2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：函数与导数 函数的图象(含答案)
第二章 函数与导数第5课时函数的图象1. 函数f(x)＝2x ＋1x －1图象的对称中心的坐标是________。
答案：(1、2)解析：f(x)＝2＋3x －1.2. 函数f(x)＝(2－a 2)x ＋a 的图象在区间[0、1]上恒在x 轴上方、则实数a 的取值范围是________。
答案：(0、2)解析：由题意、只需⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）>0，即可。
3. 设函数y ＝f(x)是定义在R 上、则函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线________对称。
答案：x ＝1解析：由y ＝f(1－x)＝f[－(x －1)]、知y ＝f(1－x)的图象是由y ＝f(－x)的图象向右平移1个单位而得、而函数y ＝f(x －1)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移1个单位而得、函数y ＝f(－x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称、所以函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线x ＝1对称。
4. 函数f(x)＝|x 2－ax ＋a|(a>0)的单调递增区间是________。
答案：⎣⎡⎦⎤－a 2，0和⎣⎡⎭⎫a2，＋∞ 5. 不等式lg(－x)<x ＋1的解集是________。
答案：(－1、0)6. 任取x 1、x 2∈(a 、b)、且x 1≠x 2、若f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>12[f(x 1)＋f(x 2)]、则称f(x)是(a 、b)上的凸函数。
在下列图象中、是凸函数图象的是________。
(填序号)答案：④7. 已知函数y ＝f(x)的周期为2、当x ∈[－1、1]时 f(x)＝x 2、那么函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝|lgx|的图象的交点共有________个。
答案：10解析：根据f(x)的性质及f(x)在[－1、1]上的解析式可作图如下：可验证当x ＝10时、y ＝|lg10|＝1；当0<x<10时、|lgx|<1；x>10时、|lgx|>1. 因此结合图象及数据特点y ＝f(x)与y ＝|lgx|的图象交点共有10个。
2015年高考试题函数与导数部分
20.（2015上海）（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分
如图， ， ， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米.现甲、乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线是 ，速度为 千米/小时，乙的路线是 ，速度为 千米/小时.乙到达 地后原地等待.设 时乙到达 地.
19．（2015广东）（本小题满分14分）
设a>1，函数 。
(1)求 的单调区间；
(2)证明： 在（ ，+∞）上仅有一个零点；
(3)若曲线 在点P处的切线与 轴平行，且在点 处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：
3．（2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． B． C． D．
A．-1是Байду номын сангаас的零点B．1是 的极值点C．3是 的极值D.点 在曲线 上
15（2015山西）.设曲线 在点（0,1）处的切线与曲线 上点p处的切线垂直，则p的坐标为
7.（2015上海）方程 的解为．
10.（2015上海）设 为 ， 的反函数，则 的最大值为．
18．（2015上海）设 是直线 （ ）与圆 在第一象限的交点，则极限 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
20.（2015天津）（本小题满分14分）
已知函数 ，其中 .
(I)讨论 的单调性；
(II)设曲线 与 轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为 ,求证：对于任意的正实数 ，都有 ；
(III)若关于 的方程 有两个正实根 ，求证： .
