14-15(一)《高数(工)1》期末考试(A)卷解答
高数A(一)期末模拟试题解答
高等数学A （一）期末模拟解答试题（一）一、填空题（每题3分） 1、xx f -=11)(，则=))((x f f ，=)))(((x f f f 。
xx x x xx f x f f 111111)(11))((-=--=--=-= x x xx x f f x f f f ==--=-=1111))((11)))((( 2、已知3111lim3-=-+→x kx x ，则=k 。
13131)1(31lim 11lim 32030-=⇒-==+=-+-→→k k k kx x kx x x 3、若)(x f 在0x x =可导，且x x f x a x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000=)(340x f '，则=a 。
34)()()(lim )()(lim 0000000=⇒'=∆-∆+=∆-∆+→∆→∆a x f a x a x f x a x f a x x f x a x f x x 4、1112++=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x f ，则)(x f '= 。
3221)(11)(x x f x x x f -='++= 5、设)1ln()(20+=⎰x dt t f x ，则)2(f '= 。
256)2()1(4)1(2)(12)(22222-='+-+='+=f x x x x f xx x f6、若)(x f 满足)()0()(x g x f x f ++=，且0)(lim0=→xx g x ，则)0(f '= 。
1)(lim )0()(lim )0(00=+=-='→→xx g x x f x f f x x7、0sin 5=⎰ππ-xdx8、方程0)()(=+-'x q y x p y 的通解是⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-=⎰-dx x p dx x p e dx e x q C y )()()(。
9、在极坐标下，由曲线)(,,β<αβ=θα=θ，),(1θρ=ρ),(2θρ=ρ（)()(21θρ<θρ）围成的平面图形的面积[]⎰βαθθρ-θρ=d A )()(212122。
高等数学期末考试A(附答案)
-------------------------------------密-----------------------封-----------------------线---------------------------------系部___________ 班级___________ 考场_________ 姓名______________ 学号_________高等数学期末试卷（A ）一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分） 1．下列各对函数定义域相同的是（ ）.A.2)()(,)(x x g x x f ==B.x x g x x f ==)(,)(2C.x x g x x f lg 2)(,lg )(2== D.11)(,1)(2--=+=x x x g x x f2．下列函数在其定义域内不是奇函数的是（ ）. A.x y sin = B.x y cos = C.x y tan = D.x x y -=33．函数)(x f 在0x x =处有定义是0x x →时)(x f 有极限的（ ）. A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D.无关条件 4．下列各式中正确的是（ ）. A.0sin lim0=→x x x B.1sin lim =∞→x x x C.e n n x =+∞→)11(lim D.e nx =+→)11(lim 05．=+→xx x 1)41(lim ( ).A.4-eB.4e C.41e D.41-e6．=→xxx 5tan 3tan lim( ). A .1 B.53 C.35D.07．设)2(x f y -=，则='y ( ).A.)2(x f 'B.)2(x f -'-C.)2(x f -'D.)2(2x f -'-8．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，是),(+∞-∞上的连续函数，则)(=aA. 0B.1C.1-D.2 9．下列各式错误的是( ).A.1-)(μμμx x ='B.a a a x x ln )(⋅='C.x x cos )(sin ='D.x x sin )(cos =' 10．函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 处可导的( ).A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件 11．函数2)(-=x x f 在点2=x 处的导数为( ). A.1 B.0 C.1- D.不存在12．设x 为自变量，当,1=x 0=∆x .1时，=)(3x d ( ). A.3.0 B.0 C.01.0 D.03.013．设)(),(x v v x u u ==都是可微函数，则=)(uv d ( ). A.vdv udu + B.du v dv u '+' C.vdu udv + D.vdu udv -14．设曲线22++=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为( ). A.）（4,1 B.）（1,4 C.)0,1( D.)1,0( 15．已知函数⎩⎨⎧>≤-=-,0,0,1)(x e x x x f x 则)(x f 在0=x 处( ).A.间断B.连续但不可导C.1)0(-='fD.1)0(='f 16．若)(x f 在点a x =的邻域内有定义，且除去点a x =外恒有0)()()(2>--a x a f x f ，则以下结论正确的是( ).A.)(x f 在点a 的邻域内单调增加B.)(x f 在点a 的邻域内单调减少C.)(a f 为函数)(x f 的极大值D.)(a f 为函数)(x f 的极小值 17．函数)(x f y =在点0x 处取极大值，则必有( ).A.0)(0='x fB.0)(0<''x fC.0)(0='x f ,0)(0<''x fD.0)(0='x f 或)(0x f '不存在 18．下列函数在其定义域内不是单调递增的是( ).A.x x x f 2)(3+=B.)1ln()(2x x x f +-=C.x x x f cos )(+=D.3)1)(1()(+-=x x x f 19．下列极限计算正确的是（ ）.A.626lim )2(223lim )2(42lim 222232==--=---→→→x x x x x x x x x B.6122lim 222lim )2()22)(2(lim )2(42lim 222222232=+=-++=-++-=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x C.∞=--=---→→)2(223lim )2(42lim 22232x x x x x x x D.