg若S2，S&S4成等差数列，贝ij %的值为24. 已知等比数列b丿的前n项和为Sg若S4=3,S I2・S8=12,则S 广25,已知正项等比数列的前n项和为沈•若2巧23 = %且S3 = 14•则驾=26. 设各项为正数的等比数列的前n项和为％已知a2 = 6, 3^-33^ = 12^则$5 =21- 22.27-己知等比数列｛%｝的前n项和S"二丈+ 1则巧+ r =28-等比数列｛%｝中，Sn为貝前C项和，若S.^f + a,则实数a的值为29.设等比数列｛%｝满足522=7, 6-6 = -3,则前4项的和$4 =30.等比数列心」的各项均为正数，且则100331 + 1003巧+・・・ + bg3ai031,1 1 1 1—+ — = 1/ — + — = 2在正项等比数列ej中，*3 a。
等比数列及前n项和
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k ,
(6）若数列 an 是等比数列,当项数为偶数 2 n
s qs 时，
偶
，
奇
; 当项数为奇数
时，
1．在等比数列{an}中，a5＝3，则a3·7等于( C ) a A．3 B．6 C．9 D．18
等比数列的前n项和及其性质
例3 (2011年南阳调研)在等比数列{an}中，a1最小， 且a1＋an＝66，a2·n－1＝128，前n项和Sn＝126， a (1)求公比q； (2)求n. 【思路点拨】 根据等比数列的性质，a2·n－1＝ a
a1·n，由此可得关于a1、an的方程，结合Sn＝126 a 可求得q和n.
二、等比数列的判定方法： an 1 （1）定义法： 常数 an
an
是等比数列 （2）等比中项公式法： n a
是等比数列 an
2
an1 an1
（3）通项公式法： n a 数列
kq an 是等比
n
（4）前n项和法：Sn
是等比数列
k kq an
x2 10x 16 0
的两根，则 a20 a50 a80 的值为（ B ）
A.32
B.64
C.256 D. 64
9.等比数列 {an } 的各项均为正数，且 a5a6 a4 a7 ＝18，
则
log3 a1 log3 a2 log3 a10
B．10
＝(
B
)
D．2＋ log3 5
等比数列及其前n项和
一、等比数列的定义与基本公式：
等比数列 公式
等比数列公式
等比数列的公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1
为首项，r为公比，n为项数。
可以利用等比数列的公式求解问题，例如求和公式、通项公式等。
1.等比数列的求和公式：
Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项和。
2.求等比数列的项数：
如果已知数列前两项a1和a2，以及公比r，可以利用以下公式求
解项数n：
n = log(v)/log(r)，其中v为已知项数与a1的比值。
3.求等比数列的前n项和：
已知数列首项a1、公比r以及项数n，可以直接利用求和公式Sn
求解。
4.求等比数列中的任意项：
可以利用通项公式an = a1 * r^(n-1)求解。
5.拓展应用：
等比数列的概念也可以推广到小数、分数等数值形式的比值，即存在小数或分数形式的公比的等比数列。
此时公式仍然成立，只是公比r为小数或分数形式。
拓展到多次比值变化的情况，可以得到多项式数列（也称作等差-等比混合数列）等相关概念和公式。
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2018年7月29日高中数学作业1．已知等比数列满足，则（）A. 243B. 128C. 81D. 642．已知数列是公比为正数的等比数列，若，，则数列的前7项和为（）A. 63 B. 64 C. 127 D. 1283．正项等比数列中，，，则的值是A. 4B. 8C. 16D. 644．已知等比数列的前项和为,若，则=（）A. 2B.C. 4D. 15．已知等比数列中，，，则A. 4B. －4C.D. 166．在等比数列中，已知，，则（）A. B. C. D.7．数列为等比数列，若，，则为（）A. -24B. 12C. 18D. 248．已知等比数列中，,则=( )A. 54B. -81C. -729D. 7299．已知等比数列的公比，其前项的和为，则（）A. 7B. 3C.D.10．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则公比为（）A. B. C. D.11．等比数列的前项和为，已知，则等于（）A. 81B. 17C. 24D. 7312．等比数列{a n}中a1＝3，a4＝24，则a3＋a4＋a5＝( )A. 33B. 72C. 84D. 18913．数列中，，（），则（ ）A. B.C. D.14．等比数列中，，，的前项和为（ ）A.B.C. D.15．等比数列中，，则数列的公比为（ ）A. 2或-2B. 4C. 2D. 16．已知为等比数列，，，则（ ）A. 5B. 7C. -7D. -5 17．等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 418．已知等比数列中，，则的值为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16 19．在等比数列中，，，则公比等于（ ）．A.B. 或C.D. 或20．已知等比数列满足，则的值为A. 21B. 32C. 42D. 17021．已知数列{}n a 满足12n n a a +=， 142a a +=，则58a a +=（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 22．己知数列为正项等比数列，且，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 423．已知等比数列的前项和为，若成等差数列，则的值为__________． 24．已知等比数列的前项和为，若，则__________． 25．已知正项等比数列的前项和为，.若，且．则=________．27．已知等比数列的前项和，则_________．28．等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为__________．29．设等比数列满足a 1 – a 3 = –3，则前4项的和 = ___________.30．等比数列的各项均为正数，且，则__________．31．在正项等比数列中， ，则公比__________．32．等比数列的各项均为正数，且，则_________;33．在等比数列中，，，则的值为_______． 34．等比数列中，若，，则 ．35．在等比数列中，若，，则__________．36．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =， 415S =，则6S =_______37．