(完整版)函数与导数专题(含高考试题)
函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
考点一：导数几何意义：
角度一 求切线方程
1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′? ??
??
π4，f ′(x )是f (x )
的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( )
A ．3x －y －2＝0
B ．4x －3y ＋1＝0
C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0
D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0
解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝
f ′? ??
??π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.
角度二 求切点坐标
2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )
A ．(0,1)
B ．(1，－1)
C ．(1,3)
D ．(1,0)
解析：选C 由题意知y ′＝3
x ＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．
角度三 求参数的值
3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7
2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )
A ．－1
B ．－3
C ．－4
D ．－2
解析：选D ∵f ′(x )＝1
x ，
∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，
∴切线l 的方程为y ＝x －1.
g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋7
2，m <0， 于是解得m ＝－2，故选D.
考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。
[典例1]已知函数f (x )＝x 2－e x 试判断f (x )的单调性并给予证明． 解：f (x )＝x 2－e x ，f (x )在R 上单调递减， f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成立即可． 设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ， 当x ＝ln 2时，g ′(x )＝0， 当x ∈(－∞，ln 2)时，g ′(x )>0， 当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )<0.
∴f ′(x )max ＝g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2<0， ∴f ′(x )<0恒成立， ∴f (x )在R 上单调递减．
[典例2] (2012·北京高考改编)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx . (1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；
(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间． [解] (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，
由已知可得????
?
f (1)＝a ＋1＝c ，
g (1)＝1＋b ＝c ，
2a ＝3＋b ，
解得a ＝b ＝3.
(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3
＋ax 2
＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋a 2
4，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a
6，
∵a >0，∴x 1 由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a 6； 由F ′(x )<0得，－a 2 6. ∴单调递增区间是? ????－∞，－a 2，? ????－a 6，＋∞；单调递减区间为? ????－a 2，－a 6. [针对训练] (2013·重庆高考)设f (x ) ＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6 x . 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )·(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6， 故a ＝1 2. (2)由(1)知，f (x )＝1 2(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3) x . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0 由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝9 2＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 考点三：已知函数的单调性求参数的范围 [典例] (2014·山西诊断)已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1 x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x ， 令f ′(x )＝0，即－2x 2－x －1x ＝0，解得x ＝－12或x ＝1. ∵x >0，∴x ＝1. 当0 ∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． (2)显然函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax 的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x －2a 2 x ＋a ＝－2a 2x 2 ＋ax ＋1x ＝－(2ax ＋1)(ax －1)x . ①当a ＝0时，f ′(x )＝1 x >0， ∴f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意． ②当a >0时，f ′(x )≤0(x >0)等价于(2ax ＋1)·(ax －1)≥0(x >0)，即x ≥1 a ， 此时f (x )的单调递减区间为???? ??1a ，＋∞. 由??? 1a ≤1， a >0， 得a ≥1. ③当a <0时，f ′(x )≤0(x >0)等价于(2ax ＋1)·(ax －1)≥0(x >0)，即x ≥－1 2a ，此 时f (x )的单调递减区间为???? ??－12a ，＋∞. 由??? －12a ≤1，a <0， 得a ≤－1 2. 综上，实数a 的取值范围是? ? ? ??－∞，－12∪[1，＋∞)． [针对训练] (2014·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2 ＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (1)求b ，c 的值； (2)若a >0，求函数f (x )的单调区间； (3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ， 由题意得????? f (0)＝1，f ′(0)＝0，即????? c ＝1，b ＝0. (2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2， 依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a ???x ＋2x max ＝－22， 当且仅当“x ＝2 x ”即x ＝－2时等号成立， 所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)． 考点四：用导数解决函数的极值问题 [典例](2013·福建高考节选)已知函数f(x)＝x－1＋a e x(a∈R，e为自然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值． [解](1)由f(x)＝x－1＋a e x，得f′(x)＝1－a e x. 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴， 得f′(1)＝0，即1－a e＝0，解得a＝e. (2)f′(x)＝1－a e x， ①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值． ②当a>0时，令f′(x)＝0，得e x＝a，即x＝ln a. x∈(－∞，ln a)，f′(x)<0；x∈(ln a，＋∞)，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 故f(x)在x＝ln a处取得极小值， 且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值． [针对训练] 设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝ －1 2对称，且f′(1)＝0. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值． 解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b， 从而f′(x)＝6 ? ? ? ? ? x＋ a 62＋b－ a2 6， 即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a 6对称． 从而由题设条件知－a 6＝－1 2，即a ＝3. 又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0， 得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， 所以f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0， 即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1， 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－2)上单调递增； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－2,1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 从而函数f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－6. 考点五 运用导数解决函数的最值问题 [典例] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． [解] (1)f ′(x )＝1 x －a (x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )＝1 x －a >0， 即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1 a ， 当0 a 时，f ′(x )＝1－ax x >0； 当x >1 a 时，f ′(x )＝1－ax x <0， 故函数f (x )的单调递增区间为? ? ? ??0，1a ， 单调递减区间为? ?? ?? 1a ，＋∞. (2)①当1 a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a . ②当1a ≥2，即0 2时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a . ③当1<1a <2，即1 2 f (2)－f (1)＝ln 2－a ，∴当1