不存在2232232)2(lim )42(lim )2(42lim---=---→→→x x x x x x x x x20．当0→x 时，1)1(212-+ax与x cos 1-为等价无穷小，则=a ( ).x2A.1 B.0 C.1- D.常数21．设)(x f 是可导函数，则))(('⎰dx x f 为( ). A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 22．下列等式中成立的是( ).A.⎰=)()(x f dx x f dB.⎰=dx x f dx x f dxd)()(C.⎰+=c x f dx x f dxd)()( D.dx x f dx x df )()(= 23．在区间),(b a 内，如果)()(x g x f '='，则下列各式中一定成立的是( ). A.)()(x g x f = B.1)()(+=x g x f C.))(())(('='⎰⎰dx x g dx x f D.⎰⎰'='dx x g dx x f )()( 24．)(x f 在区间[]b a ,上连续，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(( ).A. 小于零B.等于零C.大于零D.不确定25．用定积分表示右图x y 2=，2=x 和x 轴围成的面积，正确的是( A.⎰212xdx B.⎰22xdx C.⎰xtdt 02 D.⎰22xtdt二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分） 26．(=dx ))32(x d - )()(xxe d dx e --=．27．设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( ，则[]=')0(f ．28．若函数bx ax x f +=2)(在点1=x 处取极大值2，则=a ，=b ．29．设⎰=xx e dt t f 02)(，则=)(x f ．30．判断下列两个定积分的大小，⎰12dx x⎰13dx x ． 三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．驻点一定是极值点．（ ）32．可导一定连续，连续不一定可导．( )33．设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数,且0)(,0)(00≠''='x f x f ，则当0)(0<''x f 时，)(x f 在点0x 处取极大值．（ ）34．若函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得0)(='ξf ．( )35．1)21(211122222-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰--x dx x ．( )四、求下列各式的极限（共2小题，每题4分，共计8分）36．xe e xx x 20lim-→- 37．xdt txa tx ⎰++∞→)11(lim )0(>a五、计算下列不定积分（共2小题，每题4分，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin( 39．⎰xdx x cos六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-17)12(dx x七、综合题（共1小题，共计10分）41．平面图形D 由抛物线2x y =，1=x 和x 轴组成，请 （1）画出D 的草图 （2）求D 的面积答案：一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分）1．B 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．D 8．B 9．D 10．A. 11．D 12．A 13．C 14．A 15．C 16．D 17．D 18．D 19．C 20．A 21．A. 22．D 23．C 24．B 25．B二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分）26．31- - 27．0 28．=a -2 =b 4 29．=)(x f x e 22 30．>三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．× 32．√ 33．√ 34．× 5．× 四、求下列各式的极限（共2小题，共计8分）36．x e e xx x 20lim -→-=1)2(lim 20x e e x x x ---→————3分=1————————————1分37．x dt t xa t x ⎰++∞→)11(lim )0(>a =1)11(lim x x x ++∞→——3分 =e ————1分五、计算下列不定积分（共2小题，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin(=⎰++)23()23sin(31x d x ——2分 =C x ++-)23cos(31————2分39．⎰xdx x cos =⎰x xd sin ——2分=⎰-xdx x x sin sin ————1分 =C x x x ++cos sin ————1分六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-107)12(dx x =⎰--107)12()12(21x d x ——2分=108])12(81[21-⋅x ————1分 =0]11[161=-————1分七、综合题（共1小题，共计10分） 41．（1）略————5分（2）⎰=12dx x D ————3分=10331⎥⎦⎤⎢⎣⎡x ————1分 =31——————1分。
高数a1期末考试试题及答案
高数a1期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数？A. 2x+3B. x^2+3C. x^2+3xD. 2x^2+3x答案：A2. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的不定积分？A. e^x + CB. e^xC. e^x * xD. ln(e^x) + C答案：A4. 求解方程2x^2 - 5x + 2 = 0的根。
A. (1, 2)B. (1, 1/2)C. (2, 1/2)D. (1, 1)答案：D5. 计算定积分∫(0 to 1) x dx。
A. 1/2B. 1C. 2D. 0答案：A6. 以下哪个选项是函数f(x)=ln(x)的反函数？A. e^xB. e^(-x)C. ln(x)D. 10^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=____。
答案：3x^2-12x+112. 计算定积分∫(1 to 2) (x^2-3x+2) dx的值。
答案：5/33. 函数y=x^3-3x+1的拐点是____。
答案：(1, -1)4. 求解方程x^3-6x^2+11x-6=0的根。
答案：1, 2, 3三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,2]上的最大值和最小值。