12.（2015全国1）设函数 ,其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
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2015专题五：函数与导数在解题中常用的有关结论（需要熟记)：考点一：导数几何意义：角度一求切线方程1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x）＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′错误!，f′（x)是f(x）的导函数，则过曲线y＝x3上一点P（a，b)的切线方程为( )A．3x－y－2＝0B．4x－3y＋1＝0C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0解析：选A 由f（x）＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x）＝3－2sin 2x＋2cos 2x，则a ＝f′错误!＝3－2sin错误!＋2cos错误!＝1。
由y＝x3得y′＝3x2，过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3。
又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1，1）,故过曲线y ＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.角度二求切点坐标2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( )A．(0，1）B．（1，－1）C．（1,3）D．(1,0）解析：选C 由题意知y′＝错误!＋1＝4，解得x＝1,此时4×1－y－1＝0，解得y＝3,∴点P0的坐标是(1，3)．角度三求参数的值3．已知f（x）＝ln x，g（x)＝错误!x2＋mx＋错误!（m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f（x）图像的切点为（1，f(1)),则m等于( ）A．－1 B．－3C．－4 D．－2解析：选D ∵f′（x)＝错误!,∴直线l的斜率为k＝f′（1）＝1,又f(1）＝0,∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m,设直线l与g(x）的图像的切点为（x，y0），则有x0＋m＝1,y0＝x0－1，y0＝12x2＋mx0＋错误!,m〈0，于是解得m＝－2,故选D。
2015-2018年高考全国卷文科数学--函数与导数大题汇编
2015年～2018年高考全国卷数学（文科）—函数与导数汇编1.（2015年全国乙卷第21题）已知函数()ln (1)f x x a x =+-﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围﹒2.（2015年全国甲卷第21题）设函数2()ln x f x ea x =-﹒ （1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数；（2）证明：当0a >时，2()2lnf x a a a ≥+﹒3.（2016年全国丙卷第21题）设函数()ln 1f x x x =-+﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （3）设1c >，证明：当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->﹒4.（2016年全国乙卷第20题）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--﹒（1）当4a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围﹒5.（2016年全国甲卷第21题）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围﹒6. （2017年全国丙卷第21题）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，证明：3()24f x a≤--﹒7.（2017年全国乙卷第21题）设函数2()(1)xf x x e =-﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围﹒8. （2017年全国甲卷第21题）已知函数2()()x x f x e e a a x =--﹒（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围﹒9.（2018年全国丙卷第21题）已知函数21()x ax x f x e+-=﹒ （1）求曲线在()y f x =在点(0,1)-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥﹒10.（2018年全国乙卷第21题）已知函数()ln 1x f x ae x =--﹒（1）设2x =是()f x 的极值点，求a 及()f x 的单调区间；（2）证明：当1a e ≥时，()0f x ≥﹒11.（2018年全国甲卷第21题）已知函数321()(1)3f x x a x x =-++﹒ （1）若3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点﹒。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。
考点：函数的奇偶性。
2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。
若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。
又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。
由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。
3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。
2015高考理科数学函数、导数及其应用总复习题(附答案)
2015高考理科数学函数、导数及其应用总复习题（附答案）A组基础演练•能力提升]一、选择题1．(2013年高考江西卷)函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．0,1)C．(0,1]D．0,1]解析：根据题意得1－x>0x≥0，解得0≤x答案：B2．已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，故此时不存在实数a 满足条件；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件，故选A.答案：A3．(2014年浙江五校联考)若函数f(x)＝＋，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D.0，＋∞解析：根据题意知log12(2x＋1)>0，即0答案：A4．下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD．y＝sin解析：利用正弦函数、指数函数、对数函数及分式型函数定义域的确定方法求解．函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sinx≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A 不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.答案：D5．已知函数fx－1x＝x2＋1x2，则f(3)＝()A．8B．9C．11D．10解析：∵fx－1x＝x－1x2＋2，∴f(3)＝9＋2＝11.答案：C6．具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f(x)＝x－1x；②f(x)＝x＋1x；③f(x)＝x，01.