2019届北师大版(理科数学) 函数的最大(小)值与导数 单元测试

2019届北师大版（理科数学） 函数的最大（小）值与导数 单元测试 一、选择题 1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( ) A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a) A [令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)， 又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0， ∴F(x)在[a，b]上单调递减， ∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．]

2．函数y＝ln xx的最大值为( ) A．e－1 B．e C．e2 D．103

A [令y′＝ln x′x－ln x·x′x2＝1－ln xx2＝0(x＞0)， 解得x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0. y极大值

＝f(e)＝1e，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，

所以ymax＝1e.]

3．函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为( ) 【导学号：31062064】 A．4e－1 B．1 C．e2 D．3e2 C [∵f′(x)＝(x2＋2x)ex＋1＝x(x＋2)ex＋1，∴f′(x)＝0得x＝－2或x＝0. 又当x∈[－2,1]时，ex＋1＞0， ∴当－2＜x＜0时，f′(x)＜0； 当0＜x＜1时f′(x)＞0. ∴f(x)在(－2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增． 又f(－2)＝4e－1，f(1)＝e2， ∴f(x)的最大值为e2

.]

4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( ) A．16 B．12 C．32 D．6 C [∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝

24，f(2)＝－8， 可知M－m＝24－(－8)＝32.] 5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( ) A．0≤a<1 B．0

C．－1B [∵f′(x)＝3x2－3a，则f′(x)＝0有解，可得a＝x2. 又∵x∈(0,1)，∴0二、填空题 6．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________. 【导学号：31062065】 [解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．

由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 则f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)max＝k－76＝－71. [答案] －71 7．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________. 【导学号：31062066】 [解析] 函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数

g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可． [答案] (－∞，2ln 2－2] 8．已知函数f(x)＝ax2＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________． [解析] 由f(x)＝ax2＋2ln x得f′(x)＝2x2－ax3，又函数f(x)的定义域为(0，＋

∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－a(舍去)或x＝a.当0当x>a时，f′(x)>0.故x＝a是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f(a)＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e. [答案] [e，＋∞) 三、解答题 9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2. (1)讨论f(x)的单调性；

(2)求f(x)在区间－34，14上的最大值和最小值． [解] 易知f(x)的定义域为

－32，＋∞.

(1)f′(x)＝22x＋3＋2x＝4x2＋6x＋22x＋3 ＝22x＋1x＋12x＋3.

当－320；

当－1当x>－12时，f′(x)>0， 从而f(x)在区间－32，－1，－12，＋∞上单调递增，在区间－1，－12上单调递减． (2)由(1)知f(x)在区间－34，14上的最小值为f－12＝ln 2＋14. 又因为f－34－f14＝ln32＋916－ln72－116

＝ln37＋12＝12

1－ln

49

9<0，

所以f(x)在区间－34，14上的最大值为 f14＝116＋ln72. 10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)≥2 017对于∀x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围． [解] (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.

由f′(x)<0，得x<－1或x>3， 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1. 因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a， 故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a. 要使f(x)≥2 017对于∀x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2 017，解得a≥2 022. [能力提升练] 1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( ) A．－13 B．－15 C．10 D．15 A [对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，

由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0， 即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3. 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x， 易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4. 又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下， 且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时， f′(n)min

＝f′(－1)＝－9，

故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.] 2．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( ) A．(－1，11) B．(－1,4) C．(－1,2] D．(－1,2) C [由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) －2 2 由此得a2－12＜－1＜a， 解得－1＜a＜11. 又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2. 综上，－1＜a≤2.] 3．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成立，则实数a的取值范围是________. 【导学号：31062067】 [解析] 设f(x)＝4x3＋4x2＋1，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)

由f′(x)＝0得x＝－23或x＝0. 又f(－1)＝1，f－23＝4327，f(0)＝1，f(1)＝9， 故f(x)在[－1,1]上的最小值为1. 故a≤1. [答案] (－∞，1] 4．已知函数f(x)＝x3－92x2＋6x＋a，若∃x0∈[－1,4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________． [解析] ∵f(x0)＝2a，即x30－92x20＋6x0＋a＝2a，

可化为x30－92x20＋6x0＝a， 设g(x)＝x3－92x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2. ∴g(1)＝52，g(2)＝2，g(－1)＝－232，g(4)＝16. 由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－232≤a≤16.

[答案] 



－232，16

5．已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 【导学号：31062068】 [解] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex

.

令f′(x)＝0，得x＝k－1. 令x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表： x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) －ek－1

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时， 函数f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1，即k≥2时， 函数f(x)在[0,1]上单调递减，