数列基本量运算
等差、等比数列基本量的运算法宝
典例解析：
题型一 等差、等比数列的基本运算
例1 已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .
题型二 等差、等比数列的性质及应用
例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在
(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10
10＝2，则S 2 013的值为( )
A ．－2 011
B ．－2 012
C ．－2 010
D ．－2 013 题型三 等差、等比数列的综合应用
例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *. (1)证明：数列{a n }为等比数列；
(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．
跟踪训练
1．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90C ．90 D ．110
2．(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( )
A ．n (n ＋1)
B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)2
3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1
4．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
5．(2014·大纲全国)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64
6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n
b n 为整数
的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
7．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3，则{a n }的通项公式是a n ＝________.
8．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．
9．(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.
10．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1
a n ＋1－a n
＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比
数列，k 称为公差比．现给出下列问题： ①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列；
③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________．
11．(2014·课标全国Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n
2
n }的前n 项和．
12．(2014·北京)已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列．
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；
(2)求数列{b n}的前n项和．
五年级奥数数列计算练习题及答案
数列计算 从第二项起，后一项与前一项的比值是同一个数，这样的数叫做等比数列。从1的立方开始的自然数的立方之和等于这些和的平方。 例题精讲 例1 计算:0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+…+0.97+0.99。 【思路点拨】在计算时如果把所有的数看成是一个等差数列,那就错了,因为前几个数相邻两数之间相差0.2,而后面的数相邻两数的差是0.02,所以在求和时要分开考虑,从0.1到0.9是一个等差数列,而从0.11到0.99又是一个等差数列。 【详细解答】 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+…+0.97+0.99 (0.1+0.9)×5÷2+(0.11+0.99)×45÷2 =2.5+49.5÷2 =2.5+24.75 =27.25 【题后反思】首先观察时应该把小数分为两类:一位小数、两位小数。再分别求和,注意要理解并牢记等差数列求和公式。 例2计算:1+3+9+27+81+243+729+2187。
【思路点拨】加法算式中的数后一项总是前一项的3倍,构成一个等比数列。在求和时要根据等比数列的特点来做。把这些数的和用S来表示,如果把每项扩大3倍,则3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561。把3S的每项与原来等比数列的每项比较,很多项是相 同的,3S比S多的就是6561-1=6560,3s是S的3倍,比S多2倍,所以S=6560÷2 =3280。 【详细解答】 设S=1+3+9+27+81+243+729+2187,则 3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561 3S-S=6561-1,2S=6560 S=6560÷2=3280 【题后反思】扩倍法、缩倍法是等比数列求和的基本方法,扩的倍数就是公比。这远远比中学的公式法好理解。 同步练习 1.计算下列一组数的和：105，110，115，120…，195，200 2.有一列数:2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,…它的第2005项是几?前2005项的和是多少?
等差数列与等比数列的基本量运算
等差数列与等比数列运算 知识点： 一．等差数列 1．等差数列基本概念 ⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列． 这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-． ⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即 2 x y A += ． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1) 22 n n n a a n n S na d An Bn +-= =+=+． 1．等差数列通项公式的推导： 2132121n n n n a a d a a d a a d a a d ----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得： 1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-． 由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导： 1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++ ++-， 把项的顺序反过来，可将n S 写成： ()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-+ +--， 将这两式相加得： 11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++ ++=+， 从而得到等差数列的前n 项和公式1() 2 n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+． 二．等比数列
等差数列的性质、求和知识点及训练
等差数列的性质、求和知识点及训练 重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法 难点:对等差数列的综合考察 一知识梳理 1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数 列．
（2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、 n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便 可求出其余2个，即知3求2。 （2）通常把题中条件转化成只含1a 和d 的等式！ 8.等差数列的性质： （1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差 0d =，则为常数列。 （2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （公差为md ） 图示： m m m m m m S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++ （4）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =， 则 21 21 (21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （5）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列 (6)求n S 的最值 法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