满足“倒负”变换的函数是()A．①②B．①③C．②③D．只有①解析：①f1x＝1x－x＝－f(x)满足．②f1x＝1x＋x＝f(x)不满足．③0x＝1时，f1x＝0＝－f(x)，x>1时，f1x＝1x＝－f(x)满足．答案：B二、填空题7．(2013年高考安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.解析：设－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，∴f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)1－(x＋1)]＝－12x(x＋1)．答案：－12x(x＋1)8．若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0，恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：－1,0]9．已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，xf(2x)的x的取值范围是________．解析：画出f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x如图．由图象可知，若f(1－x2)>f(2x)，则1－x2>0，1－x2>2x，即－1得x∈(－1，2－1)答案：(－1，2－1)三、解答题10．(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．解析：(1)令t＝2x＋1，则x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1.(2)设f(x)＝ax＋b，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b＝2x＋17，则有a＝2，b＋5a＝17，∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.(3)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①令x＝－x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)，得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．11．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝x2，，－求fg(x)]和gf(x)]的解析式．解析：当x≥0时，g(x)＝x2，fg(x)]＝2x2－1，当x∴fg(x)]＝2x2－，－∵当2x－1≥0，即x≥12时，gf(x)]＝(2x－1)2，当2x－1∴gf(x)]＝－，，－1，．(能力提升)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．解析：当x∈0,30]时，设y＝k1x＋b1，由已知得b1＝030k1＋b1＝2，解得k1＝115，b1＝0∴y＝115x.当x∈(30,40)时，y＝2；当x∈40,60]时，设y＝k2x＋b2，由已知得40k2＋b2＝260k2＋b2＝4，解得k2＝110b2＝－2，∴y＝110x －2.综上，f(x)＝115x，x∈0，30]2，x∈，－2，x∈40，60] B组因材施教•备选练习]1．已知f(x)＝log3x，x>0，ax＋b，x≤0，且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2B．2C．3D．－3解析：f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝12.故f(－3)＝12－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.答案：B2．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是()解析：从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．答案：C3．(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域；(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域；(3)已知函数f(x＋1)的定义域为－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．解析：(1)∵f(x)的定义域为(0,1)，∴要使f(x2)有意义，需使0即－1∴函数f(x2)的定义域为{x|－1(2)∵f(2x ＋1)的定义域为(0,1)，即其中的自变量x的取值范围是0令t＝2x＋1，∴1∴函数f(x)的定义域为{x|1(3)∵函数f(x＋1)的定义域为－2,3]，∴－2≤x≤3.令t＝x＋1，∴－1≤t≤4.∴f(t)的定义域为{t|－1≤t≤4}，即f(x)的定义域为{x|－1≤x≤4}，要使f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，∴－3≤x≤－22或22≤x≤3，∴函数f(2x2－2)的定义域为x－3≤x≤－22或22≤x≤3.。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）（2..
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.（2015安徽文）函数32f x ax bx cx d的图像如图所示，则下列结论成立的是（）（A）a>0，b<0，c>0，d>0 （B）a>0，b<0，c<0，d>0（C）a<0，b<0，c<0，d>0 （D）a>0，b>0，c>0，d<02．（2015福建理）若定义在R上的函数f x满足01f，其导函数f x满足1f x k，则下列结论中一定错误的是（）A．11fk kB．111fk kC．1111fk kD．111kfk k【答案】C考点：函数与导数．3．（2015福建文）“对任意(0,)2x，sin cos k x x x ”是“1k ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 B考点：导数的应用．4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设函数()f x =(21)x e x ax a ,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（）A.[-，1） B. [-，） C. [，）D. [，1）【答案】D 【解析】试题分析：设()g x =(21)x e x ，yax a ，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线yaxa 的下方.因为()(21)xg x e x ，所以当12x时，()g x ＜0，当12x 时，()g x ＞0，所以当12x时，max [()]g x =12-2e ，当0x时，(0)g =-1，(1)30g e，直线y axa 恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1ag ，且1(1)3g ea a ，解得32e≤a ＜1，故选D.考点：导数的综合应用5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设函数'()f x 是奇函数()()f x xR 的导函数，(1)0f ，当0x 时，'()()0xf x f x ，则使得()0f x 成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)D ．(0,1)(1,)【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f xg x x，则''2()()()xf x f x g x x，因为当0x 时，'()()0xf x f x ，故当0x时，'()0g x ，所以()g x 在(0,)单调递减；又因为函数()()f x x R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)单调递减，且(1)(1)0g g ．