答案：最大值出现在x=2，f(2)=2；最小值出现在x=1，f(1)=0。
2. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dA，其中D是由曲线y=x^2和直线y=1围成的区域。
答案：∬D (x^2+y^2) dA = 1/33. 证明：函数f(x)=x^3在(-∞, +∞)上是增函数。
答案：略4. 求函数f(x)=e^x*sin(x)的不定积分。
答案：∫e^x*sin(x) dx = -e^x*cos(x) + C5. 求函数y=x^2-4x+c的图像与x轴的交点。
高数(1)试卷答案
内蒙古财经大学2014-2015学年第一学期期末考试高等数学(1)试卷(A) 答案（计科、电商、信息、软件工程、金融工程、人文城规专业）一、 选择题 （每题3分，共计15分）1. B2. C3. A4. A5.D二、填空题（每题3分，共计15分）1. (]1,1-2. 211x + 3.33 4. x x e C e C y 321+=- 5.C x x +2cos 2三、计算题（每小题6分，共48分）1. 讨论函数21()211x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩在1x =处的的连续性与可导性。
解：(1)f =1 ………………………. 1分211lim ()lim 1x x f x x --→→== 11lim ()lim(21)1x x f x x ++→→=-= ………………………. 3分 ()f x ∴在x=1处连续'11()(1)211(1)=lim lim 211x x f x f x f x x +++→→---==-- -2'-11()(1)1(1)=lim lim 211x x f x f x f x x -→→--==-- ()f x ∴在x=1处可导. ………………………. 6分2. 求极限011lim()1x x x e →-- 解：解法一（用洛必达法则）00111lim()lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→---=-- ………………………. 1分= 01lim (1)x x xx e e xe →--+ ………………………. 3分 = 0lim xx x xx e e e xe →++ =1/2 ………………………. 6分 解法二（利用等价无穷小量代换）00111lim()lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→---=-- ………………………. 1分 = 201lim x x e x x→-- ………………………. 3分 = 01lim 2x x e x→- = 01lim 22x x x →= ………………………. 6分 3．设21lim()01x x ax b x →∞+--=+，求,a b 解：原式=21(1)()lim 1x x x ax b x →∞+-+++ =2(1)()lim 1x a x x a b b x →∞--+-+=0 ………………………. 2分 由极限定义及已知，得10a -=且()0a b += ………………………. 5分 故1,1a b ==- ………………………. 6分4． 求不定积分2解：设设t x sin =，2π≤t ，则tdt dx cos = ………………………. 1分原式=22sin a tdt ⎰=21cos 22t a dt -⎰=22cos 2(2)24a a t td t -⎰ ………………………. 4分 =22sin 224a a t t C -+=2(arcsin 2a x a ++C ………………………. 6分 5． 求不定积分⎰xdx e x sin解：原式cos cos cos x x x e d xe x e xdx=-=-+⎰⎰ ………………………. 2分cos sin cos sin sin x x x x x e x e d xe x e x e xdx=-+=-+-⎰⎰ ………………………. 4分移项得112sin cos sin 1sin (sin cos )()22x x x x x e xdx e x e x c c e xdx e x x c c =-++=-+=⎰⎰ ……………………….6分6．求不定积分2323x dx x x +--⎰ 解：原式=3(1)(3)x dx x x ++-⎰………………………. 1分 =131()231dx x x --+⎰ ……………………….3分 =31ln 3ln 122x x C --++ ………………………. 6分 7．已知sin (12)x y x =+，求dy 。
《高等数学(一)》期末考试试卷(A卷)
《高等数学（一）》期末考试试卷(A 卷)适用班级：一、填空题（每空2分，共20分）函数211x y x -=-的连续区间是 ,1x =是 间断点.设()f x 在(),-∞+∞上连续，且()13f =，则()01lim ln 1x f x x →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦.函数1xy e =当x → 时为无穷大量，当x → 时为无穷小量. 若()12f '=，则极限()()11limh f h f h→--= .5.函数22ln y x x =-的极小值为 .若()()f x dx F x C =+⎰，则()sin cos f d θθθ=⎰.已知()f x 的一个原函数是ln x ，则()=f x .= .二、单项选择题（每小题3分，共30分） 1.下列函数对中不为同一个函数的是（ ）．A.x x x f ⋅=)(，3)(x x g =B.x e x f ln )(=，x x g =)(C.()0()1f x x =-，22()sin cos g x x x =+ D. x x f ln 3)(=，3ln )(x x g = 2.下列等式正确的是 ( ) A. sin lim1x x x →∞= B. 0sin lim 1x xx→=C. 01lim sin 1x x x →=D. 1lim sin 0x x x→∞=3. 下列叙述正确的是（ ）A. 若函数()y f x =在点x 处可导，则函数()y f x =在点x 处必连续.B. 若函数()y f x =在点x 处连续，则函数()y f x =在点x 处必可导.C. 若函数()y f x =在点x 处不可导，则函数()y f x =在点x 处不连续.D. 若曲线()y f x =在点x 处有切线，则函数()y f x =在点x 处必可导. 4. 当0x →时，无穷小量2sin x x -是x 的（ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶无穷小但不是等价无穷小 D. 等价无穷小 5. 0x =是sgn x 的( ).A. 连续点B. 可去间断点C. 无穷间断点D. 跳跃间断点 6.下列等式成立的是（ ）A. d=B. ()()cos cos d d cos x x e e x =C. ()22d d ln 11xx x ⎡⎤-=⎣⎦- D. ()d +1d x x x = 7.下列结论正确的是（ ）A. 驻点一定是极值点B. 