等差数列基础测试题题库doc
一、等差数列选择题 1．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211, n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则 n a =（ ） A ．21n - B ．43n - C ．54n - D ．n 2．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 4．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且 713n n S n T n -=，则5 5 a b =（ ） A ． 34 15 B ． 2310 C ． 317 D ． 62 27 5．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ． 43 C ．4 D ．4- 9．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30
高考数学 三轮必考热点集中营 热点17数列的基本运算大题(教师版)
（新课标）2013高考数学 三轮必考热点集中营 热点17数列的基 本运算大题（教师版） 【三年真题重温】 1.【2012?新课标全国理】已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a ?=-，则110a a +=（ ） A 、7 B 、5 C 、-5 D 、-7 2.【2012?新课标全国文】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 3.【2012?新课标全国理】数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 4.【2012?新课标全国文】数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为 （A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 答案：D
5.【2011?新课标全国理，17】等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=， 23269a a a =． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 设3132log log n b a a =++…3log n a +，求数列1{}n b 的前n 项和．
6.【2011 新课标全国文，17】已知等比数列{}a 中，213a = ，公比13q =． (Ⅰ) n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12 n n a S -=； (Ⅱ) 设31323log log log n n b a a a =++???+，求数列n b 的通项公式． 7.【2010 新课标全国理，17】设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S
等比数列基本量运算
2018年7月29日高中数学作业 1．已知等比数列满足，则（） A. 243 B. 128 C. 81 D. 64 2．已知数列是公比为正数的等比数列，若，，则数列的前7项和为（）A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 3．正项等比数列中，，，则的值是 A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 4．已知等比数列的前项和为,若，则=（） A. 2 B. C. 4 D. 1 5．已知等比数列中，，，则 A. 4 B. －4 C. D. 16 6．在等比数列中，已知，，则（） A. B. C. D. 7．数列为等比数列，若，，则为（） A. -24 B. 12 C. 18 D. 24 8．已知等比数列中，,则=( ) A. 54 B. -81 C. -729 D. 729 9．已知等比数列的公比，其前项的和为，则（） A. 7 B. 3 C. D. 10．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则公比为（） A. B. C. D. 11．等比数列的前项和为，已知，则等于（） A. 81 B. 17 C. 24 D. 73 12．等比数列{a n}中a1＝3，a4＝24，则a3＋a4＋a5＝( )
A. 33 B. 72 C. 84 D. 189
13．数列 中， ， （ ），则 （ ） A. B. C. D. 14．等比数列中，，，的前项和为（ ） A. B. C. D. 15．等比数列中， ，则数列的公比为（ ） A. 2或-2 B. 4 C. 2 D. 16．已知 为等比数列， ， ，则（ ） A. 5 B. 7 C. -7 D. -5 17．等比数列 中， ，则 等于( ) A. 16 B. ±4 C. -4 D. 4 18．已知等比数列中，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 19．在等比数列中， ， ，则公比等于（ ）． A. B. 或 C. D. 或 20．已知等比数列 满足 ，则的值为 A. 21 B. 32 C. 42 D. 170 21．已知数列{}n a 满足12n n a a +=， 142a a +=，则58a a +=（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 22．己知数列 为正项等比数列，且 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23．已知等比数列的前项和为，若成等差数列，则 的值为__________． 24．已知等比数列 的前项和为，若 ，则__________． 25．已知正项等比数列 的前项和为，.若 ，且．则=________．
高斯小学奥数四年级上册含答案第22讲_数表规律计算
第二十二讲数表规律计算 三年级的时候我们学习过找位置，其实就是简单的数表规律问题, 复杂的数表规律问题. 数表，其实也就是把数列中的数按某种规律排列成了表格的形式. 表中，我们记：从上向下横行依次为第一行、第二行、第三行、…… 第一列、第二列、第三列、…… 请大家仔细观察下面几个表中的数是按照什么规律排列的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 12 11 10 9 8 7 13 14 15 16 17 18 24 23 22 21 20 19 今天我们来学习更为 一般地，在长方形数 从左到右竖行依次为 O 广我找 巻爸可一下 寂叔！密码到底 咼什么 IP "笊游最点令妞的那 n 旬话去、 有文 章！ ’东有十三IT 最东边第门个 致，“甫有百望山”杲雨边第wo 丫数. ■#?+?"是西边第1Q 个輕「北有 4 达峻”超北边第呂个數， / f 戋包亠时出石r 、 臭箱札惊先*?吓 宝 箱护-墙.囲 j j 几年前，翼 英和善爸、小高 到香山寻宝.走 ?走着， fem 竄一 个宝霜…… kg 部不盘 道 啊？密码 野* 二
我们在观察一个数表时，首先要关注的是数表中有哪些数，这些数在数表中按照什么规 律排列，能不能找到它们的周期?实际上，数表中的数也构成一个数列?但数列与数表是不同的，在数列问题中我们只需要关注所求的是第几个数，而在数表问题中我们则要考虑所求 的数在第几行第几列. 我们一般通过以下三个步骤判断一个数在数表中的位置： 1. 找到数表中的数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个； 2. 数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数； 3. 找到这个数所在的行或列. 如果我们知道了某个数在数表中的具体位置，要反求这个数是多少，可以通过三个步骤 来考虑： 1. 数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数； 2. 找到这些数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个； 3. 求出这个数具体是多少. 律排列，请问：140这个数在第几行第几列？第11 行第6列 是多少？ 「分析」首先要观察找到数表中的数列是什 么.7个数一行，即一周期，求140在第几行 第几列，即求140是第几个周期的第几个数?思考一下，能直接用140 7来计算吗？ 练习1 如表所示，把从2开始连续的偶数按照一定规律排列， 问：100这个数在第几行第几列？第21行第3列是多少?