当01x 时，()0g x ，则()0f x ；当1x 时，()0g x ，则()0f x ，综上所述，使得()0f x 成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．6.(2015陕西理)对二次函数2()f x axbx c （a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()yf x 上【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值．二、填空题：1.（2015安徽理）设30x ax b，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）①3,3a b ；②3,2ab；③3,2ab；④0,2ab；⑤1,2ab.与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.2. (2015湖南理)20(1)x dx.【答案】0.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知函数31f x axx 的图像在点1,1f 的处的切线过点2,7，则a .4. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知曲线ln y xx 在点1,1处的切线与曲线221y axa x 相切,则a= ．【答案】8 【解析】试题分析：由11y x可得曲线ln y xx 在点1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x ,与221y axa x 联立得220axax ,显然0a ,所以由2808aa a .考点：导数的几何意义.5、(2015陕西文)函数xy xe 在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1ye考点：导数的几何意义.6.(2015陕西理)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是11010222162，设抛物线的方程为22xpy （0p ），因为该抛物线过点5,2，所以2225p ，解得254p ，所以2252x y ，即2225y x ，所以当前最大流量是5323535522224022255255257575753xdxxx，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16 1.2403，所以答案应填： 1.2．考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．7.(2015陕西理)设曲线xy e 在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yx x上点p 处的切线垂直，则p的坐标为．【答案】1,1【解析】试题分析：因为xy e ，所以xye ，所以曲线xye 在点0,1处的切线的斜率011x k ye，设的坐标为00,x y （00x ），则01y x ，因为1yx，所以21yx，所以曲线1yx在点处的切线的斜率0221x x k yx，因为121k k ，所以2011x，即201x ，解得01x ，因为00x ，所以01x ，所以01y ，即的坐标是1,1，所以答案应填：1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．8、(2015四川文)已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x ，n ＝1212()()g x g x x x ，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n .其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④【解析】对于①，因为 f '(x)＝2x ln 2＞0恒成立，故①正确对于②，取a ＝－8，即g'(x)＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误对于③，令 f '(x)＝g'(x)，即2x ln2＝2x ＋a 记h(x)＝2x ln2－2x ，则h'(x)＝2x (ln2)2－2【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m ，n 的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x 1，x 2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题. 9. (2015天津文)已知函数ln ,0,f x ax x x,其中a 为实数,f x 为f x 的导函数,若13f ,则a 的值为．【答案】3 【解析】试题分析：因为1ln f xa x ,所以13f a .考点：导数的运算法则.10.(2015天津理)曲线2y x与直线y x 所围成的封闭图形的面积为.【答案】16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积11223111236Sx xdxxx.考点：定积分几何意义.三、解答题：1.（2015安徽文）已知函数)0,0()()(2ra r xax x f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若400ra ，求)(x f 在),0(内的极值.2.（2015安徽理）设函数2()f x xax b .（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x xa xb ，求函数0(sin )(sin )f x f x 在[]22,上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取0a b ，求24azb满足D 1时的最大值.3.（2015北京文）设函数2ln 2xf xk x ，0k ．（Ⅰ）求f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若f x 存在零点，则f x 在区间1,e 上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k ；极小值(1ln )()2k k f k ；（2）证明详见解析.所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k ；()f x 在x k 处取得极小值(1ln )()2k k f k .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)上的最小值为(1ln )()2k k f k .因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k ，从而ke .当k e 时，()f x 在区间(1,)e 上单调递减，且()0f e ，所以x e 是()f x 在区间(1,]e 上的唯一零点.当ke 时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02f ，()02e kf e ，所以()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点. 综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.4.（2015北京理）已知函数1ln1xf x x．（Ⅰ）求曲线y f x 在点00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当01x，时，323xf xx；（Ⅲ）设实数k 使得33xf x k x对01x，恒成立，求k 的最大值．【答案】（Ⅰ）20x y ，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为 2. 