极大值一定大于极小值C. 可导函数的极值点一定是驻点D. 二阶导数等于零的点一定不是极值点8. d x e x -=⎰（ ）A. x e -B. x e C -+C. x e --D. x e C --+9. ln d 2xx =⎰（ ）A. ln 2x x x C -+B. ln 42xx x C -+C. ln 22x x x C -+D. ln 2xx x C ++10. 已知()()F x f x '=，则下列等式正确的是（ ） A.()()d f x dx f x dx dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ B. ()()d F x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰C. ()()f x dx F x C '=+⎰D. ()()f x dx F x C =+⎰三、解答题（每小题7分，共42分） 1.计算011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2. 计算()()2ln 1lim ln 1x x x →+∞++3. 设)4ln(2x x y -+=，求d y .4. 计算34cos d sin x x x⎰.5.计算x . 6. 计算3d x xe x ⎰.四、讨论题（8分）求()213sin cos ,00,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数()f x '.。
高数考试内容
高数考试内容一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数$f(x)=\sin x + \cos x$，则$f'(x)$等于（）A. $\cos x-\sin x$B. $\cos x+\sin x$C. $-\cos x-\sin x$D. $-\cos x+\sin x$答案：A。
解析：根据求导公式$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)' =-\sin x$，所以$f(x)=\sin x+\cos x$的导数$f'(x)=\cos x-\sin x$。
2. 定积分$\int_{0}^{\pi}\sin xdx$的值为（）A. 0B. 1D. - 2答案：C。
解析：$\int_{0}^{\pi}\sin xdx=-\cos x\big _{0}^{\pi}= - (\cos\pi-\cos0)=-(-1 - 1)=2$。
3. 函数$y = \ln x$在点$(1,0)$处的切线方程为（）A. $y = x - 1$B. $y=-x + 1$C. $y = 0$D. $x = 1$答案：A。
解析：$y=\ln x$的导数$y'=\frac{1}{x}$，在点$(1,0)$处的切线斜率$k = y'\big _{x = 1}=1$，根据点斜式方程可得切线方程为$y - 0 = 1\times(x - 1)$，即$y=x - 1$。
4. 若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,4)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$x$的值为（）B. - 2C. 1D. -1答案：A。
解析：两向量平行，对应坐标成比例，即$\frac{1}{x}=\frac{2}{4}$，解得$x = 2$。
5. 极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}$的值为（）A. 0B. 1C. 不存在D. $\infty$答案：B。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
高数a大一期末考试题简单及答案
高数a大一期末考试题简单及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，如果对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L。
以下哪个选项不是极限的定义？A. 函数f(x)在某点a处的极限B. 函数f(x)在某点a的左极限C. 函数f(x)在某点a的右极限D. 函数f(x)在某点a处的连续性答案：D2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B4. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^4答案：B5. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫1/x dx = ln|x| + CD. ∫e^x dx = e^x + C答案：C6. 以下哪个选项是正确的定积分？A. ∫[0,1] x dx = 1/2B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3C. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4D. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5答案：B7. 以下哪个选项是正确的微分方程的通解？A. y' = 2y => y = Ce^(2x)B. y' = 3y => y = Ce^(3x)C. y' = 4y => y = Ce^(4x)D. y' = 5y => y = Ce^(5x)答案：A8. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. y = x^3, y'' = 6xB. y = x^2, y'' = 2C. y = x^4, y'' = 12x^2D. y = x^5, y'' = 20x^3答案：B9. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 型不定式，分子分母同时乘以分母的导数B. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时乘以分子的导数C. ∫0/0 型不定式，分子分母同时除以分子的导数D. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时除以分母的导数答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。
14-15第一学期微积分I高等数学期末试卷及答案(A卷)
一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 。
2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。
3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。
4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。