数列基本量运算
等差、等比数列基本量的运算法宝 典例解析： 题型一 等差、等比数列的基本运算 例1 已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 题型二 等差、等比数列的性质及应用 例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10 10＝2，则S 2 013的值为( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013 题型三 等差、等比数列的综合应用 例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *. (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．
跟踪训练 1．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90C ．90 D ．110 2．(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)2 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1 4．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 5．(2014·大纲全国)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为整数 的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1 3，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 8．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 9．(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 10．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1 a n ＋1－a n ＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比 数列，k 称为公差比．现给出下列问题： ①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列； ③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________． 11．(2014·课标全国Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n 2 n }的前n 项和．
数列基本运算
通过数列基本概念的学习，谈谈对学生数列基本运算能力的培养 以数列为例，在教学中要做到熟练运算方法，优化思维过程，加强综合运算能力的培养，并把良好的运算品质的培养贯穿其中。 一、熟练基本运算：抓概念与运算 抓概念与运算，从首项和公差与公比入手，是解决等差与等比数列问题的基本途径。 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 二、优化运算思维过程：抓观点与性质 运算能力是一种综合能力，它不可能独立存在和发展，而且与观察能力、注意力、理解能力、记忆力、推理能力、表达能力等相互渗透相互影响，优化运算思维过程以培养学生正确、简洁、有创造性的运算能力与品质，从而逐步形成解决实际问题的能力。在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． 三、培养综合运算能力：抓联系与渗透 教学中要培养学生从单一运算到复合运算再到综合运算。 （1）抓住通项与前n 项和的联系 （2）抓等差数列与等比数列的组合 （3）抓等差数列或等比数列与其他数学知识如函数、方程、不等式等的组合 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．
解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -= 四：强化培养运算品质：抓常规与情感教育 中学生数学基础差，学习动力不足，为难情绪重，因此要重视情感教育，解决好学生“为什么学？学什么？怎样学”问题。帮助学生明确数学学习是学好其他学科的需要，是自身不断发展的需要，才能激发学生学习动机，学习兴趣。其次，教学中要抓好学生的学习纪律，学习态度 。总之，培养学生的运算能力必须分阶段、分层次、有计划的进行，应与其他教学能力的培养相结合，才能使学生运算能力的培养与提高形成可持续发展的态势。 ① ②
数列常见数列公式(很全)
常见数列公式 等差数列 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 2．等差数列的通项公式： 或=pn+q (p、q是常 数)) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=－② d=③ d= 4．等差中项：成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n项和公式 6.等差数列的前项和公式 （1）（2）（3），当d≠0，是一个常数项为零的二次式 8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1）利用：当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n 的值 当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n 的值 （2）利用：由二次函数配方法求得最值时n的值 等比数列 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字 母q表示（q≠0），即：=q（q≠0） 2.等比数列的通项公 式:，
3．｛｝成等比数列=q（,q≠0）“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 5．等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）. 6．性质：若m+n=p+q， 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性： 当q>1, >0或0
经典等差数列性质练习题(含答案)讲解学习
等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 A．25 B．24 C．20 D．19 A．5B．3C．﹣1 D．1 A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D． A．﹣1 B．1C．3D．7
14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（） A．B．C．D． 15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（） A．6B．7C．8D．9 16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（） A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012?营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是A．5B．6C．5或6 D．6或7 A．58 B．88 C．143 D．176 A．﹣1 B．0C．1D．2 2 A．6B．7C．8D．9 2 A．4或5 B．5或6 C．4D．5 A．12 B．10 C．8D．4 A．230 B．140 C．115 D．95 A．5B．25 C．50 D．100 25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（） A．1B．2C．3D．4 A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项 二．填空题（共4小题）
一轮等差数列基本量练习题
等差数列基本量计算练习 1．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= A ．26 B ．27 C ．28 D ．29 2．已知等差数列{}n a 中，15123456a a a a a a a +=++++=，则（ ） A ．106 B ．56 C ．30 D ．15 3．设等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知10100S =，则29a a +=（ ）． A ．100 B ．40 C ．20 D ．12 4．设等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若58215a a a -=+，则9S 等于（ ） A 、60 B 、45 C 、36 D 、18 5．若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于 A ．1 B ．53 C ．2 D ．3 7．在等差数列{}n a 中，若4681012240a a a a a ++++=，则91113a a - 的值为（ ） A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 8．已知等差数列{}n a 中，70,10161514134321=+++=+++a a a a a a a a ，则数列前16项的和等于（ ） A ．140 B ．160 C ．180 D ．200 9．在等差数列{}n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 10．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- ， 则它的公差为 （ ） A ．2 B ．3 C ．2- D ．3- 11．已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 12．已知等差数列的前n 项和为n S ，若,0,01213>数列计算题
