数列基本量的计算

证明： 【解】 (1)证明：Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，两边同除 证明 ， 1 1 1 1 以 Sn·Sn－1， 得 －S ＋2＝0， S － ＝ ， 即 ＝2(n≥2)， ≥ ， Sn－1 Sn－1 n n 1 1 1 为首项， 为公差的等差数列． ∴{S }是以 ＝ ＝2 为首项，2 为公差的等差数列． 是以 S1 a1 n 1 1 (2)由(1)知S ＝ ＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n， 由 知 － ＝ ＋ － × ＝ ， S1 n 1 ∴Sn＝ . 2n
第5章 章
数 列
2012高考 高考
江苏考纲解读 1．了解数列的概念及数列通项公式的意义． ．了解数列的概念及数列通项公式的意义． 2．理解等差数列的概念 ， 掌握等差数列的通项公式 ．理解等差数列的概念， 与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 与前 项和公式，并能解决简单的实际问题． 项和公式 3．理解等比数列的概念 ， 掌握等比数列的通项公式 ．理解等比数列的概念， 与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 与前 项和公式，并能解决简单的实际问题． 项和公式
3．数列的表示方法 ． 数列的表示方法有_________、 公式法 、 数列的表示方法有 列举法 、__________、 图象法． 图象法． ________ 4．数列的分类 ．
有穷数列：项数有限 有穷数列： 按项分类 无穷数列： 无穷数列：项数无限
递减数列：对于任何 ∈N ，均有 <a 按 a 的增 递减数列：对于任何n∈ 均有a 减性分类摆动数列： 例如 ：－ ， 1，－ ， 1，… 摆动数列：例如：－ ：－1， ，－ ，－1， ， 常数数列：例如：8，8，8，8，… 常数数列：例如： ， ， ， ，
为零的等差数列， 项和， 为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，满足 a2＋a2＝a2＋a2，S7＝7. 2 3 4 5 (1)求数列 n}的通项公式及前 n 项和 Sn； 求数列{a 的通项公式及前 求数列 amam＋1 (2)试求所有的正整数 m， 试求所有的正整数 ， 使得 为数列 am＋2 {an}中的项． 中的项． 中的项
n * n＋1
递增数列：对于任何n∈N*， 均有an＋1>an 递增数列： 对于任何 ∈ 均有
n
5．an 与 Sn 的关系 ． Sn＝ a1＋ a2＋ a3＋ …＋ an， ＝ ) S1 ( n＝ 1) an＝ . ≥ ) Sn－ Sn－ 1( n≥ 2)
1．等差数列 ． (1)一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与 一般地， 项起， 一般地 如果一个数列从第2项起 它的前一项的差等于同一个常数， 它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列就叫等差数列， 列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差 ，公差通常用字母d表示 _________，公差通常用字母 表示，公差的表 表示， an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)． ∈ ≥ ． 达式为___________________________ 达式为 －
(3)若 m， n， p， k∈ N* ， 且 m＋ n＝ p＋ k， 则 若 ， ， ， ∈ ＋ ＝ ＋ ， am＋an＝ap＋ak ，其中a _______________，其中 ，a ，a ，a 是数列
m n p k
中 的 项 ， 特 别 地 ， 当 m ＋ n ＝ 2p 时 ， 有 2ap＝am＋an. _________________ (4)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按 在等差数列中， 在等差数列中 照原来顺序排列， 照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数 列．但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是 等差数列． 等差数列．
( q ≠ 1)
相关 等比数列{a 的相关概念及公式 等比数列 n}的相关概念及公式 名词 等比 设a、b为任意两个同号的实数，则 为任意两个同号的实数， 、 为任意两个同号的实数 的等比中项G＝ ± ab 中项 a、b的等比中项 ＝__________ 、 的等比中项
2.等比数列的性质 等比数列的性质 (1)对任意的正整数 、n、p、q，若m＋n＝p 对任意的正整数m、 、 、 ， 对任意的正整数 ＋ ＝ am·an＝ap·aq ＋ q 则 ______________. 特 别 地 m ＋ n ＝ 2p 则 a＝am·an. ＝ _______________ (2)有穷等比数列中 ， 与首末两项距离相等的 有穷等比数列中， 有穷等比数列中 两项积相等， 都等于首末两项的积， 特别地， 两项积相等 ， 都等于首末两项的积 ， 特别地 ， 若项数为奇数，还等于中间项的平方，即 a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…＝ a2 . . 中 － －
1．数列的定义 ． 数列是按__________排成的一列数 排成的一列数， 数列是按 一定次序 排成的一列数，从函数观 点看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子 点看 ， 数列是定义域为正整数集 或它的有限子 的函数f(n)， 当自变量 从 1开始依次取正整 集 )的函数 的函数 ， 当自变量n从 开始依次取正整 数时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)， 数时所对应的一列函数值 ， ， ， 通常用a ….通常用 n代替 通常用 代替f(n)．于是数列的一般形式为 1， ．于是数列的一般形式为a a2，…，an，…，简记为 简记为________ {an}． ．
相关名词 通项公式
等比数列{a 的相关概念及公式 等比数列 n}的相关概念及公式
－ a1qn－1 ＝ an＝_______＝am·qn－m
前 n 项和公 式
S n＝
na1 _______
(q = 1)
a1 (1 − q n ) a1 − an q 1 − q =__________ ______=________ ______=__________ 1− q
思考感悟 G＝ ab是 a、 、 成等比数列的什么条件？ G、 ＝ 是 、 b 成等比数列的什么条件？
提示： ＝ 提示：G＝ ab ⇒/ a、G、b 成等比数列， 、 、 成等比数列， 如 G＝0，a＝0 或 b＝0；a、G、b 成等比数 ＝ ，＝ ＝ ；、 、 列⇒/ G＝ ab，有可能 G＝－ ab. ＝ ， ＝－ ∴G＝ ab是 a、G、b 成等比数列的既不充 ＝ 是 、 、 分也不必要条件． 分也不必要条件．
【思路分析】 由条件得 a2－a2＝a2－a2， 思路分析】 2 5 4 3 利用性质得－ 利用性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，从 ＝ ， 而 a4＋a3＝0.