厦门大学《微积分I 》课程期末试卷试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.215．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。
6．求方程2x ydy dx +=的通解。
7．求不定积分2(1)(1)xdx x x ++⎰。
8．求方程1y y x x'-=的通解。
9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。
二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1． 求极限20)(02sin limx dt e x x t x x ⎰-→⋅。
2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。
3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。
4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。
5．求曲线⎰=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。
6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。
三、计算下列各题：（每小题6分，共24分）1．求微分方程32()()1dy x x y x x y dx++-+=-的通解。
2．设0>a ，求直线231aa x y +-=与x 轴，y 轴所围三角形绕直线a x =旋转一周所得旋转体的体积。
高数试题A卷试题及答案
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ───
３．下列说法正确的是 （ ）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为
____________。
0 0
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
高数试题 A卷
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为
_________
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ）
x→0 ｘ2＋ｙ2
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上海应用技术学院2014—2015学年第一学期《高等数学（工）1》期（末）试卷（A ）评分标准一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．C ； 2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．D ；6．A ； 7．D ； 8．B ； 9．C ； 10．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．2e ； 12．x y =； 13．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++22sin 21sin 2)1ln(cos )1(x x x x x x x ； 14．2π； 15．41-x ； 16．21C xC y +-=． 三．计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）．17．求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→)1ln(121lim 2x x x ． 解： 原式)1ln()2(2)1ln(lim2--+--=→x x x x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 2)1ln()1(2lim 12)1ln(111lim 22-+---=--+---=→→x x x x x x x x x x ．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）211)1ln(11lim 2-=+-+-=→x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 18．设函数)(x y y =由方程0)sin(sin =+-y x x y 所确定， 求y '．解： []01)c o s (c o s s i n ='++-+'y y x x y x y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2+2分）)cos(sin cos )cos(y x x x y y x y +--+='．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）19．设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+=-=-t t e t y e t x 2所确定，求022=t dx y d ． 解：t tee dx dy -++=1212．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2分) 222224(1)(12)1(1)1t t t t t td ye e e e dx e e ----+++=⋅++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(3分) 45022==t dx yd ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． (1分) 20．求函数3224+-=x x y 在[]2,1-上的最大值与最小值．解： 0)1(44423=-=-='x x x x y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 令0='y ，得到01=x , 12=x , 13-=x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 2)1(=±y ，3)0(=y ，11)2(=y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 故最小值2)1(=±y ， 最大值11)2(=y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）21．计算不定积分dx e e x x⎰-12． 解：原式⎰-=1)(2x x e e d ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=)(111121x x x e d e e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） C e e x x ++-=11ln 21．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）22．