数列计算题 １、已知数列{}n a 满足关系式： a 1 = 1 , a n+1 = 2a n + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , …) , 试求出此数列的前4项 , 并猜想通项. 2、求和：)0,0)(1()1()1(22≠≠++++++y x x x x x x x n n 3、在等比数列}{n a 中，S n 为其前n 项的和。设28,4,0142=-=>a S a a n .求n n a a 3+的值。 4、某公司有甲、乙两个企业,甲企业有员工150人,98年人均利税1.2万元,乙企业有员工50人,98年人均利税1.6万元.(1)求98年全公司人均利税是多少万元.(2)若乙企业人均利税不变,要使该公司2000年比98年人均利税的增长率不低于20%,问甲企业从99年起人均利税的年平均增长率不能低于百分之几?(精确到0.001,其中41.36.11≈) 5、某地现有耕地10000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％。如果人口年增长率为1％，那么 耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产＝总人口数 总产量，人均粮食占有量＝耕地面积总产量） 6、某企业经过调整后，第一年的资金增长率为300%，以后每年的资金增长率都是前一年增长率的3 1.（1）经过4年后，企业资金是原来资金的多少倍？（2）如果由于某种原因，每年损失资金的5%，那么经过多少年后企业的资金开始下降？ 7、求数列,813,412 ,21 1 … , )21(n n +, … 前n 项的和Sn . 8、在等比数列中, 已知第1项与第3项的和是－20 , 第2项与第4项的和是40 , 求该数列的第11项. 9、设a ≠0 , a ≠1 , 求数列 a , 2a 2 , 3a 3 , … , na n , …前n 项的和S n . 10、已知f(x)=b(x)+1为x 的一次函数,b 为不等于1的常量,且 g(n)=??? ≥-=)1)(1([)0(1n n g f n （1）若a n =g(n)－g(n-1)(n ∈N),求证{a n }为等比数列.（2）设S n =a 1+a 2+…+a n ,求s n (用n,b 表示)。 答案提示 1、a 1 = 1 , a 2 = 3 , a 3 = 7 , a 4 = 15 , a n = 2n －1 . 2、分四种情形分别求和 ? ??=≠11y x ???≠=11y x ???==11y x ???≠≠11y x 3、解：由???=++=,28,44322a a a a 得???=+=.24)1(,4211q q a q a 由0>n a 解出???==.2,21q a
数列基础知识归纳
必修5 数列础知识归纳 一、数列的有关概念： 1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列． (1) 数列中的每个数都叫这个数列的项．记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，…，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)，记作a n ． (2) 数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记作{a n }． 2．通项公式的定义：如果数列{a n }的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这 个公式就叫这个数列的通项公式． 说明：(1) {a n }表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = f (n )表示数列的通项公式； (2) 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一．例如，a n = ( 1)n =1,21 ()1,2n k k n k -=-?∈? =? Z ； (3) 不是每个数列都有通项公式．例如，1，1.4，1.41，1.414，…． (4) 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数f (n )，当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，…．通常用a n 来代替f (n )，其图象是一群孤立的点． 3．数列的分类： (1) 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列； (2) 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列． 4．递推公式的定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项 a n 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 5．数列{a n }的前n 项和的定义：S n = a 1 + a 2 + a 3 + … +a n =1n k k a =∑称为数列{a n }的前n 项和 数 列 数列的概念 数列的定义 数列的分类 数列的性质 等差数列与等比数列 等差数列与等比数列的概念 等差数列与等比数列的性质 等差数列与等比数列的基本运算 数列的求和 倒序相加 错位相减 裂项相消 其他方法 数列应用
数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算
数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算 一．解答题（共40小题） 1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且， （1）求数列{a n}的通项公式； （2）令，求数列{b n}的前n项和． 2．已知数列{a n}前n项和， （1）求数列{a n}的通项公式 （2）求数列{|a n|}的前20项和T20； 3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+n﹣1． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）若b n＝a n?2n，求数列{b n}的前n项和T n． 4．若数列{a n}的前n项和S n，且S n＝n2+n，等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m （1）求{a n}和{b n}的通项公式 （2）求数列{a n?b n}的前n项和Q n 5．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式； （2）若数列b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n； 6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n． 7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足． （1）求a1，a2，a3的值； （2）证明{a n+2}是等比数列，并求a n； 8．已如各项均为正数的数列{a n}的前项和为S n，且a1＝1，a n＝，（n∈N*，且n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式； （2）证明：当n≥2时，． 9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且． （1）求数列{a n}的通项公式；
等差数列与等比数列的基本运算
一．课题：等差数列与等比数列的基本运算 二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识 解决有关问题，培养学生的化归能力． 三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法： 1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理； 2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析： 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,， ① ②
数列知识点所有性质总结
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，