试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011xf x x f x f f xx，曲线yf x 在点00f ，处的切线方程为20xy；（Ⅱ）当01x ，时，323xf xx，即不等式3()2()03x f x x，对(0,1)x 成立，设331()ln2()ln(1)ln(1)2()133xxxF x xx x xx，则422()1xF x x，当01x ，时，()0F x ，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F ，因此对(0,1)x ，3()2()3xf x x成立；（Ⅲ）使33xf x k x成立，01x ，，等价于31()ln()013xx F x k xx，01x，；422222()(1)11kxkF x k x xx ，当[0,2]k 时，()0F x ，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F ，符合题意；当2k时，令42()0,(0,1)k F x x k，x 0(0,)x 0x 0(,1)x ()F x -+()F x 极小值()(0)F x F ，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为 2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.5．（2015福建文）已知函数2(1)()ln 2x f x x．(Ⅰ)求函数f x 的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当1x 时，1f xx ；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在1x ，当0(1,)xx 时，恒有1f xk x ．【答案】(Ⅰ)150,2；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）,1．【解析】(Ⅰ)求导函数21xx f xx，解不等式'()0f x 并与定义域求交集，得函数f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数F 1x f x x ，1,x ．欲证明1f x x ，只需证明()F x 的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当1k 时，不存在01x 满足题意；当1k时，对于1x ，有11f x x k x ，则1f xk x ，从而不存在01x 满足题意；当1k 时，构造函数G1x f x k x ，0,x，利用导数研究函数()G x 的形状，只要存在1x ，当0(1,)xx 时()0G x 即可．试题解析：（I ）2111xx f xx xx ，0,x．由0f x 得2010x xx 解得1502x．故f x的单调递增区间是150,2．（II ）令F 1x f xx ，0,x ．则有21F x xx．当1,x 时，F 0x，所以F x 在1,上单调递减，故当1x 时，F F 10x，即当1x 时，1f x x ．（III ）由（II ）知，当1k时，不存在01x 满足题意．当1k 时，对于1x ，有11f x x k x ，则1f xk x ，从而不存在01x 满足题意．当1k时，令G 1xf x k x ，0,x，则有2111G 1xk x xx kxx．由G0x 得，2110xk x ．解得2111402kk x ，2211412k k x ．当21,xx 时，G 0x ，故G x 在21,x 内单调递增．从而当21,xx 时，G G 10x，即1f xk x ，综上，k 的取值范围是,1．考点：导数的综合应用．6.（2015福建理）已知函数f()ln(1)x x ，(),(k ),g x kx R(Ⅰ)证明：当0x x x 时，f()；(Ⅱ)证明：当1k 时，存在00x ,使得对0(0),xx 任意，恒有f()()x g x ；(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t ，对任意的(0),x，t 恒有2|f()()|x g x x ．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)=1k ．【解析】试题分析：(Ⅰ)构造函数()f()ln(1),(0,),F x x x x x x只需求值域的右端点并和0比较即可；(Ⅱ)构造函数G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x即()0G x ，求导得1()1+G x kx(1k)1+kx x，利用导数研究函数()G x 的形状和最值，证明当1k时，存在00x ，使得()0G x 即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当1k 时，对于(0,),x+()f()g x x x ，故()f()g x x ，则不等式2|f()()|x g x x 变形为2k ln(1)x x x ，构造函数2M()k ln(1),[0)x xx x x ，+，只需说明()0M x ，易发现函数()M x 在22(k 2)8(k 1)0)4k x （，递增，而(0)0M ，故不存在；当1k 时，由(Ⅱ)知，存在00x ,使得对任意的任意的0(0),xx ，恒有f()()x g x ，此时不等式变形为2ln(1)k x xx ，构造2N()ln(1)k ,[0)x x x x x，+，易发现函数()N x 在2(+2(k +2)8(1k)0)4k x ）（，递增，而(0)0N ，不满足题意；当=1k 时，代入证明即可．试题解析：解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x xx x x则有1()11+1+x F x xx当(0,),x ()0F x ,所以()F x 在(0,)上单调递减；故当0x 时，()(0)0,F x F 即当0x时，x x f()．(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x则有1(1k)()1+1+kx G x kx x当0kG ()0x ,所以G()x 在[0,)上单调递增, G()(0)0x G 故对任意正实数0x 均满足题意.当01k 时，令()0,x G 得11=10k x kk．取01=1x k，对任意0(0,),x x 恒有G ()0x ,所以G()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G ,即f()()x g x .综上，当1k 时，总存在00x ,使得对任意的0(0),x x ，恒有f()()x g x ．(3)当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，故()f()g x x ，|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x ，令2M()k ln(1),[0)x xx x x，+，则有21-2+(k-2)1M ()k2=,11x x k x x xx故当22(k 2)8(k 1)0)4k x （，时，M ()0x ,M()x 在22(k 2)8(k 1)[0)4k，上单调递增，故M()M(0)0x ,即2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在.当1k 时，由（2）知存在00x ,使得对任意的任意的0(0),xx ，恒有f()()x g x ．