数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算
等差数列与等比数列的基本量运算
等差数列与等比数列运算知识点：一．等差数列 1．等差数列基本概念⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+． 1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 二．等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．1．等比数列通项公式的推导： 由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=． 由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=．一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）解：1994500a a S S S +=⇒=⇒=.选B.{}18451845184518452.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）答案：B.3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值答案：2,50a k ==7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 答案：B7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A.3B.4C.5D.6 解：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ） A.B.B.C. D.（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97解：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =， 而108a =，因此公差1051105a a d -==- ∴100109098a a d =+=．故选C ．4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8解：45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴.选C3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )BA ．2B ．3C ．2-D ．3-4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．129. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 解：由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-． （2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =________.414．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ．146. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ A ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 解： ⑴设的公差为，，∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，．∴．（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩{}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=解得11=a ，2=d ， 所以12-=n a n .（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ， 当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.③与其他内容结合4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥⎧⎧⇒⇒=+=-+++≤⎨⎨≤+≤⎩⎩解答案为二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）答案：B3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为答案：332n n a -=⋅364714.,36,18,,____2n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中答案：9n =13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：67.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84 答案：B12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =或2x =-。
数列的基本概念和规律
数列的基本概念和规律数列是数学中常见的概念之一，是一种按照一定规律排列的数的集合。
它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍数列的基本概念和规律，并举例说明其在不同领域的具体应用。
一、数列的定义和表示方式数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的。
一般地，数列可以用下标表示，如a₁、a₂、a₃，也可以用公式表示，如an=n²。
其中，a₁、a₂、a₃是数列的前三项，an是数列的第n项。
二、数列的分类根据数列的规律性质不同，我们可以将数列分为等差数列、等比数列和斐波那契数列三种常见类型。
1. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值相等的数列。
其通项公式一般为an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
等差数列在实际生活中有着广泛的应用，比如计算机科学中的循环语句、物理学中的匀速直线运动等。
2. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值相等的数列。
其通项公式一般为an=a₁*q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比。
等比数列在金融和经济学中有着重要的应用，比如复利计算、人口增长预测等。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和的数列。
其通项公式一般为an=an-1+an-2，其中a₁=a₂=1。
斐波那契数列在自然界中随处可见，比如植物叶子的排列、螺旋线的形成等。
三、数列的求和公式在某些情况下，我们需要求解数列的前n项和。
对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式快速计算出结果。
1. 等差数列的求和公式对于公差为d的等差数列，其前n项和公式为Sn=(n/2)(a₁+an)。