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12018a =， 2432a a a +=-，则2019S =__________． 38．设公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若224432,32S a S a =+=+，则q =__________． 39．在等比数列中，，求=_________．40．在等比数列中，，求=_________．参考答案1．B【解析】分析：利用条件确定等比数列的首项与公比，从而得到结果.详解：设等比数列的公比为，∴，∴，即∴128故选：B点睛：等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．2．C【解析】分析：先根据等比数列的通项公式求出，再由等比数列前项公式求其前项和即可.详解：，即，又，，故选C.点睛：本题考查等比数列的通项公式及前项公式，属于基础题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程3．C【解析】分析：设正项等比数列{a n}的公比为q，由a3=2，a4•a6=64，利用通项公式解得q2，再利用通项公式即可得出．详解：设正项等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2，a4•a6=64，∴则=42=16．故选：C．点睛：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.4．A【解析】分析：首先根据数列的前项和的特征，将之间的关系，可以转化为详解：根据，可以求得与的倍数关系，根据等比数列的性质，求得，从而求得的值.，即，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，最后要求的结果是第四项，而已知数列的首项，所以可以得知下一步的任务应该去求有关公比所满足的条件，根据题中所给的式子，从而求得，而根据，从而求得最后的结果.5．A【解析】分析：由已知求出等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得到答案.详解：在等比数列中，由，得，所以，，故选A.点睛：该题考查的是有关等比数列的项的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有等比数列的项之间的关系，等比数列的通项公式的应用，注意奇数项是同号的，所以不会出现负值，以免出错.6．A【解析】分析：利用等比数列的性质计算即可.详解：设公比为q，∵，，∴a3+a3q2+a3q4=21，∴3+3q2+3q4=21，∴a5=a3q2=3×2=6，故选：A ．点睛：比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解7．A【解析】分析：由题意首先求得公比，然后求解的值即可.详解：由题意可知：等比数列的公比，则：.本题选择A选项.点睛：等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用．8．C【解析】分析：根据等比数列的下标和性质，建立方程即可得到结论．详解：在等比数列{a n}中，∵a3=﹣4，a6=54，∴a3a9=（a6）2，即﹣4a9=54×54，∴a9=﹣729，故选：C．点睛：等比数列中，若，则；等差数列中，若，则.9．D【解析】分析：用基本量表示可得，代入的值即得所求结果.详解：因为，故选D.点睛：处理数列问题一般有两个角度：（1）基本量法，就是把问题归结为基本量的方程组，解这个方程组即可；（2）利用等比数列或等差数列的性质，此时需要找出题设中数列各项的下标或数列的和的特征，根据特征运用相应的性质来处理.10．C【解析】分析：为求公比，按照题意化简列出关于的方程，即可算出结果，又因各项均为正数，再次判定详解：则解得，（舍去）故选点睛：本题主要考查了等比数列求和的运用，在解答此类题目时要根据题意将其转化为关于公比的方程，然后进行求解。
11．D【解析】分析：根据等比数列中前项和为的性质求解．详解：∵数列为等比数列，∴成等比数列，即成等比数列，∴，∴．故选D．点睛：公比不为－1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q n，利用这一性质解决等比数列中“片段和”的问题时可简化运算、提高解题速度．12．C【解析】分析：根据求出数列的公比，从而可求出的值．详解：：∵等比数列的通项公式为，解得，故选：C．点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式，利用等比数列性质的能力，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．13．D【解析】分析：由，可得是公比为的等比数列，由等比数列的性质可得为公比是等比数列，利用等比数列求和公式可得结果.详解：，是公比为的等比数列，为公比是等比数列，首项，，故选D.点睛：本题考查主要考查等比数列的定义、性质以及等比数列的通项公式与求和公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.14．B【解析】分析：根据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.详解：，解得，又，则等比数列的前项和.故选：B.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．15．C【解析】分析：设等比数列的公比为，由已知条件可得，和已知等式相除即可得结论.详解：设等比数列的公比为，∵，∴且，两式相除可得，即，∴，故选C.点睛：本题主要考查了等比数列的定义，求等比数列的公比，属于基础题.16．C【解析】分析：由等比数列的性质和通项公式，建立方程组求解出，再根据求值即可.详解：为等比数列，联立方程，解得或（1）当时，，.（2）当时，，.故选C.点睛：本题主要考查等比数列性质的应用，灵活运用等比数列的性质，可以简化做题过程..17．D【解析】分析：利用等比中项求解。
详解：，因为为正，解得。
点睛：等比数列的性质：若，则。
18．B【解析】试题分析：设数列的公比为，由，，得，解得，则，故选B.考点：等比数列.19．B【解析】分析：根据等比数列的通项公式将，用和表示，可得关于的一元二次方程，解方程可得.详解：∵等比数列中，，，∴，∴，解得或，故选B．点睛：本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．20．C【解析】分析：等比数列的公比设为，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由求和公式计算即可得到所求和．详解：等比数列的公比设为，，可得解得则或故选：C．点睛：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．21．C4581432a a q a a+=+=，故选C。