此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x ,令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x ，+，则有2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x xx故当2(+2(k +2)8(1k)0)4k x ）（，时，N ()0x ,M()x 在2(2)(k 2)8(1k)[0)4k ，上单调递增，故N()(0)0x N ,即2f()()x g x x ,记0x 与2(2)(k 2)8(1k)4k 中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|xx x g x x ，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x ，令2H()ln(1),[0)x x x x x，+，则有21-2H ()12=,11xxx x xx当0x 时，H ()0x ,所以H()x 在[0+，）上单调递减，故H()(0)0x H ,故当0x 时，恒有2|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意.综上，=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，，故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x xxx ，令2(k 1),01x x xk 解得，从而得到当1k 时，(0,1)xk 对于恒有2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在.当1k时，取11k+1=12k kk ，从而由（2）知存在00x ,使得0(0),xx 任意，恒有1f()()x k xkx g x .此时11|f()()|f()()(k)2k x g x x g x k xx ,令21k 1k ,022x x x解得，此时2f()()x g x x ,记0x 与1-k2中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x ，令2M()ln(1),[0)x x x x x ，+，则有212M ()12,11xxx xxx当0x 时，M ()0x ,所以M()x 在[0+，）上单调递减，故M()M(0)0x ,故当0x 时，恒有2|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意综上，=1k .考点：导数的综合应用．7．（2015广东理）设1a ，函数a ex x f x)1()(2。
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：函数与导数 导数的概念与运算(含答案)
第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算1. 已知函数f(x)＝1＋1x ，则f(x)在区间[1，2]，⎣⎡⎦⎤12，1上的平均变化率分别为________． 答案：－12，－2 解析：f （2）－f （1）2－1＝－12；f （1）－f ⎝⎛⎭⎫121－12＝－2. 2. 某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则t ＝2s 时，汽车的瞬时速度为________．答案：4m/s 解析：注意带单位．利用导数可求．3. 若f(x)＝x 2－2x －4lnx ，则f′(x)>0的解集是________．答案：(2，＋∞)解析：x>0，f ′(x)＝2x －2－4x>0，解得x>2. 4. 已知f(x)＝x 2＋2xf′(1)，则f′(－1)＝________．答案：－6解析：f′(x)＝2x ＋2f′(1)，f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴ f ′(1)＝－2，∴ f(x)＝x 2－4x ，f ′(－1)＝－6.5. 曲线f(x)＝e x1－x在x ＝2处的切线斜率为________． 答案：0解析：f′(x)＝e x （1－x ）－e x （－1）（1－x ）2＝e x （2－x ）（1－x ）2，所以切线斜率为f′(2)＝0. 6. 曲线y ＝x 与y ＝8x在它们交点处的两条切线与y 轴所围成的三角形的面积为________．答案：6解析：两曲线交点为(4，2)，利用函数求导知，它们在交点处的切线方程分别为x －4y ＋4＝0与x ＋2y －8＝0，所以两条切线与y 轴所围成的三角形的面积为6.7. 设P 是函数y ＝x(x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 解析：tan θ＝y′＝12⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝13时，取等号，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 8. 若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2lnx 相切，则实数k ＝________．答案：2 e解析：对y ＝2lnx 求导得y′＝2x， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2lnx ＝kx －3，k ＝2x ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2e ，x ＝e －12，即实数k ＝2 e.9. 求下列函数的导数．(1) y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(2) y ＝2x ＋ln2x ；(3) y ＝sinx sinx ＋cosx －12； (4) y ＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)．解：(1) y′＝3x 2＋12x ＋11；(2) y′＝2x ln2＋1x； (3) y′＝1（sinx ＋cosx ）2； (理)(4) y′＝2[ln(2x ＋1)＋1]．10. 已知曲线y ＝x 2＋1x(x>0)． (1) 求曲线在x ＝2处的切线方程；(2) 求曲线上的点到直线3x －4y －11＝0的距离的最小值．解：(1) 3x －4y ＋4＝0；(2) 设曲线在点(x 0，y 0)处的切线与直线3x －4y －11＝0平行，因为y′＝1－1x 2，令1－1x 20＝34，解得x 0＝2，所以切点为⎝⎛⎭⎫2，52，所以距离的最小值为点⎝⎛⎭⎫2，52到直线3x －4y －11＝0的距离，即为3.11. 设曲线y ＝(ax －1)e x 在点A(x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y ＝(1－x)e －x 在点B(x 0，y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，32，使得l 1⊥l 2，求实数a 的取值范围． 解：由y ＝(ax －1)e x ，得y′＝ae x ＋(ax －1)e x ＝(ax ＋a －1)e x.由y ＝1－x e x ，得y′＝－e x －（1－x ）e x （e x ）2＝x －2e x . 由题意(ax 0＋a －1)·ex 0·x 0－2ex 0＝－1，即(ax 0＋a －1)(x 0－2)＝－1在⎣⎡⎦⎤0，32上有解．方程可化为ax 0＋a －1＝－1x 0－2.设f(x 0)＝ax 0＋a －1，g(x 0)＝－1x 0－2，作图可知1≤a ≤32. 另法：方程可化为a ＝x 0－3x 20－x 0－2.求函数t(x 0)＝x 0－3x 20－x 0－2在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，32上的值域即可．。
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2015专题五：函数与导数在解题中常用的有关结论（需要熟记）：考点一：导数几何意义：角度一 求切线方程1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′⎝⎛⎭⎫π4，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( )A ．3x －y －2＝0B ．4x －3y ＋1＝0C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝f ′⎝⎛⎭⎫π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.角度二 求切点坐标2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)解析：选C 由题意知y ′＝3x ＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．角度三 求参数的值3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2，故选D.考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。