2. 等比数列的求和公式对于公比为q且q≠1的等比数列，其前n项和公式为Sn=a₁*(1-q^n)/(1-q)。
四、数列的应用举例数列在不同领域都有着广泛的应用。
以下是一些具体的例子。
1. 自然科学领域数列在物理、化学和生物学等自然科学领域中有着重要的应用。
比如在物理学中，等差数列可以用来描述匀速直线运动中物体的位移随时间的变化；等比数列可以用来描述指数增长或衰减的过程。
整理等差数列、等比数列相关性质和公式及数列求和方法
等差、等比的公式性质以及数列的乞降方法第一节：等差数列的公式和有关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，假如它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：a n a n 1 d （d 为公差）（ n 2 ， n N *）注：下边全部波及n ，n N *省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：a n a1( n1)d ， a1为首项，d为公差推行公式：a n a m(n m) d变形推行：d a n a mn m3、等差中项（ 1）假如a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A a b或2 A a b2（ 2）等差中项：数列a n是等差数列2anan -1a n 1 (n 2)2a n 1a nan 24、等差数列的前 n 项和公式：n(a1a n )na1n(n 1)dS n22d n2(a11d) n An 2Bn22（此中 A、B是常数，所以当 d≠0时， S n是对于 n的二次式且常数项为 0）特别地，当项数为奇数2n1 时，a n1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项2n 1a1a2n 12n 1 a n 1（项数为奇数的等差数列的各项S2 n 12和等于数乘以中）5、等差数列的判断方法（ 1）定法：若a n a n1 d 或 a n 1a n d (常数n N)a n是等差数列．（ 2）等差中：数列a n是等差数列2an an-1a n 1 (n 2)2a n 1anan 2（3）数列a n是等差数列（4）数列a n是等差数列6、等差数列的明方法a n kn b （此中k,b是常数）。
S n An2Bn ,（此中A、B是常数）。
定法：若 a n a n 1 d 或 a n 1 a n d (常数n N)a n是等差数列．7、等差数列有关技巧：（ 1）等差数列的通公式及前n和公式中，波及到 5 个元素：a1、d 、n、a n及S n，此中a1、d 称作基本元素。
数列的概念和计算
数列的概念和计算数列是数学中常见的概念，它由一系列有序的数字组成。
数列的概念与计算对于数学的学习和应用都具有重要的意义。
本文将介绍数列的定义、常见类型和计算方法。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为这个数列的项，用a₁，a₂，a₃，……表示。
数列中的每个项之间有着特定的关系，这种关系可以用公式、递推公式、递归式等形式来表示。
二、常见类型的数列1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差等于同一个常数的数列。
设数列为{a₁，a₂，a₃，……}，公差为d，那么有 a₂ - a₁ =a₃ - a₂ = d。
等差数列的通项公式为 an = a₁ + (n-1)d，其中n表示项数。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与前一项的比等于同一个常数的数列。
设数列为{a₁，a₂，a₃，……}，公比为r，那么有 a₂/a₁ = a₃/a₂ = r。
等比数列的通项公式为 an = a₁ * r^(n-1)，其中n表示项数。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和的数列。
斐波那契数列的前两项通常为1，1或0，1，根据定义可以得到后续项。
斐波那契数列的递推公式为 an = a(n-1) + a(n-2)，其中n表示项数。
三、数列的计算1. 求和求和是数列计算中经常遇到的问题之一。
在数列求和时，常用的方法有以下几种：- 等差数列求和公式：Sn = n/2 * (a₁ + an)，其中Sn表示前n个项的和。
- 等比数列求和公式：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n 个项的和。
- 斐波那契数列求和：Sn = a(n+2) - 1，其中Sn表示前n个项的和。
2. 项数计算在一些问题中，我们需要求解数列的项数。
常用的计算方法如下：- 等差数列的项数：n = (an - a₁) / d + 1，其中n表示项数。
数列知识点归纳总结讲义
数列知识点归纳总结讲义数列是数学中常见的一个概念，它在各个领域都有广泛的应用。
正如其名称所示，数列是一系列按照特定规律排列的数的集合。
在学习和应用数列时，我们需要了解一些基本概念和常见的数列类型。
本文将对数列的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握相关概念。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一组数，用字母表示为{a₁，a₂，a₃，...}。
2. 项与序号：数列中的每个数称为项，对应的位置称为序号。
第一项为a₁，第二项为a₂，以此类推。
3. 通项公式：数列中每个项与它所在的序号之间存在着一定的关系，这种关系用通项公式来表示，通常用aₙ表示第n个项的值。
4. 数列的有穷与无穷：当数列中的项有限个时，称其为有穷数列；当数列中的项无限多时，称其为无穷数列。
二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是一种最为常见的数列类型，其特点是每个项之间的差值相等。
通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。
例如：2，5，8，11，14...就是一个以3为公差的等差数列。
2. 等比数列：等比数列是指数列中每个项与它前一项的比值相等的数列。
通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。
例如：1，2，4，8，16...就是一个以2为公比的等比数列。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指从第3项开始，每个项都是前两项的和。
通项公式：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁其中，a₁和a₂为斐波那契数列的前两项。
例如：1，1，2，3，5，8，13...就是一个斐波那契数列。
4. 平方数列：平方数列是指数列中每个项都是某个整数的平方。
通项公式：aₙ = n²其中，n表示项数。
例如：1，4，9，16，25...就是一个平方数列。
5. 等差数列与等比数列混合：有时数列中既存在等差关系，又存在等比关系，称其为等差数列与等比数列混合数列。
数列的基本概念和求和公式
数列的基本概念和求和公式数列是数学中一个非常基础的概念，涉及到数学中的序列和求和等知识。
本文将介绍数列的基本概念、常见数列的求和公式以及一些数列应用的例子。
一、数列的概念数列是按照一定规律排列的一列数，数列中的每个数称为数列的项。
我们通常用一般项公式来表示数列的规律，一般项公式为an = f(n)，其中an表示数列的第n项，f(n)表示与n相关的函数表达式。