计算定积分⎰+1332211dx x x ．解： tan x t =令，2sec dx tdt =，14x t π=→=，6x t π=→=．．．．．．．．．．．（1分） ⎰+1332211dx x x ⎰⋅=4622sec tan sec ππt t tdt ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ⎰=462sin cos ππdt t t ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 46sin 1ππt -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）22-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 23．计算定积分⎰102cos xdx e x ． 解：⎰102cos xdx e x ⎰=102)(sin x d e x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） ⎰-=102102)(sin sin x x e xd x e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ⎰+=102102)(cos 2sin x d e x e x x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） ⎰-+=102102102cos 4cos 2sin xdx e x e x e x x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） []21cos 21sin 5cos 2102-+=⎰e xdx e x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）24求微分方程yx y y dy dx 1ln 1=+满足e y =)1(的特解． 解：由于y x y y dy dx 1ln 1=+， 令y y y P ln 1)(=，yy Q 1)(=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 通解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dy e y Q e x dy y P dy y P )()()(．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dy e y e dyydy dy y y 1ln 11．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） yC y ln ln 21+= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 由 e y =)1( 21=C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x ln 1ln 21．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 四．应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）．25．过坐标原点作曲线ln y x =的切线, 该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形为D ．(1) 求D 的面积。
(2) 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：（1）设切点为00(,)x y ，则01dy k dx x ==,由题意可得000001ln y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 解得00(,)(,1)x y e =，切线方程ey x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）10()y D e ey dy =-⎰12e =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） （2）设D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，则⎰-⋅=e x dx x V 122)(ln 131ππ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ⎰+-=e e xdx x x e 112ln 2)(ln 3πππ πππ23+-=e e ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322e π．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）26．设函数)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，121=⎪⎭⎫⎝⎛f ，证明： （1）存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21η 使得ηη=)(f（2）对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈ 使得 1))(()(=--'ξξλξf f证明：（1）令 x x f x F -=)()(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上连续，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 011)1()1(<-=-=f F ，021*******>-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f F ．．．．．．．．（1分） 根据零点定理存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21η 使得0)(=ηF ，即ηη=)(f ．．．．．．．．．（1分）（2）构造辅助函数))(()(x x f e x G x -=-λ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）)(x G 在[]η,0上连续，在),0(η上可导， 且00)0()0(=-=f G ．．．．．（1分） []0)()(=-=-ηηηληf e G ，故)(x G 在[]η,0上满足罗尔定理条件，故存在),0(ηξ∈ 使得0)(='ξG 而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） []01)())(()(=-'+--='-ξξξλξλξf f e G即 1))(()(=--'ξξλξf f ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）。