[典例1]已知函数f (x )＝x 2－e x 试判断f (x )的单调性并给予证明． 解：f (x )＝x 2－e x ，f (x )在R 上单调递减，f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成立即可． 设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ， 当x ＝ln 2时，g ′(x )＝0， 当x ∈(－∞，ln 2)时，g ′(x )>0， 当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )<0.∴f ′(x )max ＝g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2<0， ∴f ′(x )<0恒成立， ∴f (x )在R 上单调递减．[典例2] (2012·北京高考改编)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． [解] (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a 6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6. [针对训练](2013·重庆高考)设f (x ) ＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )·(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.考点三：已知函数的单调性求参数的范围[典例] (2014·山西诊断)已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x，令f ′(x )＝0，即－2x 2－x －1x ＝0，解得x ＝－12或x ＝1.∵x >0，∴x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． (2)显然函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax 的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x ＝－(2ax ＋1)(ax －1)x .①当a ＝0时，f ′(x )＝1x>0，∴f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意．②当a >0时，f ′(x )≤0(x >0)等价于(2ax ＋1)·(ax －1)≥0(x >0)，即x ≥1a ，此时f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞. 由⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，a >0，得a ≥1. ③当a <0时，f ′(x )≤0(x >0)等价于(2ax ＋1)·(ax －1)≥0(x >0)，即x ≥－12a，此时f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞. 由⎩⎪⎨⎪⎧－12a ≤1，a <0，得a ≤－12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． [针对训练](2014·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎫x ＋2x max ＝－22， 当且仅当“x ＝2x ”即x ＝－2时等号成立，所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)． 考点四：用导数解决函数的极值问题[典例] (2013·福建高考节选)已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．[解] (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a . x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值， 且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． [针对训练]设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图像关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ， 从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26， 即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a6对称．从而由题设条件知－a 6＝－12，即a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0， 得b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， 所以f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0， 即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－2)上单调递增； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－2,1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－6. 考点五 运用导数解决函数的最值问题 [典例] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． [解] (1)f ′(x )＝1x －a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，∴当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ； 当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a . [针对训练]设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝ax－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12. (2)f (x )＝ln x －12x 2，f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，∵当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0得1e≤x <1；令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12. 考点六：用导数解决函数极值、最值问题[典例] (2013·北京丰台高三期末)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x (a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． [解] (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x，令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同． 