例如，等差数列的一般项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列和斐波那契数列。
下面将分别介绍这些数列及其求和公式。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定。
也就是说，等差数列中每一项与前一项的差等于一个常数d，这个常数称为公差。
等差数列的一般项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
求等差数列的前n项和的公式为Sn = (a1 + an)n/2，其中a1为首项，an为第n项。
应用举例：例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和Sn。
解：根据求和公式Sn = (a1 + an)n/2，代入a1 = 3，an = 3 + (10 - 1)2 = 20。
则Sn = (3 + 20)10/2 = 115。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定。
也就是说，等比数列中每一项与前一项的比等于一个常数q，这个常数称为公比。
等比数列的一般项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
求等比数列的前n项和的公式为Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，其中a1为首项，q为公比。
应用举例：例如，已知等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和Sn。
解：根据求和公式Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，代入a1 = 2，q = 3，n = 5。
则Sn = (2 * (3^5 - 1)) / (3 - 1) = 242。
近6年来高考数列题分析(以全国卷课标Ⅰ为例)
近5年来高考数列题分析（以全国卷课标Ⅰ为例）单的裂项相消法和错位相减法求解数列求和即可。
纵观全国新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷的数列试题，我们却发现，新课标卷的数列题更加注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法。
尤其在选择、填空更加突出，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点.从2011年至2015年，全国新课标Ⅰ卷理科试题共考查了8道数列题，其中6道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。
而文科试题共考查了9道数列题，其中7道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。
1．从试题命制角度看，重视对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。
2．从课程标准角度看，要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。
3．从文理试卷角度看，尊重差异，文理有别，体现了《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念之一“不同的学生在数学上得到不同的发展”。
以全国新课标Ⅰ卷为例，近五年理科的数列试题难度整体上要比文科的难度大一些。
如2012年文科第12题“数列 满足 ，求的前60项和”是一道选择题，但在理科试卷里这道题就命成了一道填空题，对考生的要求自然提高了。
具体来看，全国新课标卷的数列试题呈现以下特点：●小题主要考查等差、等比数列的基本概念和性质以及它们的交叉运用，突出了“小、巧、活”的特点，难度多属中等偏易。
●大题则以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质，难度多属中等以上，有时甚至是压轴题，难度较大。
（一）全国新课标卷对数列基本知识的考查侧重点1．考查数列的基本运算，主要涉及等差、等比数列的通项公式与前项和公式。
数列的基本概念与性质知识点总结
数列的基本概念与性质知识点总结数列是数学中常见的概念，广泛应用于各个领域。
本文将对数列的基本概念和性质进行总结，帮助读者更好地理解和运用数列知识。
1. 数列的基本概念数列是按照一定规律排列的一组数的有序集合。
通常用字母表示，例如a₁，a₂，a₃，...，aₙ。
其中，a₁为首项，a₂为第二项，aₙ为第n项。
2. 等差数列等差数列是一种常见的数列，其中任意两项之差都相等。
这个公差用字母d表示。
可表示为a₁，a₁+d，a₁+2d，...，a₁+(n-1)d。
等差数列的通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d。
3. 等差数列的性质（1）求和公式：等差数列的前n项和可以用求和公式来表示，即Sn=(a₁+aₙ)/2×n。
（2）首项与末项的关系：可以通过首项和末项的和与项数的关系求得，即a₁+aₙ=a₁+a₁+(n-1)d=2a₁+(n-1)d。
（3）等差数列的对称性：等差数列中，第k个数和第(n-k+1)个数之和等于第(n+1)/2个数和第(n+1)/2个数的平均数。
4. 等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中任意两项的比值都相等。
这个比值用字母q表示。
可表示为a₁，a₁q，a₁q²，...，a₁q^(n-1)。
等比数列的通项公式为aₙ=a₁q^(n-1)。
5. 等比数列的性质（1）求和公式：等比数列的前n项和可以用求和公式来表示，即Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)，其中q≠1。
（2）首项与末项的关系：可以通过首项和末项的比与项数的关系求得，即aₙ=a₁q^(n-1)。
（3）等比数列的倒数性质：等比数列的倒数仍然是等比数列。
6. 通项公式的推导与应用对于不同的数列，可以通过观察列项之间的关系来推导出通项公式。
通项公式的推导可以帮助我们更方便地计算数列中的任意一项。
在实际应用中，通项公式可以帮助我们更好地分析和解决问题。
7. 数列的应用领域数列广泛应用于各个领域，例如经济学、物理学、计算机科学等。
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数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算一．解答题（共40小题）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和．2．已知数列{a n}前n项和，（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{|a n|}的前20项和T20；3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．4．若数列{a n}的前n项和S n，且S n＝n2+n，等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m （1）求{a n}和{b n}的通项公式（2）求数列{a n•b n}的前n项和Q n5．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n；6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）求a1，a2，a3的值；（2）证明{a n+2}是等比数列，并求a n；8．