【解】 (1)设公差为 d，则 a2－a2＝a2－a2. 设公差为 ， 2 5 4 3 由性质得－ 由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)． ＝ ． ， ＝ 因为 d≠0，所以 a4＋a3＝0，即 2a1＋5d＝0. ≠ ， 7×6 × d＝7.解得 a1＝－ ， 又由 S7＝7 得 7a1＋ ＝ 解得 ＝－5， 2 d＝2. ＝
1．等差数列 n}中，a1＝ 1，a3＋a5＝14，其 ．等差数列{a 中 ， ， 前n项和 n＝100，则n＝________. 项和S 项和列 n}的前 n 项和为 Sn， 且满足 1 an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N)，a1＝2. ≥ ， ∈ ， 1 (1)求证：{S }是等差数列； 求证： 是等差数列； 求证 是等差数列 n (2)求 an 的表达式． 求 的表达式．
an－am an － a1 － 列中的项，也可得d＝ n－1 列中的项，也可得 ＝________或d＝_____. 或 ＝ n－m －
其中n＞ ，也可以n≤ 但 其中 ＞m，也可以 ≤m.但am、an必须是数
(4)等差数列的求和公式 由倒序相加法推得 等差数列的求和公式(由倒序相加法推得 等差数列的求和公式 由倒序相加法推得) n(n－1)d ( － ) n(a1＋an) ( na1＋ . 2 S ＝______________，S ＝_________________. 2 ，
2．等差数列的性质 ． (1)若公差 ＞ 0， 则此数列为递增数列 ； 若 d 若公差d＞ ， 则此数列为递增数列； 若公差 ＜0，则此数列为递减数列；若d＝0，则此数 ，则此数列为递减数列； ＝ ， 列为常数列． 列为常数列． (2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的 有穷等差数列中， 有穷等差数列中 两项和相等，并且等于首末两项之和； 两项和相等 ， 并且等于首末两项之和 ； 特别 地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即 若项数为奇数，还等于中间项的 倍 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝2a中． － －
n n
思考感悟 若数列{an}的前 项和为 n＝an2＋bn，能否断定 的前n项和为 若数列 的前 项和为S ， 数列{a 是等差数列 反之是否成立？ 是等差数列？ 数列 n}是等差数列？反之是否成立？ 提 示 ： 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ＝ an2 ＋ bn⇔数列 n}是等差数列． 是等差数列． ⇔数列{a 是等差数列
1 ＝－2S . 当 n≥2 时，an＝－ n·Sn－1＝－ ≥ 2n(n－1) ( － ) 1 又 ∵ a1 ＝ ， 不 适 合 上 式 ， 故 an ＝ 2 1 (n＝1)， n＝ ) 2 1 ≥ ) －2n(n－1)(n≥2). ( － )
例2 (2009 年高考江苏卷 设{a }是公差不 年高考江苏卷)设 n 是公差不
(2)等差中项 等差中项 任意两个数a， 有且只有一个等差中项 有且只有一个等差中项， 任意两个数 ，b有且只有一个等差中项，即
a＋b ＋ . 2 _________.
(3)等差数列的通项公式 (3)等差数列的通项公式 am＋(n－m)d － a1＋(n－1)d ， － an＝______________，an＝____________， ，
所以{a 的通项公式为 所以 n}的通项公式为 an＝2n－7， n 项和 － ， 前 Sn＝n2－6n. amam＋1 (2m－7)( －5) )(2m－ ) － )( (2) . ＝ am ＋ 2 2m－3 － amam＋1 (t－4)( －2) )(t－ ) － )( 8 令 2m－3＝t，则 － ＝， ＝ ＝t＋ ＋ t t am ＋ 2 －6. 是奇数， 可取的值为±1.当 ＝ 因为 t 是奇数，所以 t 可取的值为 当 t＝1 8 m＝ ， t＋ 时， ＝2，＋ t －6＝3,2×5－7＝3 是数列 n ＝ × － ＝ 是数列{a 中的第 5 项；