又因为a >0，所以－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5， 所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者．而f (－5)＝5e －5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5. [针对训练]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1， 所以f (1)＝4.所以1＋a ＋b ＋c ＝4.所以c ＝5.(2)由(1)，可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解之，得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.考点七：利用导数研究恒成立问题及参数求解[典例] (2013·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． [解] (1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2， f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)． 设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2， 则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.(ⅰ)若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增，故F (x )在[－2，＋∞)上的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．(ⅱ)若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)上单调递增，而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．(ⅲ)若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2·(k －e 2)＜0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立． 综上，k 的取值范围是[1，e 2]． [针对训练]设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )， 若x ＝0，则f ′(x )＝0；若x <0，则1－e x >0，所以f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，所以f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)．(2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减． 故[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2，∴m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 故m 的取值范围为(－∞，2－e 2)． 考点八、利用导数证明不等式问题[典例] (2013·河南省三市调研)已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)． (1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间；(2)当1≤a ≤1＋e 时，求证：f (x )≤x . [解] (1)当a ＝12时，f (x )＝12x －e x .f ′(x )＝12－e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2.当x <－ln 2时，f ′(x )>0； 当x >－ln 2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－ln 2)，单调递减区间为(－ln 2，＋∞)． (2)证明：法一：令F (x )＝x －f (x )＝e x －(a －1)x ， (ⅰ)当a ＝1时，F (x )＝e x >0， ∴f (x )≤x 成立．(ⅱ)当1<a ≤1＋e 时，F ′(x )＝e x －(a －1)＝e x －e ln(a －1)，∴当x <ln(a －1)时，F ′(x )<0； 当x >ln(a －1)时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，ln (a －1))上单调递减，在(ln(a －1)，＋∞)上单调递增． ∴F (x )≥F (ln(a －1))＝e ln(a －1)－(a －1)·ln(a －1)＝(a －1)[1－ln(a －1)]，∵1<a ≤1＋e ，∴a －1>0,1－ln(a －1)≥1－ln [(1＋e)－1]＝0， ∴F (x )≥0，即f (x )≤x 成立． 综上，当1≤a ≤1＋e 时，有f (x )≤x . 法二：令g (a )＝x －f (x )＝－xa ＋x ＋e x ，只要证明g (a )≥0在1≤a ≤1＋e 时恒成立即可． g (1)＝－x ＋x ＋e x ＝e x >0，①g (1＋e)＝－x ·(1＋e)＋x ＋e x ＝e x －e x ， 设h (x )＝e x －e x ，则h ′(x )＝e x －e ， 当x <1时，h ′(x )<0；当x >1时，h ′(x )>0，∴h (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (1)＝e 1－e·1＝0， 即g (1＋e)≥0.②由①②知，g (a )≥0在1≤a ≤1＋e 时恒成立．∴当1≤a ≤1＋e 时，有f (x )≤x .[针对训练](2014·东北三校联考)已知函数f (x )＝12x 2－13ax 3(a >0)，函数g (x )＝f (x )＋e x (x －1)，函数g (x )的导函数为g ′(x )． (1)求函数f (x )的极值；(2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g (x )的单调区间；(ⅱ)求证：x >0时，不等式g ′(x )≥1＋ln x 恒成立．解：(1)f ′(x )＝x －ax 2＝－ax ⎝⎛⎭⎫x －1a ， ∴当f ′(x )＝0时，x ＝0或x ＝1a，又a >0， ∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， ∴f (x )的极小值为f (0)＝0，f (x )的极大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝16a 2.(2)∵a ＝e ，∴g (x )＝12x 2－13e x 3＋e x (x －1)， g ′(x )＝x (e x －e x ＋1)．(ⅰ)记h (x )＝e x －e x ＋1，则h ′(x )＝e x －e ，当x ∈(－∞，1)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，∴h (x )≥h (1)＝1>0，则在(0，＋∞)上，g ′(x )>0；在(－∞，0)上，g ′(x )<0，∴函数g (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)．(ⅱ)证明：x >0时，g ′(x )＝x (e x －e x ＋1)≥1＋ln x ⇔e x －e x ＋1≥1＋ln x x， 由(ⅰ)知，h (x )＝e x －e x ＋1≥1，记φ(x )＝1＋ln x －x (x >0)，则φ′(x )＝1－x x， 在区间(0,1)上，φ′(x )>0，φ(x )是增函数；在区间(1，＋∞)上，φ′(x )<0，φ(x )是减函数，∴φ(x )≤φ(1)＝0，即1＋ln x －x ≤0，1＋ln x x≤1， ∴e x －e x ＋1≥1≥1＋ln x x，即g ′(x )≥1＋ln x 恒成立．。