已如各项均为正数的数列{a n}的前项和为S n，且a1＝1，a n＝，（n∈N*，且n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：当n≥2时，．9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，求数列的前n项和T n．10．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a+a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2；数列{b n}满足b1＝1，b n+1＝b n+3．n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n b n，n∈N*．求数列{c n}的前n项和T n．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，＝1（n≥2）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n}为等差数列，并求出其通项公式；13．己知函数f（x）＝，数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n≥2），b1＝3，S n＝b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立求最小正整数m．14．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1，n∈N+（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于∀n∈N+，有15．在数列{a n}中，（1）设，证明：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和．16．已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2n+2，a1＝3．（1）证明：数列{a n﹣2n}为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．（2）令，求数列{b n}的前n项和S n．18．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；19．己知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．20．已知数列{a n}满足na n+1＝2a n（n+1），a1＝2，设．（1）证明数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．已知数列{a n}，a1＝1，a2＝8，且．设b n＝a n+1﹣2a n，证明数列{b n﹣2}是等比数列，并求数列{a n}的通项．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n2﹣a n﹣1a n﹣6a n﹣12＝0（n≥2，且n∈N*）设b n＝log2a n．（1）求b1，b2b3；（2）判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；23．已知数列{a n}是等差数列，其公差d＞0，a2，a3是方程x2﹣8x+15＝0的两根．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，求{b n}的前n项和S n．24．已知公差大于零的等差数列{a n}满足：a3a4＝48，a3+a4＝14．（1）求数列{a n}通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．25．在等差数列{a n}中，已知a2＝3，a7＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，若S n＝，求n的值．26．在等比数列{a n}中，公比q∈（0，1），且满足a3＝2，a1a3+2a2a4+a3a5＝25．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当取最大值时，求n的值．27．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足（1）求数列{a n}的通项公式及S n（2）设数列的前n项和为T n，若，求正整数n的取值范围28．设等比数列{a n}满足a1+a3＝20，a2+a4＝10，（Ⅰ）令T n＝a1a2a3…a n，求T n的最大值；（Ⅱ）令b n＝log2a n，求数列{a n b n}的前n项和S n．29．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a2＝3，a1，a3，a7顺次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．30．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5＝18，S3+S5＝50．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝，其前n项和为T n，求T n．31．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和T n．32．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且为a2，a3的等比中项，a3+1为a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设b n＝a n+1+（﹣1）n，（n∈N*），数列{}的前项和为S n，求证：S n＜．33．已知数列{a n}为等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a5＝5，S3＝6，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n ﹣2）b n+2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令，证明：c1+c2+…+c n＜2．34．已知等差数列{a n}与等比数列{b n}都是递增数列，且满足a3＝b3＝5，a1a5＝9，b1+b5＝2a7（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b2n﹣1，求数列|c n|的前n项和S n35．已知公差不为0的等差数列{a n}与等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设T n＝a1b n+a2b n﹣1+…+a n b1，求T n．36．等差数列{a n}中，公差d≠0，a5＝14，a32＝a1a11．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．37．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足，求数列b n的前n项和T n．38．在等差数列{a n}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n，并证明T n＜．39．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝5a22，且S1，S3，S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1﹣a2b2+a3b3﹣…+（﹣l）n+1a n b n＝10n﹣n2（n∈N*），记数列{b n}的前n项和为T n，求T n的最大值．40．已知等差数列{a n}满足a1＝1，a3+a5＝8．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和．【解】：（1），可得n＝1时，a1＝S1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，对n＝1也成立，则a n＝2n；（2）b n＝＝＝（﹣），可得数列{b n}的前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．2．已知数列{a n}前n项和，（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{|a n|}的前20项和T20；【解】：（1）因为，所以数列{a n}是等差数列，n＝1时，数列的首项为a1＝﹣26，a1+a2＝﹣50，所以a2＝﹣24，所以公差：d＝2，∴a n＝2n﹣28．（2）当n＜14时，a n＜0；n≥14时；a n≥0；T20＝（|a1|+|a2|+…+|a13|）+（a14|+…+|a20|）＝﹣（a1+a2+…+a13）+a14+a15+…+a20＝﹣S13+S20﹣S13＝S20﹣2S13＝224．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．【解】：（1）S n＝n2+n﹣1，可得n＝1时，a1＝S1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣1﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1＝n+1，则a n＝；（2）b n＝a n•2n＝，当n＝1时，T1＝b1＝2；当n≥2时，T n＝2+3×22+4×23+…+（n+1）•2n，2T n＝4+3×23+4×24+…+（n+1）•2n+1，相减可得﹣T n＝10+23+24+…+2n﹣（n+1）•2n+1＝10+﹣（n+1）•2n+1，化简可得T n＝n•2n+1﹣2．（n≥2），上式对n＝1也成立，综上可得T n＝n•2n+1﹣2．4．若数列{a n}的前n项和S n，且S n＝n2+n，等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m（1）求{a n}和{b n}的通项公式（2）求数列{a n•b n}的前n项和Q n【解】：（1）S n＝n2+n，可得a1＝S1＝2；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，上式对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*；等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m，可得b1＝T1＝2+m，n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝2n+m﹣2n﹣1﹣m＝2n﹣1，由等比数列{b n}，可得2+m＝1，即m＝﹣1，则b n＝2n﹣1，n∈N*；（2）设c n＝a n•b n＝n•2n，前n项和Q n＝1•2+2•4+3•8+…+n•2n，2Q n＝1•4+2•8+3•16+…+n•2n+1，两式相减可得﹣Q n＝2+4+8+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1，化简可得Q n＝2+（n﹣1）•2n+1．5．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n；【解】：（1）点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上，可得S n＝2a n﹣2，n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣2a n﹣1+2，化为a n＝2a n﹣1，可得a n＝2n，对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*；（2）b n＝（2n﹣1）a n＝（2n﹣1）•2n，前n项和T n＝1•2+3•4+5•8+…+（2n﹣1）•2n，2T n＝1•4+3•8+5•16+…+（2n﹣1）•2n+1，相减可得﹣T n＝2+2（4+8+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2•﹣（2n﹣1）•2n+1，化为T n＝6+（2n﹣3）•2n+1；6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解】：（Ⅰ）数列{a n}前n项和为S n，满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）．当n＝2时，2S2＝3a2，整理得a1＝2．所以2S n＝（n+1）a n，故2S n﹣1＝（n+1﹣1）a n﹣1，两式相减得（n﹣1）a n＝na n，所以＝2n（首项符合通项）．故a n＝2n．（Ⅱ）由于a n＝2n，所以b n＝＝．故T n＝b1+b2+…+b n＝＝4n+1﹣．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）求a1，a2，a3的值；（2）证明{a n+2}是等比数列，并求a n；【解】：（1），a1＝S1＝2a1﹣2，可得a1＝2；由a1+a2＝2a2﹣4，可得a2＝6；由a1+a2+a3＝2a3﹣6，可得a3＝14；（2）证明：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2n﹣2a n﹣1+2n﹣2，化简可得a n＝2a n﹣1+2，则a n+2＝2（a n﹣1+2），可得{a n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，a n+2＝4•2n﹣1，则a n＝2n+1﹣2；8．已如各项均为正数的数列{a n}的前项和为S n，且a1＝1，a n＝，（n∈N*，且n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：当n≥2时，．【解答】解：（1）由，得，即（n≥2），所以数列{S n}是以为首项，以1为公差的等差数列，所以，即，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝1，也满足上式，所以a n＝2n﹣1；（2）证明：当n≥2时，，所以．9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）由．可得a2＝S1＝a1＝，可得a n+1＝S n，又a n＝S n﹣1，n≥2，相减可得a n+1﹣a n＝（S n﹣S n﹣1）＝a n，即为a n+1＝a n，可得{a n}为从第二项起，公比q为的等比数列，可得a n＝a2q n﹣2＝（）n﹣1；可得a n＝；（2）＝log（）n＝n，可得＝＝﹣，则前n项和T n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．10．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a+a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a+a n﹣2．可得n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝2（﹣1舍去），n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣﹣，化为a n+a n﹣1＝a n2﹣a n﹣12＝（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1），由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝1，则a n＝2+n﹣1＝n+1；（Ⅱ）b n＝＝＝﹣，则数列{b n}的前n项和T n＝﹣+﹣+﹣+…+﹣＝﹣2．【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2；数列{b n}满足b1＝1，b n+1＝b n+3．n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n b n，n∈N*．求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）S n＝2a n﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，即a1＝2；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣2a n﹣1+2，化为a n＝2a n﹣1，可得a n＝2n，对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*，b1＝1，b n+1＝b n+3，可得b n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）c n＝a n b n＝（3n﹣2）•2n，前n项和T n＝1•2+4•4+7•8+…+（3n﹣2）•2n，2T n＝1•4+4•8+7•16+…+（3n﹣2）•2n+1，相减可得﹣T n＝2+3（4+8+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1＝2+3•﹣（3n﹣2）•2n+1，化简可得T n＝10+（3n﹣5）•2n+1．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，＝1（n≥2）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n}为等差数列，并求出其通项公式；【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，＝1（n≥2）．当n＝2时，，整理得：S2＝2（a1+1）＝8，所以a2＝S2﹣a1＝8﹣3＝5．当n＝3时，，整理得S3＝3（4+1）＝15，所以a3＝S3﹣a1﹣a2＝15﹣8＝7．证明：（2）由于，所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．则：，整理得①，当n≥2时②，①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1（首项符合通项）．故数列{a n}为等差数列，且a n＝2n+1．13．己知函数f（x）＝，数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n≥2），b1＝3，S n＝b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立求最小正整数m．【解答】解：（1）函数f（x）＝，数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（），可得a n+1＝＝a n+，则{a n}为公差为，首项为1的等差数列，可得a n＝1+（n﹣1）＝；（2）n≥2时，b n＝＝＝（﹣），b1＝3＝（1﹣），则S n＝b1+b2+…+b n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝，S n＜，即为＜对一切n∈N*成立，由（1﹣）＝递增，可得（1﹣）＜，则≥，可得m≥2010，可得m的最小整数为2010．14．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1，n∈N+（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于∀n∈N+，有【解】：（1）由a n+1＝3a n+1得a n+1+＝3（a n）．又a1+＝，所以{a n}是首项为，公比为3的等比数列，所以a n+＝，因此数列{a n}的通项公式为a n＝．（2）证明：由（1）知＝．因为当n≥1时，3n﹣1≥2×3n﹣1，所以，即＝≤．于是++…+≤1++…+＝（1﹣）＜．所以++…+＜．15．在数列{a n}中，（1）设，证明：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【解】：（1）证明：由，可得，∴数列{b n}是公差为2，首项为1的等差数列；（2）由（1）可知b n＝2n﹣1，，所以数列{a n}的前n项和，①，②由①+②，得．16．已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2n+2，a1＝3．（1）证明：数列{a n﹣2n}为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解】：（1）证明：a n+1＝a n+2n+2，a1＝3．可得a n+1﹣2n+1＝a n﹣2n+2，即有数列{a n﹣2n}为首项为1，公差为2的等差数列；（2）a n﹣2n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即为a n＝2n+2n﹣1，可得前n项和S n＝（2+4+…+2n）+（1+3+…+2n﹣1）＝+n（1+2n﹣1）＝2n+1﹣2+n2．17．数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．（2）令，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）证明：数列{a n}满足．可得＝+3，即﹣＝3，可得是以1为首项，3为公差的等差数列．∴＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，a n＝n（3n﹣2）；（2）b n＝﹣4n＝3n﹣2﹣4n＝﹣n﹣2，可得前n项和S n＝n（﹣3﹣n﹣2）＝﹣．18．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；【解】：（1）证明：∵a n+1＝（n∈N*），a1＝2，∴a n≠1，，∴＝，即，又a1＝2，∴，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）知，，∴，∴数列{a n}的通项公式为；19．己知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【证明】：（1）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．所以b n+1＝a n+1+n+1＝4a n+3n﹣1+n﹣1＝4（a n+n），故数列（常数），所以数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列．解：（2）由于数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列，所以．所以，故T n＝a1+a2+…+a n＝（21+23+…+22n﹣1）﹣（1+2+…+n）＝＝．20．已知数列{a n}满足na n+1＝2a n（n+1），a1＝2，设．（1）证明数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解】：（1）数列{a n}满足na n+1＝2a n（n+1），整理得，所以数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由于数列{}为等比数列，所以，所以，故①，②，①﹣②得．21．已知数列{a n}，a1＝1，a2＝8，且设b n＝a n+1﹣2a n，证明数列{b n﹣2}是等比数列，并求数列{a n}的通项；【解】：（1）证明：，而b1﹣2＝4∴{b n﹣2}是以4为首项2为公比的等比数列，即，累加法可求出∴；22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n2﹣a n﹣1a n﹣6a n﹣12＝0（n≥2，且n∈N*）设b n＝log2a n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；【解】：（1）a1＝1，2a n2﹣a n﹣1a n﹣6a n﹣12＝0，a n＞0，可得（2a n+3a n﹣1）（a n﹣2a n﹣1）＝0，则a n＝2a n﹣1，数列{a n}为首项为1，公比为2的等比数列，可得a n＝2n﹣1；b n＝log2a n＝n﹣1，b1＝0，b2b3＝1×2＝2；（2）数列{b n}为等差数列，理由：b n+1﹣b n＝n﹣（n﹣1）＝1，则数列{b n}为首项为0，公差为1的等差数列；23．已知数列{a n}是等差数列，其公差d＞0，a2，a3是方程x2﹣8x+15＝0的两根．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}是等差数列，其公差d＞0，a2，a3是方程x2﹣8x+15＝0的两根，可得a2＝3，a3＝5，即有d＝a3﹣a2＝2，a1＝1，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（Ⅱ）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．24．已知公差大于零的等差数列{a n}满足：a3a4＝48，a3+a4＝14．（1）求数列{a n}通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【解】：（1）由设公差为d＞0的等差数列及a3a4＝48，a3+a4＝14．所以，解得a3＝6，a4＝8，所以d＝a4﹣a3＝2，所以通项公式为a n＝a3+（n﹣3）d＝2n．（2）由（1）有，所以数列{b n}的前n项和．25．在等差数列{a n}中，已知a2＝3，a7＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，若S n＝，求n的值．【解】：（1）设公差为d的等差数列{a n}中，已知a2＝3，a7＝8．所以a7﹣a2＝5d＝5，解得d＝1，由于a2＝a1+d，所以a1＝2．故a n＝n+1．（2）由于a n＝n+1，所以，则＝，整理得，解得n＝10．26．在等比数列{a n}中，公比q∈（0，1），且满足a3＝2，a1a3+2a2a4+a3a5＝25．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}前n项和为S n，当取最大值时，求n值．【解】：（1）a1a3+2a2a4+a3a5＝25，可得a22+2a2a4+a42＝（a2+a4）2＝25，由a3＝2，即a1q2＝2，①，可得a1＞0，由0＜q＜1，可得a n＞0，可得a2+a4＝5，即a1q+a1q3＝5，②由①②解得q＝（2舍去），a1＝8，则a n＝8•（）n﹣1＝24﹣n；（2）b n＝log2a n＝log224﹣n＝4﹣n，可得S n＝n（3+4﹣n）＝，＝，则＝3++…+＝n（3+）＝＝﹣（n﹣）2+，可得n＝6或7时，取最大值．则n的值为6或7．27．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足（1）求数列{a n}的通项公式及S n（2）设数列的前n项和为T n，若，求正整数n的取值范围【解】：（1）等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，满足，则a1+a2＝3a1，即a2＝2a1，可得q＝2，＝15，解得a1＝1，则a n＝2n﹣1，S n＝＝2n﹣1；（2）＝＝2n﹣2﹣n，则T n＝（2+4+…+2n）﹣（2﹣1+2﹣2+…+2﹣n）＝﹣＝2n+1+2﹣n﹣3，若，则2n+1+2﹣n＞，即为22n+1＞32，解得n＞2，则正整数n的取值范围为n≥3，n∈N*．28．设等比数列{a n}满足a1+a3＝20，a2+a4＝10，（Ⅰ）令T n＝a1a2a3…a n，求T n的最大值；（Ⅱ）令b n＝log2a n，求数列{a n b n}的前n项和S n．【解】：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，a1+a3＝20，a2+a4＝10，可得q＝＝，由a1+a1q2＝20，可得a1＝16，则a n＝16•（）n﹣1＝25﹣n（n∈N*）；1≤n≤4时a n＞1，n＝5时a n＝1，n≥6时，0＜a n＜1，则n＝4或5时，T n＝a1a2…a n最大值为16×8×4×2＝1024；（Ⅱ）b n＝log2a n＝5﹣n，a n b n＝（5﹣n）•25﹣n，前n项和S n＝4•24+3•23+…+（5﹣n）•25﹣n，S n＝4•23+3•22+…+（5﹣n）•24﹣n，相减可得S n＝4•24﹣23﹣22…25﹣n﹣（5﹣n）•24﹣n＝64﹣﹣（5﹣n）•24﹣n，化简可得S n＝96+（n﹣3）•25﹣n．29．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a2＝3，a1，a3，a7顺次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由，得，即（3+d）2＝（3﹣d）（3+5d），解得d（d﹣1）＝0，∵d≠0，∴d＝1．∴a n＝a2+（n﹣2）×d＝3+（n﹣2）×1＝n+1．即a n＝n+1．（2）．∴T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝＝．30．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5＝18，S3+S5＝50．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝，其前n项和为T n，求T n．【解】（1）：设等差数列{a n}的公差为d，根据条件，可列出方程组：；解得：；故数列{a n}的通项公式为：a n＝3+（n﹣1）×2＝2n+1（2）解：由（1）可得，；∴＝＝．31．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）设正项等差数列{a n}的公差为d，则d＞0．∵S3＝12，即a1+a2+a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4．又2a1，a2，a3+1成等比数列，∴，即42＝2（4﹣d）•（4+d+1），解得d＝3或d＝﹣4（舍去），∴a1＝a2﹣d＝1，故{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣2，且．（II）由（I）知，∴，且，∴数列{b n}是以b1＝1为首项，为公差的等差数列，∴数列{b n}的前n项和为．32．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且为a2，a3的等比中项，a3+1为a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设b n＝a n+1+（﹣1）n，（n∈N*），数列{}的前项和为S n，求证：S n＜．【解】（Ⅰ）：由题意，，即，解得q＝2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，则，当n＝1时，＜；当n≥2时，．故S n＜．综上，S n＜．33．已知数列{a n}为等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a5＝5，S3＝6，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n ﹣2）b n+2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令，证明：c1+c2+…+c n＜2．【解】：（1）设首项为a1，公差为d的数列{a n}为等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a5＝5，S3＝6，则：，解得a1＝d＝1，所以a n＝1+n﹣1＝n，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n﹣2）b n+2．①所以当n≥2时a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1＝（2n﹣2﹣2）b n﹣1+2．②，①﹣②得（2n﹣4）b n﹣1＝（n﹣2）b n，整理得，当n＝1时，b1＝2，所以．证明：（2）由于，所以，故：①，②，①﹣②得，解得T n＝2﹣＜2．34．已知等差数列{a n}与等比数列{b n}都是递增数列，且满足a3＝b3＝5，a1a5＝9，b1+b5＝2a7（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b2n﹣1，求数列|c n|的前n项和S n【解】：（Ⅰ）设公差为d的等差数列{a n}满足满足a3＝5，a1a5＝9，所以（a3﹣2d）（a3+2d）＝9，解得d＝2．所以a n＝a3+2（n﹣3）＝2n﹣1．（Ⅱ）设公比为q的等比数列{b n}是递增数列，所以q＞1．由于b1+b5＝2a7，所以，由于b3＝5，解得，所以＝．所以c n＝b2n﹣1＝，所以，故．35．已知公差不为0的等差数列{a n}与等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设T n＝a1b n+a2b n﹣1+…+a n b1，求T n．【解】（1）设公差为d且不为0的等差数列{a n}与公比为q的等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3．故a n＝a1+（n﹣1）d，，所以，解得d＝1，q＝2．故．（2）由于，所以①，②①﹣②得：＝．所以．36．等差数列{a n}中，公差d≠0，a5＝14，a32＝a1a11．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【解】：（1）∵{a n}是等差数列，公差d≠0，a5＝14，，可得a1+4d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+10d），解得a1＝2，d＝3，所以{a n}的通项公式；a n＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣1；（2）b n＝＝＝（），数列{b n}的前n项和S n＝＝＝．37．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足，求数列b n的前n项和T n．【解】：（1）等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1，可得1+q+q2＝2（1+q）+1，解得q＝﹣1或q＝2，则a n＝（﹣1）n﹣1；或a n＝2n﹣1；（2）数列{a n}为递增数列，可得a n＝2n﹣1，数列{b n}满足，即为b n＝（2n﹣1）•（）n，前n项和T n＝1•+3•+…+（2n﹣1）•（）n，T n＝1•+3•+…+（2n﹣1）•（）n+1，相减可得T n＝+2（++…+（）n）﹣（2n﹣1）•（）n+1＝+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，化为T n＝3﹣（2n+3）•（）n；38．在等差数列{a n}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n，并证明T n＜．【解】：（1）等差数列{a n}的公差设为d，2a9＝a12+13，a3＝7，可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，解得a1＝3，d＝2，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）证明：S n＝n（3+2n+1）＝n（n+2），＝＝（﹣），前n项和T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＜．39．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝5a22，且S1，S3，S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1﹣a2b2+a3b3﹣…+（﹣l）n+1a n b n＝10n﹣n2（n∈N*），记数列{b n}的前n项和为T n，求T n的最大值．【解】：（1）由S1，S3，S2成等差数列，得2S3＝S1+S2，∴a2+2a3＝0，即q＝﹣．由S4＝5a22，得，则．∴；（2）由a1b1﹣a2b2+a3b3﹣…+（﹣l）n+1a n b n＝10n﹣n2（n∈N*），可知n＝1时，a1b1＝9；当n≥2时，（﹣l）n+1a n b n＝（10n﹣n2）﹣[10（n﹣1）﹣（n﹣1）2]＝11﹣2n，将n＝1代入得a1b1＝11﹣2＝9成立，∴（﹣l）n+1a n b n＝11﹣2n，则．当n≤5时，b n＞0，当n≥6时，b n＜0．∴（T n）max＝T5＝166．40．已知等差数列{a n}满足a1＝1，a3+a5＝8．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解】：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，a1＝1，a3+a5＝8．可得2a1+6d＝8，即2+6d＝8，解得d＝1，可得；（Ⅱ），．。